Lineal Matrices

7/23/2019 Lineal Matrices

1/25

ALGEBRA MATRICIAL

Resolver los siguientes ejercicios:

EJERCICIOS 1.1

11.- +4=-5+3+5=-23+7+7= 6(0 1 4 51 3 5 23 7 7 6 )Cambio F1 por F2

(1 3 5 20 1 4 53 7 7 6 )

3F1-F3

(1 3 5 20 1 4 50 2 8 0 ) 2F2-F3(1 3 5 20 1 4 50 0 0 1 0) 3F2-F1(1 0 7 1 30 1 4 5

0 0 0 1 0)

R= La matriz es inconsistente.


2/25

ALGEBRA MATRICIAL

12.-

-3+ 4=- 43- 7+ 7=- 84+ 6- = 7( 1 3 4 43 7 7 84 6 1 7 )-3F1+F2( 1 3 4 40 2 5 44 6 1 7 ) 4F1+F3(1 3 4 40 2 5 40 6 15 9) F2

1 3 4 40 1 52 20 6 15 9(1 0 7 1 30 1 4 50 0 0 1 0)R= La matriz es inconsistente.

13.-

-3= 8


3/25

ALGEBRA MATRICIAL

2+2+ 9= 7+ 5=- 2(1 0 3 82 2 9 7

0 1 5 2)-2F1+F2

(1 0 3 80 2 1 5 90 1 5 2)(1 0 3 80 1 5 20 2 1 5 9) 2F2-F3(1 0 3 80 1 5 20 0 5 5 )Respuestas:

5= 5= = 1+ 5=- 2= -2- 5

= -2-

5

14.-

-3 = 5- ++ 5 = 2+ = 0


4/25

ALGEBRA MATRICIAL

( 1 3 0 51 1 5 20 1 1 0) Cambio F2 por F3

( 1 3 0 50 1 1 01 1 5 2)F1 +F3

(1 3 0 50 1 1 00 0 7 7) 2F2+F3Respuestas:

7= 7= 1

+

= 0

= 0 -- = 01 = - 1 -3 = 5= 5+ 3= 5+ 3(-1)= 2

25.- Encuentre la ecuacin que involucre a: g, h y k la cual permita que esta matriz aumentada

corresponda a un sistema consistente.


5/25

ALGEBRA MATRICIAL

( 1 4 7 0 3 5 2 5 9 )

(1 4 7 0 3 5 2 5 9 )

(2)F1+F3

(1 4 7 0 3 5 0 3 5 2 + ) F2(1 4 7 0 1 5/3 /30 3 5 2 + )3F2 +F3

(

1 4 7 0 1 5/3 /30 0 0 2 + + )

R= 2 + +

26.-Construya tres matrices aumentadas diferentes de tres sistemas lineales cuyo conjunto

solucin sea = -2, = 1; =

A= [1 2 32 0 15 2 2] , = [210 ]C= [8 9 32 9 15 2 6], = [

210 ]E= [0 1 01 1 11 1 1] , = [

210 ]

33.- Escriba un sistema de cuatro ecuaciones cuya solucin proporcione un estimado para las

temperaturas ..4 - =30- +4- = 60


6/25

ALGEBRA MATRICIAL

- + + 4 = 4034.-Resuelva el sistema de ecuaciones del ejercicio 33.: Para acelerar los clculos,intercambien las filas 1 y 4 antes de comenzar las operaciones de reemplazo.

4 - =30- +4- = 60- + + 4 = 40( 4 1 0 1 3 01 4 1 0 601 0 1 4 40)(1 4 1 0 601 0 1 4 40

4 1 0 1 3 0)F1 , -F1 +F2

(1 4 1 0 6 00 4 2 4 2 04 1 0 1 30 )4F1F3(1 4 1 0 600 4 2 4 200 15 4 1 270)-1/4F2(1 4 1 0 600 1 1/2 1 50 15 4 1 270)15F2 +F3

(1 4 1 0 600 1 1/2 1 50 0 7/2 16 195)

La matriz no tiene solucion

EJERCICIOS 2.1


7/25

ALGEBRA MATRICIAL

Reduzca por filas las matrices de los ejercicios 3 y 4 a la forma escalonada reducida .Encierre las

posiciones pivote incluidas en la matriz final y en la matriz original, y enumere las columnas

pivote.

3. - 4.-

[1 2 34 5 66 7 8 479] -4F1+ F2 [1 3 53 5 75 7 9 791]-3F1 + F2[1 2 30 3 66 7 8

499 ]-6F1 +F3 [1 3 50 4 85 7 9

7121 ] -5F1 +F3[1 2 30 3 60 5 10

4915]-1/3F2 [1 3 50 4 80 8 16

71234] -1/4 F2

[1 2 30 1 20 5 10 4315]5F2 +F3 [1 3 50 1 20 8 16 7334] 8F2 +F3[1 2 30 1 20 0 0

430]-2F2 +F1 [1 3 50 1 20 0 0

7310]P.P R= matriz inconsistente.

[1 0 10 1 20 0 0

230

]C.P C.P 0=0

11.-

[ 3 4 20 12 66 8 4 000]

[ 3 4 20 12 66 8 4000] F1

[ 1 4/3 2/39 12 66 8 4 000]9F1+F2


8/25

ALGEBRA MATRICIAL

[ 1 4/3 2/30 0 06 8 4 000]6F1+F3

[1 4/3 2/30 0 00 0 0

000]

-4/3+ 3/2= 0 = 43 32 = bre = bre

13.-

1 3 0 1 0 20 1 0 0 4 10 0 0 1 9 40 0 0 0 0 0 3F2+F1

1 0 0 1 12 10 1 0 0 4 10 0 0 1 9 40 0 0 0 0 0F3 + F1

1 0 0 0 3 50 1 0 0 4 10 0 0 1 9 40 0 0 0 0 0

=5- 3

= 1 + 4 = bre = 4 9 = bre


9/25

ALGEBRA MATRICIAL

En los ejercicios 17y 18 determine el valor o los valores de la h tales que la matriz sea la

matriz sea la matriz aumentada de un sistema lineal consistente

17. - 18.-

2 3 4 6 72F1-F2 1 3 25 75F1-F22 3 0 0 2 7 1 3 20 15 32h=7 -15-h -3 =0

h = 7/2 -18h =0

h =-18

23.- Supngase que una matriz de coeficientes de 3x5 para un sistema tiene tres

columnas pivote Es consistente el sistema? Por qu si o por qu no?

S. El sistema es consistente porque, con tres pivotes, debe haber un pivote en la tercera fi

la (la de abajo) de la matriz de coeficientes.

La forma escalonada reducida no puede contener una fi la de la forma [0 0 0 0 0 1].

24.- Supngase que un sistema de ecuaciones lineales tiene una matriz aumentada de

3x5 cuya quinta columna es una columna pivote.

Es consistente el sistema? Por qu si o por qu no?

[0 3 21 3 81 6 2

1 30 01 0

]No. Porque en la columna 2 no hay forma de poder realizar una entrada principal sim embargo se

puede realizar una entrada principal en la columna 1 intercambiando filas.

25.- Supngase que la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales tiene

una posicin pivote en cada fila. Explique por este sistema es consistente.


10/25

ALGEBRA MATRICIAL

Si la matriz de coeficientes tiene una posicin pivote en cada fi la, entonces hay una

posicin pivote en la fi la de abajo, y no hay lugar para un pivote en la columna

aumentada.

As que el sistema es consistente, de acuerdo con el teorema 2.

1. Suponga que una economa tiene solamente dos sectores: bienes yservicios. Cada ao, bienes vende el 80% de su produccin a servicios y sequeda con el resto, mientras que servicios vende un 70% de su produccin abienes y retiene el 30%.Para la produccin anual de los sectores de bienes y servicios, encuentreprecios de equilibrio que permitan que los ingresos de cada sectorequivalgan a sus gastos.

>> A=[20,-70;-80,30]

A =

20 -70

-80 30

>> B=[100;100]

B =

100

100

>> inv(A)

ans =

-0.0060 -0.0140


11/25

ALGEBRA MATRICIAL

-0.0160 -0.0040

>> C= inv(A)

C =

-0.0060 -0.0140

-0.0160 -0.0040

>> C*B

ans =

-2

-2

La solucin general esp Bienes= .875pServicios, conp Servicios libre. Una solucin de equilibrio esp Servicios=

1000 yp Bienes= 875. Usando fracciones, la solucin general puede escribirse comop Bienes= (7/8)p Servicios,

y una seleccinnatural de precios podra serp Servicios=

80 yp Bienes=

70.Slo es importante la razn de los precios. El equilibrio econmico no se ve afectado por un cambio

proporcional en los precios.

3.- Considere una economa con tres sectores: qumicos y metales, combustiblesy energa, y maquinaria. Qumicos vende el 30% de su produccin a combustibles,un 50% a maquinaria, y retiene el resto. Combustibles vende un 80% de suproduccin a qumicos, el 10% a maquinaria, y retiene el 10%. Maquinaria vendeel 40% a qumicos, el 40% a combustibles y conserva el resto.a. Construya la tabla de intercambio para esta economa.

b. Desarrolle un sistema de ecuaciones que conduzca a precios con los cuales losingresos de cada sector equivalgan a sus gastos. Luego escriba la matrizaumentada que pueda reducirse por fi las para encontrar dichos precios.c. [M] Encuentre un conjunto de precios de equilibrio cuando el precio para laproduccin de maquinaria es de 100 unidades.

>> A=[20,-80,-40;-30,10,-40;-50,-10,20]


12/25

ALGEBRA MATRICIAL

A =

20 -80 -40

-30 10 -40

-50 -10 20

>> B=[100;100;100]

B =

100

100

100

>> c=inv(A)

c =

0.0008 -0.0082 -0.0148

-0.0107 0.0066 -0.0082

-0.0033 -0.0172 0.0090

>> c*B

ans =


13/25

ALGEBRA MATRICIAL

-2.2131

-1.2295

-1.1475

5. El sulfato de boro reacciona de manera violenta con el agua para formar cido

brico y sulfato de hidrgeno gaseoso (el olor de los huevos podridos). La

ecuacin no balanceada es B2S3 + H2OH3BO3 + H2S

[Para cada compuesto, construya un vector que enliste el nmero de tomos deboro, hidrgeno y oxgeno.]

>> A=[2,0,-1,0,0;3,0,0,-1,0;0,2,-3,-2,0;0,1,-3,0,0]

A =

2 0 -1 0 0

3 0 0 -1 0

0 2 -3 -2 0

0 1 -3 0 0


14/25

ALGEBRA MATRICIAL

>> rref(A)

ans =

1.0000 0 0 -0.3333 0

0 1.0000 0 -2.0000 0

0 0 1.0000 -0.6667 0

0 0 0 0 0

B2S3 + 6H2O2H3BO3 + 3H2S

9. [M] Si es posible, use aritmtica exacta o formato racional para realizar losclculos necesarios y balancear la siguiente reaccin qumica:

PbN6 + CrMn2O8Pb3O4 + Cr2O3 + MnO2 + NO

>> A=[1,0,-3,0,0,0,0;6,0,0,0,0,-1,0;0,1,0,-2,0,0,0;0,1,0,0,1,0,0;0,8,-4,-3,-2,-1,0]

A =

1 0 -3 0 0 0 0

6 0 0 0 0 -1 0

0 1 0 -2 0 0 0

0 1 0 0 1 0 0

0 8 -4 -3 -2 -1 0

>> rref(A)

ans =


15/25

ALGEBRA MATRICIAL

1.0000 0 0 0 0 -0.1667 0

0 1.0000 0 0 0 -0.1438 0

0 0 1.0000 0 0 -0.0556 0

0 0 0 1.0000 0 -0.0719 0

0 0 0 0 1.0000 0.1438 0

[M] 15PbN6 + 44CrMn2O8 5Pb3O4 + 22Cr2O3 + 88MnO2 + 90NO

12. a. Encuentre el patrn de trfico general en la red de calles principales que se

muestra en la fi gura. (Las tasas de flujo se dan en automviles por minuto.)b. Describa el patrn de trfico general cuando se cierra el camino cuyo flujo es

x4.

c. Cuando x4 = 0, cul es el valor mnimo de x1?

A=[1,1,0,0,20;0,1,-1,-1,0;-1,-1,0,0,80]

A =

1 1 0 0 20

0 1 -1 -1 0

-1 -1 0 0 80


16/25

ALGEBRA MATRICIAL

>> rref(A)

ans =

1 0 1 1 0

0 1 -1 -1 0

0 0 0 0 1

14.A menudo, en Inglaterra las intersecciones se construyen en forma deglorieta con un solo sentido, como indica la figura. Suponga que el trfico debemoverse en la direccin mostrada. Encuentre la solucin general del flujo de la red

y el mnimo valor posible para x6.

>> A=[1,-1,0,0,0,0,100;0,1,-1,0,0,0,-50;0,0,1,-1,0,0,120;0,0,0,1,-1,0,-150;0,0,0,0,1,-1,80;,-

1,0,0,0,0,1,100]

A =

1 -1 0 0 0 0 100

0 1 -1 0 0 0 -50

0 0 1 -1 0 0 120

0 0 0 1 -1 0 -150


17/25

ALGEBRA MATRICIAL

0 0 0 0 1 -1 80

-1 0 0 0 0 1 100

>> rref(A)

ans =

1 0 0 0 0 -1 0

0 1 0 0 0 -1 0

0 0 1 0 0 -1 0

0 0 0 1 0 -1 0

0 0 0 0 1 -1 0

0 0 0 0 0 0 1

>> %Suponga que una economa solo tiene dos sectores: bienes y

%servicios. Cada ao, el sector de bienes vende el 80% de su produccin

%al de servicios y retiene el resto, mientras que el sector

%de servicios vende el 70% de su produccin al sector de bienes

%y conserva lo restante. Encuentre los precios de equilibrio para

%las producciones anuales de los sectores de bienes y servicios

%que permiten igualar el ingreso con el gasto de cada sector.%

>> A=[20,-70;-80,30]

A =


18/25

ALGEBRA MATRICIAL

20 -70

-80 30

>> B=[100;100]

B =

100

100

>> inv(A)

ans =

-0.0060 -0.0140

-0.0160 -0.0040

>> C= inv(A)

C =

-0.0060 -0.0140

-0.0160 -0.0040

>> C*B


19/25

ALGEBRA MATRICIAL

ans =

-2

-2

>> %Considere una economa con tres sectores: combustibles y energa,

%manufactura y servicios. Combustibles y energa vende el

%80% de su produccin a manufactura, el 10% a servicios, y retiene

%el resto. Manufactura vende el 10% de su produccin a

%combustibles y energa, el 80% a servicios, y conserva lo restante.

%Servicios vende el 20% a combustible y energa, el 40%

%a manufactura, y retiene el resto.

%a) Construya la tabla de intercambio para esta economa.

%b) Desarrolle un sistema de ecuaciones que permita determinar

%los precios con los cuales se igualen los ingresos y gastos

%de cada sector. Despus, escriba la matriz aumentada

%que puede reducirse por filas para obtener esos precios.

%c) [M] Encuentre un conjunto de precios de equilibrio cuando el

%precio para la produccin de servicios es de 100 unidades.%

>> A=[20,-80,-40;-30,10,-40;-50,-10,20]

A =

20 -80 -40

-30 10 -40

-50 -10 20


20/25

ALGEBRA MATRICIAL

>> B=[100;100;100]

B =

100

100

100

>> c=inv(A)

c =

0.0008 -0.0082 -0.0148

-0.0107 0.0066 -0.0082

-0.0033 -0.0172 0.0090

>> c*B

ans =

-2.2131

-1.2295

-1.1475

>> %El sulfhdrico de boro reacciona violentamente con agua para


21/25

ALGEBRA MATRICIAL

%formar cido brico y gas sulfhdrico de hidrgeno (que expide

%olor a huevo podrido). La ecuacin sin balancear es

%B2S3 H2O S H3BO3 H2S%

>> A=[2,0,-1,0,0;3,0,0,-1,0;0,2,-3,-2,0;0,1,-3,0,0]

A =

2 0 -1 0 0

3 0 0 -1 0

0 2 -3 -2 0

0 1 -3 0 0

>> rref(A)

ans =

1.0000 0 0 -0.3333 0

0 1.0000 0 -2.0000 0

0 0 1.0000 -0.6667 0

0 0 0 0 0


22/25

ALGEBRA MATRICIAL

>> %Si es posible, utilice aritmtica exacta o un formato racional

%para los clculos al balancear la siguiente reaccin qumica:

%PbN6 CrMn2O8 S Pb3O4 Cr2O3 MnO2 NO

>> A=[1,0,-3,0,0,0,0;6,0,0,0,0,-1,0;0,1,0,-2,0,0,0;0,1,0,0,1,0,0;0,8,-4,-3,-2,-1,0]

A =

1 0 -3 0 0 0 0

6 0 0 0 0 -1 0

0 1 0 -2 0 0 0

0 1 0 0 1 0 0

0 8 -4 -3 -2 -1 0

>> rref(A)

ans =

1.0000 0 0 0 0 -0.1667 0

0 1.0000 0 0 0 -0.1438 0

0 0 1.0000 0 0 -0.0556 0

0 0 0 1.0000 0 -0.0719 0

0 0 0 0 1.0000 0.1438 0

%Encuentre el patrn de flujo general de la red que se ilustra en la


23/25

ALGEBRA MATRICIAL

%figura. Suponiendo que todos los flujos son no negativos, cul

%es el valor ms pequeo posible para x4?

A=[1,1,0,0,20;0,1,-1,-1,0;-1,-1,0,0,80]

A =

1 1 0 0 20

0 1 -1 -1 0

-1 -1 0 0 80

>> rref(A)

ans =

1 0 1 1 0

0 1 -1 -1 0

0 0 0 0 1

>> %En Inglaterra las intersecciones con frecuencia se construyen

%como circuitos en forma de glorieta de un solo sentido, como el

%que se ilustra en la figura. Suponga que el trfico debe circular

%en los sentidos indicados. Encuentre la solucin general del flujo

%de red. Determine el valor ms pequeo posible para x6.

>> A=[1,-1,0,0,0,0,100;0,1,-1,0,0,0,-50;0,0,1,-1,0,0,120;0,0,0,1,-1,0,-150;0,0,0,0,1,-1,80;,-

1,0,0,0,0,1,100]


24/25

ALGEBRA MATRICIAL

A =

1 -1 0 0 0 0 100

0 1 -1 0 0 0 -50

0 0 1 -1 0 0 120

0 0 0 1 -1 0 -150

0 0 0 0 1 -1 80

-1 0 0 0 0 1 100

>> rref(A)

ans =

1 0 0 0 0 -1 0

0 1 0 0 0 -1 0

0 0 1 0 0 -1 0

0 0 0 1 0 -1 0

0 0 0 0 1 -1 0

0 0 0 0 0 0 1


25/25

ALGEBRA MATRICIAL

Lineal Matrices

Documents

Transcript of Lineal Matrices