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SOLUCIONARIO 70

1. 0,2 =1

5 , 0,75=

1

4

2 1 1

5 5 5 y

1

4-3

4= -

1

2

1

1

5

+ 1

1

2

= 5-2 =3

Alternativa correcta: B

2. I) 2 2

4a h

h 3 a 24 3

luego 3a = 2

4h

63

(verdadera)

II) h está dado como función del lado (verdadero)

III) A 21a 3

4(verdadero)

Alternativa correcta: D

3. 451

2 =

91

2= 45,5

Faltan 80-45,5 = 34,5


4. 1,2x = 18.000

x = 15.000

Alternativa correcta: A

5. I)

4 6 8

3 X 2

4 6 2 3 x 8

2 = x falso

II)

6 4 8

9 X 3

9 x 8 6 4 3

x = 1 verdadero

III) O H

4x 16

x 4 verdadero


6.

12

0,15 15%80


VEGETARIANOS NO VEGETARIANOS

TOTAL

HOMBRES 12 13 25

MUJERES 19 36 55

31 49 80

OBREROS DIÁS HABITACIONES

OBREROS DIÁS HABITACIONES

4 8

2 x

7. 5p 24 10 , 3q 12 10 , 8r 2 6 10

5 3

8

p q 24 10 12 1024

r 2 6 10

Alternativa correcta: E

8.

I) 48 – 8 + x = 35 x = 35 – 40 = -5 y = -1 (Verdadera)

II) y 5 0 puntaje total = 48 (Falso)

III) Puntaje total = 25 X = -10 y = -2 (Verdadera)


9. A 11k

B 17k

6.566.000

28k = 6.566.000

K = 234.500

17k = 3.986.500


10. I) Esta afirmación es falsa, ya que dependiendo de los valores de a y b, las

variables X e Y pueden su inversamente proporcionales (1 1

a , b2 3

) ó

directamente proporcionales (a=2, b=3)

II) Si r= 2, las variables P y Q son inversamente proporcionales.

III) Como se vió en I, no es necesario que las cantidades sean números

enteros.


PUNTAJE PREGUNTAS TOTAL

BUENAS 3 16 48

MALAS -2 4 -8

OMITIDAS Y 5 X

25

11.

100(x+5) + 40x = 7500

140x + 500 = 7500

x = 50

x + 5 = 55


12. triple de (b – 1) : 3 (b-1);

Cuadrado del triple de b – 1 : 2

3 b 1

Cuadrado de b + 2 : 2

b 2 ; triple del cuadrado de b+2 : 32

b 2


13. 2a 4

3a 8

2 1a

4

2 2 3 1 1 7

a 2a a 4 8 42 2 2

Alternativa correcta: C

14. El valor total de los 8 productos es 8 2500 20.000

Si 6 productos cuestan $ 14.500, entonces los otros dos productos cuentan 5.500

El promedio es 5500

2.7502


15. 2 3 1 2 2 2

22 3 2 4

5 2 3 5 4 19

luego 2 19 21


GANÉ CANTIDAD TOTAL

HELADO X+5 100 100(x+5)

CHOCOLATE x 40 40x

7500

16. I) Falso, ya que por ejemplo, si m = 3 y n=8, la diagonal mide 3 7

II) m=3k , n=4t mn=12kt, que es múltiplo de 6.

III) Igual que en I, si m=3 y n=8, m+n=11 que no es múltiplo de 7


17. El área de cada triangulo es 212x 2x 2x

2

El área achurada es igual al área del cuadrado, menos el área de los

cuatro triángulos 2 2 2 210 4 2x 10 8x


18. I) Falsa, pues si los números son -2, -1, 0, no son los tres negativos.

II) Falso; ya que para 0, 1, 2, no se verifica que los tres sean positivos.

III) Verdadero. Siempre una diferencia entre un número mayor y uno

menor siempre será positiva.


19. Para construir una torre de 5 pisos se necesitan 3(1+2+3+4)+2-5=40

¡Verifíquelo y deduzca para una torre de n pisos!


20. a a a c c

Mb c b a b

I) Falso b=6 , c=8 divisor común 2 y c 4

b 3

II) Verdadero c

b no puede ser entero

III) Falso si c > b entonces c

b > 1


21. 3 3 3 3 12 6 3 144 108

Que es irracional negativo


22. 150 72 25 6 36 2

=5 6 6 2


23.

2 6 2 2xx 6x3 3

2

8 2 2 264 2

27 3 3


24. 3x 1

1 3x 1 2x 52x 5

x > 4

Como 15 < 16 =4, entonces no pertenece a S


25. -1 < x < 1 20 x 1

2

11

x


26. En miles de pesos:

0,100 recibe sólo sueldo base ($90.000)

100,200 recibe sueldo base + $ 15.000

200,300 recibe sueldo base + $ 15.000 2


27. 9c = 5F – 160

SF = º º9 C 160

F =º º9 C 160

5< 0 º º9 C 160 º ºC 17,7


28. (3,2) Solución del sistema, entonces

2 3 a 2 16 a 5

b 3 4 2 5 b 1

Luego, a+b = 4


29. 2

1,5 2,25

21,5 2,25 2

Luego f(1,5)= 2-1,5=0,5


30. I) c > 0 y f(0)= b < 0, por lo tanto I es falso

II) f(a)=f(c)=0 Verdadero

III) f(0) b y b b c Verdadero


31. 2x ax 1 0 /1

x

1

x a 0x

2

21 1x a x a

x x

2 2

2

1x 2 a

x

2 2

2

1x a 2

x


32. I)2

2

x 4 (x 2)(x 2) (x 2)

(x 2)(x 2) (x 2)x 2

, pero el recorrido es distinto (Falso)

II) 22 4

f(2) 04

Verdadero

III) F(-5)= 21

03

Falso


a

b

c

y

x

33. 1

1 4a 3 0a

Por lo tanto I es falso y III es Verdadero

II Eje de simetría x= 1

12

=-2 Falso


34. x 1

15

3

x9

34

=48

x 1

16

3

x 13 3

4 4=48

x 1

16 3

3 4

448 64

3

x 1 34 4 x 1 3

x=4


35. n

F

iC C 1

100

C=10.000, i=10, n=4

10.0004

1,1 10.000 1,4641

FC 14.641

Ganancias : UF 4641


36.

f(-1)=0 sólo pueden ser verdadera D y E

Pero f(3)=2 permite asegurar que la función es

f(x) x 1


-1 1 2 3 x

y

2 1

fig. 4

37. Longitud: 2 r 2 6 36


38. I) Esta afirmación es verdadera, sólo si la altura corresponde al vértice

del ángulo distinto del triángulo. Por lo tanto es falsa.

II) Como las diagonales de un rombo (4 lados congruentes) son

perpendiculares, bisectrices y además se dimidian, entonces

efectivamente determinan que estos triángulos sean congruentes.

III) Esta afirmación es verdadera


39.

APQ BRQ AQ BQ ( ABQ isósceles)

PQ QR

AP BR

I) Verdadera pues AQ BQ

II) Falso, ya que ABQ isósceles

ABQ BAQ pero nada asegura

que ABQ QBR

III) CPQ CRQ ya que son los suplementos de ángulos congruentes. Luego,

por teorema A.L.A de congruencia se sigue que estos dos triángulos son

congruentes.


40. La superficie de cada triángulo rectángulo es1 2 2 2

2 10 10 100

Luego, basta resolver la ecuación 2

x 160 x 8000100


41.


C

R P

Q

A B

Q

42.


43.

I) º90 2 2 180º O,P,Q colineales

II) Como 90º, ABC rectángulo en C y CD es altura, por lo tanto

2CD = AD DB

III) Por teorema A A de semejanza los triángulos son semejantes.

IV)


44. Altura PQR 9 PQ 6 3

Luego, AB CD EF 6 3

Por otra parte, se observa que BCQ DER FPA

Además, cada uno de estos triángulos es isósceles

obtusángulo, cuyo ángulo del vértice, mide 120º,

como se muestra en la figura adjunta de abajo.

QT altura y bisectriz

QT =3 3 y TC 9

Por lo tanto, BC =DE =FA =18cm

Así el perímetro del hexágono es 18 3 6 3 3 cm


L

D

P

Q

A B

O

2 2

E

R

D

F C

P Q

A B

6 3 6 3120

Q

B C T

C

45. Si AB =2r entonces

CO :CR =1:1,5=2:3

Por lo tanto DEC PBC y todos sus lados

y elementos homólogos están

en la misma proporción 2:3

á PQC á DEC 9:4


46. Se deduce que AQ:QS:SC 2:3:2

Por lo tanto AP :PR :RB 2 :3:2

De esta manera PQ:RS:BC 2:5:7

Por lo tanto, si BC 14 PQ 4


47. AB 8 AO OT 4 OT 2

1 1

á Ó' TA á O' TB O' T OA 2 4 42 2


48. Por las condiciones de paralelismo dada,

los cuatro triángulos son semejantes entre sí,

en algún orden.

I) Como C es punto medio BC:CS 1:1 , lo que significa que sus lados son

congruentes(Verdadero)

II) Verdadero

III) Falso, porque las proporciones de P y de Q no son fijas.


B

Q

D

R P

C

A F O E

B R

P

A

Q S C

O

B

T O’

D

P

R

A B

E

S

C

Q

A

49. AC BC y CD AB AD DB 2cm

CDB rectángulo en D y 2DE ABC DE BE EC

BE 1 y DB 2 DE 3

Luego, EC=3

Por lo tanto ABC es equilátero y 2DE BD 1 BE

Sin embargo la afirmación I es incorrecta puesto Que BED DEC


50. No es posible determinar

la medida del x ; esto sería posible,

solamente si se supiera, por ejemplo,

que los puntos A, B, P y Q sean colineales


51. 2 r 72 r 36

BDC =12 360

2 r 24 cm x 120º360 36

Como BAC es un ángulo inscrito que

subtiene el mismo arcoBDC que el ángulo

del centro de 120º,entonces BAC =60º

por otra parte, O es incentro del ABC

por lo cual AO es bisectriz OAP 30º

Como OP AB entonces AOP 60º

Así, POQ 120º

Luego 1

PQ 2 18 123


52. EDC DCA 40º AOD 80º


C

A D

E

B

3

D

E

C

A B P Q

R

x

S

O

C

D

B

A

E x

A

B

P

O R

D

Q

C

O

4

2 2

P

O

B

6 6

2 2P

53. Cada triangulo es equilátero de área2a

34

Por lo tanto la superficie del tetraedro es 2

2a4 3 a 3

4

Así, 2a 3 48 3 a 4 3

Esto es, cada arista mide 4 3 cm .y cada altura de cada cara mide 6cm.

Por otra parte BDP isósceles, como se muestra en la figura, y cuya altura

es2 6 .

Por lo tanto el área es1

4 3 2 6 4 18 12 22


54. AOB rectángulo isósceles,

como se muestra en la figura del lado,

por lo tanto AB 4 2

OP AB P es punto medio de AB .

Por lo tanto OP =2 2

Ahora, COP es un triángulo rectángulo como se muestra en la siguiente figura Por

lo tanto 22

2CP 2 2 4

2

CP 8 16 24

2

CP 2 6

Finalmente, cos OP 2 2 2 2 1 3

3CP 2 6 2 3 2 3


A B

C

D

P

4 3

P

D B

6 6

A

P B

C

O

x

z

y

55. x. 34 288 3r 288 x 72 3 216

3 4


56. La probabilidad es la misma que si se sacara por primera vez; esto es7

15.


57. Sacar el primer tubo defectuoso 3

30.

Sacar el segundo tubo bueno, habiendo sacado el primero defectuoso 27

29.


58.

36 1

180 5


59.

B: 2° dado no es inferior a 6

A: La suma superior a 8

7

12


60. Espacio muestral: A,B,C , A,C,B , B,A,C , B,C,A , C,A,B ,C,B,A

Los casos en que alicante le gane a Bonete son

A A,B,C , A,C,B , C,A,B


Estudios

Superiores

Sin

Estudios

Mujeres 43 36 79

Hombres 57 44

100 80 180

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 B

A

61. X = 3 Mo 1

Me 3


62. X = 5

2 2 2 2 23 4 5 6 7 135

275 5

Luego la varianza es 27- 25 =2


63.

B: 1° dado a lo más 4: 24

A: La suma es a lo menos 8: 6

6 1

24 4


64. Es necesario saber por ejemplo, que A,B,C son colineales O, equivalentemente,

que L es eje de simetría.


65. c

alog b c a b

Por lo tanto, conocer 2 valores es suficiente para determinar el 3°.


x f x f

1 7 7

2 6 12

3 5 15

4 4 16

5 3 15

6 2 12

7 1 7

28 84

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 B

A

66. x a es un número real si

(1) x>0 y a<0

(2) x>a

Luego, con cada información dada, x a es un número real


67. (1) CE es diámetro de la circunferencia.

(2) CE AB

Con ambas informaciones, CE diámetro

perpendicular a AB , se tiene que D es punto

medio de AB , por lo que CD es tranversal

de gravadad, lo que significa que ABC

es isósceles de base AB .


68. Al considerar DE AB como eje,

La función cuadrática 2f x ax bx c

interfecta a AB en A(-4000,0) y B(4000,0)

Y a ED en f(0,1000)

Así f(0)=1000

2f( 4000) a( 4000) b( 4000) 1000

2f(4000) a(4000) b(4000) 1000

De f(-4000)=f(4000) =0, se puede obtener los valores de a y de b.

Por ello, es necesario ambas informaciones.


800

A B

E

D

B

A

E

D

C

69. (1) AC 3 y BC 5

(2) 48

DE25

y 64

BE25

AB =5

2AC AD AB

De esta manera se determina CD yDB

Por aplicaciones reiterada de este resultado

Se puede obtener con cada una de las informaciones dadas,

el valor de EF


70. ab=30 y a+b=-13 230b 13 b 13b 30 0

b, que

tiene dos soluciones: -10 y -3. Como b < a, b=-10 y a=-3

Así 2 x 5 x 2x 3x 10

3 3 x 1x 5 x 5


F A B

E

D

C

B

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