INTRODUCCIN:

CONTENIDO DE LA ANTOLOGA

lgebra Lineal

Matrices

Compilador: Jess Ramn Casillas Reyes

Los Mochis, Sin., enero del 2003

INTRODUCCIN

En los ltimos aos, los modelos matemticos lineales han desempeado un papel muy importante en casi todas las ciencias fsicas y sociales, estimulndose as, el inters por el lgebra Lineal.

La ms reciente evolucin de las ciencias sociales, especialmente la economa, revela un intento de llegar a teoras mejor fundamentadas por las matemticas.

Frecuentemente, el mundo real puede representarse con suficiente exactitud por los as llamados Modelos Lineales, que son muy ventajados desde el punto de vista matemtico.

La facilidad de su manejo y la aproximacin suficientemente exacta del mundo real, son los factores que hacen de los modelos lineales, el instrumento ms popular y usual en las ciencias fsicas y sociales.

La intencin de este trabajo es la de presentar los fundamentos del lgebra lineal de la manera ms clara y sencilla posible.

No se dan demostraciones que hagan difcil el acceso a sta tcnica, haciendo, por el contrario, hincapi en sus aplicaciones.

Tampoco es necesaria la utilizacin de conocimientos del clculo diferencial e integral.

Este trabajo est dirigido al tema de matrices que facilita y simplifica la solucin de los problemas afines.

A travs de los temas: Reduccin Gaussiana, Gauss-Jordan y Solucin de Sistemas indeterminados preparan y dan opciones dirigidos a la aplicacin de mtodos especficos como la Programacin Lineal, con el cual es ms fcil su compresin.

El objetivo de este trabajo es el de facilitar al alumno, el contar con los lineamiento generales del curso, considerados como mnimos, que debern ser complementados con las notas especiales dadas por el maestro en clase y tratando de que el alumno cuente con la presentacin ordenada bsica del curso.

Una buena prctica que favorecer al alumno, ser la de resolver problemas de libros indicados en la bibliografa, para que se desarrolle la creatividad, elaboracin de alternativas y seleccin del mtodo de solucin, tan inapreciable en al vida productiva del futuro profesionista.

ALGEBRA LINEAL

Es una rama de las matemticas que maneja los modelos lineales.

Un modelo es una representacin o abstraccin de una situacin u objetos reales, que muestran las relaciones e interrelaciones de la accin y reaccin, en trminos de causa y efecto.

El modelo debe ser representativo de aquellos aspectos de al realidad que estn investigndose.

Los modelos sirven para descubrir cuales son las variables importantes o pertinentes.

Estos modelos conducen a ecuaciones inecuaciones lineales simultneas, que pueden tener forma:

a11 x1 + a12 x2 + a13 xn + . a1n xn = r1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + . a2n xn = r2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + .. a3n xn = r3 . .

. .

. .

an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + ... ann xn = rnEn donde aij, ri, son constantes conocidas, xj son las variables que debe satisfacer las ecuaciones anteriores.

Todos los modelos lineales tienes las propiedades de aditividad y homogeneidad.

ADITIVIDAD:

Si una variable X1 produce un efecto K1 cuando se usa sola y una variable X2 produce un efecto K2, entonces X1, X2 usadas juntas producirn un efecto K1 + K2, que es caracterstica de la linealidad.

HOMOGENEIDAD:

Implica que si una variable X1 produce un efecto C1 entonces para cualquier nmero real N, NX 1 producir un efecto NC1.

I MATRICES

Supongamos que en una facultad de Administracin, se desea conocer el nmero de alumnos que se asignaron a cada saln Audiovisual: A, B, C, D en los horarios de 7-9 Hrs, 9-11 Hrs, 11-13 Hrs.

Podramos hacer una tabla para presentar esta informacin, como sigue:

Saln Audiovisual

Horario A B C D

7 - 9 138 122 84 114

9 -11 111 82 99 132

11-13 121 117 130 97

Tratando de simplificar esta presentacin, podramos prescindir de los ttulos de los renglones y columnas, apareciendo, as:

138 122 84 114

111 82 99 132

121 117 130 97

Esta presentacin es sumamente sencilla y los nmeros conservan sus posiciones indicando as, las relaciones entre ellos.

De sta manera es posible manejar matemticamente, simplificando clculos y procedimientos.

Este arreglo se llama Matriz.

MATRIZ:

Una matriz es un conjunto de nmeros reales ordenados y dispuestos en M filas(Hileras o renglones) y N columnas:

Las lneas horizontales reciben el nombre de filas, renglones o hileras.

Las lneas verticales se llaman columnas.

Los renglones o filas de una matriz se numeran en forma consecutiva de arriba abajo y las columnas se numeran de izquierda a derecha.

Nuestra matriz anterior tiene 3 renglones y 4 columnas.

ORDEN DE UNA MATRIZ:

El orden tamao de una matriz se expresa mediante el nmero de renglones y el nmero de columnas, en ese orden, expresado MxN. El orden se expresa en la parte inferior de la matriz: 3x4.

De esta manera nuestra matriz anterior tiene un orden de 3x4 (/lase: 3 por 4), en donde el primer nmero siempre expresara el nmero de renglones y el segundo nmero, expresara el nmero de columnas.

ELEMENTOS DE UNA MATRIZ:

A los nmeros que constituyen la matriz se les llama elementos.

Para denotar a los elementos en una matriz existen dos mtodos:

a) Se usan letras diferentes

b) Se utilizan una sola letra, digamos a, junto con subndices dobles apropiados para sealar la posicin.

Para el elemento a (lase a sub uno-dos), el primer subndice 1, especifica el rengln, y el segundo, 2, especfica la columna en la que aparece dicho elemento.

En trminos generales, el smbolo aij denota el elemento del i-simo rengln y la j-sima columna.

A los elementos de una matriz puede considerarse como una estructura resumida de las expresiones matemticas dadas, con las que podemos operar matemticamente.

No debe confundirse el elemento aij con la matriz Aij.

Una matriz que tiene un rengln: (1 7 5 4) se llama matriz rengln y el que consta de una sola columna, se le denomina matriz columna 4 .

2

5

Notacin:

Para representar matrices en forma simblica, se usaran:

a) Letras maysculas.

b) Encerrar los elementos entre corchetes parntesis.

En cualquier caso indicar el orden de la matriz en la parte inferior.

Ejemplo:

a11 a12 3 4

A (m, n), A3x2 = a21 a22 , -2 7

a31 a32 5 6

3x2

VECTORES:

Se mencion que una matriz est compuesta de renglones y columnas a los cuales se les llama vectores, de donde:

Vector es un conjunto ordenado de nmeros, es decir, una sucesin escritos en una sola fila o columna.

De sa manera, una matriz es un conjunto de vectores con tantos vectores como columnas y renglones tenga la misma.

Cuando una matriz tenga solo rengln se llama vector rengln y tambin una matriz columna recibe el nombre de vector columna.

TIPOS DE MATRICES

a) Matriz Cuadrada.

Es aquella que consta del mismo nmero de filas que de columnas.

Como el orden de una matriz es MxN, en ste caso, M=N, Ejemplo:

En el caso de matrices cuadradas aparece una disposicin importante: las diagonales.

ds

6 3 8 En la matriz adjunta, los elementos 6, 2, 9, se encuentra en la diagonal 11 2 0 que va del ngulo superior izquierdo al ngulo inferior derecho y recibe

5 7 9 el nombre de diagonal principal.

dp

Los elementos 5, 2, 8 se encuentran en la diagonal que va del ngulo inferior izquierdo al ngulo superior derecho y se llama diagonal secundaria.

Las matrices de filas y columnas no iguales, no tienen diagonal principal ni diagonal secundaria.

b) Matriz Rectangular:

Es cuando el nmero de filas no coincide con el nmero de columnas, es decir, M ( N.

c) Matriz Diagonal:

Es una matriz cuadrada, cuyos elementos no ubicados en la diagonal principal son iguales a cero.

Ejemplo:

d) Matriz identidad:

Tambin se llama matriz unitaria, es la que tiene nulos todos sus componentes, menos los de la diagonal principal que son iguales a Uno.

Esta matriz se denota por la letra mayscula I .

Es una matriz muy importante. Se utiliza en espacios vectoriales, solucin de ecuaciones lineales, programacin lineal, cadenas de Markov, etc.

MATRIZ ESCALAR:

Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son todos iguales a un escalar, (un nmero cualquiera), es decir, son todos del mismo signo y del mismo valor absoluto.

MATRIZ NULA:

Es aquella en la que todos sus componentes son iguales a cero y se representan con la letra O.

No confundir la matriz O, con el nmero real cero.

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR:

Es la matriz en que todos los elementos bajo la diagonal principal son ceros, o sea aij= 0, si i>j.

Esta matriz es muy usada en resoluciones de sistemas de ecuaciones lineales, en evaluacin, determinante, modelos econmicos y planeacin intertemporal.

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR:

Es aquella que todos los elementos arriba de la diagonal principal son ceros, o sea, aij= 0, si i X1 = 14

2X2 -4 = -20 = > X2 = -8

Ejercicios: Resuelva:

a) 2 0 -3 2 -3 4 b) 3 -1 4 c) 1 2 + 5

-1 4 0 + -1 6 5 2 2 1 -1 3 4 6

1 -6 5 9 11 -2 0 0 2

1 -1 -6 9

2 0 2 6

d) 3 -6 -3 . 1 -2 e) -6 2 -6 7 1

4 9 4 5 7 1 6 -2

1 0 0 2 1 0 6 -2 1

f) 2 0 1 0 -3 1 -2 3 - -5 1 -2

0 0 1 1 0 0 0 1 3

Dadas las matrices

A= 2 1 B= -6 -5 C= -2 -1 O= 0 0

3 -3 2 -3 -3 3 0 0

Calcular:

g) -b, h) A+B-C, I) 3(A-C)+B, j) -(A-B), k) 3 (A+C)+6, l) 2B-3A+2C.

Exprese la ecuacin matricial:

m) X 2 - Y -3 = 2 8

1 5 11

Escriba en forma matricial los sistemas:

n) 3X+5Y=16 o) 4X+5Y=26 p) 5X-3Y=21

2X-6Y=-14 3X-Y=10 2X+3Y=21

Resuelva las siguientes ecuaciones matriciales.

q) 3 X -3 -2 = 4 6 r) 2 X -10

Y 4 -2 4 +2 Y = 24

6 4Z 14

s) El precio de los productos A, B, C estn dados en su orden por la matriz P= (1.40 2.75 4). Suponga que aumentaran los precios en 10%.

Para obtener los nuevos precios de matricial cual deber ser el escalar por el que hay que multiplicar la matriz para obtener los nuevos precios?

MULTIPLICACIONES DE MATRICES

Ilustremos antes sta operacin con un ejemplo sencillo.

Tenemos tres artculos A, B, C y se van a comprar las siguientes cantidades:

10 unidades de A, 5 unidades de B Y 7 unidades de C.

Los precios correspondientes son:

A: $10 por unidad, B: $12 por unidad y C $8 por unidad.

Se desea saber cual es el monto total de sta compra.

El resultado se obtiene multiplicando el nmero de unidades de cada artculo por el precio correspondiente. Hagamos una tabla de sta situacin:

ArtculoUnidadPrecio

UnitarioCosto por

Artculo:

A10X10=100El monto total

B5X12=60Queda expresado por

C7X8=56Un solo nmero: 216

Matricialmente lo podemos expresar como:

Unidades

10 5 7 . 10 A = 216 Que es exactamente el concepto de

A B C 12 B Monto multiplicacin de vector por vector.

8 C Total.

Observamos que se forman productos de parejas de elementos y sta ser la base que se debe satisfacer para poder ejecutar la multiplicacin.

Podemos representar la multiplicacin como:

10 5 7 10 = 10x10+5x12+7x8= 216

1x3 12 1x1

8

3x1

PRODUCTO DE UN VECTOR POR OTRO VECTOR

a) Antes, verificar que los vectores son conformables a la multiplicacin, es decir, que el nmero de columnas de la primera matriz, sea igual al nmero de renglones de columnas de la primera matriz, sea igual al nmero de renglones de la segunda matriz.

b) Se multiplica el primer elemento de vector rengln por el primer elemento del vector columna.

En seguida, el segundo elemento del vector rengln por el segundo vector del columna y as sucesivamente.

c) Se suman los productos anteriores para constituir el resultado.

CONFORMALIDAD A LA MULTIPLICACIN

Presentamos de nuevo la multiplicacin matricial del ejemplo anterior con el orden de cada vector.

10

105712=216

8

1x1

1(3=3)1orden de la nueva matriz

(n = P)1

Si son conformables

Ejemplos:

Los nmeros colocados en los extremos de los nmeros de orden de las matrices indicaran el orden de la nueva matriz m x q

1 x 1

Ejemplo: Multiplicar

7

8912 6 .9=8x7+9x9+12x15+6x3= 335

15

1x1

3

1x4

4x1

Conformables

Ejemplo: Multiplicar:

4

6 9-327 .5

3

1x5 3x1

MULTIPLICACIN DE MATRICES

Una matriz est formada por vectores rengln o vectores columnas. La matriz siguiente podemos visualizarla como sigue:

27-84

27-84

27-84

30-12=30-12 30-12

693-7

693-7

6937

Vector rengln

Vector columna

Por tanto, la multiplicacin de matrices seguir la misma regla y el procedimiento de multiplicar vectores.

Siempre se multiplicar un vector rengln por un vector columna.

El resultado se colocar en la intercepcin del rengln que se est multiplicando con la columna que se est multiplicando.

Ejemplo: Estamos multiplicando el tercer rengln, por la segunda columna. El resultado se colocar y ser del elemento a.

CONFORMABILIDAD DEL PRODUCTO DE MATRICES

Sigue las mismas reglas, es decir para que puedan multiplicarse deben ser iguales el nmero de columnas de las primera matriz con el nmero de las filas de la segunda matriz.

Ejemplo: Dadas las matrices, diga cuales matrices pueden multiplicarse y cuales no.

A =242B =24C =431

105

31

203

2x3

02

2x3

3x2

A y B si son conformables.

B y C si son conformables.

A y C no son conformables.

Que el alumno diga porqu

MULTIPLICACIN DE MATRICES

Siempre se multiplicar un vector rengln por un vector columna.

Sean R1, R2, R3, Los renglones de la matriz A

C1, C2, C3, Las columnas de las matrices B.

cij el elemento de la matriz resultado C.

R1 2 4

C1C2C3

C11C12C13A =R2 31 ,B =242, C =C21C22C23

R3 02

1053x3C3C32C33

3x2

2x3

As tenemos A x B = C

Primero multiplicamos: R1, x C1 = C11, luego R1 x C2 = C12 y por ltimo R1 x C3= C13.

242=R1 x C1=2 x 2-4x1=8 = C11 (elemento de C)

1

244=R1x C2 =2 x 4-4x 0= 8 = elemento C12 de C

0

242=R1 x C3 =2x2-4x5=24 elemento C13 de C

5

Siguiendo con este procedimiento obtenemos:

24

8824

A x B = 31242= C =71211

02105

2010

Para colocar el resultado de un vector rengln por un vector columna, se procede:

El vector rengln define el rengln del elemento resultante y el vector columna define la columna del vector resultante.

Ejemplo:

Vector rengln 2 x Vector columna 3 da el elemento C23 ilustremos grficamente la multiplicacin de vectores:

X C11

C12

A11A12

B11B12

A11 XB11 +A12X B21 A11XB12+A12XB22A21A22 xB21B22 = A21 XB11 +A22XB21 A21XB12+A22XB22

X C21

C22Ejercicios:

Ejecutar los productos de las siguientes matrices:

a) 2 3 . 4 7 2 b) 2 13 3 -1 -4

-4 5 5 -6 0 5 -41 . 9 5 2

0 72 -3 6 0

2

3

c) 2 -5 1

7 7 -9 d) 2 3 e) 2 42

4 7 0 .14 6 -3 -4 5

5 24

8 07

f) 2 1 0

2 1 2 g) -1 0 22 4

4 2 3 . 5 3 4 4 1 0 . 1 2

-4 0

h) 1 2 3 2 0 3

3 5 4

-1 0 5 . 3 1 4 i) -2 1 0 . 9 5 8

4 1 0 1 0 2

0 3 -1 12 6 7

Ilustremos con un ejemplo:

Un contratista de construccin ha aceptado pedidos por 5 casas de estilo ranchero, 7 casas de estilo campero y 12 casas de estilo colonial.

Los pedidos pueden representarse por el vector rengln:

Q =5712

1x3

Adems, se utilizan materias primas y laborales en cada tipo de edificacin como son: acero, madera, vidrio, pintura y mano de obra. La matriz R presenta el nmero de unidades de cada una de los materiales que se invierten en cada uno de os tipos de casas como sigue:

Acero

MaderaVidrio

PinturaM. Obra

Ranchero 5

20

16

7

17

R= Campero 7

18

12

9

21

Colonial 6

25

8

5

13

3x5

Adems estn los costos en los que habr de incurrir al comprar esos elementos. Supngase que el hacer cuesta $1,500 por unidad, la madera $800 por unidad y el vidrio, pintura y mano de obra $500, $100, $1000 por unidad, respectivamente.

Estos datos pueden representarse por la matriz:

Acero

1500

Madera 800

C = Vidrio

500

Pintura 100

M. Obra1000

5x1

Preguntas:

a) Cul ser el costo de cada tipo de casa?

b) Cul ser la cantidad necesaria de madera, acero, vidrio y mano de obra requeridos para ste pedidos?

c) Cul ser el costo total de construccin de estos tipos de modelos de casa?

Solucin:

a) El producto R x C nos dar el costo de cada tipo de casa como sigue:

1500

52016717

800

49200

RC= 71812921 x 500 = 52800

6258513

100

46500

3x5

5x1

3x1

As, el costo de materiales y mano de obra para la casa de estilo ranchero es $49,200; para la casa de tipo campero es $52,800; para la casa de tipo colonial es de $46,500.

b) La cantidad necesaria de: acero, madera, vidrio, pintura y mano de obra para todos los modelos estar dada pro Q x R , as:

5 20 16 7 17

QR= 5 7 12 . 7 18 12 9 21 = 146 526 260 158 388

6 25 8 5 13

As el contratista debe ordenar 146 unidades de acero, 526 unidades de madera, 260 unidades de vidrio, 158 unidades de pintura y 388 unidades de mano de obra.

c) El costo total de construccin de todos los tipos de casas estar dado por QRC o Q (RC), como sigue:

49200

Q RC = QRC = 5 7 12 . 52800 = 1,173,600

46500

De modo que el costo total de construccin ser de $1,173,600.

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIN DE MATRICES:

1.- A x B = B x A No es conmutativa

2.- A x B = C

Es cerrada

3.- (A x B) x C = A x (B x C) Asociativa, Guardando el orden

4.- 0 x A = 0 x A = 0 Por la matriz Cero.

5.- A x I = I x A = A

Por la matriz identidad

6.-A (B + C) = AB + AC

Distributiva izquierda

7.-(A + B) C = AC + BC Distributiva derecha.

1.- Es el producto de matrices no es conmutativo.Si se tiene las matrices: A m, n, B n, q, el producto de AB es de orden (M, Q).

Sin embargo no siempre se puede efectuar el producto B. A, porque en este orden de multiplicaciones, las matrices no son siempre conformables a la multiplicacin.

Ejemplo sean:

52

A = 234 B =43

-105 ,

60

2x3

3x2

Solucin:

8 15 20

AxB = 4613BxA= 5 12 31

2x2 25-23x3 12 18 24

3) Ley asociativa sean:

A = 24

B = 2 1

C= -1 1

2x2 31

2x23 1

2x2 0 1

a) Comprobar que: (AB) C = A (BC).

b) Con los datos del problema anterior, comprobar que:

A (B + C)=AB + AC distributiva izquierda.

4.- Si A = 312Demuestra que A .O = O

103

5.- Si A = 212Demuestra que:

123A. I = I. A = A en donde

435I es la matriz identidad

Ejercicios:

Efecte las operaciones sealadas:

1

a) 2 -4 . 3 0b) 2 03 .4c) 2 5 . x = 4

3 2 -1 4 -1 45 7 3 1 y -2

d) -3 7 .x =oe) 1 -4 .-2 1 f) 2

-1 6y1 0 5 3 . 2 3 -2 -8

1 2 -4

1

2

g) 3 -2 0 2 + 2 -1 0 2 . 1 2 2 1 5

3 -1 1 1 1 -2 3 4 h) 4 3 -2

5 6 6 8 4

2

i) 0 1 . 1 0 1 + 2 -4 8 j) 4 8

2 3 0 1 0 6 5 3 2 5

MATRIZ INVERSA O INVERSA DE UNA MATRIZ

En el conjunto de los nmeros reales, para todo nmero a = 0, existe un nmero b llamado inverso multiplicativo recproco, que:

a.b= I, as que: b=a-1 = 1/a

Por lo tanto: a.a-1=1

En el conjunto de las matrices. La divisin de una matriz entre otra, no est definida.

Sin embargo, se puede encontrar una matriz tal que el producto de est matriz por otra matriz sea igual a la matriz identidad.

Si A es una matriz cuadrada de orden nxn, en general, se puede encontrar una matriz B, de orden nxn, tal que:

AxB=BxA=1, As: B=A-1 y A-1.A=I

Ejemplo:

Sean A= 1 3 B= 1/7 -3/7

-2 1 2/7 1/7

Notas importantes:

a) No todas las matrices tienen inversa.

Para que una matriz admita una inversa, necesariamente debe ser cuadrada.

Sin embargo, hay matrices cuadradas que no tienen inversa.

Una matriz cuadrada que tiene inversa es una matriz regular, aquella que no tiene inversa, es una matriz singular.

Ejemplo:

La matriz nula 0 0 , no tiene inversa, por lo tanto, es singular.

0 0

Ejemplo:

Sea la matriz A= 2 1 , obtener la matriz inversa, si existe.

2x2 3 4

Solucin:

Por definicin: 2 1 . A-1=A-1 2 1 = 1 0

3 4 3 4 0 1

A fin de resolver a-1, sea:

A-1= a b sea: 2 1 . a b = 1 0

c d 3 4 c d 0 1

Desarrollando el miembro izquierdo, tenemos:

2a+c 2b+d = 1 0

3a+4c 3b+4d 0 1

Aplicaremos la definicin de igualdad de que dos matrices son iguales si son del mismo orden y sus elementos correspondientes son iguales, as:

a) 2a+c=1 Que resolveremos como un sistema de ecuaciones,

b) 2b+d=0 nos da:

c) 3a+4c=0 a=4/5, b=1/5(-), d=2/5, c= -3/5

d) 3b+4d=1

Por lo que, la matriz inversa sera: 4/5 -1/5

-3/5 2/5

Generalizando, desprendemos que una matriz tiene inversa ai su determinante es diferente de cero, es decir, dada: A = a b

c d

ds dpTendr inversa s ad-bc ( 0. al valor ad-bc se le llama determinante de la matriz y se representa por (delta).

El determinante de la matriz (A) es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

(A) = a b = a b = ad-bc

c d c d

El determinante se expresa encerrando los elementos entre barras, no corchetes.

Determinantes y matrices son cosas diferentes.

PROPIEDADES DE LAS MATRICES INVERSAS

a) El producto de una matriz por su inversa, es conmutativo A-1. A= A . A-1= I

b) Si una matriz A, tiene una inversa, esta matriz inversa es nica.

c) Si A-1 es la matriz inversa de A, A es a su vez la matriz inversa de A-1.

d) La inversa de un producto de matrices, es igual al producto de las matrices inversas en el orden contrario.

(A . B)-1 = B-1 . A-1

Se deja al alumno la comprobacin de estas propiedades de las matrices inversas.

MATRIZ INVERSA

MTODO DE GAUSS-JORDAN

Para invertir la matriz, A, es necesario encontrar la matriz A-1, de tal manera que: A . A-1 = A-1 . A = I

El mtodo de Gauss Jordan es interactivo y consta de los siguientes pasos:

2 3

Sea la matriz A =3 4

Se prepara una tabla de dos matrices. En la de la izquierda se coloca la matriz que se desea invertir y a la derecha, se coloca la matriz identidad.

2 3 10

3 4 01

2 3 10 1 0 -4 3

3 4 01 0 1 3 -2

Operaciones autorizadas:

a) Un rengln puede ser intercambiado por otro.

b) Un rengln puede multiplicarse o dividirse por un mismo nmero ( 0.

c) Un rengln R=1 puede multiplicarse por un numero y el resultado sumarse a otro, rengln R = 2 y el resultado de esta operacin quedar como R = 2 rengln.

Los elementos de la diagonal principal deben ser convertidos en 1 en su oportunidad.

Se comienza con el elemento A11, al cual se llamar elemento pivote, porque a travs de l se harn las operaciones necesarias para convertir en ceros los elementos de la columna en que est el elemento pivote.

Paso 1

R12310

R23401

R11x3/20

R23401

Paso 2

Con el elemento pivote a11=1, se multiplicar por (-3) todo el rengln R1 y a su vez se le sumar el rengln R2 cuyo resultado quedar como nuevo rengln R2.

Esta operacin se denota (-3) R1 + R2 = R2.

Se multiplicar por (-3) (inverso aditivo), para hacer cero el elemento a21 al sumarle el rengln R2.

Operaciones:

(-3)R1 => (-3) 131 0 = -3-9-3 0

22

22

+

Sumemosle el rengln R2= 3 4 0 1

Resultado = 0 -1 -3 1 R2

2 2

Nueva matriz equivalente:

R11310

22

R20-1-31

22

Paso 3

El nuevo elemento pivote es a22 = , que hay que convertirlo en uno.

Multipliquemos todo el rengln R2 por (-2) que es su inverso multiplicativo obteniendo:

R1 131 0

22

R2 01x3 -2

Con base en este nuevo pivote, hagamos cero, el elemento a12 = 3/2, a travs de las operaciones autorizadas de renglones para matrices.

Paso 4:

Multipliquemos el rengln R2, por el inverso aditivo del elemento a12 = 3/2 que queremos convertir en cero. Ese inverso aditivo es -3/2.

Operaciones: (-3/2) R2

(-3/2) x 013-2=0-3-96 =3

222

Sumesmole el rengln R1 = 1 3 1 0

2 2

Resultado nuevo rengln R1 = 1 0-4 3

La nueva matriz equivalente ser:

1 0 -4 3en donde-4 3 Es la matriz inversa que

0 1 3 -2

3 -2 buscamos.

A-1Aqu termina el proceso, porque la matriz original se convirti en matriz identidad.

De esa manera, la matriz identidad original, se convirti en la matriz inversa.

Comprobacin:

La nica forma de saber que nuestros clculos fueron correctos, es comprobando que A-1. A = I (conmutativa).

23-4 3 = 1 0 -4 3 . 2 3 = 1 0

24 3 -2 0 1 3 -2 34 0 1

Ejemplo:

3 6 9

Obtener la matriz inversa de : 1210 5

3 3 6

Solucin:

Se tendr elemento pivote de la primera columna, se hacen ceros todos los elementos de esa columna. Solo al terminar, se puede seguir con el elemento pivote de la segunda columna y as sucesivamente.

R1369100

R212105010

R3336001

R11231/300

R212105010

R3336001

R11231/300

R20-14-31-410

R30-3-3-101

R11231/300

R201 31/144/14-1/140

R30-3-3-101

R110-20-1020

144214

R201314-10

144214

R30051-2-31

141414

R112-10-510

7217

R201312-10

14714

R3001-2-314

515151

R1100-5120

211751

R2010191-31

511751

R3001-2-114

511751

Solucin si:

3 69Entonces:

-5120

A = 12 105

171751

3 36

A-1 =191-31

511751

-2-114

511751

Se deja al alumno la comprobacin: A . A = I

Ejercicios:

Obtenga la matriz inversa, por el mtodo de matriz adjunta.

a)6 1 b) 1 0 0 c) 11 1 d) 7 0 -2

5 1 0 -3 0 01 1 0 1 0

0 0 4 00 1 -3 0 1

2 1 0

1 2 3

e) 4 -1 5 f) 1 3 5

1 -1 2

1 5 12

Ejercicios:

Obtenga la matriz in versa por el mtodo de Gauss Jordan:

103

1-23

10-1

a)A = 011b)21-3c)210

3010

-112

-13-1

012

210

3-12

d)

-310e)321f)121

222

-120

-213

1-122

1 2 -2 1

g)

21-1-3h)2 -1 2 -1

3-11-2

3 2 -1 3

-12-33

4 -3 2 -1

RESOLUCIN DE ECUACIONES

Ahora ya estamos en posicin de resolver un sistema de ecuaciones lineales de dos incognitas.

Sea:

X1 + 2x2 = 0

4x1 + 9x2 = 1

El sistema puede expresarse en forma de ecuacin matricial, como: AX = C, en donde A es la matriz de coeficiente del sistema.

12x1= 0 Puesto que AX=C, entonces; A-1. A . X = A-1C,

49x2 1 o sea: X=A-1 .C

Si llamamos A = 1 2 entonces A-1 = 9 -2

4 9

-4 1

De esa manera:

X= X1=A-1. C = 9 -20 = -2

x1 = -2

X2

-4 11 1

x2 = 1

Ms adelante viene una seccin de resolucin de ecuaciones en que trataremos ms ampliamente este tema:

Ejercicios:

a) x-2x =1

b) x-2y+z=0

c) 8x-7y+12z=45

4x-2y+x-=2 2x+y+2z=10 4x+3y-4z=-1

x+2x-10x=-1

3x-y+3z=10 5x+2y+3z=21

Problemas:

1. Un corredor de bolsa vendi a un cliente 200 acciones de la empresa A, 300 acciones de la empresa B, 500 acciones de la empresa C y 250 acciones de la empresa D.

Los preciso pro accin de A, B, C y D son$100, $150, $200 y $300 respectivamente.

Elabore una matriz rengln que represente el nmero de acciones que el cliente compr, de cada una de las empresas.

Presente una matriz columna que indique el precio por accin por cada una de ellas.

Utilice la multiplicacin de matrices, para obtener el costo total de las acciones.

2. Un fabricante elabora dos articulos: sillas y escritorios. Desea fabricar 12 sillas y 20 escritorios.

La fabricacin de sillas requiere por pieza, 12 tantos de madera, bote de barniz y 6 horas hombre.

Los escritorios requieren, tambin por pieza, 25 tantos de madera, 2 botes de barniz y 20 horas hombre.

Los costos de cada requerimiento son: Madera $6 cada tanto; Barniz $18 cada bote; 1 hora hombre $15.

a) Cual es el costo total de la elaboracin de 12 sillas y 20 escritorios.

b) Cual es el requerimiento de madera, barniz y manos de obra para la produccin mencionada.

3. Una persona compra en una tienda los siguientes productos: 2 camisas, 3 pantalones, 2 corbatas y 1 abrigo.

Los precios unitarios son los siguientes: camisa $80; pantalones $100; corbatas $40; abrigo $400.

Cunto debe pagar dicha persona por el total de camisas, pantalones, corbatas y abrigos?

4. Suponga que compra 2 plumas a 2 dolares cada una, 4 libros de textos, que cuestan 6 dolares cada uno y 3 cuadernos a 3 dolares cada uno. Utilice la multi`licacin de matrices a fin de determinar el costo total de esos articulos.

5. Suponga que tieneun amigo que desea adquirir unapluma, 3 libros de texto y 4 cuadernos.

Su ponga adems, que tanto su amigo como usted desean recorrer las tiendas A, B y C en busca de esos articulos.

Los precios de los articulos sitados en las tres tiendas se dan en la tabla que siguen:

Tienda A

Tienda B

Tienda C

Plumas

Libros de Texto

Cuadernos de notas$2

$6

$3$3

$8

$2$2

$7

$2

Aplique la multiplicacin de matrices para determinar el costo total de los 3 artculos de cada tienda.

6. Un fabricante de aparatos de TV desea calcular el nmero de bulbos y bocinas necesarias para la produccin de los modelos A, B y C, para bulbos, el modelo A requiere 13, 18 el tipo B y 20 el tipo C.

Para bocinas el tipo A requiere 2, 3 el B y 4 el C. Para el modelo A, piensa producir, 120 unidades en enero y 60 en febrero para el modelo C, necesita 100 unidades en enero y 90 en febrero, Cules sern las necesidades del producto?

METODOS DE SOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES n INCOGNITAS

Ejercicio:

Calcular el valor de las variables x1, x2, x3, del sistema de ecuaciones siguientes:

2X1+ X3=7

X1+ X2+2X3=7

X1+2X2 =7

Solucin:

Ponindolo en ecuacin matricial AX=C, tenemos:

2 0 1x1 7 Llamemos A, a la matriz de

1 1 2 .x2 = 7 coeficientes:

1 2 0X3 7 2 0 1

A= 1 1 2

1 2 0

Obteniendo A-1 por cualquier mtodo tenemos:

4/7-271/7

A = -2/71/73/7

Por tanto:

-1/74/7-27

X1

4/7-2/71/7 7 2

X2=-2/71/73/7 . 7 =3As: X1 = 2, X2 = 3, X3 =1

X3

-1/74/7-2/7 7 1

Ejercicios:

Calcular el valor de las variables x, y, z del sistema ecuaciones:

2x - 4y+ z = 2

-x +3y- 2z =-5

3x- 4y+ 2z = 9

Solucin:

2 -41x2

-1 3 -2y-5 Si A es la matriz de coeficientes entonces:

3 -42z9

-2/7-4/75/7

A-1 =-4/71/73/7 Por tanto:

-5/7-4/72/7

x-2/7-4/75/7 2 3

x = 3

y =-4/71/73/7 . -5 = 2

y = 2

z-5/7-4/72/7 9 4

z = 4

Ejercicio:

Resolver para x, y, z de: x+2y-3z=0

2x-y+z=4

3x+2y+z=12

Solucin:

12-3x 0

3/22 4/11 1/22

2-11 y = 4 As A-1 =-1/22 -5/11 7/22

321z 12

-7/22 -2/11 5/22

x 3/22 4/11 1/22 0 2

y = -1/22 -5/11 7/22 . 4 = 2

z-7/22 -2/11 5/22 12 2

As: X=2 , Y= 2, Z= 2.

MTODO USADO MATRIZ AUMENTADA

Si la matriz de coeficientes, se le agregara un vector columna correspondiente a los trminos constante del sistema de ecuaciones eso constituye una matriz aumentada.

Ejemplo:

Del sistema de ecuaciones:

3x+ y =17

Matriz de Matriz

2x+3 y =23Coeficientes

Aumentada

3 1 31 17

2 3

23 23

El mtodo de solucin por este mtodo, consiste en convertir la matriz de coeficientes, en matriz de identidad.

Las operaciones de renglones efectuadas para conseguirlo, convierten al vector columna de trminos constantes en el vector columna solucin.

Esquemas del mtodo:

3117

1 0 4

Por tanto: x= 4, y=5

2323

0 1 5

Solucin:

Operaciones:E1

3117

E1 (1/3) -> E1

E2

2323

E1 Ser nuestro rengln pivote

E1

11/317/3

E1 (-2) + E2 -> E2

E2

2323

E1

11/317/3

E2 (3/7) -> E2

E2

07/335/3

E2 Ser ahora nuestro rengln pivote

E1

11/317/3

Ahora: E2 (-1/3) + E1 - > E1

E2

015

E1

104

As X = 4

E2

015

Y = 5

Ejemplo: Resolver el sistema de ecuaciones por el mtodo de matriz aumentada:

x + y + 2z=6

2x-y + z = 10

3x-2y + 2z =14

Solucin:

Operaciones:

1 1 -2 6 E1 E1 (-2) + E2 -> E2 2 -1 1 10 E2 E1 (-3) + E3 -> E3 3 -2 2 14 E3

1 1 -2 6 E1

0 -3 5 -2 E2 0 -5 8 -4 E3 E2 (-1) + E1 -> E1 E2 (5) + E3 -> E3

1 0 -1/3 16/3 E1 0 1 -5/3 2/3 E2 0 0 -1/3 -2/3 E3

1 0 0 6 E1 E3 (5/3) + E2 -> E2 0 1 0 4 E2 E3 (1/3) + E1 -> E1 0 0 1 2 E3Por tanto, X=6, Y=4, Z=2.

Ejercicios: resolver por los mtodos: Matriz inversa, Matriz aumentada, los sistemas de ecuaciones siguientes:

a) X-2Y+3Z=4 b) X+2Y+3Z=14 c) 2X-Y=8

2X+Y-3Z=5 2X+3Y-Z=5 -3X+2Y=-11

-X+Y+2Z=3 3X-2Y+Z=2

d) 2X-Y=-2 e) 2X-Y=-4 f) 2X-Y=-2

-3X+2Y=6 4X-Y=-4 2X-Y=6

g) 2X+3Y-Z=4 h) 2X+Y+Z=0 i) 2X-Y=4

X+2Y+Z=7 4X+3Y+2Z=2 3X+Y=5

2X-4Y+Z=3 2X-Y-3Z=0

J) 2X-3Y+Z=-2 k) X+Y+Z=6

X-6Y+3Z=-2 X-Y+Z=2

3X+3Y-2Z=2 2X-Y+3Z=6

Resolucin de Sistemas indeterminados de ecuaciones lineales.

Un sistema de ecuaciones lineales indeterminado es el que tiene ms incgnitas que ecuaciones.

Ejemplo:

2x + y z = 1

5x - 2y + z = 4

La expresin matricial es:

2 1 -1 x 1 Solucin:

5 -2 1 y = 4 Se puede resolver este sistema aplicando

z el mtodo de matriz aumentada con

Gauss-Jordan:

Transformaremos la matriz de coeficientes de las incgnitas x, y, en la matriz identidad. (recordar que debemos manejar matrices cuadradas).

R12 1 -1 1 Operaciones:

R25 -2 1 4 R1 (1/2) ( R1

R11 1/2 -1/2 1/2 R1 (-5) + R2 ( R2

R25 -2 1 4

R11 1/2 -1/2 1/2 R2 (-2 / 9) ( R2

R20 -9/2 7/2 3/2

R11 1/2 -1/2 1/2 R2 (-1/2 ) + R1 ( R1

R20 1 -7/9 -3/9

1 0 -2/18 4/6 Transformando ste ltimo sistema matricial

0 1 -7/9 -3/9 en un sistema de ecuaciones tenemos:

X - 2/18 z = 4/6 de donde: X = 2/18 z + 4/6

Y 7/9 z = -3/9 Y = 7/9 z 3/9

Como puede verse, las variables X, Y; estn expresadas en funcin de la variable Z, o sea, que los valores de X, y; dependern de los valores que adquiera Z, y habr tantos valores para X, y como valores asignemos a Z.

Podemos tomar como variable independiente a cualquiera de las del sistema, teniendo como cuidado especial de que la variable seleccionada como independiente, se encuentre en la ltima columna de coeficientes de las variables de la matriz aumentada.

El mtodo trabaja fundamentalmente en una matriz cuadrada. Por tanto el primer paso para resolver un sistema indeterminado es seleccionar tantas variables como ecuaciones compongan al sistema.

Las variables cuyos coeficientes sern convertidos en matriz identidad, se llaman variables bsicas.

Ejemplo:

Resuelva el sistema siguiente, considerando a W como variable independiente y X, Y, Z, variables bsicas.

x 2y + 4z + w = 3

2x + y 3z + 2w = 7

-3x + y + z 2w = -2

Solucin:

Pasando a forma matricial, tenemos:

R1 1 -2 4 1 3 Operaciones:

R2 2 1 -3 2 7 R1 (-2 ) + R2 ( R2

R3-3 1 1 -2 -2 R1 ( 3 ) + R3 ( R3

R11 -2 4 1 3

R20 1 -11 0 1 R2 (1/5) ( R2

R30 -5 13 1 7

R1 1 2 4 1 3 R2 (2) + R1 ( R1

R2 0 1 -11/5 0 1/5 R2 (5) + + R3 ( R3

R3 0 -5 13 1 7

R11 0 -2/5 1 17/5

R20 1 11/5 0 1/5 R3 (1/2) ( R3

R30 0 2 1 8

R11 0 -2/5 1 17/5

R20 1 11/5 0 1/5 R3 (2/5) + R1 ( R1

R30 0 1 4 R3 (11/5) + R2 ( R2

1 0 0 6/5 5 Escribiendo esta matriz en

0 1 0 11/10 9 forma de sistema de

0 0 1 1/2 4 ecuaciones, tenemos:

X + 6/5 W = 5 de donde: X = 5 6/5 W

Y + 11/10W = 9 Y = 9 11/10 W

Z + W = 4 Z = 4 W

Otra fuente de sistemas indeterminados son aquellos de restricciones lineales expresadas como desigualdades, ejemplo:

3x + 2y < 30 6x + y < 40

Esto indica que el primer miembro es menor que el segundo miembro.

Nosotros podemos agregar una variable S, al primer miembro de la primera desigualdad, convirtindola en igualdad. De esa manera, tenemos:

3x + 2y + S1 = 30

6x + y + S2 = 40

Solucin:

Pasemos a forma matricial, teniendo:

Cuya solucin, aplicando

3 2 1 0 30 el mismo tipo de operaciones

6 1 0 1 40 con renglones, tenemos:

x y S1 S2

1 0 -1/9 2/9 50/9 Que escribiendo sta matriz

0 1 2/3 - 1/3 20/3 en forma de sistema de

ecuaciones tenemos:

x 1/9 S1 + 2/9 S2 = 50/9

y + 2/3 S1 1/3 S2 = 20/3

x = 50/9 + 1/9 S1 2/9 S2

y = 20/3 2/3 S1 + 1/3 S2

Este tipo de ecuaciones y operaciones, tienen aplicacin en programacin lineal en mtodo simplex.

Ejercicios:

Resuelva los sistemas indeterminados siguientes:

a) 2x + 4y 3z = 2 b) 3x + 2y z = 9

3x 2y + z = 6 4x - y + z = 2

c) 2x + y z = 1 d) x 2y + 4z + w = 3

5x 2y + z = 4 2x + y 3z + 2w = 7

-3x + y + z 2w = -2

e) 3x + 2y - z = 8 f) 2x 2y + 3z = 24

4x - y + 2z = 12 4x + y + z = 20

Resolucin De Sistemas De Ecuaciones Lineales Homogneas

Se llama homogneo, a un sistema de ecuaciones lineales cuyos trminos independientes son nulos.

Un ejemplo de este disco es el siguiente:

3x + 2y 6z = 0

x 4y + 5z = 0

En donde se observa que los trminos independientes son nulos. Una solucin evidente para este sistema, es:

X = 0, y = 0, z = 0

Esta recibe, en particular, el nombre de solucin trivial, aunque por lo general, en situaciones practicas no es de utilidad.

La nica forma de evitar las soluciones triviales, es haciendo depender los valores de alguna de las variables del sistema, de una o mas variable de ese mismo sistema.

El ejemplo anterior, puede escribirse como:

3x 4y = 6z Que expresada en su forma de

x 4y = 5z matriz ampliada, seria:

R13 2 6z Resolvemos este sistema, convirtiendo la

R21 -4 -5z matriz de coeficientes en matriz

identidad.

R11 -4 -5z

R23 2 6z R2 ( R1, intercambiando renglones:

R11 -4 -5z R2 (-3) + R2 ( R2

R20 14 21z R2 (1/14) ( R2

R11 -4 -5z Por ltimo, R2 (4) + R1 ( R1

R20 1 3/2z

R11 0 z Que escribiendo esta estructura en su equivalente

R20 1 3/2z sistema de ecuaciones, tenemos:

X = z, y = 3/2 z

De esta manera, si z = 1, entonces: x = 1, y =3/2, es decir, la solucin depende del valor de z.

Ejercicios:

Resuelva los siguientes sistemas lineales homogneos:

a) 2x + y + 4z 5w = 0 Recomendacin:

5x 2y 3z + 5w = 0 Utilice slo tres de estas

x + 2y + z + w = 0 ecuaciones y resuelva.

-3x - 5y - z 2w = 0

b) 2x + 4y 3z = 0 c) 3x + 2y - z = 0

3x 2y + z = 0 4x - y + z = 0

c) 4x + 2y + 6z 22w = 0 e) 2x + y - z = 0

2x + 3y + z - w = 0 5x 2y + z = 0

6x + 2y + 5z 28w = 0

f) x 2y + 4z + w = 0 g) 3x + 2y - z = 0

2x + y 3z + 2w = 0 4x - y + 2z = 0

-3x + y + z 2w = 0

h) 2x 2y + 3z = 0

4x + y + z = 0

Anlisis de EntradaSalida de Leontief Anlisis de Insumo-Producto

Las matrices de insumo-produccin desarrolladas por Leontief, indican las interrelaciones de oferta y demanda que existe entre los diversos factores de una economa durante cierto periodo.

Las matrices muestran los valores de la produccin de cada industria que se vende como insumo a cada una de las industrias de la economa y para uso final por parte de los consumidores.

Ejemplo:

Consumidores (insumos)

Fabricantes (produccin) Indus- Indus- Demanda

Tria A tria B Final Total

Industria A 240 500 460 1200

Industria B 360 200 940 1500

Otros factores de

produccin 600 800

total 1200 1500

Cada una de las industrias aparece en un rengln y en una columna. En el rengln se muestran las compras que cada industria hace en la produccin de otra y las compras que hacen los consumidores para uso final.

Por ejemplo, del total de 1200 unidades de la industria A; 240 unidades sirvieron de insumo para la misma industria A (para uso interno), 500pasaron a la industria B y 460 llegaron en forma directa al sector de demanda final. La produccin total de A es la suma de estos tres conceptos.

Las columnas indican las adquisiciones que cada industria obtuvo de cada una de las otras y tambin lo que invirti en otros costos.

Por ejemplo:

Con el objeto de fabricar 1200 unidades la industria A adquiri 240 unidades de su propia produccin, 360 unidades de la produccin de B, que ocurri en otros costos, como mano de obra, por 600 unidades.

Observe que para cada industria, la suma de las anotaciones en su rengln, son iguales a la suma de las anotaciones de su columna.

El anlisis de Insumo-producto permite estimar la produccin total de cada sector industrial si existe un cambio en la demanda final, considerando que la estructura basca de la economa permanece igual.

Ejemplo:

La industria A produce 1200 unidades, la industria A adquiere 240 de sus propias unidades, 360 unidades de la industria B, invirti 600 unidades en otros costos. As por cada unidad producida de A, la industria A invierte 240/1200 igual a 1/5 = 0.2 en si misma, 360/1200 = 0.30 en B y 600/1200 = 0.50 en otros costos.

Combinando estas proporciones fijas de la industria A con las de la industria B, se pueden obtener los requisitos de insumo, por unidad de produccin para cada industria.

A B

A B

A 240 500 1 1 A

1200 1500

5 3

B 360 200 3 2 B

1200 1500

10 15

OTROS 600 800 1 8 OTROS

1200 1500

2 15

Los elementos de la matriz se llaman coeficientes de insumo-produccin. La suma de cada columna debe dar uno.

Ahora supngase, que el valor final de la demanda cambia de 460 a500 para la industria A , de 940 a 1200 para la industria B.

Se desea estimar el valor de la produccin total que deben producir A , B para que ambas industrias y la demanda final satisfagan esta meta, suponiendo que la estructura de la matriz precedente permanece igual.

Solucin:

Sean XA, XB, los nuevos valores de las producciones totales de las industrias A, B respectivamente, por tanto:

Valor total Valor de lo Valor de Valor de lo

de la produccin = consumido + consumido + consumido por

de A por A por B la demanda final

XA = 1/5 XA + 1/3 XB + 500

XB = 3/10 XA + 2/15 XB + 1200

En notacin matricial tenemos:

XA 1/5 1/3 XA + 500

XB 3/10 2/15 XB 1200

Sean:

X = XA , A = 1/5 1/3 , C = 500

XB 3/10 2/15 1200

Matriz de Matriz de Matriz de

Produccin coeficientes demanda final

Por tanto:

X AX + C ( ( I A ) X = C

Multiplicando ambos miembros por (I A)-1

Se tiene:

X = (I-A)-1 C

A la matriz (I-A) se le llama matriz de Leontief.

(I-A) = 1 0 1/5 1/3 1/5 -1/3

0 1 3/10 2/15 -3/10 13/15

Por tanto:

130/89 50/89

(I-A)-1 = 45/89 120/89

En consecuencia, la matriz de produccin es:

130/89 50/89 500 = 1404.49

X = (I-A)-1 C = 45/89 120/89 1200 1870.79

As, la industria A debe fabricar 1404.49 unidades y la industria B debe fabricar 1870.79 unidades.

Ejemplo:

Dada la matriz de insumo-produccin anexa, supngase que la demanda final cambia a 77 para A, a 154 para B y 231 para C.

Determinar la matriz de produccin para la economa. (Las anotaciones estn en millones de unidades monetarias).

Industria Demanda

A B C Final

Industria

A 240 180 144 36

B 120 36 48 156

C 120 72 48 240

OTROS 120 72 240

Totales: 600 360 480

La matriz expresada en porcentajes, es:

240/600 180/360 144/480 2/5 3/10

A =120/600 36/360 48/480 = 1/5 1/10 1/10

120/600 72/360 48/480 1/5 1/5 1/10

3/5 -1/2 -3/10 395/154 255/154 80/77

(I-A)= -1/5 9/10 -1/10 (I-A)-1 = 50/77 120/77 30/77

-1/5 -1/5 9/10 5/7 5/7 10/7

Donde la matriz de produccin es :

X = (I-A)-1 C

395/154 355/154 80/77 77 692.5

x = 50/77 120/77 30/77 154 = 380

5/7 5/7 7/10 231 495

La industria A debe producir 692.5 unidades, 380 la industria B y 495 unidades la industria C.

Ejercicios:

1.- Dada la matriz de insumo-produccin anexa, determine la matriz de produccin si la demanda final cambia de 600 para A, y a 805 para B. Obtenga el valor total de los otros costos de produccin que ello implica:

Industria Demanda Final

A B

A 200 500 500

B 400 200 900

OTROS 600 800

2.- Dada la matriz de insumo-produccin anexa, determine 1 matriz de produccin si la demanda final cambia a 200 para A, 300 para B.

b)Tambin haga el calculo para 64 para A y 64 para B.

Industria

Industria A B Demanda Final

A 200 500 500

B 400 200 900

OTROS 600 800

3.- Dada la matriz de insumo-produccin que aparece anexa, encuentre la matriz de produccin si la demanda final cambia a:

a) 50 para A, 40 para B y 30 para C.

b) 10 para A, 10 para B y 24 para C.

Industrias

Industrias Demanda final

A B C

A 18 30 45 15

B 27 30 60 3

C 54 40 60 26

OTROS 9 20 15

4.- Dada la matriz de insumo-produccin que aparece anexa, obtenga la matriz de produccin si la demanda final cambia a 300 A, 200 para B y 400 para C.

Industrias

Industrias A B C Demanda final

A 100 400 240 260

B 100 80 480 140

C 300 160 240 500

OTROS 500 160 240 -

Desigualdades Lineales

Definicin:

Una desigualdad es un planteamiento que establece que dos expresiones algebraicas o numricas, no son iguales.

Se representan por medio de smbolos de desigualdad.

< menor que < menor o igual que

> mayor que > mayor o igual que

Ejemplo:

2x 3 > 9 , 2x + 2 < 3x 2 , x + 5 < 2x 3

7 2

La resolucin de desigualdad es sencilla y prcticamente es casi igual que resolver igualdades a excepcin de cuando se multiplican o dividen ambos miembros por un nmero negativo.

Las reglas para resolver desigualdades, son:

1) Si se suma o se resta un mismo nmero en ambos lados de la desigualdad, el sentido de la desigualdad resultante es el mismo que el de la desigualdad original.

Si a < b , entonces: a+c < b+c , a c < bc

2) Si se multiplica o se dividen ambos lados de una desigualdad por el mismo nmero positivo, la desigualdad resultante tiene el mismo sentido que la desigualdad original.

Si a < b , c > 0 (positivo), entonces ac < bc

(a/c) < (b/c)

Ejemplo:

30 , entonces: 3x2 < 7x2

(3/2) < (7/2)

3) Si se multiplican o se dividen ambos lados de una desigualdad por el mismo nmero negativo, entones la desigualdad resultante tendr un sentido opuesto que el de la desigualdad original.

Si a < b , c < 0 (negativo), entonces ac > bc

(a/c) > (b/c)

Ejemplo:

4 7 (2)

8 > 14

4) Se puede reemplazar cualquier lado de una desigualdad por una expresin equivalente.

Si a bEjemplo:9>4 , por tanto: 92 > 42 , 9 > 4 El resultado de aplicar las reglas 1 a 4 a una desigualdad, se le llama desigualdad equivalente.Intervalo AbiertoEs el conjunto de todos los nmeros reales, tales que a x < 4 (x3) ==> (x-3) x < 4x 12 x < x . 0 < 3x 12+12 + 12 . +12 < 3x12/3 x>4, adems de x3>0, que supusimos y que nos da x>3 => x>3 b) ahora sea x3 x 4 (x3) Se invierte el sentido de la desigualdad por multiplicar la (x3) desigualdad por un nmero negativo.x > 4 (x3) ==> x > 4x 3 x > 4x 12 x x . 0 > 3x 12+12 +12 12 > 3x Dividiendo ambos miembros entre 3. 12 > 3x ==> 4 > x , por tanto x< 4 y x 4 , X > 3 , por tanto X > 4 b) X < 4 , X < 3 , por tanto X < 3Se da X>4 porque es la solucin que satisface a los dos requerimientos X > 4 , X > 3Interpretacin grfica: Solucin total 23 45Ejercicios:Resolver para x.a) 3x 2 0 2q 60,000 > 0 + 60,000 + 60,000 2q + 0 + 60,000 , Dividiendo entre 2. 2q > 60,000 = = > q > 30,0002 2Por tanto, se deben vender cuanto menos 30,001 termostatos para que la compaa obtenga utilidades.2.- Un debe decidir si ha de rentar o comprar una mquina escavadora, si la rentar tendra que pagar $600 dlares al mes ( sobre una base anual ) y el costo diario (gasolina, aceites y el conductor) seria de $60 por cada da que se utilizara.Si la comprar, su costo fijo anual seria de $4,000 y los costos diarios de operacin y mantenimiento seria de $80 por da. Cual es el nmero mnimo de das al ao, que tendra que utilizar la mquina para justificar el rentarla en vez de comprarla?.Solucin:Sea d, en nmero de das que se utiliza la mquina al ao.Renta:Costo de renta = ( $600 ) x 12 meses/ao = $7200/ao.Costo de operacin = ( $60) . d = 60 dCosto total de renta/ao = 7200 + 60 d.Compra:Costo fijo anual = $4000Costo de operacin ( $80 ) . d = 80 d.7200 + 60 d < 4000 + 80 d- 60 d - 60 d7200 < 4000 + 20 d -4000 - 40003200 < 20 d3200 < 20 d 160 < d 20 20Por tanto: d > 160Quiere decir, que el constructor debe rentar la mquina, por lo menos 161 das al ao para que sea ms barato rentarla que comprarla.Ejercicios para practica y resolucin por el alumno, acudir a:Matemticas para administracin y economa.Ernest F. Halussler Jr../Richard Paul.Grupo Editorial Iberoamrica. Pgina 67.Desigualdades lineales con 2 variables Cuando manejamos desigualdades lineales o de una sola incgnita, representamos sus soluciones en forma geomtrica, mediante intervalos sobre la recta numrica.Ahora al manejar dos variables lineales la representacin geomtrica deber hacerse en el plano cartesiano.Veamos un ejemplo:Un consumidor tiene ingresos fijos de $60 semanales y los utiliza totalmente para adquirir el producto A que cuesta $2/kg. Y el producto B que cuesta $ 3kg.Sean: x: Nmero de kg del producto A comprados semanalmente. Y: Nmero de kg del producto B comprados semanalmente.Por tanto la relacin de compra, est dado por:2x + 3y = 60, adems : x > 0 y > 0 y40 -- 30 -- 2x+3y = 60Todos sabemos. Que la grfica (x,y>0)de una ecuacin lineal de dos20 -- variables, es una recta, como P(x,y) como se muestra en la grfica10 -- (15,10)adjunta. x0 10 20 30 40 Recordemos que la grfica de 2x + 3y = 60, es el lugar geomtrico de todos los puntos regulad0os por la ecuacin mencionada, es decir, suponga que x = 20, entonces 2x = 40, por lo que nos quedara que 3y debe ser igual a 20.2x + 3y = 60, 2 (20) + 3y = 60 40 + 3y = 60 -40 -40 3y = 20As 3y = 20 3 3Por tanto: y = 20 3Supongamos ahora que el consumidor no desea invertir necesariamente la totalidad de sus ingresos.Esto se puede indicar, estableciendo una desigualdad, como sigue:2x + 3y < 60, x, y > 0.La solucin de esta desigualdad lineal en x, y consiste en todos los puntos del plano cartesiano cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad.Mtodo :Tomaremos como base nuestra desigualdad 2x + 3y < 60 para ilustrar el procedimiento.1.- Convirtase la desigualdad en igualdad y trcese la grfica correspondiente a:2x + 3y = 0a) El mtodo ms fcil de trazar la grfica de 2x + 3y = 60, es localizar los puntos de la misma.Para esto se toma x = 0, calculando la y correspondiente, luego se hace la y = 0, calculando la x correspondientes. (Intersecciones con los ejes). 2x + 3y =60 si x = 0, 3y = 60 = = > y = 20 as p (x = 0, y = 0) si y = 0, 2x = 60 = = > x = 30 as p (30,0)Coloquemos, ahora, estos puntos:p(0,20)p(30,0), recordando que para trazar una recta solo son necesario tener dos puntos de ella.Para ilustrar mejor las Regiones formadas despejemos y de 2x + 3y = 60.25 --as: Y= -2/3x + 20 y > -2/3x + 2020 -- 2.- El plano ha quedadodividido en tres regiones:15 -- a)la recta misma, que consiste en todos los puntos (x,y) cuyas10 -- coordenadas satisfacen y = -2x + 20 , Ejemplo: 5 -- y -2/3x + 20.Nota importante:a) Se acostumbra a dibujar las rectas con lneas punteadas, cuando la desigualdad es del tipo mayor que o menor que, Ejemplo:2x + 3y -2x+32y 1 >0b ) y < x c ) y>1/2 Pasemos el sistema a igualdades:a ) y = 2x+3 Y b ) y = x Sistema Originalc ) y = 1/2 a) y> -2x+3 3b ) y < x2Para mayor visualizacin, por medio a)de flechas, se ha indicado la regin1solucin a cada desigualdad. Se sombrea la regin que es comn a las tres desigualdades.Problema: YResolver el sistema: y> -2x + 10 y> x 2 10 Solucin:Pasemos a igualdades: a) y = -2x + 10 8 b) y = -2 + x Interseccin en ejes coordenados: 6a) x = 0, y = 10 P1 (0,10)y = 0, x = 5 P2 (5,0) 4 y = x-2b) x = 0, y = -2 P3 (0,-2) 2y = 0, x = 2 P4 (2,0) y = -2x+10 -2 2 4 6 8 X -2a)Coloquemos los puntos de Interseccin con los ejes coordenados tracemos las rectas correspondientes. La regin sombreada es la solucin del problema.EJERCICIOS.-Encuntrese la regin descrita, para el sistema de desigualdades siguientes:a) 2y 3x < 6b) 2x + 3y > -6 x - 3y > 9 3x - y < 6c) 2x + 3y < 6d) 2y 3x < 6 x > 0 x < 0e) y 3x < 6f) 2x 2> y x - y > -3 2x < 3 2y g) x y > 4h) 2x + y < - 1 x < 2 y > - x y > - 5 2x + 6 < 0i) y < 2x + 4 j) 4x + 3y > 12 x > - 2 y > x y < 1 2y < 3x + 6 k) x + y > 1l) 2x 3y > 12 3x 5< y 3x + y > - 6 y < 2x y > xm) 3x + y > - 6n) 5y 2x < 10 x - y > - 5 4x 6y < 12 x > 0 y > 0Programacin LinealExiste un determinado tipo de problemas en los que es necesario tomar ciertas decisiones, debido a que los recursos con que cuentan son limitados y es necesario optimizar (maximizar o minimizar) una funcin que establece el rendimiento de esta operacin o situacin.La funcin mencionada se denomina funcin objetivo y es una representacin matemtica de la meta total establecida.Para la resolucin de este tipo de problemas, se hace necesario construir modelos que representen estas situaciones.Los modelos construidos son a base de ecuaciones o desigualdades lineales, por lo que esta tcnica se llama programacin lineal.La programacin lineal es una tcnica de optimizacin, es decir, se hace referencia a un mtodo que intenta maximizar o minimizar algn objetivo (utilidades, costos, etc..)En problemas de programacin lineal, es necesario tomar ciertas decisiones, en un ambiente de ciertas restricciones derivadas de la limitacin de recursos y buscando optimizar una funcin objetivo que medir el rendimiento de la operacin.Daremos un ejemplo con el que visualicemos mejor el tipo de problema mencionado y sus distintos componentes.Suponga que una compaa fabrica dos tipos de artefactos:Manuales y elctricos.Cada producto requiere en su fabricacin el uso de tres mquinas: A, B, C.Un artefacto manual requiere del empleo de la mquina A durante 2 horas; de 1 hora la mquina B y de 1 hora la mquina C.Un artefacto elctrico requiere de 1 hora en A; 2 hora en B y 1 hora en C.Supngase, adems, que en nmero mximo de horas disponibles por mes para el uso de tres las mquinas 180, 160 y 100, respectivamente.La utilidad que se obtiene en los artefactos manuales es de $ 4, y de $ 6 para los elctricos.Si la compaa vende todos los artefactos que fabrica, cuntos de ellos de cada tipo se deben elaborar con el objeto de maximizar la utilidad mensual.Haremos una tabla que resuma los datos aportados:M A Q U I N A SArtefactosABCUtilidadPor unidadManual2h1h1h$ 4Elctrico1h2h1h$ 6Horas disponibles180160100Para responder a esta pregunta, procedemos:x : nmero de artefactos manuales que se deben fabricar en el mes.y : nmero de artefactos elctricos que se deben fabricar en el mes, x, y constituyen las variables de decisin .a) No podemos fabricar menos de cero artculos, por lo tanto:.x > 0, y > 0 Estas constituyen las condiciones de no negatividad, que aseguran que x, y no pueden ser negativas.b) Las mquinas A, B, C tienen recursos limitados en cuanto a horas de trabajos por mes.Mquina A: Para x artefactos manuales que requieren 2 horas en A, adems de requerir 1 hora del artefacto elctrico y se producen y artefactos elctricos necesitaremos en total: ( en horas) 2x + 1y que no debe exceder de 180 h.Por lo tanto :Mquina A : 2x + y < 180Mquina B : 1x + 2y < 160 Esto constituye las restricciones Mquina C : 1x + 1y < 100 del modelo.Por otra parte, existe una utilidad de $4 para los artefactos manuales y de $6 para los elctricos.Deseamos maximizar esta utilidad, que se convierte en nuestra funcin objetivo Z que se puede expresar:Z max = 4x + 6yFuncin objetivoCon esto tenemos cubiertas todas las exigencias o requisitos del problema. Hagamos un resumen de ello:Z max = 4x + 6y Funcin objetivos.a.Sujeto A:2x + y < 180 x + 2y < 160 Restricciones MODELO x + y < 100 MATEMATICO x > 0Condiciones de y > 0no negatividadEl sistema anterior de igualdades y desigualdades constituyen nuestro modelo del problema.Este es un modelo matemtico o smbolo por el que esta constituido las ecuaciones y desigualdades las cuales son: precisas, concisas y fciles de comprender que se presentan a manipulaciones matemticas.El modelo matemtico, en forma general puede expresarse en su forma estandar o desarrollada, como es:Z max = C1 x1 + C2 x2 + C3 x3 +. . . . . . . . + Cn xns. a. a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . . . . . . + a1n xn < b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + . . . . . . . . + a2n xn < b2 a31 x + a32 x 2 + a33 x3 + . . . . . . . . + a3n xn < b3 am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + . . . . . . . . . + amn xn < bmDonde x1 , x2 , x3 . . . . . . b1, b2, b3 . . . . . . son nmeros no negativos.Otra forma de expresar un modelo matemtico es la forma Cannica o abreviada, como es:n Zmax = CjXj n J=1 sa: aijXj < bi j=1xj > 0Estamos mencionando los modelos y los podemos definir como:Es una representacin o abstraccin de una situacin u objetos reales, que muestran las relaciones y las interrelaciones de la accin y la reaccin en trminos de causa y efecto.El modelo debe ser representativo de aquellos aspectos de la realidad que estn investigndose.Un modelo matemtico incluye:a) Variables de decisin: xj son las incgnitas que deben determinarse con la solucin del sistema o problema.b) Parmetros: aij: Son variables controlables del sistema vg: requerimientos de mano de obra por unidad, horas mquina por unidad, etc.c) Restricciones: indican las limitaciones del sistema, a travs de funciones restrictivas matemticas:Horas mquina/semana, horas depto/semana, etc.d) Funcin objetivo: define la medida de efectividad del sistema como una funcin matemtica de sus variables de decisin.La funcin optima se obtiene cuando los valores de las variables de decisin dan el mejor valor de la funcin objetivo satisfaciendo las restricciones.Esta funcin puede representar: niveles de utilidad, ingresos totales, niveles de contaminacin, rendimiento porcentual sobre la inversin.Representacin Geomtrica de la Solucin 180 -- YDe nuestro ejemplo anterior, tenemos el modelo matemtico. 160--Zmax = 4x + 6y s.a. 140-- a) 2x + y = 180 a) 2x + y < 180 120-- b) x + 2y < 160 c) x + y < 100 100-- c) x + y = 100 d) x > 0 e) y > 0 80-- ecuaciones: a) 2x + y = 180 60-- b) x + 2y = 160 c) x + y = 100 40-- d) x = 0 b) x + 2y = 160 e) y = 020-- X i) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 d) Expresemos geomtricamente, estas restricciones:i ) Para la colocacin de rectas en el plano, acudir a la pgina # ________ ii) Indiquemos la regin solucin de cada desigualdad con una flecha (rojo)iii) La solucin (regin comn ) es la sombreada.iv) La solucin es un conjunto poligonal, acotado y convexo.Regin factible.Observaciones:a) Cada uno de los puntos de esta regin representa una solucin posible y se le denomina regin factible.Hasta este punto la regin factible implica una cantidad infinita de soluciones, mostrando todas las combinaciones posibles que satisfacen a todas las restricciones..b) La regin factible es un polgono acotado. Si una regin factible se puede abarcar con un circulo, entonces, esta regin es acotada.c) Conjunto convexo.Es un conjunto de puntos totales, que si dos puntos cualesquiera seleccionados en forma arbitraria dentro del conjunto, se unen con una lnea recta, todos los elementos ( puntos) sobre el segmento de resta, tambin son miembros del conjunto. A A A B BBNO CONVEXO CONVEXO NO CONVEXOEl procedimiento de investigar la solucin de estos problemas de programacin lineal se pueden simplificar si se aprovechan las caractersticas del rea de soluciones factibles, siendo un conjunto convexo.ENUNCIADOS:a) El conjunto solucin para un grupo de desigualdades lineales, es un conjunto convexo. Por tanto, el rea de soluciones factibles para un problema de programacin lineal, es un conjunto convexo.b) Dada una funcin objetivo lineal, en un problema de programacin lineal, la solucin optima incluir siempre un punto angular (vrtice) en el rea de soluciones factibles.Esto significa, que la solucin optima de un problema de programacin lineal siempre corresponder a uno de sus vrtices.REGLA:La solucin ptima de un problema de programacin lineal, siempre corresponder a uno de sus vrtices.Esta caracterstica se convierte en un mtodo de solucin grafica para problemas de programacin lineal con dos variables de decisin.Mtodo grafico de programacin lineal:Dos variables de decisin :Procedimiento:1) Obtenga el modelo matemtico en su forma estndar (desarrollada).2) Convierta las desigualdades a igualdades.3) Coloque las rectas en el plano cartesiano y determine la regin solucin de las desigualdades.4) Determine la regin factible ( regin es comn a todas las desigualdades ).5) Calcule las coordenadas de cada vrtice.6) Utilizando la funcin objetivo Z, sustituya las coordenadas (x,y) de cada vrtice, en la funcin objetivo calculando el valor de Z en cada caso.7) Escjase el mayor valor de Z, obteniendo z mximo.8) Vea que coordenadas (x,y) de un vrtice hicieron Zmax y ello constituir la solucin deseada.Modelo matemtico :Zmax = 4x + 6y Sea:2x + y < 180 x + 2y < 160 x + y < 100 x > 0 y > 0Solucin grfica en pgina 86De esta grfica calculamos que los vrtices tienen las coordenadas:VrticeCoordenadasCalculo de Z O ( 0, 0 ) Zo = 4(0) + 6(0) = 0 D ( 90, 0 )ZD = 4(90) + 6(0) = 360 C ( 80, 20 )ZC = 4(80) + 6(20) = 440 A ( 0, 80 )Za = 4(0) + 6(80) = 480 B ( 40, 60 )ZB = 4(40) + 6(60) = 520Por tanto, la solucin a nuestro problema es:Zmax = ZB = 520 ; Coordenadas ( 40, 60 ) que significa producir:X = 40; 40 artefactos manuales:Y = 60; 60 artefactos elctricos.Cuando determinamos las coordenadas de los distintos vrtices de la regin de soluciones factibles, lo hicimos por simple lectura de la grfica, que en general es aproximado.Habr ocasiones en que estos valores no pueden ser determinados con la superficie exactitud.Lo correcto es determinar las coordenadas de los vrtices mencionados, resolviendo por ecuaciones simultaneas las dos rectas cuya interseccin corresponde a cada vrtice.Ejemplo:Vrtice D: 2x + y = 180 y = 0Vrtice C: 2x + y = 180 x + y = 100 Vrtice B. x + y = 100 x + y = 100Vrtice A: x + 2y = 160 x = 0Cuyos resultados nos dan los mismos valores anteriormente obtenidos por lectura directa de la grfica.Solucin grfica: Introduciendo la funcin ZUtilizando nuestro mismo ejemplo, tenemos la funcin objetivo dada por :Z = 4x + 6yDespejando y de esta ecuacin, tenemos:6y = Z 4x y = -4x + Z 6 6Que es lo mismo que: y = -2x + Z 3 6De la geometra analtica recordamos, que una forma de expresar la ecuacin de la recta es:Y = mx + b, en donde:m = Pendiente de la recta.b = Interseccin de la recta con el eje Y.Por tanto: y = -2/3 x + Z/6, representa una familia de rectas con pendiente m=2/3 y con una interseccin con el eje igual a (Z) dependiendo de los distintos valores que puede tomar Z. 6En otras palabras, sern rectas paralelas con pendiente m = -2/3.Recordando: m = y2 y1 , sea p1 ( x1 = 0, y1 = 0 ), as m = y2 = -2 ; .x2 x1 x2 3 Haciendo y = -2 , x = 3 o y = -20, x = 30 o y = -40, x = 60 colocando esas coordenadas y las del punto p1 (0,0), tendremos recta con pendiente m = 2/-3. Acudamos a nuestra grfica, mostrando solamente la regin factible. Ya) Hagamos Z=240, entonces la80 A Zmax = 520ecuacin de la recta ser:Y= -2x + 240 = = > Y= -2x + 40 3 6 360 Bb) Hagamos Z=360 entonces la ecuacin de la recta ser:Y = -2x/3 + 6040 c) Hagamos y = -2x/3 + 480/6C sea: 20 Y = -2x/3 + 80 0 20 40 60 80 D 100Colocando estas rectas en el plano cartesiano y concretamente sobre la regin de soluciones factibles, observamos lo siguiente:a) Son rectas paralelas. (con pendiente m = -2/3)b) Mientras mayor es el nmero de Z, mas alejada del origen (0,0) se encuentra la recta de, digamos Z = 480.c) A estas rectas Z que contiene todas las combinaciones de las variables de decisin x, y se le llama:Rectas de isoutilidad o isoprfitas.d) A estas consideraciones, podemos desprender el mtodo grfico de resolucin de problemas de programacin lineal con una introduccin de las rectas isoutilidad Z y consiste en:i) Contando ya con la grfica del modelo matemtico e identificada la regin de soluciones factibles, se coloca la recta correspondiente a la funcin objetivo para un valor de Z seleccionada al arbitrario.ii) Por medio de escuadras, (geomtricamente hablando) se traza una paralela a la recta de Z y localizada en el plano y se recorre, alejndose del origen hasta que toque el punto mas alejado antes de abandonar la zona de soluciones factibles.Este punto corresponde al B de coordenadas (40,60).Por tanto, se traza una paralela a Z que pase por un punto B (Punto de la zona de soluciones factibles, mas alejada del origen, para rectas paralelas a Z).Mtodo grafico, incluyendo funcin Z1.- Obtenga el modelo matemtico del problema.2.- Pase las desigualdades a igualdades.3.- Trace las rectas correspondientes a las igualdades lineales en el plano cartesiano.4.- Defina la regin comn a todas las desigualdades del modelo matemtico y que corresponde a la regin de soluciones factibles.5.- Dada la funcin objetivo Z = c1 x + c2y, escoja un valor arbitrario de z y coloque esta recta en el grafico de soluciones factibles.6.- Maximizacin:i) Trace una paralela a la recta de Z y que pase por el punto mas alejado del origen (0,0) y que sea el ultimo punto que todava pertenece a la regin de soluciones factibles. Nota:Cualquier punto mas alejado que el mencionado ya no deber pertenecer a la regin de soluciones factibles.La paralela mencionada arriba se har por medio de la ayuda de escuadras para ese trazo.ii) Minimizacin: Trace una paralela a la recta de Z y que pase por un punto mas cercano al origen (0,0) y que sea el primer punto que pertenece a la zona de soluciones factibles.Cuando se localice el punto que da Zmax, recuerde que se debe resolver por simultaneas las dos ecuaciones cuya interseccin genera el punto de inters.Ejercicio de Minimizacin: Resolver el modelo matemtico:Zmin = 5x1 + 3x2Solucin: Sa: 1.- Ecuaciones.2x1 + x2 > 10a) 2x1 + x2 = 10 x1 +3x2 > 15b) x1 + 3x2 = 15x1 < 10c) x1 = 10x2 < 8d) x2 = 8x1 > 0e) x1 = 0x2 > 0f) x2 = 02.- Grafico y regin de soluciones factiblesX212 -- e) X1 = 10 10 -- 8 -- B C d) x2 = 8 6 --A 4 -- a) 2 -- 2x1 + x2 = 10 DZmin b) x1 + 3x2 = 152468101214163.- Coloquemos la recta de la funcin objetivo para Z = 15, Z = 5x1 + 3x2 = 15 = = = = = = >5x1 + 3x2 = 154.- Utilizando un juego de escuadras para geometra, trace una paralelas Z = 150 y que pase por el primer punto de la regin soluciones factibles, que corresponda al punto ms cercano del origen (0,0).El resultado ser una paralela de Z = 15 y que pase por el punto A.Esa recta (punteada) corresponder a Zmin y la solucin ser las coordenadas del punta A correspondiente a: x = 3, x = 4, de las variables de decisin:Para conocer el valor de Zmin, sustituyamos los valores de las variables de decisin en la funcin objetivo.Zmin = 5x1 + 3x2 = 5 (3) + 3 (4) = 27Zmin = 27X1 = 3 x2 = 4Solucin de valorizacin de vrticesSolucin:1.- De la grafica de soluciones factibles, obtenemos las coordenadas de los vrtices, como sigue:( x1 , x2 )Z = 5x1 + 3x2Vrtice Coordenadas Valorizacin de Z. A ( 3 , 4 ) Z = 5 (3) + 3 (4) = 27 B ( 1 , 8 ) Z = 5 (1) + 3 (8) = 29 C ( 10 , 8 ) Z = 5 (10) + 3 (8) = 74D.* Las coordenadas del punto D, deben ser obtenidas, resolviendo por ecuaciones simultaneas, las dos ecuaciones que originan las dos rectas que se interceptan en el punto D. Resolver: x1 + 3x2 = 15Ecuacin b) .x1 = 10Ecuacin c) 10 + 3x2 = 15;3x2 = 15 10 = 5; x2 = 5/3 , por tanto, las coordenadas del punto D son : D (10, 5/3)As:ZD = 5x1 + 3x2 = 5 (10) + 3 (5/3) = 55Concentracin resultados:ZA = 27< = = = = = = Por tanto, el menor valor de Z se Encuentra considerando las coordenadasZB = 29del punta A con sus variables de decisin:ZC = 74x1 = 10ZD = 55x2 = 5/3Zmin = 27Soluciones pticas mltiplesComo ya conocemos perfectamente bien la mecnica de solucin grfica de los problemas de programacin lineal, abordemos el tema de soluciones pticas mltiples.Si el punto ms cercano o ms lejano (minimizacin o maximizacin respectivamente) forma parte de un segmento de recta que tenga la misma pendiente de Z = K1, entonces, todo el segmento de recta coincidir con la paralela a Z = k1 por lo tanto, todos y cada uno de los puntos que forman el segmento de recta, ser solucin ptima del problema. Ilustraremos esta situacin con un ejemplo como sigue:Ejercicio: Resolver el mtodo matemtico:Zmax = 2x + 4y Sa : x 4y < - 8 X + 2y < 16 .x > 0, y > 0Solucin:1.- Ecuaciones : x 4y = -8 = = = = = >a) y = 1/4x + 2b) x + 2y = 16c) x = 0d) y = 02.- Coloquemos las rectas en el plano y definamos el rea de soluciones factibles.3.- Coloquemos la recta en la funcin objetivo para Z = 20Z = 2x + 4y = 20Y10 --8 -- B6 --a) x y (4) = -84 -- y = 1/4x + 22 -- A Z = 20b) x + 2y = 16 x246810121416184.- Por medio del juego escuadras coloquemos una paralela a Z = 20 y que pase el punto ms alejado del origen (0,0) pero que aun pertenezca a la regin de soluciones factibles.Observaremos que este punto, corresponda a C, pero tambin al punto B.Como corresponde a ambos punto B y C, corresponder tambin con el segmento de la recta BC.De esa forma todos y cada uno de los puntos del segmento de la recta BC, son soluciones ptimas del problema.As, este problema es un caso de soluciones ptimas mltiples, que tiene infinito nmero de soluciones mltiples.Cada punto del segmento de recta BC, nos indica las combinaciones de las variables de decisin X,Y, que hacen ptimo este problema.Regin de soluciones mltiples vacasPor ltimo hay ocasiones en que por la caracterstica propia del modelo matemtico, no existe zona de soluciones factibles lo que es lo mismo, sa zona es vaca, es decir no contiene ninguna solucin ptima factible.Ilustremos esta situacin con un ejemplo:Ejercicios:Resuelva el modelo matemtico:Zmin = 8x 3y Sa : -x + 3y = 21 x + y < 5 x > 0 y = 01.- Pasando a ecuaciones:a) x + 3y = 21b) x + y = 5c) x = 0d) y = 02.- Coloquemos estas rectas en el plano cartesiano.3.- No existe regin de soluciones factibles, porque no hay regin comn a las cuatro restricciones. Una de ellas, -x + 3y = 21 es una igualdad. Una ecuacin o igualdad es mas restrictiva que una desigualdad. Una desigualdad genera una regin. Una igualdad no genera regin sino solo curva o recta que representa a la ecuacin X. Y12 10 a) x + 3y = 21 8 -- 6 4 -- b) x + y = 5 2