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~-' Halle la mamz de Gram para, el prooocto eseelar enlR l definidoper:D 'II'~ - - 2 " " ' " " 0 1 '_ . _ 1. p~ . p,-- - ' 2 '"1 -:J -., "'I -:~ '-.IL, "'1"~ ~ - -

e o t t =4' "'" '8 ;;;::;?-2-2 -> "2.~J :Je3'~' =: 2 :

siendo {e l .6:2 ,e~}~ ab ase canenica de 1:1Sotueiiro:

Las entrodas de la. matriz de Gram de un preducto eacalar son losprcdactos e sca la te s d e lo s v ec to re s ,ae su brule

2.~ Bane la matrizde Gram para e~IP'fOducto escalar deftnido en e~ espaeiovectorial P(x) de los polinomios de grade meaor 0 iglllw que 2 como sigue:L< p{x)"q(x>;;;; J p(x)q(.x)dr()

La base can ow ca de'~espacio vectorial P (x) es {tx,xl}, ealculando losproduetos escalates de j !QS polinomios de la base se tiene,

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l~XG == ~ ~ ){~XX

/ -. ~ H alle un vector ono-gona! : a ] ! subespacio S ... { X E 1Pl3/ x + y - 2z ; ;: :;) }Soluclon:

Basta con. encomrar un vector que sea ortogonal a. todos los vectores de.una base de S.Una base de Se:s

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Es :P c aC io s Vecro :r ia le s Euc ltd eo s

[ '.2' -2 2.J . . .p=-- -2 5 1

6 2 : 1 :; I. ~1:':HaJle la proyeccion del veceor u ~ 0, 1. 1) sobre el subespa.c.~oT.(_Solud6n:

Sabiendo [a metriz de proyeccien P sobre el suibespacic T calculada en elejereicio anterior,

r = (1/3, 2/3, 41.3)

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E s:pa cio s V ec to ria les E uc !U deo s

8.~la Ley de Ohm establece que Thante.ns~dad de corriente q'tlfi p a i J i i o a , por uncircuito es directamente proporeional a : l I voltaje siendo ~I lL resistencia la constantede propcrcionalidad, esto es, V ~ fR. Se nenen los siguientes datos de voltaje eintestdad, calcule la resistencia aproximada de] circuito

1 1 tamp) 1 : 2 3 ~ 4 5 : 6I ' V (volts) 8 16,1 24 I 31,9 40 I 48

Se trata de aproxim ar los datos a una linea recta: y :::::ax + b donde V= )', 1:::::, de los experimentos se tiene:a:+b=82a+b;;: 16,13a+b=244a +b = = 31.95a+h =406a+b =48

P uede com proba rse que es un sistema incompatible de ,6 ecuaciones y dosincegmtas,

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y ~. 7.9886x "'"0.04

'9.: La concentraci6n. de p ro du cto :s e n L U I re ac to r q uin tic o sigue un compon:am ruen toparaiOOJico con el riempo. Se hM l.recopilado daiW S de concen:t racw,on (gilt) en eltierapo {ho:m s) . .H allar el llem po en que se alcanza la m ..U im a concennaeion.

1 (hrs) I 2 35 I 1.99 ~sC(gOt) 2 4.'99

Sohu:ion::Se Rata de aproxilm,u~os d a t o s a 1 1 1 m ap_abo]a: y .~ ax"!.+b x +c donde C ~

Y t ~ X ,. de los experimentos se tiene:a+b+c=:2:il.Q. + 20 - i f . C ~.:t99]2 a +3b + c = , 64?a +4b + c: : : : 55~a +5b + c= 2.99

Puede compro barse que es un sistema. incompatible de 5 ecuaci ones y tresincognitas-Apbcando el Mttodo de ] : 0 1 5 Iv1immoo Cuadrados pam hallar Ia mejofeproximacion de los ceeficientesa, b; c tenemos,

] 1 li 2 ;

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E spa cio s V edo ria les E uc lrdeo s

y ~ -LOO7xl +6.0033x-3.006

Para hallar el tiempo al que se alcanza la ecncentraeien maxima; basta. con derivardy '. ' __~ =-2.014x+6.0033 =0= x"'" 3dx _d O Z y . .- - '= -2.014 ; ; ; ; J f (x)g(x)dx.La sene de Fourier de una funcion f (x) es unaexpansion en senos y cos-enos.

I(x) = = ~ +,~cosx+ ~s,eDX+a,. cos2x+b~sen2x+ ...Halle el coeficiente b ! dela funcicn g{x) = sen xSolu.ciom:

Para caleular el coeficieme q. planteamos el producto esealar demafuncion f pm sen x en ambos miembros, como los senos y cosenos sonmutuamenee ortegonales, todos los productos escalares del lado deree ho seran 0excepto el de 1 3 1 funcion seno par 8 1 misma,

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Ejerciclos Propuestos1.- En el espaciovectorial Ilt1; .la ap~ic:ad6n definida {n or:

X Y = = . l 1 Y t - . 1 1 Y : ; \ +~Yl +UX2Yla}Es un producto escalar 'r fa E m : .b) Bs un pro ducto escalar si (l :> 0c) Es un psoductc escalar si ex< 0d) N ~ n g u I D . 1 3 i de Iasanteriores es cierta

2-~En elespacio vecrorial euchdeo Pi3 con el producto escalar usual, los vectores' 1 , \ = = (1, 0 , 1).v~= = (0,1.0),11'$ = (O 'j OJ 0) :

a) FOmlM'lJ un sistema. ortogonalb) Forman un sisiemanorrnadoc) Forman un sistema ortonormald) Ninguna de las. anteriores es cierta

3 .. iBn un espacio vectorial euclideo E se verifica que . I ~ + J i l l ~ I I x l l +b f l .Entom::es:

a) I l x - y l l ~ ! I x l l ~ ~ Y l ib) I l x ~ } i l l .s ! I x j l - I I } i l l

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d ) N ing lllD . ade~as am erieres es cierta6.~ Considerese laf :I . : 2 x lR :2 ~ ItIf (x , y) .:.;;;y] - -'; Y2+ X :;:Y l ~ aX! Y2 . Entonoe .s :

]~ .,apuC3.ClOl1J.

a) f es un p~~o es,ca~Msi a ~ 1 0b) f es unproduetc escalar si a = i l lc) f es un prcducto esealar si a := .~1d) Ninguna de lasanteriores es eierta,

Sefiale en el recuadro Ia veracidad 0 falsedad de las siguientes afirmaciones:6.~ Sea S = I vl.P } un sistema ortogonal de vectores no nulos de un espaciovecto ria l ,euclideo E I dtm E = .p..En:W,ncesS es una base de E ~

( i l l . 2 J.,-La matriz 2 : 4 . . puede ser una, mairiz deproyeccien ..__( ~8..- En el espacio vectodal R":l:laaplicacicn definida per la matriz ! I X a )a r es un

producto escalar si a ~ 0 6 a ~ ]. __

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