Bloque I. Números y medidas. Tema 6: Proporcionaliad y ...€¦ · * Dos magnitudes A y B son...

Bloque I Nuacutemeros y medidas Tema 6 Proporcionaliad y porcentajes TEORIacuteA

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IES LA ASUNCIOacuteN httpwwwieslaasuncionorg MATEMAacuteTICAS 2ordm ESO

1 INTRODUCCIOacuteN

El concepto de proporcionalidad nace a la vez que la actividad humana y aparece en los vestigios de todas las culturas - Una oveja por cinco gallinas dos ovejas por diez gallinas

En la antigua Grecia los matemaacuteticos reflexionaron sobre la proporcionalidad y empezaron a formalizar un cuerpo teoacuterico independientes de situaciones concretas Ejemplo la proporcioacuten aurea

En el Renacimiento el desarrollo del comercio dan un nuevo impulso a la proporcionalidad Nace la matemaacutetica comercial porcentajes descuentos deudas plazos

En la actualidad la proporcionalidad resulta imprescindible en el desarrollo de cualquier ciencia aplicada fiacutesica quiacutemica biologiacutea estadiacutestica etc Si te fijas veraacutes que la utilizas en multitud de situaciones cotidianas comprar distribuir predecir especular Varios ejemplos

Elaborar una receta de cocina es una actividad de magnitudes directamente proporcionales

httpwwwcocinatusrecetascom

La relacioacuten del tiempo que tarda un vehiacuteculo en recorrer

una distancia y su velocidad son magnitudes inversamente proporcionales

httpwwwdeportedigitalgaleoncomentrenacaltdvhtm

Planificar un trabajo para acabarlo a tiempo es una actividad de proporcionalidad compuesta

Para medir el nivel de un pantano o de un

depoacutesito se utilizan porcentajes httpwwwembalsesnet

Para calcular la subida de las pensiones se aplica un

aumento porcentual seguacuten la variacioacuten del IPC httpwwwineesvaripcindexdo

Las rebajas en supermercados y comercios se calculan aplicando una disminucioacuten porcentual

Ejemplo Continuamente vemos distintas ofertas en supermercados y comercios que intentan atraer la atencioacuten del consumidor bull Lleacutevese 3 y pague 2 bull La segunda unidad a mitad de precio bull Cuatro por el precio de tres bull 15 de descuento en todos los productos iquestCuaacutel es la oferta mejor si compras muchas unidades Ayuda Considera por ejemplo que deseas comprar 12 unidades y que cada una cuesta 1 euro sin oferta


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2 RAZONES Y PROPORCIONES

La razoacuten es la divisioacuten entre dos cantidades comparables b

a y se lee a es a b Los nuacutemeros a y b pueden ser

decimales

Ejemplo Si en la clase 2ordm ESO A hay 18 chicas y 12 chicos la razoacuten entre chicas y chicos es 2

3

12

18 (por cada 3 chicas

hay 2 chicos) y la razoacuten entre chicos y chicas es 3

2

18

12 (por cada 2 chicos hay 3 chicas)

Una proporcioacuten numeacuterica es la igualdad de dos razones d

c

b

a y se lee a es a b como c es a d Esa razoacuten constante

se llama tambieacuten constante de proporcionalidad

Ejemplo Si en 2ordm ESO B hay 15 chicas y 10 chicos la razoacuten entre chicas y chicos es 2

3

10

15 igual que en 2ordm ESO A y

por tanto una proporcioacuten numeacuterica entre el nuacutemero de chicas y de chicos siendo la razoacuten de proporcionalidad 512

3

Para calcular el teacutermino desconocido de una proporcioacuten d

c

b

a se despeja el teacutermino desconocido de la sencilla

ecuacioacuten Es decir

Si x es desconocido d

bcxbcdx

d

c

b

x o bien

c

daxx

c

daxcda

d

c

x

a

Ejemplo Si en 2ordm ESO C se mantiene la razoacuten de proporcionalidad entre chicas y chicos y hay 9 chicas iquestcuaacutentos chicos hay

Solucioacuten Si llamamos x al nordm de chicos es cos63

29329

2

39chixxx

x

Ejemplos

ERV 1 y 2


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3 DOS MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) una de ellas por un nuacutemero la otra queda multiplicada (o dividida) por el mismo nuacutemero

Ejemplo 1 En la imagen de la derecha las magnitudes son tiempo transcurrido y litros que vierte la fuente Son directamente proporcionales pues por ejemplo a doble tiempo doble litros

Si a un valor a de la magnitud A le corresponde un valor b de la magnitud B se puede comprobar que el cociente o razoacuten entre estos dos valores es siempre constante A esta

cantidad se le llama constante o razoacuten de proporcionalidad directa entre A y B b

ar

Es (nordm unidades magnitud A)(nordm de unidades magnitud B) = nordm de unidades magnitud A por cada unidad de magnitud B

En el ejemplo 1 la razoacuten entre el tiempo y los litros es min514

6Lr y la razoacuten entre los litros y el

tiempo es LsgLr 40min666706

4

Como las magnitudes son directamente proporcionales podriacuteamos construir la tabla (hallaremos los valores de x maacutes adelante)

Magnitud A (minutos) 4 42=8 43=12 42=2 44=1 46=0667 10 x

Magnitud B (litros) 6 62=12 63=18 62=3 64=15 66=1 x 30

Ejemplo 2 Sea la magnitud A nordm de kilos de manzanas que compramos y la magnitud B coste de la compra de manzanas A y B son magnitudes directamente proporcionales porque si por ejemplo duplicamos A (kilos de compra) se duplica B (coste de la compra) Observa que la razoacuten de proporcionalidad directa entre coste y kilos nos dariacutea lo que cuesta 1 kg de manzanas y la razoacuten de proporcionalidad directa entre kilos y coste nos dariacutea los kilos que compramos con 1 euro Por ejemplo si compramos 4 kg y nos cuestan 10 euro la razoacuten de proporcionalidad directa entre coste y kilos es

Kga

br euro52

4

10 y la razoacuten de proporcionalidad directa entre kilos y coste es euro40

10

4Kg

b

ar

Si las magnitudes A y B son directamente proporcionales y tenemos dos parejas de datos 11ba y xa 2

donde x es desconocido Podemos hallar x de dos formas Utilizando el procedimiento llamado regla de tres directa o bien por reduccioacuten a la unidad

Regla de tres directa Consiste en aprovechar la razoacuten o constante de proporcionalidad directa para calcular la x es decir

Es 1

12121

1

1

2 a

baxbaxa

a

b

a

xr

En el ejemplo 1 de la imagen superior podemos completar la tabla y hallar la x en los 2 casos de la siguiente forma

Magnitud A Magnitud B Tiempo transcurrido Litros vertidos

Lxx

Lx

L15

4

610

4

6

10min10

6min4

min206

430

6

4

3030min

6min4

xx

Lx

L

Magnitud A Magnitud B

a1 b1

a2 x


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Reduccioacuten a la unidad Consiste en calcular previamente el valor de la magnitud B correspondiente a una unidad de la magnitud A (es la constante proporcionalidad r entre B y A) y a partir de aquiacute es faacutecil hallar el valor de la magnitud B que hemos llamado x cuando la magnitud A es a2 pues rax 2 es decir

Si conocemos 11ba es ra

b11

1

1

y entonces es raaxa 222 Observa como es

1

122 a

barax

En el ejemplo 1 de la imagen superior para completar la tabla y hallar la x en los 2 casos hariacuteamos


4 min 6 L

darr 4 darr 4

1 min 15 L

darr x 10 darr x 10

10 min x= 15 L

Solucioacuten x=15 L


4 min 6 L

darr 6 darr 6

23 min 1 L

darr x 30 darr x 30

x=20 min 30 L


Ejemplo 3 Si 8 kilos de manzanas valen 1040 euros iquestcuaacutento costaraacuten 13 kilos Solucioacuten La relacioacuten entre las dos magnitudes es directamente proporcional pues por ejemplo a doble kilos doble coste Realizamos el ejercicio con los dos procedimientos

Regla de tres directa directa


Nordm kilos euros

8 Kg ---------- 1040 euro

13 Kg ---------- x euro

euro90168

401013

8

4010

13

x

x

Solucioacuten 1690 euro

Reduccioacuten a la unidad


Nordm kilos euros

8 Kg ---------- 1040 euro

darr 8 darr 8

1 Kg ---------- 130 euro

darr x 13 darr x 13

13 Kg ---------- x=1690 euro


Es preferible el procedimiento por reduccioacuten a la unidad cuando desconocemos el valor de la magnitud B para varios valores de la magnitud A En el ejemplo 3 anterior si queremos saber cuaacutento cuestan 12 Kg de manzanas basta multiplicar por 12 lo que cuesta 1 kg es decir

euro61530112 Si compramos 15 kg nos cuestan euro51930115 En cambio con el procedimiento de la regla de tres directa

tendriacuteamos que utilizar la foacutermula de la regla de tres en cada caso

Ejemplos

ERV 3 y 4


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4 DOS MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) una de ellas por un nuacutemero la otra queda dividida (o multiplicada) por el mismo nuacutemero

Ejemplo 1 En la imagen superior las magnitudes que intervienen son nordm de trabajadores y tiempo de descarga (h) Son inversamente proporcionales pues a doble nordm de trabajadores la mitad de tiempo

Si a un valor a de la magnitud A le corresponde un valor b de la magnitud B se puede comprobar que el producto de estos dos valores es siempre constante A este producto bam se le llama constante de proporcionalidad inversa

En la imagen superior la constante de proporcionalidad inversa es 12 h y equivale al tiempo que tardariacutea un solo operario en descargar el camioacuten Podriacuteamos construir la tabla siguiente (hallaremos los valores de x maacutes adelante)

Magnitud A (nordm trabajadores) 2 22=1 215=3 26=12 4 x

Magnitud B (tiempo descarga en horas) 6 62=12 615=4 66=1 x 15

Si las magnitudes A y B son inversamente proporcionales y tenemos dos parejas de datos 11ba y xa 2

donde x es desconocido Podemos hallar x de dos formas Utilizando el procedimiento llamado regla de tres inversa o bien por reduccioacuten a la unidad

Regla de tres inversa Consiste en aprovechar la constante de proporcionalidad inversa para calcular la x es decir

Es 2

11112 a

baxbaxam


Magnitud A Magnitud B Nordm trabajadores Tiempo descarga en horas

hxxhxtrab

htrab3

4

62462

4

62

hxxhtrabx

htrab8

51

625162

51

62


a1 b1

a2 x


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Reduccioacuten a la unidad Consiste en calcular previamente el valor de la magnitud B correspondiente a una unidad de la magnitud A (es la constante proporcionalidad) y a partir de aquiacute es faacutecil hallar el valor de la magnitud B que hemos llamado x cuando la magnitud A

es a2 pues 2a

mx es decir

Si conocemos 11ba es mba 11 11 y entonces es

222

a

maxa Observa como es

2

11

2 a

ba

a

mx


Magnitud A Magnitud B Nordm trabajadores Tiempo descarga (h)

2 trab 6 h

darr 2 darr x 2

1 trab 12 h

darr x 4 darr 4

4 trab x=3 h

Solucioacuten x=3 h


2 trab 6 h

darr x 6 darr 6

12 trab 1 h

darr 15 darr x 15

x=8 trab 15 h Solucioacuten x=8 trab

Ejemplo 2 18 alumnos han pagado 6 euros cada uno para comprar un regalo a una compantildeera iquestcuaacutento tendraacute que pagar cada uno si al final participan 24 alumnos Solucioacuten La relacioacuten entre las dos magnitudes es inversamente proporcional pues por ejemplo a doble alumnos cada uno paga la mitad Realizamos el ejercicio con los dos procedimientos

Regla de tres directa inversa


Nordm personas euros por alumno

18 alum -------------- 6 euro

24 alum -------------- x euro

euro50424

61861824

xx





18 alum ----------- 6 euro

darr 18 darr x 18

1 alum ------------ 108 euro

darr x 24 darr 24

24 alum ------------ x=450 euro


Es preferible el procedimiento por reduccioacuten a la unidad cuando desconocemos el valor de la magnitud B para varios valores de la magnitud A En el ejemplo 2 anterior si queremos saber cuaacutento pagan 15 alumnos basta dividir 108 euro (lo que pagariacutea si solamente participa 1 alumno) por 15 es decir euro20715108 Si participan 30 alumnos pagariacutean euro60330108 En cambio con el procedimiento de la

regla de tres inversa tendriacuteamos que utilizar la foacutermula de la regla de tres en cada caso Ejemplos

ERV 5 6 y 7


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5 PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

Un problema de proporcionalidad compuesta es cuando intervienen maacutes de dos magnitudes ligadas por relaciones de proporcionalidad directa o inversa Se resuelve de forma ordenada con el procedimiento de reduccioacuten a la unidad aunque tambieacuten se puede automatizar el proceso Veamos dos ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

ERV del 8 al 11


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6 PORCENTAJES

Un porcentaje se puede interpretar como una razoacuten o como un nuacutemero decimal (tanto por uno)

Tanto por ciento Razoacuten Decimal o tanto por uno

30 100

30

03

Reglas praacutecticas para calcular tantos por ciento

a) Caacutelculo del tanto por ciento El tanto por ciento se calcula dividiendo la cantidad parcial entre la cantidad total Ejemplo En una clase de 30 alumnos hay 18 chicas iquestqueacute tanto por ciento de los alumnos de la clase son chicas

b) Caacutelculo de la cantidad parcial conocidas la cantidad total y el tanto por ciento La cantidad parcial se calcula multiplicando la cantidad total por el tanto por ciento expresado como decimal (tanto por uno) Ejemplo En una clase de 20 alumnos el 10 suspende matemaacuteticas iquestcuaacutentos suspenden matemaacuteticas

c) Caacutelculo de la cantidad total conocidas la cantidad parcial y el tanto por ciento Llamamos x a la cantidad total y planteamos y resolvemos la sencilla ecuacioacuten que resulta de utilizar lo explicado en b) Ejemplo En una clase hay 21 chicas que representa el 28 del total de alumnos iquestCuaacutentos alumnos hay en clase

d) Problemas de aumentos porcentuales Aumentar una cantidad x en un a equivale a calcular el (100+a) de dicha cantidad x Ejemplo En una clase hay 20 alumnos pero el curso siguiente aumenta un 15 iquestcuaacutentos alumnos tendraacute el curso siguiente

e) Problemas de disminuciones porcentuales Disminuir una cantidad x en un a equivale a calcular el (100ndasha) de dicha cantidad x Ejemplo En una clase de 25 alumnos el 12 no asiste a clase por enfermedad iquestCuaacutentos alumnos asiste a clase ese diacutea

f) Encadenamiento de variaciones porcentuales Ejemplo En una clase hay 24 alumnos El curso que viene aumenta un 25 y el siguiente disminuye un 10 iquestCuaacutentos alumnos habraacute dentro de dos antildeos iquestA queacute porcentaje de aumento o de disminucioacuten corresponde

Ejemplos

ERV del 12 al 16


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7 INTEREacuteS BANCARIO

Se llama intereacutes al beneficio que produce el dinero prestado Se llama reacutedito o tipo de intereacutes al tanto por ciento de beneficio anual Por ejemplo un reacutedito de un 4 significa que tenemos un beneficio anual de 4 euro por cada 100 euro prestados o de 004 euro por cada euro

El beneficio o intereacutes es directamente proporcional a la cantidad prestada y al tiempo que dura el preacutestamo y por tanto si llamamos r al reacutedito en tanto por uno y no en tanto por ciento c al capital inicial prestado y t a los antildeos del preacutestamo podemos hallar los intereses generados I utilizando una regla de tres compuesta

I

r

tc

11 trcI

No es necesario recurrir a la regla de tres compuesta para deducir la foacutermula trcI pues el producto rc nos da los intereses en un antildeo y si el capital se presta t antildeos los intereses al cabo de t antildeos son evidentemente trcI (observa la imagen de la izquierda)

Si llamamos Cfinal al capital final despueacutes de haber prestado un capital de c euros a un reacutedito anual de 100r durante t antildeos seraacute

trccIcC final

Si el tiempo t estaacute expresado en meses entonces la foacutermula es 12

trcI

ya que t meses son

12

t antildeos

Si el tiempo t estaacute expresado en diacuteas entonces la foacutermula es 365

trcI

ya que t diacuteas son

365

t antildeos

Nota El intereacutes que hemos estudiado se llama intereacutes simple porque los intereses no se acumulan al capital depositado para generar nuevos intereses En cursos superiores estudiaraacutes el intereacutes compuesto donde los intereses siacute se acumulan al capital para generar nuevos intereses

Ejemplos

ERV 17

ERV 18 al 128

Bloque I Nuacutemeros y medidas Tema 6 Proporcionaliad y porcentajes Ejercicios resueltos en httpwwwjosejaimecomvideosdematematicas

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TEORIacuteA Y EJERCICIOS BAacuteSICOS (del 1 al 16)

La razoacuten entre dos cantidades comparables Proporciones Reduccioacuten a la unidad

1 (1ordm ESO) a) iquestQueacute es la razoacuten entre dos cantidades Calcula las razones entre las siguientes cantidades e interpreta el resultado a1) Una botella contiene 15 L y otra 05 L a2) Una habitacioacuten mide 248 m2 y otra 124 m2 a3) Juan pesa 66 kg y Mariacutea 55 kg a4) Un coche cuesta 13000 euro y otro 10000 euro b) Calcula la cantidad de una magnitud correspondiente a una unidad de la otra magnitud Interpreta el resultado b1) 25 kg de pescado cuestan 10 euro b2) Un coche recorre 500 km en 5 horas b3) 75 m de tela cuestan 15 euro b4) 25 kg de fruta se consumen en 2 diacuteas b5) Un grifo vierte 15 L de agua cada 10 minutos

2 a) Elige la respuesta correcta en cada caso a1) La razoacuten de 5 y 15 es 12 13 23 3 a2) La razoacuten de 24 y 36 es 23 34 32 25 b) Escribe tres parejas de nuacutemeros cuya razoacuten sea 25 c) Calcula el teacutermino desconocido en cada proporcioacuten

c1) x

5

3

1 c2)

7

35

3

x c3)

35

73

x c4)

x

13

15

6

d) La razoacuten de las edades de Rita y Manuel es 910 Si Rita tiene 18 antildeos iquestcuaacutentos tiene Manuel

Relacioacuten de proporcionalidad directa entre dos magnitudes

3 (1ordm ESO) a) iquestCuaacutendo dos magnitudes son directamente proporcionales b) Di cuaacuteles de los siguientes pares de magnitudes son directamente proporcionales b1) El peso de una sandiacutea y su precio b2) La edad de una persona y su altura b3) El tiempo que caminas a velocidad constante y la distancia que recorres b4) La talla de un pantaloacuten y su precio b5) El tiempo que permanece abierto un grifo y la cantidad de agua que arroja b6) El precio de un libro y su nuacutemero de paacuteginas b7) El lado de cuadrado y su aacuterea b8) El lado de un cuadrado y su periacutemetro b9) Las horas dedicadas a estudiar matemaacuteticas y la nota obtenida en esa asignatura c) Si dos balones cuestan 10 euro c1) iquestCuaacutento cuestan 3 balones c2) iquestCuantos balones puedo comprar con 25 euro (Resuelve ambas preguntas por el meacutetodo de reduccioacuten a la unidad y por el meacutetodo de la regla de tres directa)

4 a) Resuelve mentalmente a1) Un grifo arroja 12 litros de agua en 3 minutos iquestCuaacutentos litros arroja en 5 minutos a2) Tres cajas de chinchetas pesan 150 gramos iquestCuaacutento pesan 10 cajas b) iquestCuaacutento pagareacute por 300 gramos de un salmoacuten ahumado que se vende a 16 euro el kilo c) Por dejar el coche en un aparcamiento durante 4 horas ayer pagueacute 5 euro iquestCuaacutento pagareacute hoy por 7 horas

Relacioacuten de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes

5 (1ordm ESO) a) iquestCuaacutendo dos magnitudes son inversamente proporcionales b) Di cuaacuteles de los siguientes pares de magnitudes son inversamente proporcionales b1) El nuacutemero de operarios que descargan un camioacuten y el tiempo que tardan en descargarlo b2) La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en cubrir la distancia entre dos ciudades b3) El tiempo transcurrido desde la compra de un coche y el valor de dicho coche b4) El precio de las manzanas y los kilos que puedo comprar con el dinero que llevo b5) La estatura de una persona y el nuacutemero de hermanos


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b6) La capacidad de un vaso y el nuacutemero de vasos necesarios para llenar una determinada jarra b7) Las longitudes de los lados de un rectaacutengulo de 20 cm2 de aacuterea c) Con una carga de heno tenemos alimento para alimentar dos caballos durante 30 diacuteas c1) iquestCuaacutentos diacuteas podreacute alimentar 6 caballos con esa carga de heno c2) iquestCuaacutentos caballos tengo si esa carga de heno se termina a los 15 diacuteas (Resuelve ambas preguntas por el meacutetodo de reduccioacuten a la unidad y por el meacutetodo de la regla de tres inversa)

6 Un conducto de agua con un caudal de 3 litros por segundo tarda 20 minutos en llenar un depoacutesito a) iquestCuaacutento tardariacutea con un caudal de 2 litros por segundo b) iquestY si fuera de 10 litros por segundo c) iquestQueacute fraccioacuten de depoacutesito se llena durante 10 minutos con el caudal inicial de 3 litros por segundo

7 (1ordm ESO) a) Lola ha comprado 6 Kg de naranjas por 2 euros Completa la tabla

Magnitud A Kg de naranjas

Magnitud B Coste de las naranjas en euros

6 2

1

12

30

1

4

6

b) Un grifo que aporta un caudal de 3 litros por minuto llena un depoacutesito en 12 minutos Completa la tabla

Magnitud A Caudal en Lmin

Magnitud B Minutos que tarda en

llenar el depoacutesito

3 12

1

2

9

1

4

18

Problemas de proporcionalidad compuesta

8 a) iquestCuaacutendo un problema se dice que es de proporcionalidad compuesta b) Una cuadrilla de albantildeiles trabajando 10 horas al diacutea han construido 600 m2 de pared en 18 diacuteas iquestCuaacutentos metros cuadrados construiraacuten en 15 diacuteas trabajando 8 horas diarias

9 Una excavadora trabajando 10 horas al diacutea abre una zanja de 1 000 metros en 8 diacuteas iquestCuaacutento tardariacutea en abrir una zanja de 600 m trabajando 12 horas al diacutea

10 Si se abren tres bocas de riego con un caudal de 15 litros por segundo cada una un aljibe se vaciacutea en 8 horas iquestDurante cuaacutento tiempo dariacutea servicio el aljibe si se abrieran cuatro bocas de riego con un caudal de 09 litros por segundo cada una

11 Un granjero ha necesitado 294 kilos de pienso para alimentar a 15 vacas durante 7 diacuteas iquestDurante cuaacutentos diacuteas podriacutea alimentar a 10 vacas si dispusiese de 840 kilos de pienso

Porcentajes


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12 (1ordm ESO) a) Define el tanto por ciento b) Caacutelculo de la parte Halla el 12 de 380 c) Caacutelculo del total El 40 de una cantidad es 26 iquestCuaacutel es esa cantidad d) Caacutelculo del porcentaje De los 22 alumnos de una clase 12 votaron a la actual delegada iquestQueacute porcentaje votoacute a la actual delegada e) Disminuciones porcentuales Un televisor costaba 900 euro iquestCuaacutento cuesta ahora si tiene un descuento del 15 f) Aumentos porcentuales Un billete de avioacuten a Pariacutes costaba el verano pasado 460 euro pero desde entonces ha subido un 20 iquestCuaacutel es el precio actual del billete g) Si una prenda te cuesta 21 euro tras una rebaja del 25 iquestCuaacutento costaba antes de las rebajas h) Si un litro de gasolina cuesta 1275 euro tras una subida del 2 iquestCuaacutento costaba antes de la subida i) Si una prenda costaba 50 euro y te han cobrado 475 euro iquestCuaacutel es el porcentaje de descuento j) Si un artiacuteculo cuesta 23 euro sin IVA y 2392 euro con IVA iquestQueacute porcentaje de IVA estaacuten aplicando al artiacuteculo

13 a) Caacutelculo del total conocidos el tanto por ciento y la parte De la nueva autopista en construccioacuten ya se han completado 63 km lo que supone un 35 del total proyectado iquestCuaacutel seraacute la longitud de la carretera una vez finalizada b) Caacutelculo del porcentaje conocidos el total y la parte De los 180 km proyectados para una autopista ya se han completado 63 km iquestQueacute porcentaje estaacute ya construido c) Disminuciones porcentuales iquestCuaacutel es el coste final de una bicicleta de 620 euro que estaacute rebajada un 15 d) Hemos pagado 527 euro por una bicicleta rebajada un 15 iquestCuaacutento costaba antes de la rebaja e) Una bicicleta que costaba 620 euro se ha vendido en las rebajas por 527 euro iquestQueacute porcentaje se ha rebajado f) Aumentos porcentuales Un viticultor recogioacute en la campantildea pasada 180 toneladas de uva pero este antildeo espera un 20 maacutes iquestCuaacutentas toneladas espera cosechar este antildeo g) Un viticultor ha recogido 216 t de uva lo que representa un 20 maacutes que el antildeo pasado iquestCuaacutentas toneladas recogioacute el antildeo pasado h) Un viticultor recogioacute el antildeo pasado 180 toneladas de uva y este antildeo 216 toneladas iquestEn queacute porcentaje ha aumentado su produccioacuten i) En un programa de televisioacuten la persona entrevistada comenta que el presupuesto en poliacuteticas de activacioacuten de empleo ha pasado de 140 millones de euros a 100 millones y por tanto ha habido una reduccioacuten del 40 iquestEs correcta la afirmacioacuten j) Encadenamiento de variaciones porcentuales Unas acciones que valiacutean 1000 euro suben un 60 Despueacutes vuelven a subir el 25 iquestCuaacutento valen ahora iquestCuaacutel es el porcentaje total de subida

14 Copia y completa en tu cuaderno asociando cada porcentaje con un nuacutemero decimal

Porcentaje 35 24 8 95 120 200 245

Expresioacuten decimal o tanto por uno 035 052 003 150 00057

15 Un avioacuten transporta 425 viajeros El 52 son europeos el 28 americanos el 12 africanos y el resto asiaacuteticos iquestCuaacutel es el porcentaje de asiaacuteticos iquestCuaacutentos asiaacuteticos viajan en el avioacuten

16 Una guitarra de 800 euro sube el 50 Despueacutes baja el 50 iquestQueda como estaba

Intereses bancarios

17 a) Define intereacutes reacutedito o tipo de intereacutes capital inicial y capital final Demuestra la foacutermula trcI iquestCuaacutel es la diferencia entre intereacutes simple e intereacutes compuesto b) Calcula el intereacutes producido por un capital de 900 euro al 45 en 2 antildeos c) iquestQueacute intereacutes debo pagar por un preacutestamo de 3000 euros al 8 que devuelvo al cabo de 5 antildeos d) iquestQueacute capital se debe depositar al 3 para que despueacutes de 5 antildeos produzca 750 euro e) iquestA queacute reacutedito se debe depositar un capital de 5280 euro para que produzca un intereacutes de 264 euro en 15 meses f) iquestDurante cuaacutentos meses se deben dejar depositados 4800 euro al 5 para obtener un capital total de 5160 euro

Otros ejercicios del tema

18 (1ordm ESO) Lola ha comprado cinco cromos por cuarenta ceacutentimos Completa la tabla sabiendo que todos los cromos de la coleccioacuten tienen el mismo precio

Ndeg DE CROMOS 1 2 3 4 5 6 10 15 20

COSTE (EUROS) 040


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19 (1ordm ESO) Dos paquetes de galletas pesan 05 kg Completa la tabla que relaciona el nuacutemero de paquetes con su peso

Ndeg DE PAQUETES 1 2 3 4

peso (kg) 05 2

20 (1ordm ESO) Una cuadrilla de cinco operarios municipales limpia el polideportivo en 6 horas Completa la tabla siguiente con los tiempos que tardariacutean en hacer el mismo trabajo otras cuadrillas con distinto nuacutemero de trabajadores iquestQueacute relacioacuten existe entre las dos magnitudes consideradas Justifica tu respuesta

Ndeg DE OPERARIOS 1 2 3 4 5 6 10

TIEMPO (HORAS) 6

21 (1ordm ESO) Resuelve por reduccioacuten a la unidad a) Dos kilos de patatas cuestan 080 euro iquestCuaacutento cuestan cinco kilos b) Un canguro avanza 12 metros en cuatro saltos iquestCuaacutento avanza en 10 saltos c) Tres barras de pan pesan 600 gramos iquestCuaacutento pesan dos barras d) Por el alquiler de una bicicleta durante dos horas pago 3 euro iquestCuaacutento pagareacute si la alquilo durante siete horas e) Un grifo abierto durante cinco minutos hace que el nivel de un depoacutesito suba 20 centiacutemetros iquestCuaacutento subiraacute el nivel en siete minutos f) Por un gasto de 20 euro te dan 3 cupones-descuento iquestCuaacutentos cupones te daraacuten por un gasto de 140 euro

22 (1ordm ESO) Juan y Carmela dejan sus coches en un aparcamiento a las 8 de la mantildeana Juan lo retira a las 12 h y paga 34 euro iquestCuaacutento pagaraacute Carmela si lo retira a las 17 h

23 (1ordm ESO) Calcula mentalmente a) 12 de 400 b) 50 de 324 c) 25 de 300 d) 6 de 800 e) 75 de 200 f) 10 de 500

24 (1ordm ESO) Calcula mentalmente a) 20 de ___ es 80 b) 8 de ___ es 24 c) 50 de ___ es 241 d) 25 de ___ es 75 e) 10 de ___ es 40 f) 40 de ___ es 80 g) 6 de ___ es 30 h) 75 de ___ es 15

25 (1ordm ESO) Calcula mentalmente a) El ___ de 200 es 60 b) El ___ de 200 es 24 c) El ___ de 300 es 15 d) El __ de 6 es 3

26 (1ordm ESO) El 35 de una poblacioacuten de 20000 habitantes vive en casas de alquiler iquestCuaacutentas personas viven en casa propia

27 (1ordm ESO) En el estante de los zumos de un supermercado hay 900 botellas Un 25 son de zumo de tomate un 45 de naranja un 20 de pera y el resto de melocotoacuten iquestCuaacutentas botellas hay de cada sabor

28 (1ordm ESO) En un teatro de 540 localidades se han vendido el 65 de las entradas para la sesioacuten de la noche Si cada entrada cuesta 25 euro iquestcuaacutel ha sido la recaudacioacuten de la noche

29 (1ordm ESO) Una familia compra un frigoriacutefico que cuesta 840 euro pagando el 30 al contado y el resto en 6 plazos mensuales sin recargo iquestCuaacutel es el importe de cada plazo

30 (1ordm ESO) El 65 de los vecinos de un pueblo costero viven de la pesca iquestCuaacutentos vecinos tiene el pueblo sabiendo que hay 975 pescadores

31 (1ordm ESO) En un pueblo costero de 1500 habitantes el 65 viven de la pesca iquestCuaacutentas personas viven de la pesca

32 (1ordm ESO) Un pueblo tiene 1500 vecinos de los que 975 viven de la pesca iquestQueacute tanto por ciento son pescadores

33 En mi clase somos 25 alumnos y hay tres que han sacado sobresaliente en Matemaacuteticas iquestCuaacutel es el porcentaje de sobresalientes

34 (1ordm ESO) Resuelve mentalmente a) Dos cajas de galletas cuestan 4 euro iquestCuaacutento costaraacuten tres cajas b) Doscientos gramos de mortadela cuestan 180 euro iquestCuaacutento cuestan 300 gramos c) Dos jardineros siegan un parque en 3 horas iquestCuaacutento tardariacutea uno solo iquestY tres jardineros d) Un ciclista a 20 kmh tarda 30 minutos en cubrir cierto recorrido iquestCuaacutento tardaraacute una moto a 60 kmh


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35 (1ordm ESO) En una bodega con dos maacutequinas embotelladoras se envasa la cosecha de vino en 15 diacuteas iquestCuaacutento se tardariacutea teniendo una maacutequina maacutes

36 (1ordm ESO) Un jardinero necesita 20 macetas para sembrar los bulbos que tiene si coloca 3 de ellos en cada maceta iquestCuaacutentas necesitariacutea si colocase 4 bulbos en cada una

37 (1ordm ESO) Un besugo de un kilo y doscientos gramos ha costado 1440 euro iquestCuaacutento costaraacute otro besugo de ochocientos gramos

38 (1ordm ESO) En el plano de una casa el saloacuten mide 10 cm de largo por 7 cm de ancho Si en la realidad el largo es de 5 m iquestcuaacutel es la anchura del saloacuten

39 (1ordm ESO) Dos socios montan un negocio aportando 20000 euro y 15000 euro respectivamente Para compensar la diferencia cada uno se compromete a trabajar un nuacutemero de horas inversamente proporcional a la cantidad aportada Si el primero dedica al negocio 3 horas al diacutea iquestcuaacutentas horas al diacutea debe dedicar el segundo

40 (1ordm ESO) Un empresario premia a tres empleados con un incentivo econoacutemico directamente proporcional a los antildeos de antiguumledad en la empresa El mayor que lleva 20 antildeos recibe 500 euros iquestCuaacutento recibiraacuten los otros dos que llevan en la empresa 15 antildeos y 8 antildeos respectivamente

41 (1ordm ESO) En un comedor escolar de 75 comensales se han consumido 230 kilos de pescado en dos meses a) iquestCuaacutentos kilos de pescado consumiraacuten 75 comensales en un mes b) iquestCuaacutentos kilos consumiraacuten 150 comensales en un mes c) iquestCuaacutentos kilos consumiraacuten 150 comensales en tres mes

42 (1ordm ESO) El banco me hace esta oferta si deposito 4 000 euros durante un antildeo me dan un 45 de intereses iquestQueacute beneficio obtendriacutea en la operacioacuten

43 (1ordm ESO) Un embalse teniacutea al finalizar el verano 24 hectoacutemetros cuacutebicos de agua En otontildeo las reservas han aumentado en un 25 iquestCuaacutenta agua tiene al comenzar el invierno

44 (1ordm ESO) Por un videojuego que costaba 60 euro he pagado 48 euro iquestQueacute porcentaje me han rebajado

45 (1ordm ESO) He pagado 34 euro por una camisa que estaba rebajada un 15 iquestCuaacutento costaba la camisa sin rebaja

46 (1ordm ESO) Una parcela en forma de romboide tiene 20 m de largo y 9 de ancho iquestCuaacutento mediraacute de ancho otra parcela que tiene igual aacuterea y 15 m de largo

47 (1ordm ESO) En un paquete de galletas de 250 g se afirma que 50 g son gratis iquestCuaacutel es el porcentaje del peso que no pagamos

48 (1ordm ESO) En un supermercado ofrecen un paquete de botellas de refresco por 9 euro con la siguiente oferta 2 x 3 que significa que pagas dos paquetes y te llevas tres Una persona se lleva 18 paquetes iquestCuaacutento tuvo que pagar

49 (1ordm ESO) Un comerciante antildeade un 50 al precio de compra de sus artiacuteculos al mayorista En periodo de rebajas decide aplicar un descuento del 50 al precio que marca la etiqueta de cada artiacuteculo a) Un artiacuteculo que le costoacute al comerciante 400 euro iquestcuaacutento cuesta en periodo de rebajas b) iquestPor queacute pierde dinero si el porcentaje de incremento y de rebaja es el mismo c) iquestQueacute porcentaje pierde del dinero invertido en cada artiacuteculo vendido en rebajas

50 Una maacutequina embotelladora llena 750 botellas en un cuarto de hora iquestCuaacutento tardaraacute en llenar 1 000 botellas

51 En un taller de confeccioacuten se han necesitado siete metros y medio de tela para confeccionar 6 camisas iquestCuaacutentos metros de tela se necesitaraacuten para cubrir un pedido de ochenta camisas Resueacutelvelo utilizando la constante de proporcionalidad

52 Un granjero ha gastado 260 euro en 325 dosis de vacuna para su ganado iquestCuaacutento debe gastar auacuten si necesita adquirir 180 dosis maacutes

53 En un colegio que tiene 480 alumnos tres de cada diez han tenido gripe iquestCuaacutentos alumnos han padecido esa enfermedad Resueacutelvelo utilizando la constante de proporcionalidad

54 De la vendimia de las 10 primeras parras de una vintildea se han obtenido 125 kilos de uva iquestQueacute cosecha cabe esperar de toda la vintildea que tiene 362 parras


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55 iquestCuaacutento costaraacute un trozo de queso de 465 gramos si el queso se vende a 135 euros el kilo (Redondea el resultado a los ceacutentimos)

56 Obteacuten la constante de proporcionalidad y los valores de x e y en esta tabla de proporcionalidad directa

Magnitud A 3 4 5 y

Magnitud B 12 16 x 6

57 El trabajo de recoleccioacuten de la aceituna de una finca puede ser realizado por 70 obreros durante 45 diacuteas Si el plazo que se tiene es de 30 diacuteas iquestcuaacutentos obreros maacutes deberaacuten contratarse

58 En una planta envasadora 5 maacutequinas envasan un pedido de 45 000 botes trabajando 6 horas diarias Si se averiacutean dos maacutequinas iquestcuaacutentas horas diarias deben trabajar las maacutequinas restantes para envasar un pedido de 36000 botes

59 Un reloj se adelanta 4 minutos cada 28 h iquestCuaacutento tiempo se adelantaraacute cada semana

60 Un grifo vierte 30 litros por minuto y tarda 3 h en llenar un depoacutesito iquestCuaacutento tiempo necesitaraacute para llenar el mismo depoacutesito otro grifo que vierte 45 litros por minuto

61 Una pieza de tela de 42 m vale 210 euro iquestCuaacutento costaraacute una pieza de 64 m de la misma tela

62 El tablero de una mesa tiene 120 cm de largo por 80 cm de ancho Si se desea una mesa de 150 cm de largo y con la misma superficie iquestcuaacutento debe medir de ancho

63 En una mezcla de azuacutecar el 20 es azuacutecar moreno Si hay 150 g de azuacutecar moreno en la mezcla iquestcuaacutento pesa el total de la misma

64 En una fiesta de cumpleantildeos hay 60 botellas de refresco Si hay 9 botellas de limoacuten iquestcuaacutel es el tanto por ciento de este tipo de refresco

65 Un comerciante paga 12 euro por unas figuras de cristal Si se desea ganar el 64 del precio de costo iquesta queacute precio se debe vender cada figura

66 Hoy han faltado al ensayo de la banda 6 muacutesicos lo que supone un 20 del total iquestCuaacutentos muacutesicos componen la banda

67 A Marta le han subido el sueldo un 10 y ahora gana 1760 euro al mes iquestCuaacutel era su sueldo antes de la subida

68 Una falda rebajada un 15 ha costado 3655 euro iquestCuaacutento costaba sin rebaja

69 En cierta ciudad el nuacutemero de usuarios de internet ha llegado a 21000 lo que supone un aumento de un 20 respecto del antildeo anterior iquestCuaacutentos usuarios de internet habiacutea hace un antildeo

70 El precio del kilo de tomates subioacute un 20 y despueacutes baja un 25 Si antes costaba 180 euro iquestcuaacutel es el precio actual

71 Adriano teniacutea ahorrados 200 euro y ha gastado 50 euro en un reproductor MP3 iquestQueacute tanto por ciento de sus ahorros ha gastado

72 De las 24 solicitudes de trabajo que ha recibido una empresa ha aceptado 21 iquestQueacute porcentaje ha sido rechazado

73 Una vivienda que costoacute 280000 euro hace tres antildeos se ha vendido ahora por 350000 euro iquestQueacute tanto por ciento ha subido en este periodo

74 Un obrero gana 540 euro por trabajar 15 diacuteas a razoacuten de 6 h diarias iquestCuaacutento ganaraacute por 8 diacuteas de trabajo a razoacuten de 9 h diarias

75 En unas vacaciones 7 personas gastan 63 euro diarios en alimentacioacuten Calcula cuaacutentas personas podraacuten alimentarse durante 30 diacuteas con 3240 euro

76 Un trabajo se ha realizado con 50 obreros que emplearon 15 diacuteas trabajando 10 h diarias Si el trabajo se hiciese con 75 obreros durante 20 diacuteas iquestcuaacutentas horas diarias tendriacutean que trabajar

77 El precio por transportar 800 kg de mercanciacutea a una distancia de 120 km es de 80 euro iquestQueacute precio se pagaraacute por transportar 1200 kg a 450 km

78 Una obra se hace con 24 obreros durante 18 diacuteas a razoacuten de 8 h diarias iquestCon cuaacutentos obreros se hariacutea la misma obra en 12 diacuteas a razoacuten de 9 h diarias


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79 Cinco grifos abiertos 15 h diarias han vertido agua por valor de 25 euro iquestQueacute coste de agua se tendraacute con 12 grifos abiertos 6 h diarias durante el mismo periacuteodo de tiempo

80 Un libro tiene 630 paacuteginas y cada una de ellas tiene 60 liacuteneas de 80 caracteres Si se escribe el mismo libro con 70 liacuteneas en cada paacutegina y cada liacutenea tiene 90 caracteres iquestcuaacutentas paacuteginas tendraacute el libro

81 a) iquestQueacute intereacutes generaraacute un capital de 5400 euro durante 6 meses al 35 anual b) iquestDurante cuaacutentos meses se deben depositar 3000 euro al 5 de reacutedito para obtener 1125 euro de intereacutes c) iquestA queacute reacutedito se deben depositar 9000 euro durante 180 diacuteas para obtener 270 euro

82 a) iquestQueacute intereacutes produce un capital de 7800 euro al 45 durante 3 antildeos b) Calcula el capital que hay que depositar al 3 durante 20 meses para que genere un intereacutes de 225 euro c) iquestCuaacutentos diacuteas debe estar un capital de 3600 euro al 4 de intereacutes para obtener 72 euro

83 En una granja hay pienso para 2400 gallinas durante 120 diacuteas Si se venden 600 gallinas iquestdurante cuaacutentos diacuteas se tendraacute alimento para las gallinas que quedan sin variar la racioacuten

84 Para hacer una obra en 120 diacuteas hacen falta 20 obreros trabajando 8 h diarias iquestCuaacutentos diacuteas durariacutea la misma obra si hubiese 16 obreros trabajando 6 h diarias

85 Transportar 250 cajas a 400 km de distancia cuesta 320 euro iquestCuaacutentas cajas pueden transportarse a una distancia de 300 km por 720 euro

86 Cuatro grifos llenan a la vez un depoacutesito de 8000 litros en 15 h iquestCuaacutento tiempo tardaraacuten cinco grifos iguales a los anteriores en llenar a la vez un depoacutesito de 12000 litros

87 Si el 15 de una masa de bollo es leche iquestcuaacutenta leche contiene un bollo de 250 g

88 En una mezcla de pienso para conejos hay un 15 de fibra iquestQueacute cantidad de pienso se le debe dar a un conejo si se quiere que ingiera 27 g de fibra

89 Jaime ha pagado 27 euro por una camisa que costaba 36 euro iquestCuaacutel es el descuento que se ha aplicado

90 En un pueblo ha disminuido la poblacioacuten un 8 en los uacuteltimos cinco antildeos Si auacuten quedan 782 habitantes iquestcuaacutentos habiacutea en el pueblo

91 La razoacuten de dos nuacutemeros es 25 Sabiendo que el mayor de ellos es 35 calcula el otro

92 Un transportista cobra 810 euro por trasladar una carga a 45 km de distancia iquestCuaacutento cobraraacute por trasladar la misma carga a 150 km

93 Un trabajo mecanografiado tiene 70 paacuteginas y cada una de ellas tiene 36 liacuteneas iquestCuaacutentas paacuteginas tendriacutea el mismo trabajo si cada paacutegina tuviese 30 liacuteneas

94 En una asociacioacuten de vecinos preparan un viaje y contratan un autocar Al principio se apuntan 45 personas que deben pagar 8 euro cada una Si anulan su viaje 9 personas iquestcuaacutento deberiacutea pagar cada una

95 Para hacer 90 kg de masa de bizcocho se necesitan 54 kg de harina iquestCuaacutentos kilos de harina se necesitaraacuten para hacer 160 kg de masa

96 Veinte obreros asfaltan un tramo de carretera en 60 diacuteas iquestCuaacutentos obreros haraacuten falta para asfaltar el mismo tramo en 25 diacuteas

97 Un grifo abierto 9 h diarias durante 8 diacuteas ha vertido 5400 litros de agua Si permanece abierto 6 h diarias durante 18 diacuteas iquestcuaacutentos litros habraacute vertido

98 Un grupo de 8 obreros han canalizado 400 m de tuberiacutea en 20 diacuteas iquestEn cuaacutento tiempo se canalizaraacuten 800 m si trabajan 10 obreros

99 Una persona lee un libro en 8 diacuteas dedicando 3 h diarias a razoacuten de 15 paacuteginas por hora iquestCuaacutentas horas diarias debe leer para acabar el libro en 20 diacuteas a razoacuten de 9 paacuteginas por hora


101 Se prepara para una fiesta una limonada con 15 litros de agua y 10 litros de zumo de limoacuten iquestQueacute porcentaje de zumo de limoacuten tiene la limonada


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102 El precio de un bono de 10 viajes de autobuacutes ha pasado de 84 euro a 882 euro iquestQueacute porcentaje de subida ha tenido el bono

103 En un cultivo de 130000 bacterias se ha producido un aumento del 15 iquestCuaacutentas bacterias se encuentran en el cultivo

104 En un ayuntamiento organizan todos los antildeos una campantildea para recoger dinero para las familias necesitadas Este antildeo han recogido un 12 maacutes que el antildeo pasado Si el antildeo anterior recogieron 13500 euro iquestcuaacutento han recogido este antildeo

105 Una rueda de 25 dientes estaacute engranada a otra rueda de 50 dientes Si aquella gira a 120 revoluciones por minuto iquesta cuaacutentas revoluciones por minuto giraraacute la segunda

106 En una granja se tiene alimento para 150 conejos durante 80 diacuteas Si al cabo de 20 diacuteas se venden 100 conejos iquestdurante cuaacutentos diacuteas se tendraacute alimento para los conejos que quedan sin variar la racioacuten

107 En una factura de 250 euro hemos pagado 290 euro por un recargo de demora iquestQueacute porcentaje han incrementado en la factura

108 En la imagen puedes ver el nuacutemero de reproducciones de un canal en youtube httpwwwyoutubecomuserjosejaimemas este mes (desde el 30102012 al 28112012) a) iquestQueacute porcentaje de las reproducciones se han hecho desde Espantildea b) iquestQueacute porcentaje se han hecho desde Argentina c) iquestCuaacutel es la razoacuten entre el nordm de visitas desde Espantildea y las de Meacutexico Interpreta ese nuacutemero d) iquestCuaacutel es el promedio estimado de minutos en cada reproduccioacuten e) iquestCuaacutel es el promedio de reproducciones al diacutea f) Para los proacuteximos 30 diacuteas se espera un aumento de reproducciones del 15 iquestCuaacutentas reproducciones se esperan iquestCambiaraacute el nuacutemero obtenido en el apartado c) iquestpor queacute g) El mes anterior hubo 5937 reproducciones iquestcuaacutel es el porcentaje de aumento eacuteste mes

109 En la compra de unos pantalones nos aplican un descuento del 20 Calcula el precio de los pantalones si hemos pagado 576 euro

110 Dos poblaciones separadas 5 cm en un mapa estaacuten a 35 km de distancia en la realidad iquestCuaacutel es la distancia real entre dos poblaciones que en el mapa distan 13 cm

111 Una empresa de confeccioacuten para cumplir con un pedido que ha de entregar en 12 diacuteas debe fabricar 2000 prendas cada diacutea Si por una averiacutea en las maacutequinas se retrasa el inicio del trabajo en dos diacuteas iquestcuaacutentas prendas diarias debe fabricar para cumplir a tiempo con el pedido

112 Cincuenta terneros consumen 4200 kilos de alfalfa a la semana a) iquestCuaacutel es el consumo de alfalfa por ternero y diacutea b) iquestCuaacutentos kilos de alfalfa se necesitan para alimentar a 20 terneros durante 15 diacuteas c) iquestDurante cuaacutentos diacuteas podemos alimentar a 10 terneros si disponemos de 600 kilos de alfalfa

113 En un taller de confeccioacuten con 6 maacutequinas tejedoras se han fabricado 600 chaquetas en 10 diacuteas a) iquestCuaacutentas prendas se fabricariacutean con 5 maacutequinas en 15 diacuteas b) iquestCuaacutentas maacutequinas habriacutea que poner en produccioacuten para fabricar 750 prendas en 15 diacuteas c) Si se trabajara solamente con 5 maacutequinas iquestcuaacutentos diacuteas se tardariacutea en fabricar 750 prendas

114 Una alfombra sinteacutetica de 180 m de largo por 90 cm de ancho ha costado 72 euro iquestCuaacutento costaraacute otra alfombra de la misma calidad que tiene 3 m de largo y 120 m de ancho

115 Cinco encuestadores trabajando 8 horas diarias completan los datos para un estudio de mercado en 27 diacuteas iquestCuaacutento tardariacutean en hacer el mismo trabajo 9 encuestadores trabajando 10 horas cada diacutea

116 El graacutefico representa la relacioacuten entre la poblacioacuten autoacutectona y la inmigrante en un pueblo agriacutecola del sur de Espantildea a) iquestQueacute fraccioacuten de la poblacioacuten es inmigrante


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b) iquestCuaacutentas de cada 1 000 personas son inmigrantes c) iquestCuaacutentas de cada 100 personas son inmigrantes d) iquestCuaacutel es el porcentaje de inmigrantes

117 Luisa tiene de tarea resolver 18 problemas de matemaacuteticas de los que ya ha solucionado maacutes del 65 pero menos del 70 iquestCuaacutentos problemas le quedan por resolver

118 De 5475 hombres encuestados solamente 76 declaran saber planchar iquestQueacute tanto por ciento de los hombres reconoce saber planchar

119 Una tarta que pesa un kilo y ochocientos gramos lleva un 10 de agua un 8 de proteiacutenas el doble de grasa que de proteiacutenas y el resto de hidratos de carbono iquestCuaacutentos gramos de hidratos de carbono hay en la tarta

120 Un depoacutesito de agua estaacute al 93 de su capacidad Si se antildeaden 14000 litros quedaraacute completo iquestCuaacutel es la capacidad del depoacutesito

121 Este mes ha habido en Elche 120 accidentes de traacutefico lo que mejora la cifra del antildeo pasado que fue de 160 accidentes iquestEn queacute tanto por ciento han disminuido este tipo de accidentes

122 Un hortelano tiene un campo de 3500 metros cuadrados y desea plantar un 45 de ellos de pimientos iquestCuaacutentas plantas pimenteras debe adquirir si coloca 9 plantas por metro cuadrado y siempre compra un 10 maacutes para reponer las que se estropean

123 Rauacutel tiene 13 antildeos y ha ingresado en el banco sus ahorros a un intereacutes simple a) Si el capital actual es de 1200 euro iquestqueacute capital tendraacute cuando cumpla 20 antildeos si el tipo de intereacutes es del 6 b) Si el capital actual es de 1200 euro iquestqueacute tipo de intereacutes deberiacutea ofrecerle el banco para duplicar su capital cuando cumpla 20 antildeos c) Si el capital actual es de 1200 euro iquestcuaacutendo duplicaraacute su capital si el tipo de intereacutes es del 6 iquesty si el capital hubiera sido de 100 euro iquestPor queacute no cambia el tiempo transcurrido d) iquestCuaacutel deberiacutea ser el capital inicial de Rauacutel para que cuando cumpla 20 antildeos tenga 2400 euro si el banco le ofrece el 6 de tipo de intereacutes

124 iquestQueacute intereacutes producen 800 euros al 6 durante un antildeo iquestY durante un mes iquestY durante 7 meses iquestY durante 5 diacuteas

125 En unos grandes almacenes rebajan un abrigo un 20 en las primeras rebajas y sobre ese precio vuelven a hacer otro 20 de descuento en las segundas rebajas iquestQueacute porcentaje del precio original se ha rebajado el abrigo Ayuda Supoacuten por ejemplo que el abrigo costaba inicialmente 100 euros

126 El 1 de marzo de 2002 desaparece la peseta despueacutes de 133 antildeos de historia dejando paso al euro El cambio se establece de la siguiente forma 1 euro equivale a 16638621 ptas a) Si el deacuteficit de la Comunidad Valenciana en 2011 fue de 1543 millones de euros iquestcuaacutel es el deacuteficit previsto para 2012 si se espera que aumente un 12 Expresa el resultado en euros y en pesetas b) iquestA cuaacutentos euros equivalen 1000 pesetas c) El precio de la entrada de cine en 1978 era de 25 ptas iquestA cuaacutentos euros equivalen Si ahora la entrada cuesta 8 euro iquestcuaacutel ha sido el porcentaje de subida

127 Dado un cuadrado de lado 3 cm sabemos que su periacutemetro es 12 cm y su aacuterea es 9 cm2 a) iquestCuaacutel es el periacutemetro y el aacuterea de un cuadrado de lado 6 cm iquesty si el lado es 9 cm b) iquestLa relacioacuten entre la magnitud A longitud del lado de un cuadrado y la magnitud B periacutemetro del cuadrado es directamente proporcional o inversamente proporcional Razona la respuesta c) iquestLa relacioacuten entre la magnitud A longitud del lado de un cuadrado y la magnitud B aacuterea del cuadrado es directamente proporcional o inversamente proporcional Razona la respuesta

128 El Gobierno espantildeol anuncioacute el 31 de noviembre de 2012 que no compensaraacute a los pensionistas por el desvioacute de la inflacioacuten en 2012 del 29 en noviembre y que en 2013 subiraacute las pensiones inferiores a 1000 euros un 2 por ciento frente al 1 por ciento de incremento general a) Un pensionista que cobra 628 euro mensuales en 2012 iquestcuaacutento cobraraacute en 2013 b) Un pensionista que cobra 1540 euro mensuales en 2012 iquestcuaacutento cobraraacute en 2013 c) iquestPara queacute pensionista la subida ha sido mayor iquestPor queacute la pregunta estaacute mal formulada d) iquestCuaacutel ha sido el porcentaje de peacuterdida de poder adquisitivo para cada pensionista Interpreta el resultado


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SOLUCIONES

1 (Ver viacutedeo)

2 c1) x=15 c2) x=15 c3) x=15 c4) x=325 d) 20 antildeos (Ver viacutedeo)

3 c1) 15 euro c2) 5 balones (Ver viacutedeo)

4 a1) 20 L a2) 500 g b) 48euro c) 875euro (Ver viacutedeo)

5 c1) 10 diacuteas c2) 4 caballos (Ver viacutedeo)

6 a) 30 min b) 6 min c) 12 (Ver viacutedeo)

7 (Ver viacutedeo)

8 b) 400 m2 (Ver viacutedeo)

9 4 diacuteas (Ver viacutedeo)

10 10 h (Ver viacutedeo)


12 b) 456 c) 65 d) 55 e) 750 euro f) 552 euro g) 28 h) 125 euro i) 5 j) IVA 4 (Ver viacutedeo)

13 a) 180 Km b) 35 c) 527euro d) 620euro e) 15 f) 216 t g) 180 t h) 20 i) 29 i) Un 100 (Ver viacutedeo)

14 (Ver viacutedeo)

15 8 34 asiaacuteticos (Ver viacutedeo)

16 No Cuesta 600 euro un 25 menos (Ver viacutedeo)

17 b) 81euro c) 1200euro 5000euro e) 4 f) 18 meses (Ver viacutedeo)

18 (Ver viacutedeo)

19 (Ver viacutedeo)

20 (Ver viacutedeo)

21 a) 2 euro b) 30 m c) 400 g d) 215 m e) 28 cm f) 21 cupones (Ver viacutedeo)

22 765 euro (Ver viacutedeo)

23 (Ver viacutedeo)

24 (Ver viacutedeo)

25 (Ver viacutedeo)

26 13000 personas (Ver viacutedeo)

27 225 de tomate 405 de naranja 180 de pera 90 de melocotoacuten (Ver viacutedeo)



30 1500 habitantes (Ver viacutedeo)


32 El 65 (Ver viacutedeo)

33 12

34 a) 6 euro b) 270 euro c) 6h 2h 10 min (Ver viacutedeo)


36 15 macetas (Ver viacutedeo)


38 35 m (Ver viacutedeo)


40 375 euro 200 euro (Ver viacutedeo)

41 a) 115 Kh b) 230 Kg c) 690 Kg (Ver viacutedeo)


43 3 hm3 (Ver viacutedeo)

44 Un 20 (Ver viacutedeo)





49 a) 300 euro c) El 25 (Ver viacutedeo)

50 20 minutos

51 100 m de tela (Ver viacutedeo)

52 144 euro

53 144 alumnos (Ver viacutedeo)

54 4525 Kg

55 6278 euro

56 x= 2 y=15 (Ver viacutedeo)

57 35 obreros (Ver viacutedeo)

58 8 hdiacutea (Ver viacutedeo)

59 24 min (Ver viacutedeo)

60 2 h

61 320 euro

62 64 cm (Ver viacutedeo)

63 750 g

64 15


66 30 muacutesicos


ndash20ndash


67 1600 euro

68 43 euro

69 17500 usuarios


71 El 25

72 El 125




76 5 h


78 32 obreros

79 24 euro

80 480 paacuteginas (Ver viacutedeo)

81 a) 945 euro b) 9 meses c) 608 (Ver viacutedeo)

82 a) 1053 euro b) 4500 euro c) 1825 diacuteas (Ver viacutedeo)

83 160 diacuteas

84 200 diacuteas

85 750 cajas

86 18 horas

87 375 g de leche

88 180 g (Ver viacutedeo)

89 25 de descuento

90 850 habitantes

91 14 (Ver viacutedeo)

92 2700 euro

93 84 paacuteginas


95 96 Kg de harina

96 48 obreros

97 8100 litros

98 32 diacuteas


100 a) 432 euro b) 20 meses c) el 507 (Ver viacutedeo)



103 149500 bacterias

104 15120 euro

105 60 RPM (Ver viacutedeo)


107 Un 16

108 a) 657 b) 52 c) 703 d) 263 min 2012 repdiacutea f) 69414 repr g) 16 (Ver viacutedeo)

109 72 euro

110 91 Km (Ver viacutedeo)

111 2400 prendas por diacutea

112 a) 12 Kb b) 3600 Kg c) 5 diacuteas (Ver viacutedeo)

113 a) 750 chaquetas b) 5 maacutequinas c) 15 diacuteas (Ver viacutedeo)

114 160 euro

115 12 diacuteas

116 a)18 b) 125 personas c) 125 inmigrantes 125 (Ver viacutedeo)

117 6 problemas (Ver viacutedeo)

118 1388

119 1188 g de hidratos de carbono (Ver viacutedeo)

120 200000 L (Ver viacutedeo)

121 Un 25

122 15593 plantas (Ver viacutedeo)

123 a) 1704 euro b) 143 c) 16 antildeos 8 meses d) 169014 euro (Ver viacutedeo)

124 48 euro 4 euro 28 euro 066 euro (Ver viacutedeo)

125 Descuento del 36 (Ver viacutedeo)

126 a) 1561516 millones euros 2598147291 millones pesetas b) 601 euro c) 015 euro Incremento del 5233 (Ver viacutedeo)

127 (Ver viacutedeo)

128 64056 euromes b) 155540 euro (Ver viacutedeo)


ndash2ndash


2 RAZONES Y PROPORCIONES

La razoacuten es la divisioacuten entre dos cantidades comparables b

a y se lee a es a b Los nuacutemeros a y b pueden ser

decimales

Ejemplo Si en la clase 2ordm ESO A hay 18 chicas y 12 chicos la razoacuten entre chicas y chicos es 2

3

12

18 (por cada 3 chicas

hay 2 chicos) y la razoacuten entre chicos y chicas es 3

2

18

12 (por cada 2 chicos hay 3 chicas)

Una proporcioacuten numeacuterica es la igualdad de dos razones d

c

b

a y se lee a es a b como c es a d Esa razoacuten constante

se llama tambieacuten constante de proporcionalidad

Ejemplo Si en 2ordm ESO B hay 15 chicas y 10 chicos la razoacuten entre chicas y chicos es 2

3

10

15 igual que en 2ordm ESO A y

por tanto una proporcioacuten numeacuterica entre el nuacutemero de chicas y de chicos siendo la razoacuten de proporcionalidad 512

3

Para calcular el teacutermino desconocido de una proporcioacuten d

c

b

a se despeja el teacutermino desconocido de la sencilla

ecuacioacuten Es decir

Si x es desconocido d

bcxbcdx

d

c

b

x o bien

c

daxx

c

daxcda

d

c

x

a

Ejemplo Si en 2ordm ESO C se mantiene la razoacuten de proporcionalidad entre chicas y chicos y hay 9 chicas iquestcuaacutentos chicos hay

Solucioacuten Si llamamos x al nordm de chicos es cos63

29329

2

39chixxx

x

Ejemplos

ERV 1 y 2


ndash3ndash







ar





4





Kga

br euro52

4


10

4Kg

b

ar




Es 1

12121

1

1

2 a

baxbaxa

a

b

a

xr



Lxx

Lx

L15

4

610

4

6

10min10

6min4

min206

430

6

4

3030min

6min4

xx

Lx

L


a1 b1

a2 x


ndash4ndash




b11

1

1


1

122 a

barax



4 min 6 L

darr 4 darr 4

1 min 15 L

darr x 10 darr x 10

10 min x= 15 L



4 min 6 L

darr 6 darr 6

23 min 1 L

darr x 30 darr x 30

x=20 min 30 L





Nordm kilos euros

8 Kg ---------- 1040 euro

13 Kg ---------- x euro

euro90168

401013

8

4010

13

x

x




Nordm kilos euros

8 Kg ---------- 1040 euro

darr 8 darr 8

1 Kg ---------- 130 euro

darr x 13 darr x 13

13 Kg ---------- x=1690 euro





Ejemplos

ERV 3 y 4


ndash5ndash












Es 2

11112 a

baxbaxam



hxxhxtrab

htrab3

4

62462

4

62

hxxhtrabx

htrab8

51

625162

51

62


a1 b1

a2 x


ndash6ndash



es a2 pues 2a

mx es decir


222

a


2

11

2 a

ba

a

mx



2 trab 6 h

darr 2 darr x 2

1 trab 12 h

darr x 4 darr 4

4 trab x=3 h

Solucioacuten x=3 h


2 trab 6 h

darr x 6 darr 6

12 trab 1 h

darr 15 darr x 15






18 alum -------------- 6 euro

24 alum -------------- x euro

euro50424

61861824

xx





18 alum ----------- 6 euro

darr 18 darr x 18

1 alum ------------ 108 euro

darr x 24 darr 24

24 alum ------------ x=450 euro




ERV 5 6 y 7


ndash7ndash




Ejemplo 1

Ejemplo 2

ERV del 8 al 11


ndash8ndash


6 PORCENTAJES



30 100

30

03








Ejemplos

ERV del 12 al 16


ndash9ndash





I

r

tc

11 trcI



trccIcC final


trcI

ya que t meses son

12

t antildeos


trcI


365

t antildeos


Ejemplos

ERV 17

ERV 18 al 128


ndash10ndash






c1) x

5

3

1 c2)

7

35

3

x c3)

35

73

x c4)

x

13

15

6








ndash11ndash







6 2

1

12

30

1

4

6





3 12

1

2

9

1

4

18






Porcentajes


ndash12ndash





Porcentaje 35 24 8 95 120 200 245




Intereses bancarios




Ndeg DE CROMOS 1 2 3 4 5 6 10 15 20

COSTE (EUROS) 040


ndash13ndash




peso (kg) 05 2



TIEMPO (HORAS) 6
















ndash14ndash























ndash15ndash




Magnitud A 3 4 5 y

























ndash16ndash


























ndash17ndash


















ndash18ndash
















ndash19ndash


SOLUCIONES

1 (Ver viacutedeo)






7 (Ver viacutedeo)







14 (Ver viacutedeo)




18 (Ver viacutedeo)

19 (Ver viacutedeo)

20 (Ver viacutedeo)



23 (Ver viacutedeo)

24 (Ver viacutedeo)

25 (Ver viacutedeo)








33 12

















50 20 minutos


52 144 euro


54 4525 Kg

55 6278 euro





60 2 h

61 320 euro


63 750 g

64 15


66 30 muacutesicos


ndash20ndash


67 1600 euro

68 43 euro

69 17500 usuarios


71 El 25

72 El 125




76 5 h


78 32 obreros

79 24 euro




83 160 diacuteas

84 200 diacuteas

85 750 cajas

86 18 horas

87 375 g de leche


89 25 de descuento

90 850 habitantes


92 2700 euro

93 84 paacuteginas


95 96 Kg de harina

96 48 obreros

97 8100 litros

98 32 diacuteas






104 15120 euro



107 Un 16


109 72 euro





114 160 euro

115 12 diacuteas



118 1388



121 Un 25









ndash3ndash







ar





4





Kga

br euro52

4


10

4Kg

b

ar




Es 1

12121

1

1

2 a

baxbaxa

a

b

a

xr



Lxx

Lx

L15

4

610

4

6

10min10

6min4

min206

430

6

4

3030min

6min4

xx

Lx

L


a1 b1

a2 x


ndash4ndash




b11

1

1


1

122 a

barax



4 min 6 L

darr 4 darr 4

1 min 15 L

darr x 10 darr x 10

10 min x= 15 L



4 min 6 L

darr 6 darr 6

23 min 1 L

darr x 30 darr x 30

x=20 min 30 L





Nordm kilos euros

8 Kg ---------- 1040 euro

13 Kg ---------- x euro

euro90168

401013

8

4010

13

x

x




Nordm kilos euros

8 Kg ---------- 1040 euro

darr 8 darr 8

1 Kg ---------- 130 euro

darr x 13 darr x 13

13 Kg ---------- x=1690 euro





Ejemplos

ERV 3 y 4


ndash5ndash












Es 2

11112 a

baxbaxam



hxxhxtrab

htrab3

4

62462

4

62

hxxhtrabx

htrab8

51

625162

51

62


a1 b1

a2 x


ndash6ndash



es a2 pues 2a

mx es decir


222

a


2

11

2 a

ba

a

mx



2 trab 6 h

darr 2 darr x 2

1 trab 12 h

darr x 4 darr 4

4 trab x=3 h

Solucioacuten x=3 h


2 trab 6 h

darr x 6 darr 6

12 trab 1 h

darr 15 darr x 15






18 alum -------------- 6 euro

24 alum -------------- x euro

euro50424

61861824

xx





18 alum ----------- 6 euro

darr 18 darr x 18

1 alum ------------ 108 euro

darr x 24 darr 24

24 alum ------------ x=450 euro




ERV 5 6 y 7


ndash7ndash




Ejemplo 1

Ejemplo 2

ERV del 8 al 11


ndash8ndash


6 PORCENTAJES



30 100

30

03








Ejemplos

ERV del 12 al 16


ndash9ndash





I

r

tc

11 trcI



trccIcC final


trcI

ya que t meses son

12

t antildeos


trcI


365

t antildeos


Ejemplos

ERV 17

ERV 18 al 128


ndash10ndash






c1) x

5

3

1 c2)

7

35

3

x c3)

35

73

x c4)

x

13

15

6








ndash11ndash







6 2

1

12

30

1

4

6





3 12

1

2

9

1

4

18






Porcentajes


ndash12ndash





Porcentaje 35 24 8 95 120 200 245




Intereses bancarios




Ndeg DE CROMOS 1 2 3 4 5 6 10 15 20

COSTE (EUROS) 040


ndash13ndash




peso (kg) 05 2



TIEMPO (HORAS) 6
















ndash14ndash























ndash15ndash




Magnitud A 3 4 5 y

























ndash16ndash


























ndash17ndash


















ndash18ndash
















ndash19ndash


SOLUCIONES

1 (Ver viacutedeo)






7 (Ver viacutedeo)







14 (Ver viacutedeo)




18 (Ver viacutedeo)

19 (Ver viacutedeo)

20 (Ver viacutedeo)



23 (Ver viacutedeo)

24 (Ver viacutedeo)

25 (Ver viacutedeo)








33 12

















50 20 minutos


52 144 euro


54 4525 Kg

55 6278 euro





60 2 h

61 320 euro


63 750 g

64 15


66 30 muacutesicos


ndash20ndash


67 1600 euro

68 43 euro

69 17500 usuarios


71 El 25

72 El 125




76 5 h


78 32 obreros

79 24 euro




83 160 diacuteas

84 200 diacuteas

85 750 cajas

86 18 horas

87 375 g de leche


89 25 de descuento

90 850 habitantes


92 2700 euro

93 84 paacuteginas


95 96 Kg de harina

96 48 obreros

97 8100 litros

98 32 diacuteas






104 15120 euro



107 Un 16


109 72 euro





114 160 euro

115 12 diacuteas



118 1388



121 Un 25









ndash4ndash




b11

1

1


1

122 a

barax



4 min 6 L

darr 4 darr 4

1 min 15 L

darr x 10 darr x 10

10 min x= 15 L



4 min 6 L

darr 6 darr 6

23 min 1 L

darr x 30 darr x 30

x=20 min 30 L





Nordm kilos euros

8 Kg ---------- 1040 euro

13 Kg ---------- x euro

euro90168

401013

8

4010

13

x

x




Nordm kilos euros

8 Kg ---------- 1040 euro

darr 8 darr 8

1 Kg ---------- 130 euro

darr x 13 darr x 13

13 Kg ---------- x=1690 euro





Ejemplos

ERV 3 y 4


ndash5ndash












Es 2

11112 a

baxbaxam



hxxhxtrab

htrab3

4

62462

4

62

hxxhtrabx

htrab8

51

625162

51

62


a1 b1

a2 x


ndash6ndash



es a2 pues 2a

mx es decir


222

a


2

11

2 a

ba

a

mx



2 trab 6 h

darr 2 darr x 2

1 trab 12 h

darr x 4 darr 4

4 trab x=3 h

Solucioacuten x=3 h


2 trab 6 h

darr x 6 darr 6

12 trab 1 h

darr 15 darr x 15






18 alum -------------- 6 euro

24 alum -------------- x euro

euro50424

61861824

xx





18 alum ----------- 6 euro

darr 18 darr x 18

1 alum ------------ 108 euro

darr x 24 darr 24

24 alum ------------ x=450 euro




ERV 5 6 y 7


ndash7ndash




Ejemplo 1

Ejemplo 2

ERV del 8 al 11


ndash8ndash


6 PORCENTAJES



30 100

30

03








Ejemplos

ERV del 12 al 16


ndash9ndash





I

r

tc

11 trcI



trccIcC final


trcI

ya que t meses son

12

t antildeos


trcI


365

t antildeos


Ejemplos

ERV 17

ERV 18 al 128


ndash10ndash






c1) x

5

3

1 c2)

7

35

3

x c3)

35

73

x c4)

x

13

15

6








ndash11ndash







6 2

1

12

30

1

4

6





3 12

1

2

9

1

4

18






Porcentajes


ndash12ndash





Porcentaje 35 24 8 95 120 200 245




Intereses bancarios




Ndeg DE CROMOS 1 2 3 4 5 6 10 15 20

COSTE (EUROS) 040


ndash13ndash




peso (kg) 05 2



TIEMPO (HORAS) 6
















ndash14ndash























ndash15ndash




Magnitud A 3 4 5 y

























ndash16ndash


























ndash17ndash


















ndash18ndash
















ndash19ndash


SOLUCIONES

1 (Ver viacutedeo)






7 (Ver viacutedeo)







14 (Ver viacutedeo)




18 (Ver viacutedeo)

19 (Ver viacutedeo)

20 (Ver viacutedeo)



23 (Ver viacutedeo)

24 (Ver viacutedeo)

25 (Ver viacutedeo)








33 12

















50 20 minutos


52 144 euro


54 4525 Kg

55 6278 euro





60 2 h

61 320 euro


63 750 g

64 15


66 30 muacutesicos


ndash20ndash


67 1600 euro

68 43 euro

69 17500 usuarios


71 El 25

72 El 125




76 5 h


78 32 obreros

79 24 euro




83 160 diacuteas

84 200 diacuteas

85 750 cajas

86 18 horas

87 375 g de leche


89 25 de descuento

90 850 habitantes


92 2700 euro

93 84 paacuteginas


95 96 Kg de harina

96 48 obreros

97 8100 litros

98 32 diacuteas






104 15120 euro



107 Un 16


109 72 euro





114 160 euro

115 12 diacuteas



118 1388



121 Un 25









ndash5ndash












Es 2

11112 a

baxbaxam



hxxhxtrab

htrab3

4

62462

4

62

hxxhtrabx

htrab8

51

625162

51

62


a1 b1

a2 x


ndash6ndash



es a2 pues 2a

mx es decir


222

a


2

11

2 a

ba

a

mx



2 trab 6 h

darr 2 darr x 2

1 trab 12 h

darr x 4 darr 4

4 trab x=3 h

Solucioacuten x=3 h


2 trab 6 h

darr x 6 darr 6

12 trab 1 h

darr 15 darr x 15






18 alum -------------- 6 euro

24 alum -------------- x euro

euro50424

61861824

xx





18 alum ----------- 6 euro

darr 18 darr x 18

1 alum ------------ 108 euro

darr x 24 darr 24

24 alum ------------ x=450 euro




ERV 5 6 y 7


ndash7ndash




Ejemplo 1

Ejemplo 2

ERV del 8 al 11


ndash8ndash


6 PORCENTAJES



30 100

30

03








Ejemplos

ERV del 12 al 16


ndash9ndash





I

r

tc

11 trcI



trccIcC final


trcI

ya que t meses son

12

t antildeos


trcI


365

t antildeos


Ejemplos

ERV 17

ERV 18 al 128


ndash10ndash






c1) x

5

3

1 c2)

7

35

3

x c3)

35

73

x c4)

x

13

15

6








ndash11ndash







6 2

1

12

30

1

4

6





3 12

1

2

9

1

4

18






Porcentajes


ndash12ndash





Porcentaje 35 24 8 95 120 200 245




Intereses bancarios




Ndeg DE CROMOS 1 2 3 4 5 6 10 15 20

COSTE (EUROS) 040


ndash13ndash




peso (kg) 05 2



TIEMPO (HORAS) 6
















ndash14ndash























ndash15ndash




Magnitud A 3 4 5 y

























ndash16ndash


























ndash17ndash


















ndash18ndash
















ndash19ndash


SOLUCIONES

1 (Ver viacutedeo)






7 (Ver viacutedeo)







14 (Ver viacutedeo)




18 (Ver viacutedeo)

19 (Ver viacutedeo)

20 (Ver viacutedeo)



23 (Ver viacutedeo)

24 (Ver viacutedeo)

25 (Ver viacutedeo)








33 12

















50 20 minutos


52 144 euro


54 4525 Kg

55 6278 euro





60 2 h

61 320 euro


63 750 g

64 15


66 30 muacutesicos


ndash20ndash


67 1600 euro

68 43 euro

69 17500 usuarios


71 El 25

72 El 125




76 5 h


78 32 obreros

79 24 euro




83 160 diacuteas

84 200 diacuteas

85 750 cajas

86 18 horas

87 375 g de leche


89 25 de descuento

90 850 habitantes


92 2700 euro

93 84 paacuteginas


95 96 Kg de harina

96 48 obreros

97 8100 litros

98 32 diacuteas






104 15120 euro



107 Un 16


109 72 euro





114 160 euro

115 12 diacuteas



118 1388



121 Un 25









ndash6ndash



es a2 pues 2a

mx es decir


222

a


2

11

2 a

ba

a

mx



2 trab 6 h

darr 2 darr x 2

1 trab 12 h

darr x 4 darr 4

4 trab x=3 h

Solucioacuten x=3 h


2 trab 6 h

darr x 6 darr 6

12 trab 1 h

darr 15 darr x 15






18 alum -------------- 6 euro

24 alum -------------- x euro

euro50424

61861824

xx





18 alum ----------- 6 euro

darr 18 darr x 18

1 alum ------------ 108 euro

darr x 24 darr 24

24 alum ------------ x=450 euro




ERV 5 6 y 7


ndash7ndash




Ejemplo 1

Ejemplo 2

ERV del 8 al 11


ndash8ndash


6 PORCENTAJES



30 100

30

03








Ejemplos

ERV del 12 al 16


ndash9ndash





I

r

tc

11 trcI



trccIcC final


trcI

ya que t meses son

12

t antildeos


trcI


365

t antildeos


Ejemplos

ERV 17

ERV 18 al 128


ndash10ndash






c1) x

5

3

1 c2)

7

35

3

x c3)

35

73

x c4)

x

13

15

6








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6 2

1

12

30

1

4

6





3 12

1

2

9

1

4

18






Porcentajes


ndash12ndash





Porcentaje 35 24 8 95 120 200 245




Intereses bancarios




Ndeg DE CROMOS 1 2 3 4 5 6 10 15 20

COSTE (EUROS) 040


ndash13ndash




peso (kg) 05 2



TIEMPO (HORAS) 6
















ndash14ndash























ndash15ndash




Magnitud A 3 4 5 y

























ndash16ndash


























ndash17ndash


















ndash18ndash
















ndash19ndash


SOLUCIONES

1 (Ver viacutedeo)






7 (Ver viacutedeo)







14 (Ver viacutedeo)




18 (Ver viacutedeo)

19 (Ver viacutedeo)

20 (Ver viacutedeo)



23 (Ver viacutedeo)

24 (Ver viacutedeo)

25 (Ver viacutedeo)








33 12

















50 20 minutos


52 144 euro


54 4525 Kg

55 6278 euro





60 2 h

61 320 euro


63 750 g

64 15


66 30 muacutesicos


ndash20ndash


67 1600 euro

68 43 euro

69 17500 usuarios


71 El 25

72 El 125




76 5 h


78 32 obreros

79 24 euro




83 160 diacuteas

84 200 diacuteas

85 750 cajas

86 18 horas

87 375 g de leche


89 25 de descuento

90 850 habitantes


92 2700 euro

93 84 paacuteginas


95 96 Kg de harina

96 48 obreros

97 8100 litros

98 32 diacuteas






104 15120 euro



107 Un 16


109 72 euro





114 160 euro

115 12 diacuteas



118 1388



121 Un 25









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Ejemplo 1

Ejemplo 2

ERV del 8 al 11


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6 PORCENTAJES



30 100

30

03








Ejemplos

ERV del 12 al 16


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I

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11 trcI



trccIcC final


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ya que t meses son

12

t antildeos


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365

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Ejemplos

ERV 17

ERV 18 al 128


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5

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7

35

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13

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6 2

1

12

30

1

4

6





3 12

1

2

9

1

4

18






Porcentajes


ndash12ndash





Porcentaje 35 24 8 95 120 200 245




Intereses bancarios




Ndeg DE CROMOS 1 2 3 4 5 6 10 15 20

COSTE (EUROS) 040


ndash13ndash




peso (kg) 05 2



TIEMPO (HORAS) 6
















ndash14ndash























ndash15ndash




Magnitud A 3 4 5 y

























ndash16ndash


























ndash17ndash


















ndash18ndash
















ndash19ndash


SOLUCIONES

1 (Ver viacutedeo)






7 (Ver viacutedeo)







14 (Ver viacutedeo)




18 (Ver viacutedeo)

19 (Ver viacutedeo)

20 (Ver viacutedeo)



23 (Ver viacutedeo)

24 (Ver viacutedeo)

25 (Ver viacutedeo)








33 12

















50 20 minutos


52 144 euro


54 4525 Kg

55 6278 euro





60 2 h

61 320 euro


63 750 g

64 15


66 30 muacutesicos


ndash20ndash


67 1600 euro

68 43 euro

69 17500 usuarios


71 El 25

72 El 125




76 5 h


78 32 obreros

79 24 euro




83 160 diacuteas

84 200 diacuteas

85 750 cajas

86 18 horas

87 375 g de leche


89 25 de descuento

90 850 habitantes


92 2700 euro

93 84 paacuteginas


95 96 Kg de harina

96 48 obreros

97 8100 litros

98 32 diacuteas






104 15120 euro



107 Un 16


109 72 euro





114 160 euro

115 12 diacuteas



118 1388



121 Un 25









ndash8ndash


6 PORCENTAJES



30 100

30

03








Ejemplos

ERV del 12 al 16


ndash9ndash





I

r

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11 trcI



trccIcC final


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ya que t meses son

12

t antildeos


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365

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Ejemplos

ERV 17

ERV 18 al 128


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5

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1

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18






Porcentajes


ndash12ndash





Porcentaje 35 24 8 95 120 200 245




Intereses bancarios




Ndeg DE CROMOS 1 2 3 4 5 6 10 15 20

COSTE (EUROS) 040


ndash13ndash




peso (kg) 05 2



TIEMPO (HORAS) 6
















ndash14ndash























ndash15ndash




Magnitud A 3 4 5 y

























ndash16ndash


























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ndash18ndash
















ndash19ndash


SOLUCIONES

1 (Ver viacutedeo)






7 (Ver viacutedeo)







14 (Ver viacutedeo)




18 (Ver viacutedeo)

19 (Ver viacutedeo)

20 (Ver viacutedeo)



23 (Ver viacutedeo)

24 (Ver viacutedeo)

25 (Ver viacutedeo)








33 12

















50 20 minutos


52 144 euro


54 4525 Kg

55 6278 euro





60 2 h

61 320 euro


63 750 g

64 15


66 30 muacutesicos


ndash20ndash


67 1600 euro

68 43 euro

69 17500 usuarios


71 El 25

72 El 125




76 5 h


78 32 obreros

79 24 euro




83 160 diacuteas

84 200 diacuteas

85 750 cajas

86 18 horas

87 375 g de leche


89 25 de descuento

90 850 habitantes


92 2700 euro

93 84 paacuteginas


95 96 Kg de harina

96 48 obreros

97 8100 litros

98 32 diacuteas






104 15120 euro



107 Un 16


109 72 euro





114 160 euro

115 12 diacuteas



118 1388



121 Un 25









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I

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11 trcI



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ya que t meses son

12

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Ejemplos

ERV 17

ERV 18 al 128


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5

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18






Porcentajes


ndash12ndash





Porcentaje 35 24 8 95 120 200 245




Intereses bancarios




Ndeg DE CROMOS 1 2 3 4 5 6 10 15 20

COSTE (EUROS) 040


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peso (kg) 05 2



TIEMPO (HORAS) 6
















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Magnitud A 3 4 5 y

























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SOLUCIONES

1 (Ver viacutedeo)






7 (Ver viacutedeo)







14 (Ver viacutedeo)




18 (Ver viacutedeo)

19 (Ver viacutedeo)

20 (Ver viacutedeo)



23 (Ver viacutedeo)

24 (Ver viacutedeo)

25 (Ver viacutedeo)








33 12

















50 20 minutos


52 144 euro


54 4525 Kg

55 6278 euro





60 2 h

61 320 euro


63 750 g

64 15


66 30 muacutesicos


ndash20ndash


67 1600 euro

68 43 euro

69 17500 usuarios


71 El 25

72 El 125




76 5 h


78 32 obreros

79 24 euro




83 160 diacuteas

84 200 diacuteas

85 750 cajas

86 18 horas

87 375 g de leche


89 25 de descuento

90 850 habitantes


92 2700 euro

93 84 paacuteginas


95 96 Kg de harina

96 48 obreros

97 8100 litros

98 32 diacuteas






104 15120 euro



107 Un 16


109 72 euro





114 160 euro

115 12 diacuteas



118 1388



121 Un 25









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Porcentajes


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Porcentaje 35 24 8 95 120 200 245




Intereses bancarios




Ndeg DE CROMOS 1 2 3 4 5 6 10 15 20

COSTE (EUROS) 040


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peso (kg) 05 2



TIEMPO (HORAS) 6
















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Magnitud A 3 4 5 y

























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SOLUCIONES

1 (Ver viacutedeo)






7 (Ver viacutedeo)







14 (Ver viacutedeo)




18 (Ver viacutedeo)

19 (Ver viacutedeo)

20 (Ver viacutedeo)



23 (Ver viacutedeo)

24 (Ver viacutedeo)

25 (Ver viacutedeo)








33 12

















50 20 minutos


52 144 euro


54 4525 Kg

55 6278 euro





60 2 h

61 320 euro


63 750 g

64 15


66 30 muacutesicos


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67 1600 euro

68 43 euro

69 17500 usuarios


71 El 25

72 El 125




76 5 h


78 32 obreros

79 24 euro




83 160 diacuteas

84 200 diacuteas

85 750 cajas

86 18 horas

87 375 g de leche


89 25 de descuento

90 850 habitantes


92 2700 euro

93 84 paacuteginas


95 96 Kg de harina

96 48 obreros

97 8100 litros

98 32 diacuteas






104 15120 euro



107 Un 16


109 72 euro





114 160 euro

115 12 diacuteas



118 1388



121 Un 25









ndash11ndash







6 2

1

12

30

1

4

6





3 12

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2

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18






Porcentajes


ndash12ndash





Porcentaje 35 24 8 95 120 200 245




Intereses bancarios




Ndeg DE CROMOS 1 2 3 4 5 6 10 15 20

COSTE (EUROS) 040


ndash13ndash




peso (kg) 05 2



TIEMPO (HORAS) 6
















ndash14ndash























ndash15ndash




Magnitud A 3 4 5 y

























ndash16ndash


























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SOLUCIONES

1 (Ver viacutedeo)






7 (Ver viacutedeo)







14 (Ver viacutedeo)




18 (Ver viacutedeo)

19 (Ver viacutedeo)

20 (Ver viacutedeo)



23 (Ver viacutedeo)

24 (Ver viacutedeo)

25 (Ver viacutedeo)








33 12

















50 20 minutos


52 144 euro


54 4525 Kg

55 6278 euro





60 2 h

61 320 euro


63 750 g

64 15


66 30 muacutesicos


ndash20ndash


67 1600 euro

68 43 euro

69 17500 usuarios


71 El 25

72 El 125




76 5 h


78 32 obreros

79 24 euro




83 160 diacuteas

84 200 diacuteas

85 750 cajas

86 18 horas

87 375 g de leche


89 25 de descuento

90 850 habitantes


92 2700 euro

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97 8100 litros

98 32 diacuteas






104 15120 euro



107 Un 16


109 72 euro





114 160 euro

115 12 diacuteas



118 1388



121 Un 25









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Porcentaje 35 24 8 95 120 200 245




Intereses bancarios




Ndeg DE CROMOS 1 2 3 4 5 6 10 15 20

COSTE (EUROS) 040


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peso (kg) 05 2



TIEMPO (HORAS) 6
















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Magnitud A 3 4 5 y

























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SOLUCIONES

1 (Ver viacutedeo)






7 (Ver viacutedeo)







14 (Ver viacutedeo)




18 (Ver viacutedeo)

19 (Ver viacutedeo)

20 (Ver viacutedeo)



23 (Ver viacutedeo)

24 (Ver viacutedeo)

25 (Ver viacutedeo)








33 12

















50 20 minutos


52 144 euro


54 4525 Kg

55 6278 euro





60 2 h

61 320 euro


63 750 g

64 15


66 30 muacutesicos


ndash20ndash


67 1600 euro

68 43 euro

69 17500 usuarios


71 El 25

72 El 125




76 5 h


78 32 obreros

79 24 euro




83 160 diacuteas

84 200 diacuteas

85 750 cajas

86 18 horas

87 375 g de leche


89 25 de descuento

90 850 habitantes


92 2700 euro

93 84 paacuteginas


95 96 Kg de harina

96 48 obreros

97 8100 litros

98 32 diacuteas






104 15120 euro



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114 160 euro

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peso (kg) 05 2



TIEMPO (HORAS) 6
















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Magnitud A 3 4 5 y

























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SOLUCIONES

1 (Ver viacutedeo)






7 (Ver viacutedeo)







14 (Ver viacutedeo)




18 (Ver viacutedeo)

19 (Ver viacutedeo)

20 (Ver viacutedeo)



23 (Ver viacutedeo)

24 (Ver viacutedeo)

25 (Ver viacutedeo)








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50 20 minutos


52 144 euro


54 4525 Kg

55 6278 euro





60 2 h

61 320 euro


63 750 g

64 15


66 30 muacutesicos


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67 1600 euro

68 43 euro

69 17500 usuarios


71 El 25

72 El 125




76 5 h


78 32 obreros

79 24 euro




83 160 diacuteas

84 200 diacuteas

85 750 cajas

86 18 horas

87 375 g de leche


89 25 de descuento

90 850 habitantes


92 2700 euro

93 84 paacuteginas


95 96 Kg de harina

96 48 obreros

97 8100 litros

98 32 diacuteas






104 15120 euro



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114 160 euro

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Magnitud A 3 4 5 y

























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SOLUCIONES

1 (Ver viacutedeo)






7 (Ver viacutedeo)







14 (Ver viacutedeo)




18 (Ver viacutedeo)

19 (Ver viacutedeo)

20 (Ver viacutedeo)



23 (Ver viacutedeo)

24 (Ver viacutedeo)

25 (Ver viacutedeo)








33 12

















50 20 minutos


52 144 euro


54 4525 Kg

55 6278 euro





60 2 h

61 320 euro


63 750 g

64 15


66 30 muacutesicos


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67 1600 euro

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69 17500 usuarios


71 El 25

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76 5 h


78 32 obreros

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83 160 diacuteas

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85 750 cajas

86 18 horas

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90 850 habitantes


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Magnitud A 3 4 5 y

























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SOLUCIONES

1 (Ver viacutedeo)






7 (Ver viacutedeo)







14 (Ver viacutedeo)




18 (Ver viacutedeo)

19 (Ver viacutedeo)

20 (Ver viacutedeo)



23 (Ver viacutedeo)

24 (Ver viacutedeo)

25 (Ver viacutedeo)








33 12

















50 20 minutos


52 144 euro


54 4525 Kg

55 6278 euro





60 2 h

61 320 euro


63 750 g

64 15


66 30 muacutesicos


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67 1600 euro

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69 17500 usuarios


71 El 25

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76 5 h


78 32 obreros

79 24 euro




83 160 diacuteas

84 200 diacuteas

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86 18 horas

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92 2700 euro

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97 8100 litros

98 32 diacuteas






104 15120 euro



107 Un 16


109 72 euro





114 160 euro

115 12 diacuteas



118 1388



121 Un 25









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SOLUCIONES

1 (Ver viacutedeo)






7 (Ver viacutedeo)







14 (Ver viacutedeo)




18 (Ver viacutedeo)

19 (Ver viacutedeo)

20 (Ver viacutedeo)



23 (Ver viacutedeo)

24 (Ver viacutedeo)

25 (Ver viacutedeo)








33 12

















50 20 minutos


52 144 euro


54 4525 Kg

55 6278 euro





60 2 h

61 320 euro


63 750 g

64 15


66 30 muacutesicos


ndash20ndash


67 1600 euro

68 43 euro

69 17500 usuarios


71 El 25

72 El 125




76 5 h


78 32 obreros

79 24 euro




83 160 diacuteas

84 200 diacuteas

85 750 cajas

86 18 horas

87 375 g de leche


89 25 de descuento

90 850 habitantes


92 2700 euro

93 84 paacuteginas


95 96 Kg de harina

96 48 obreros

97 8100 litros

98 32 diacuteas






104 15120 euro



107 Un 16


109 72 euro





114 160 euro

115 12 diacuteas



118 1388



121 Un 25









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SOLUCIONES

1 (Ver viacutedeo)






7 (Ver viacutedeo)







14 (Ver viacutedeo)




18 (Ver viacutedeo)

19 (Ver viacutedeo)

20 (Ver viacutedeo)



23 (Ver viacutedeo)

24 (Ver viacutedeo)

25 (Ver viacutedeo)








33 12

















50 20 minutos


52 144 euro


54 4525 Kg

55 6278 euro





60 2 h

61 320 euro


63 750 g

64 15


66 30 muacutesicos


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67 1600 euro

68 43 euro

69 17500 usuarios


71 El 25

72 El 125




76 5 h


78 32 obreros

79 24 euro




83 160 diacuteas

84 200 diacuteas

85 750 cajas

86 18 horas

87 375 g de leche


89 25 de descuento

90 850 habitantes


92 2700 euro

93 84 paacuteginas


95 96 Kg de harina

96 48 obreros

97 8100 litros

98 32 diacuteas






104 15120 euro



107 Un 16


109 72 euro





114 160 euro

115 12 diacuteas



118 1388



121 Un 25









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SOLUCIONES

1 (Ver viacutedeo)






7 (Ver viacutedeo)







14 (Ver viacutedeo)




18 (Ver viacutedeo)

19 (Ver viacutedeo)

20 (Ver viacutedeo)



23 (Ver viacutedeo)

24 (Ver viacutedeo)

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50 20 minutos


52 144 euro


54 4525 Kg

55 6278 euro





60 2 h

61 320 euro


63 750 g

64 15


66 30 muacutesicos


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67 1600 euro

68 43 euro

69 17500 usuarios


71 El 25

72 El 125




76 5 h


78 32 obreros

79 24 euro




83 160 diacuteas

84 200 diacuteas

85 750 cajas

86 18 horas

87 375 g de leche


89 25 de descuento

90 850 habitantes


92 2700 euro

93 84 paacuteginas


95 96 Kg de harina

96 48 obreros

97 8100 litros

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104 15120 euro



107 Un 16


109 72 euro





114 160 euro

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118 1388



121 Un 25









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18 (Ver viacutedeo)

19 (Ver viacutedeo)

20 (Ver viacutedeo)



23 (Ver viacutedeo)

24 (Ver viacutedeo)

25 (Ver viacutedeo)








33 12

















50 20 minutos


52 144 euro


54 4525 Kg

55 6278 euro





60 2 h

61 320 euro


63 750 g

64 15


66 30 muacutesicos


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67 1600 euro

68 43 euro

69 17500 usuarios


71 El 25

72 El 125




76 5 h


78 32 obreros

79 24 euro




83 160 diacuteas

84 200 diacuteas

85 750 cajas

86 18 horas

87 375 g de leche


89 25 de descuento

90 850 habitantes


92 2700 euro

93 84 paacuteginas


95 96 Kg de harina

96 48 obreros

97 8100 litros

98 32 diacuteas






104 15120 euro



107 Un 16


109 72 euro





114 160 euro

115 12 diacuteas



118 1388



121 Un 25









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67 1600 euro

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71 El 25

72 El 125




76 5 h


78 32 obreros

79 24 euro




83 160 diacuteas

84 200 diacuteas

85 750 cajas

86 18 horas

87 375 g de leche


89 25 de descuento

90 850 habitantes


92 2700 euro

93 84 paacuteginas


95 96 Kg de harina

96 48 obreros

97 8100 litros

98 32 diacuteas






104 15120 euro



107 Un 16


109 72 euro





114 160 euro

115 12 diacuteas



118 1388



121 Un 25








Bloque I. Números y medidas. Tema 6: Proporcionaliad y ...€¦ · * Dos magnitudes A y B son...

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