PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA

Razón entre dos númerosSiempre que hablemos de Razón entre dos números nos estaremos refiriendo al cociente (el resultado de dividirlos) entre ellos. Entonces:

Razón entre dos números a y b es el cociente entre ellos: ab

Por ejemplo, la razón entre 10 y 2 es 5, ya que 105=2

Proporción numéricaLos números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que

entre c y d. Es decir ab=

cd

Se lee “a es a b como c es a d”

Ejemplo: Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5

es la misma que la razón entre 8 y 20. Es decir 25=

820

En la proporción ab=

cd

hay cuatro términos; a y d se llaman extremos, c y b se

llaman medios.La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el producto de

los extremos es igual al de los medios, es decir:ab=

cd⇒a · d =b · c

Así, en la proporción anterior 25=

820

se cumple que el producto de los extremos nos

da 2 · 20 = 40 y el producto de los medios nos da 5 · 8 = 40

Comprendido el concepto de proporción como una relación entre números o magnitudes, ahora veremos que esa relación puede darse en dos sentidos:

Las dos magnitudes pueden subir o bajar (aumentar o disminuir) o bien si una de las magnitudes sube la otra bajo y viceversa.

Si ocurre, como en el primer caso, que las dos magnitudes que se comparan o relacionan pueden subir o bajar en igual cantidad, hablaremos de Magnitudes directamente proporcionales.

Si ocurre como en el segundo caso, en que si una magnitud sube la otra baja en la misma cantidad, hablaremos de Magnitudes inversamente proporcionales.

1

Magnitudes directamente proporcionales Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... cantidad de la segunda,o si a la mitad, tercio,... cantidad de la primera corresponde la mitad, tercio,... cantidad de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales.

Veamos un ejemplo de una tabla de valores directamente proporcionales, fijaros que al multiplicar una la otra magnitud también se multiplica, y si se divide una la otra también. · 4

:2

Magnitud 1 6 3 24

Magnitud 2 8 4 32

:2

·4

Observar que se verifica las siguientes igualdades: 8=

4=

16=0,75 a ese cociente,

se le llama razón de proporcionalidad directa: k = 0,75

Ejemplo 1 En 50 litros de agua de mar hay 1300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5200 gramos de sal?

Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc. Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente proporcionales.

Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y se escribe de la siguiente modo:

D 50 litros1300 gramos

5200 gramos x litros

Se verifica la proporción:50

=x

Y como en toda proporción el producto de

medios es igual al producto de extremos resulta: 1300·x = 50 · 5200, luego

130050· 5200x = =200 litros de agua

2

6 3 12

1300 5200

Ejemplo 2

Un automóvil gasta 5 litros de gasolina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil?

5 litros D

100 km

6 litros x km

Escribimos la proporción: 5 6x

y resolvemos

5·x = 6 · 100

x =6005

=120km

Luego, con 6 litros el automóvil recorrerá 120 km

Magnitudes inversamente proporcionales Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales.

Veamos un ejemplo de una tabla de valores inversamente proporcionales, fijaros que al multiplicar una la otra magnitud se divide y viceversa.

· 4

:2

Magnitud 1 6 3 24

Magnitud 2 8 16 2

·2

:4

Observar que se verifica las siguientes igualdades: 6·8 = 3·16 = 24·2 = 48 a ese producto, se le llama razón de proporcionalidad inversa: k = 48

Ejemplo 1

Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?

3

100=

En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto, las magnitudes son inversamente proporcionales

Formamos la tabla:

Hombres 3 6 9 ... 18

Días 24 12 8 ... ?

Vemos que los productos 3 · 24 = 6 · 12 = 9 · 8 = 72

Por tanto 18 · x = 72, entonces x = 4

O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo

Nótese que aquí la constante de proporcionalidad, que es 72, se obtiene multiplicando las magnitudes y que su producto será siempre igual.

Ejemplo 2

Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas?

Vemos que con el mismo forraje, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto, son magnitudes inversamente proporcionales.

X = número de días para el que tendrán comida las 450 vacas

Nº de vacas 220 450

Nº de días 45 x

Se cumple que: 220 · 45 = 450 · x, de donde x =220· 45450

=22

Luego 450 vacas podrán comer 22 días.

En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

220 vacas I

45 días

450 vacas x días

El truco es recordar que como es inversa escribimos la proporción invirtiendo solo una

de las fracciones:450220

=45x

y de ahí se obtiene lo mismo: 220 · 45 = 450 · x.

4

334 � MATEMÁTICAS 1.° ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

Indica si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales.

a) El peso de naranjas (en kilogramos) y su precio.

b) La velocidad de un coche y el tiempo que emplea en recorrer una distancia.

c) El número de operarios de una obra y el tiempo que tardan en terminarla.

d) El número de hojas de un libro y su peso.

e) El precio de una tela y los metros que se van a comprar.

f) La edad de un alumno y su altura.

1

En un supermercado encontramos la siguiente información.

«1 botella de refresco de cola cuesta 3,50 €; 2 botellas, 6 €; 4 botellas, 11 €; 6 botellas, 16 €».

Indica si las magnitudes, número de botellas de refresco y precio que se paga por ellas, son directamente proporcionales. Razona tu respuesta.

2

Completa las tablas para que los valores sean directamente proporcionales.Compruébalo aplicando las propiedades anteriores.

a) b)

3

3

4

6 12 24 48 4

1

8 12 16 4.820

Dos kilos de naranjas cuestan 1,50 €. ¿Cuánto costarán 5 kg? ¿Y 12 kg?4

En una obra, dos obreros realizan una zanja de 5 m. Si mantienen el mismo ritmo de trabajo, ¿cuántos metros de zanja abrirán si se incorporan 3 obreros más?

5

El precio de 12 fotocopias es de 0,50 €. ¿Cuánto costará hacer 30 fotocopias?6

Un ciclista recorre 75 kilómetros en 2 horas. Si mantiene siempre la misma velocidad, ¿cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas?

7

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

5

Indica si las siguientes magnitudes son o no inversamente proporcionales.

a) La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en recorrer una distancia.

b) El número de limpiadores de un edificio y el tiempo que tardan.

c) El número de ladrillos de una pared y su altura.

d) El peso de la fruta y el dinero que cuesta.

e) La velocidad de un corredor y la distancia que recorre.

f) El número de grifos de un depósito y el tiempo que tarda en llenarse.

1

Completa las siguientes tablas de valores que son inversamente proporcionales.2

5 10 02 4

60 30 25 5

21 4

36 12 6 4

36 21 7 1

17

8 133

3 21 4

Averigua el número de albañiles que realizarían el trabajo anterior si se quiere terminar en 5 días.

Un depósito de agua se llena en 18 horas con un grifo del que salen 360 litros de agua cada minuto.

a) ¿Cuánto tardaría en llenarse el depósito si salieran 270 litros por minuto?

b) ¿Y si fueran 630 litros por minuto?

4

3

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

6

PROBLEMAS DE REGLA DE TRES SIMPLE (DIRECTA E INVERSA)

1) 35 ordenadores valen 42.000 euros. ¿Cuánto valen 40 ordenadores? ¿Cuánto vale 1 ordenador?

2) En una hora realizo 12 ejercicios, ¿Cuánto tardo en realizar 51 ejercicios?

3) Nueve trabajadores cargan un camión en 2 horas. ¿Cuánto tardan seis trabajadores?

4) Si tardo 2 horas en llegar a Madrid con una velocidad de 100 Km/h. ¿Cuánto tardo con unavelocidad de 120 km/h?

5) Un ganadero dispone de pasto suficiente para alimentar 120 ovejas durante 21 días. ¿Durante cuántosdías podrá alimentar, con la misma cantidad de pasto, a 360 ovejas?

6) Un corredor da 5 vueltas a una pista polideportiva en 15 minutos. Si sigue al mismo ritmo,¿cuánto tardará en dar 25 vueltas?

7) Para recorrer los 360 km que hay entre Madrid y Valencia un coche tardó 3 horas a unavelocidad de 120 km/h. Si disminuye la velocidad a 100 km/h, ¿cuánto tardará?

7

8) En un taller de confección, si se trabajan 8 horas diarias se taran 6 días en servir un pedido.¿Cuánto se tardará en servir el pedido si se trabajan 12 horas diarias?

9) Si 400 gramos de salmón ahumado cuestan 12 euros, ¿cuánto pagaré por 1,5 kg?

10) El coche recorre 309 km en 3 horas ¿cuántos kilómetros recorre en 7 horas?, ¿y en una hora?

11) Por tres horas de trabajo, Pedro ha cobrado 60 euros. ¿Cuánto cobrará por 8 horas?

12) Tres obreros descargan un camión en dos horas. ¿Cuánto tardarán con la ayuda de dos obreros más?

13) Tres kilogramos de carne cuestan 6 euros. ¿Cuánto podré comprar con 4,50 euros?

14) Una moto va a 50 km/h y tarda 40 minutos en cubrir cierto recorrido. ¿Cuánto tardará un coche a 120 km/h?

15) Por 5 días trabajados Juan ha ganado 390 euros. ¿Cuánto ganará por 18 días?

8

16) Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 30 cm y la segunda un

radio de 50 cm. Cuando la primera ha dado 275 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda?

17) Poniendo una farola cada 45 metros, se necesitan 84 farolas para luminar una calle. ¿Cuántas farolas

serían necesarias si se colocaran cada 35 metros?

18) Una persona ha repartido 1500 Є, entre sus tres hijos/as, en partes directamente proporcionales a sus

edades de 2, 3 y 5 años respectivamente. ¿Cuánto le ha correspondido a cada uno/a de ellos/as?

19) Dos personas compran un décimo de lotería, la primera participa con 8 € y la segunda con 12 €. Si cobran

un premio de 5500 euros, ¿qué cantidad del premio le corresponde a cada una?

20) Un coche ha gastado 35,6 litros de gasolina en recorrer 340 Km. ¿Cuántos litros gasta a los 100 km?

21) Un capital de 537000 € se coloca en un banco que da unos intereses del 3% anual. ¿Qué interés producirá

este capital al cabo de 5 meses?

22) Un grifo que mana 16 litros de agua por minuto, tarda 12 horas en llenar un depósito, ¿cuánto tardaría sisu caudal fuera de 8 litros por minuto?

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