U.4 PROPORCIONALIDAD

●RAZÓN

Es la división entre cantidades comparables

NOTA:Una razón no tiene por qué ser una fracción, el numerador y el denominador pueden ser nºs decimales.

ab

Mejor veamos algún EJEMPLO

● En 2º ESO C hay 29 estudiantes, 14 alumnas y 15 alumnos.

✔ La razón entre la cantidad de alumnos y alumnas es

✔ La razón entre la cantidad de alumnas y alumnos es

1514

1415

Ahora tú....

La razón entre la cantidad de alumnos y estudiantes es...

Continuamos con otro ejemplo...que por supuesto haces tú.

● Se organiza una excursión y sólo van 21 estudiantes de los cuales 14 son niñas y el resto niños. Calcula:

- Razón entre nº de niñas y niños:

- Razón entre nº de niñas y el total:

- Razón entre n.º de niños y el total:

- Por cada niño van........niñas.

- Por cada niña van........niños.

- Si fueran 18 estudiantes en total,¿cuántas niñas y niños

deberían ir para que se mantuviese la misma relación entre

niños y niñas?

PROPORCIÓN

● Llamamos proporción a la igualdad entre dos o más razones

a “a” y “d” se les llama EXTREMOS y a “b” y “c” MEDIOS.

● Se le llama CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD al resultado de este cociente

ab= cd

Ahora te toca a ti...

● En una reunión hay 3 mujeres por cada 2 hombres. Calcula y contesta:

a) Si en la reunión hay 30 personas. ¿cuántas mujeres hay?

b) Si en la reunión hay 30 mujeres. ¿cuántas personas hay en total?

c) Si en la reunión hay 22 hombres. ¿cuántas mujeres hay?

d)Si en la reunión hay 45 personas, ¿cuántos hombres hay?

PROPORCIONALIDAD DIRECTA. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Dos magnitudes (todo lo que se puede medir) son directamente proporcionales si el cociente entre dos cantidades correspondientes es constante. Dicho de otro modo: Al doble de una le corresponde el doble de la otra; al triple, el triple; a la mitad, la mitad….

A ver si lo entendemos con este EJEMPLO

● Un pintor para crear una pintura de un determinado tono de verde mezcla

● Vemos que se cumple:

82= 4

1=12

3= 6

1 ' 5= 30

7 ' 5

AMARILLA 8 4 12 6 30

AZUL 2 1 3 1'5 7'5 ?

Dí si existe relación de proporcionalidad directa entre estas magnitudes

-Distintos ingredientes de una receta.

-A velocidad constante, litros de gasolina consumida y Kms recorridos.

- Altura de una persona y cantidad de cabello.

- Lado de un cuadrado y su área.

- Lado de un cuadrado y su perímetro.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

¡IMPORTANTE PARA LA RESOLUCIÓN DE ESTOS PROBLEMAS!

● Identificar las magnitudes que intervienen.

● Ordenar las magnitudes, los datos y la incógnita.

● Identificar qué tipo de proporcionalidad existe.

MEJOR CON UN EJEMPLO....

“A una velocidad constante, un peregrino del camino de Santiago recorre 75 kms. en tres días. ¿Cuántos Kms recorrerá en 20 días?

● MAGNITUDES QUE INTERVIENEN: KMS Y DÍAS

● DATOS RELACIONADOS ORDENADOS:

KMS DÍAS

75 --------------- 3

x --------------- 20

● SON MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA

● Son magnitudes directamente proporcionales y por tanto el cociente entre magnitudes correspondientes es CONSTANTE.

kms------------------

días------------------

● También podemos hacer:

753

= x20; x= 75 ·20

3=500 kms

75x

= 320; x= 75 ·20

3=500 kms

OTRA FORMA DE RESOLVERLO: REDUCCIÓN A LA UNIDAD

Otra forma de resolverlo sería calculando previamente el valor asociado a la unidad (de la magnitud que no es incógnita) en la tabla de valores, veámoslo en el ejemplo anterior:

En 3 días 75 kms

En 1 día 75:3=25 kms. En 20 días 25 · 20 = 500 kms.

PROPORCIONALIDAD INVERSA. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar la cantidad de una magnitud el doble, la correspondiente de la otra magnitud disminuye la mitad, si una disminuye la tercera parte, la otra aumenta el triple; etc.

¿Entendiste el concepto? Demuéstralo indicando si existe relación de proporcionalidad inversa entre estas magnitudes

a) La velocidad a la que va un coche y el tiempo que tarda en

recorrer un espacio concreto.

b) La velocidad a la que va un coche y el espacio que recorre

en untiempo concreto.

c) La velocidad a la que va un coche y el número de

coche a los que adelanta.

d) Nº de trabajadores y nº de días en realizar un trabajo al

mismo ritmo.

e) Nº de personas y la cantidad a repartir entre ellas.

f) Caudal de un grifo y el tiempo necesario para llenar un

depósito.

Veamos ahora qué propiedad cumplen las cantidades correspondientes de magnitudes inversamente proporcionales

● Relacionamos la velocidad de un automóvil con el tiempo que tarda en recorrer 360 kms

Piensa un poco... , ¿cuál es la propiedad que cumplen las cantidades correspondientes? ¿Cuánto valen “x” e “y” ?

VELOCIDAD(KM/H)

120 60 X 100

TIEMPO(HORAS)

3 6 2 Y

Vemos que la relación entre dos cantidades correspondientes es:

120· 3 = 60 · 6 = 2·x = 100·y = 360

Cte. de proporcionalidad: 360

Podemos concluir por tanto que dos magnitudes son inversamente proporcionales si el producto de dos valores correspondientes de ambas x e y es siempre constante:

x·y = k o y =k/x k = cte de proporcionalidad.

MEJOR CON UN EJEMPLO....

Cuatro operarias pintan una pared en 5 horas

¿Cuánto tardarán diez pintoras en realizar la misma tarea?

Nº OPERARIAS TIEMPO (horas)

4 5

10 x

Por ser inversamente proporcionales

4 ·5=10 · x→ x= 4 ·510

=2horas

Ahora te toca a ti…

Un coche viajando a 80km/h tarda 2h en llegar a Málaga.

a) ¿Cuánto tardará un camión a 40 km/h?

b) ¿Y un tren de alta velocidad a 160km/h?

REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

● Nerea, Carlos y Gabriel van de vacaciones a Tenerife pero cada uno por su lado. Han visto que les sale más barato alquilar un coche para los tres y deciden usar el mismo coche en distintos días. Nerea lo utiliza dos días y se lo pasa a que Carlos que lo utiliza 5 días. Después de él, Gabriel lo utiliza tres días y ya se devuelve al concesionario. ¿Cuánto debería pagar cada uno, según lo que lo ha utilizado, si en total deben pagar 60 € por el alquiler?

● 1º CALCULAMOS EL TOTAL ENTRE LOS QUE REPARTIMOS:(En este caso repartimos entre los distintos días)

2 +5 +3 =10 días en TOTAL

● 2º DIVIDIMOS LO QUE CORRESPONDE A CADA UNIDAD (a cada día)

60 :10 = 6€ por día.

● 3º CALCULAMOS LO CORRESPONDIENTE A CADA UNO ( según los días)

6 · 2 = 12 € Nerea

6 · 5 = 30 € Carlos

6 · 3 = 18 € Gabriel

● 4º COMPROBAMOS QUE LA SUMA ES EL TOTAL

12 + 30 + 18 = 60 €

REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES

● Una madre va a repartir la paga mensual de 70 € entre sus tres hijos. No les dará lo mismo a los tres sino que será de forma inversamente proporcional al nº de días que se hayan dejado la cama sin hacer: Celeste : 1 día, Rosana : 2 días y Andrés : 4 días. ¿Cuánto recibirá cada uno?

● CLAVE: DIVIDIR DE FORMA INVERSAMENTE PROPORCIONAL A a, b, c ES IGUAL A DIVIDIR DIRECTAMENTE PROPORCIONAL A 1/a, 1/b y 1/c.

● 1º: 1/1+ ½ +1/4 = 7/4.● 2º: 70: 7/4 = 280/7 = 40 €● 3º: 40 · 1 = 40 € para Celeste

40 · ½ = 20 € para Rosana

40 · ¼ = 10 € para Andrés

PORCENTAJES %

DISTINTAS FORMAS DE EXPRESAR UN PORCENTAJE

● COMO UNA FRACCIÓN

“Las ¾ partes de la Tierra está formada por agua o el 75% de la Tierra está formada por agua”.

34= x

100 x=300

4=75o sea , 3

4= 75

100es decir

34=75

34=75

POR LO TANTO......

● Un porcentaje no es más que una razón en la que la cantidad total siempre se identifica con 100.

.34= 75

100=75%

Ahora te toca a ti trabajar

● Expresa como porcentaje las siguientes fracciones:

a) del alumnado de 2º aprueban las Matemáticas.

b) Si 5 de 29 alumnos de 2º ESO C lleva gafas ¿A qué porcentaje nos estamos refiriendo?

c) En las últimas elecciones sólo votaron de la población española . ¿Qué porcentaje fue?

23

35

● TANTO POR CIENTO DE UNA CANTIDAD

Calcular el tanto por ciento de una cantidad no es más que calcular la fracción de una cantidad.

Vamos a por el ejemplo...

“El 15 % de 29 alumnos y alumnas de 2º ESO C se calcula:

15100

de 29=15 · 29100

=4 ' 35

De otra forma:

● En lugar de multiplicar 29 por

podemos hacerlo directamente por 0'15 que es su expresión decimal.

0'15· 29 = 4'35● Pongámoslo en práctica...

15100

Coge tu bolígrafo y ¡¡a trabajaaaaaar!!

a) 30% de 50 = b) 12% de 120'5=

c) 62% de 1500= d) 0'7% de 2000=

e) 3% de 30 = f) 125% de 80=

● Comprueba la suma de todos los resultados tiene que darte el 20% de 5.371'8.

CÁLCULO DEL TOTAL CONOCIDA LA PARTE Y EL TANTO POR CIENTO

Hoy han faltado al ensayo de la banda 6 músicos, lo que supone el 20% del total. ¿Cuántos miembros tiene la banda?

Pensemos un poco...

Nos piden el total de componentes de la banda que se relaciona con el 100%.

Nos dan una parte en números (6 componentes) que se relaciona con el 20%.

NUMÉRICAMENTE:

6x= 20

100→ x=6 ·100

20=600

20=30componentes en total

Ya sabes que ahora te toca a ti ...

En las rebajas me han hecho un descuento del 30% en unas botas, y me comenta el dependiente que lo que me han rebajado son 12 €. ¿Cuánto costaban la botas en total inicialmente?

CÁLCULO DEL PORCENTAJE CONOCIDA LA PARTE Y EL TOTAL

● Si has entendido el procedimiento de los casos anteriores, debes saber como resolver este,¡¡¡ vamos al ataque !!!

En las últimas elecciones al consejo escolar, de un censo de 800 personas, la representante del alumnado recibió el voto de 500 ciudadanos. ¿Qué porcentaje de votantes apoyó a la actual representante?

A ver si lo has entendido...

● Total de alumnos y alumnas 800 se corresponde con el ….. %.

● Parte del alumnado 500 se corresponde con el....%.

% CANTIDADES 100 ---------------------- 800 X ---------------------- 500

x=100 ·500

800=62 ' 5

AUMENTOS PORCENTUALES

El aparcamiento de un centro comercial, que tiene 180 plazas, se va a ampliar incrementando su capacidad en un 20%. ¿Cuántas plazas tendrá cuando se termine esta ampliación?

Sigamos el método utilizado ya anteriormente de relacionar porcentajes con sus cantidades correspondientes

● TENED EN CUENTA: siempre consideraremos el 100% a la cantidad inicial.

CANTIDAD PORCENTAJE

180 ---------------------100%

X ---------------------120%

● Por lo tanto:

x=120 ·180100

=216 plazas

VEAMOS AHORA UN MÉTODO MÁS RÁPIDO...

● Como aumentamos un 20% deberemos calcular por tanto un120% la cantidad inicial, es decir

120% de 180= 1’20 · 180= 216 plazas

DISMINUCIÓN PORCENTUAL

En los últimos 2 meses, han habido 62 accidentes de tráfico. Después de tomar medidas de prevención, las autoridades esperan que se reduzca al menos en un 15%. ¿Cuál es el n.º de accidentes que se espera que haya en el tercer mes?