Solucionario RM Del 2do Examen CPU-UNASAM 2011 - I

8/6/2019 Solucionario RM Del 2do Examen CPU-UNASAM 2011 - I

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ACAD

EMIA

SIGMATH

CPU-UNASAM2011-ISEGUNDO EXAMENocitR az mo etn aam Miento

2

23 3 3 3 3

1

( 1)1 2 3

2

n

i

n ni n

=

+ = + + + + =

Retomando ( ) se tiene:

2 2( 1) 15(16)

2 2 288002 2

n nS

+ = = =

Respuesta:Por lo tanto, 28800S =

Alternativa D

PREGUNTA N. 29Halle el valor de M.

0,25 0,5 0,75 20M = + + + +

A) 710 B) 810 C) 910

D) 610 E) 1620

Resolucin

Tema: Sumatorias

Dndole orma a la suma:

25 5 7520

100 10 100M = + + + +

1 1 320

4 2 4M = + + + +

1 2 3 80

4 4 4 4M = + + + +

( )Suma de nmeros

consecutivos

11 2 3 80

4M = + + + +

1 80(81)

8104 2M

= =

Respuesta:Por lo tanto, 810M =

Alternativa B

PREGUNTA N. 30Calcular la suma de los 20 primeros trminos de la progresinaritmtica.

( ); ; 2 ;a a a a+

A) 350 B) 420 C) 460

D) 470 E) 580

Resolucin

Tema: Sumatorias

Como se trata de una PA, entonces debe cumplirse que:

( ) ( )2a a a a a a + = +

2 0 4a a a a= = =

Consideramos 4a = y descartamos 0a = ya que con estevalor, la sucesin se hace cero.Reconstruyendo la sucesin se tiene:

4 ; 6 ; 8 ;

2+ 2+ 2+

4 2( 1) 2 2n nt n t n= + = +

De ah que: 20 42t =

Como piden la suma de los 20 primeros trminos, se tiene:

4 6 8 42S = + + + +

4 4220 460

2S

+ = =

Respuesta:Por lo tanto, 460S =

Alternativa C

PREGUNTA N. 31Al repartir N directamente proporcional a: 5, 8; 6 e inversa-mente proporcional a 12; 6; 10; la dierencia entre la segunday la tercera parte es 176. Hallar N.

A) 526 B) 246 C) 324

D) 218 E) 564

Resolucin

Tema: Reparto Proporcional

Sean 1R , 2R y 3R las cantidades repartidas, entonces:

1 2 3 ( )N R R R= + +

Segn condiciones del ejercicio se tiene:

31 2 1012 6

5 8 6

RR Rk= = =

31 2 56 3

5 8 6

RR Rk= = =

De donde:


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3

1

2

3

5

6

8( )

3

6 5

R k

R k

R k

=

=

=

Por condicin del ejercicio

8 6176 120

3 5k k k = =

Reemplazando en ( )

1 2 3100 , 320 , 144R R R= = =

Retomando ( )

100 320 144 564N = + + =

Respuesta:Por lo tanto, 564N =

Alternativa E

PREGUNTA N. 32

Si 2A es directamente proporcional a B e inversamenteproporcional a C . Adems 3A = cuando 4B = y 2C = .Hallar A cuando 81B = y 27C =

A) 3 B) 2 3 C) 3 2

D) 6 E) 4

Resolucin

Tema: Magnitudes Proporcionales

Dado que 2A es DP a B e IP a C, se tendr:

2A Ccte

B

=

Reemplazando los valores que nos dan en el ejercicio:

2 23 2 273

4 81

AA

= =

Respuesta:Por lo tanto, 3A =

Alternativa A

PREGUNTA N. 33Una herencia que asciende a 1380 se reparte en 3 partes,tales que la primera sea a la segunda como 2 es a 3 y que stasea a la tercera como 5 es a 7. Cul es la cantidad menor?

A) 3 000 B) 200 C) 100

D) 300 E) 350

Resolucin

Tema: Reparto Proporcional

Sean 1R , 2R y 3R las partes repartidas, entonces:

1 2 3 1380 ( )R R R+ + =

Segn condiciones del ejercicio se tiene:

1

2

3

1

2

2

3

2 10 10

3 1515

5 15 21

7 21

RR k

RR k

RR k

R

= = =

=

= = =

Retomando ( )

10 15 21 1380 30k k k k+ + = =

Piden la cantidad menor

1 10 10(30) 300R k= = =

Respuesta:Por lo tanto, la cantidad menor repartida es 300

Alternativa D

PREGUNTA N. 34En las siguientes grfcas, M y N son magnitudes directa-mente proporcionales, A y B son magnitudes inversamente

proporcionales. Determinar el valor de /x y

M12

x

15 k N

A

24

2k

30 y B

A) 0,5 B) 0,6 C) 0,7

D) 0,8 E) 0,9


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4

Resolucin


De las grfcas se tiene:

12 12 15( )

15

24 3024 30 2 ( )

2

xx I

k k

k y y IIk

= =

= =

Como piden /x y, entonces dividimos ( ) ( )I II

12 15

10,5

24 30 2

2

x k

y

k

= = =

Respuesta:

Por lo tanto, / 0,5x y =Alternativa A

PREGUNTA N. 35

Si 2DPA B (C: constante)

IPC A (B: constante)

A

B

C

80

10

40

a

2

2

25

10

b

Calcular el valor de a b+

A) 172 B) 112 C) 192

D) 152 E) 105

Resolucin


Dado que2 ( constante)

( constante)

A DP B C

A IP C B

Se tendr: 2A C

cteB

=

Reemplazando valores del cuadro, se tiene:

80 40 2 25100 4 100

a b = =

Luego:

80 40 264

100 4

80 40 25128

100 100

aa

bb

= =

= =

Piden calcular: 64 1287 192a b+ = + =

Respuesta:Por lo tanto, 192a b+ =

Alternativa C

PREGUNTA N. 36Qu porcentaje del 20% del 10% de 400 es el 8% del 0,2%de 1000?

A) 2% B) 30% C) 20%D) 3% E) 6%

Resolucin

Tema: El Tanto por Cuanto

Para determinar el porcentaje que representa una cantidadrespecto de otra, aplicaremos, como un mtodo prctico, larelacin parte todo:

Parte100%Todo

Aplicando este mtodo en el ejercicio, se tiene:

8% 0 ,2% 1000100%

20% 10% 400

16% 2%

8=

Respuesta:Por lo tanto, representa el 2%Alternativa A

PREGUNTA N. 37

Si gastara el 30% del dinero que tengo, y ganara el 28% de loque me queda, perdera S/. 156, cunto tengo?

A) S/. 3 500 B) S/. 2 000 C) S/. 1 500

D) S/. 1 560 E) S/. 2 500

Resolucin

Tema: El Tanto por Cuanto


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5

En el ejercicio piden calcular la cantidad de soles que tengo.Le asignamos a la cantidad que tengo un valor conveniente,para calcular consecutivamente el 30% y 28% sin que estoresulte una cantidad raccionaria.Entonces, sea la cantidad de soles que tengo 1000k, luego:

1000k

700k 300k

700k 196k 104k

me quedara gastara

me quedara perdera

Luego, si ganara

el 28% de lo que

me quedara

Si gastara el

30% de lo que

tengo

7 100%

7 28%

ganara

Del dato, perdera 156 soles

3104 156

2k k= =

De ah que lo que tengo es:3

1000 1000 15002

k = =

Respuesta:Por lo tanto, lo que tengo es 1500Alternativa C

PREGUNTA N. 38

Para cosechar en un terreno de orma cuadrada de 18m delado se necesita 12 das, cuntos das se necesita para co-sechar otro campo cuadrado de 27m de lado?

A) 18 B) 20 C) 22

D) 27 E) 30

Resolucin

Tema: Regla de Tres

Grafcando ambos terrenos (de acuerdo al enunciado)

18m 27m

18m

27m

Aplicando el mtodo prctico se tiene:

Das Obra (rea)

12

x

18 18

27 27

12 18 18 27 27x =

27x =

Respuesta:Por lo tanto, se necesitan 29 das.

Alternativa D

PREGUNTA N. 39Una obra puede ser realizada por 18 obreros en 32 das; alcabo de cierto tiempo se contrata 3 obreros ms de modo

que la obra se termina en 28 das de empezada. A los cun-tos das se aumento el personal?

A) 3 B) 4 C) 2

D) 5 E) 6

Resolucin

Tema: Comparacin de Magnitudes

Se pide a los cuntos das se aument el personal.Como las magnitudes obreros y das son IP, entonces:

18 obreros 32 das

dasx (28 ) dasx

18 obreros

dasx

21 obreros(28 ) dasx

Se aumenta

3 obreros

Del grfco

18 21 (28 ) 18 32x x + =

4x =

Respuesta:Por lo tanto, a los 4 das se aument el personal

Alternativa B

PREGUNTA N. 40Una persona pens hacer una obra en 15 das; pero tard 10das ms por trabajar 2 horas menos al da. Cuntas horastrabaj al da?

A) 4 B) 6 C) 5

D) 2 E) 3


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Resolucin

Tema: Comparacin de Magnitudes

Como se trata de comparar magnitudes, entonces para sim-plifcar los clculos haremos uso del mtodo prctico:

Obrero Das h/d Obra

1

1

1

1

15

20

x

2x

15 20( 2)x x=

8x =

Respuesta:Por lo tanto, trabaj 2 8 2 6 h/dx = =Alternativa B

PREGUNTA N. 41Determinar el nmero de amilias que ganan de 190 soles ams.

Ingreso / .S

[160 170

[170 180[180 190

[190 200

[200 210

if iF ih

48 60

80

0,125

0,075

A) 4 B) 10 C) 16

D) 12 E) 20

Resolucin

Tema: Estadstica

Dado que 5 80 80F n= =

Adems 2 1 2 1 112F F f F f = + = =

Se sabe que: i i f h n=

Entonces:

3 3 3 10 f h n f = =

4 4 4 6 f h n f = =

Completando la tabla se tiene:

Ingreso / .S

[160 170

[170 180

[180 190[190 200

[200 210

if iF ih

48 60

80

0,125

0,075

12

10

6

4

12

70

76

80n =

Piden calcular el nmero de amilias que ganan de 19 soles

a ms, o sea en el intervalo [ ]190 210 , y como podemosapreciar en el cuadro, dicho intervalo consta del 4to y 5tointervalo, de ah que hay 6 4 10+ = amilias

Respuesta:Por lo tanto, hay 10 amilias que ganan de 190 soles a ms.

Alternativa B

PREGUNTA N. 42Se conoce las edades de 5 jvenes, la media de ellos es 17,2aos; su moda es 16 y su mediana es 17. Cuntos aos tieneel mayor de los jvenes si todas las edades son expresadascon valores enteros?

A) 16 B) 17 C) 18

D) 19 E) 20

ResolucinTema: Estadstica

Sean las edades: a b c d e

i) La mediana es 17, slo si 17c = .

ii) La moda es 16 y esto de da slo cuando 16a b= = , tam-bin es importante recalcar que para que exista moda,debe repetirse un valor, y como la mediana es 17, los

nicos valores menores son a y b, no hay ms. Tambin17 d e< < , no pueden ser iguales, habra otra moda.

iii) La mediana es 17,2, con lo anterior calculamos:

16 16 1717,2

5

d e+ + + +=

37d e+ =

18 19 d y e son mayores a 17

Respuesta:Por lo tanto, la mayor edad es 19

Alternativa D


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PREGUNTA N. 43Las edades de 6 personas presentan como media a 22,5adems como moda y mediana a 19. Cul es la mximaedad que podra tener alguno de ellos si ninguno es menorde 14 aos?

A) 48 B) 49 C) 50

D) 51 E) 52

ResolucinTema: Estadstica

Sean las edades 14 a b c d e f , de los cuales f es mximo.

Por dato: 22,56

a b c d e f X

+ + + + += =

Luego 135 ( )a b c d e f + + + + + =

Como la 19e oM M= = y f tiene que ser mximo, el restode valores deben ser lo menor posible, por lo que tendremos:

a b c d e f

1414 19 19 19

En ( ) 14 14 19 19 19 135 50f f+ + + + + = =

Respuesta:

Por lo tanto, max 50f =Alternativa C

PREGUNTA N. 44En una distribucin de 5 intervalos con ancho de clase

comn se sabe que 2 260y = y 4 340y = . Determine el lmitesuperior del cuarto intervalo.

A) 320 B) 300 C) 450

D) 360 E) 420

Resolucin

Tema: Estadstica

Del enunciado se sabe que 5k = (nmero de intervalos) y

comnw = (constante).

Adems se sabe que 2 260y = y 4 340y = y representn-dolo en la recta se tiene:

/ 2w w

2 260y = 4 340y =

/ 2w

Del grfco 340 260 402 2

w ww w+ + = =

Con los datos obtenidos hasta ahora construimos la siguien-te tabla

Ii

[200 240

[240 280

[280 320

[320 360

[360 400

iy

260

220

300

340

380

w+

w+

w+

w+

En el grfco se observa que el cuarto intervalo es [320 360

Respuesta:Por lo tanto, el lmite superior del 4to intervalo es 360

Alternativa D

PREGUNTA N. 45De la siguiente ojiva de las edades de 200 personas.

200

180

160

140

120

100

80

60

40

20

10 20 30 40 50 60 70

Hallar el nmero de personas cuyas edades estn en el inter-

valo de [ ]22 ; 55

A) 100 B) 105 C) 106

D) 116 E) 110

Resolucin

Tema: Estadstica

De la ojiva que nos dan en el ejercicio, sealamos la siguientetabla con 200n =


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Ii

[10 20

[20 30

[30 40

[40 50

[50 60

if iF

20 60

[60 70

40

60

20

20

40

40

120

140

180

200

200n =

Piden calcular el nmero de personas cuyas edades estn en

el intervalo [ ]22 55

10 20 30 40 50 60 70

22 55

16 60 20 20

De ah que, en el intervalo [ ]22 55 hay:

16 60 20 20 116+ + + =

Respuesta:

Por lo tanto, en el intervalo [ ]22 55 hay 116 personasAlternativa D

PREGUNTA N. 46En un colegio hay 12 varones y 6 mujeres; se escoge cuatroestudiantes al azar. Calcular la probabilidad de que todossean varones.

A) 38/68 B) 11/38 C) 11/68

D) 37/67 E) 13/69

Resolucin

Tema: Probabilidades

En el ejercicio nos dicen que hay 12 varones y 6 mujeres, porlo que habr un total de 18 estudiantes.

El nmero de casos en que se pueden escoger 4 estudiantesdel total es:

184

18 17 16 15de casos totales

4 3 2 1

N C

= =

El nmero de casos en que se pueden escoger 4 varones deun total de 12 es:

124

12 11 10 9de casos avorables

4 3 2 1N C

= =

La probabilidad ser:

124

184

11

Probabilidad 68

C

C= =

Respuesta:

Por lo tanto, la probabilidad es11

68 Alternativa C

PREGUNTA N. 47De 60 amilias entrevistadas, 30 tienen hijos varones, 40 tienenhijas mujeres y 20 tienen hijos varones y mujeres. Cul es laprobabilidad de seleccionar una amilia que no tenga hijos?

A) 1/6 B) 2/3 C) 1/2

D) 1/4 E) 3/4

ResolucinTema: Probabilidades

Usando el diagrama de VennEuler y ubicando los datos quenos dan en el enunciado, se tiene:

Total 60=

(30)V (40)M

a b c

d

Del grfco y del enunciado se tiene:

60 1030 20

40 20

20 10

a b c d aa b b

b c c

b d

+ + + = = + = =

+ = = = =

de casos totales 60N =

de casos favorables 10N =

10 1Probabilidad

60 6= =

Respuesta:Por lo tanto, la probabilidad es 1/6

Alternativa A


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9

PREGUNTA N. 486 alumnos del CPU se sientan alrededor de una mesa circu-lar. Hallar la probabilidad de que 2 personas determinadas sesienten en lugares contiguos.

A) 3/5 B) 1/5 C) 1/10

D) 1/8 E) 2/5

Resolucin

Tema: Probabilidades

Piden cul es la probabilidad de que dos personas se sientenen lugares contiguos, (juntos).

Sean: A, B, C, D, E y F los 6 alumnos del CPU, distribuyndolasen una mesa circular (permutacin circular), se tiene:

A

B

C

D

E

F

En el grfco asumimos que los alumnos A y B se sientan jun-tos.

de casos totales (6) (6 1)! 5!CN P = = =

de casos favorables (5) (2) (5 1)! 2!CN P P = =

4! 2! 4 ! 2! 2Probabilidad (2juntos)

5! 5 4! 5

= = =

Respuesta:

Por lo tanto, la probabilidad es 2/5 Alternativa E

PREGUNTA N. 49Seis amigos ngel, Betto, Carlos, David, Eran y Fernando sesientan en una banca con seis asientos. De cuntas ormaspueden sentarse si Betto siempre est al extremo y ngel yFernando no se sientan juntos nunca?

A) 72 B) 100 C) 120

D) 144 E) 288

Resolucin

Tema: Anlisis Combinatorio

En primer lugar calculemos el nmero de ormas en quepueden sentarse los seis amigos (con B siempre en los ex-tremos).En segundo lugar hallaremos lo mismo que lo anterior; perode los cuales dos de los amigos (A y F) estn siempre juntos.Entonces, si al primer resultado encontrado, le restamos elsegundo obtendremos las ormas en que pueden sentarselos 6 amigos con B siempre en los extremos y que los amigos(A y F) no se sienten juntos nunca.Veamos:

N total de ormas en que pueden sentarse los 6 amigos conB siempre en los extremos.

AB C D E F

5!

A BC D E F

5!

total 5! 2!N =

N total de ormas cuando (A y F) estn juntos:

AB C D E F

2!

3!

2!

A BC D EF

3!

2!

2!

(A y F juntos) 3 ! 2! 2! 2 !N =

Restando:

5! 2! 3! 2! 2! 2!

120 48 72 =

Respuesta:Por lo tanto, los 6 amigos, con Betto siempre en los extremosy ngel y Fernando separados siempre, se podrn sentar de72 ormas.

Alternativa A

PREGUNTA N. 50Cuntas palabras dierentes se podr ormar (sin importarel sentido de las mismas) con las letras de la palabra IN-GRESARAS, si las tres primeras letras deben estar juntas?

A) 40320 B) 5040 C) 30240

D) 30420 E) 6720


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SIGMATH


10

Resolucin

Tema: Anlisis Combinatorio

Como las tres primeras letras deben estar juntas, entoncesconsideremos a este grupo como un solo elemento, y paraencontrar el total de palabras que se puedan ormar debe-mos permutar u ordenar el grupo de tres letras y todas a lavez, as:

I N G A A R R S S E

Juntos

2

2

2

Como hay 8 elementos, considerando a los tres primeroscomo uno solo, entonces:

82 2 2 8! 8 7!(3) 3! 6 30240

2! 2! 2! 8P P = = =

Respuesta:Por lo tanto, se podrn ormar 30240 palabras dierentes.

Alternativa C

Academia pre_universitaria SIGMATH, te recuerda quelas matrculas y reincorporaciones estan abiertas, no es-

peres hasta el ltimo da; MATRICLATE YA.nos encontramos en el Jr. Huascar N 220 (ex CPU) colegiola Inmaculada.adems les recuerda que pueden incorporarse al Crculoespecial SIGMATH, que dedicado slo para los alumnosque estan estudiando en el CPU y quieren reforzar para el

TERCER EXAMEN.... No te quedes te esperamos

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