Solucionario - Aplicacion de Las Derivadas
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SOLUCIONARIO - APLICACION DE LAS DERIVADAS Por: Univ. Ruben A. Mamani Ch. 01/07/2010 http://www.ruben-ascencio.blogspot.com/ Página 1 de 13 1. Efectuar un análisis completo de: Solución: Para nuestro fin hallamos: y 1. Dominio . ; 2. Intersección de ejes coordenadas en: y 2.1. Para eje de ; . Factorizando la ecuación por el Teo. Ruffine se tiene las intersecciones en eje de : 2.2. Para eje de ; Reemplazando en se tiene la intersección en eje de : 3. Asíntotas. 3.1. Asíntotas Verticales. 3.2. Asíntotas horizontales. 3.3. Asíntotas Oblicuas. 4. Calculo de (punto crítico). 5. Calculo de Crecimiento y decrecimiento. 5.1. Crecimiento Eligiendo un valor entre y en ……Falso. se tiene la siguiente solución: 0 4 + + + + - - - - - - - + + + + 5.2. Decrecimiento Eligiendo un valor entre y en ……Verdad Se tiene la siguiente solución: 0 4 + + + + - - - - - - - + + + + 6. Calculo de: (Punto Máximos) y (punto mínimos). Los P.C. son Analizando los intervalos se deduce a: 6.1. en 6.2. en 7. Calculo de (punto de inflexión). en 8. Calculo de cóncava y convexa. 8.1. Cóncava
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1. Efectuar un análisis completo de:
Solución:
Para nuestro fin hallamos: y
1. Dominio .
;
2. Intersección de ejes coordenadas en: y
2.1. Para eje de ; .
Factorizando la ecuación por el Teo. Ruffine se tiene las
intersecciones en eje de :
2.2. Para eje de ;
Reemplazando en se tiene la intersección
en eje de :
3. Asíntotas.
3.1. Asíntotas Verticales.
3.2. Asíntotas horizontales.
3.3. Asíntotas Oblicuas.
4. Calculo de (punto crítico).
5. Calculo de Crecimiento y decrecimiento.
5.1. Crecimiento
Eligiendo un valor entre y
en
……Falso.
se tiene la siguiente solución:
0 4
+ + + + - - - - - - - + + + +
5.2. Decrecimiento
Eligiendo un valor entre y
en
……Verdad
Se tiene la siguiente solución:
0 4
+ + + + - - - - - - - + + + +
6. Calculo de: (Punto Máximos) y (punto mínimos).
Los P.C. son
Analizando los intervalos se deduce a:
6.1.
en
6.2.
en
7. Calculo de (punto de inflexión).
en
8. Calculo de cóncava y convexa.
8.1. Cóncava
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2- +
+
8.2. Convexa
2- +
-
9. Grafica
2. Efectuar un análisis completo de:
Seguir los mismos pasos del ejercicio 1.
3. Efectuar un análisis completo de:
Solución:
Para nuestro fin hallamos: y
1. Dominio .
;
2. Intersección de ejes coordenadas en: y
a) Para eje de ; .
Las intersecciones en eje de son:
b) Para eje de ;
Reemplazando en
La intersección en:
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3. Asíntotas.
a) Asíntotas Verticales.
b) Asíntotas horizontales.
c) Asíntotas Oblicuas.
4. Calculo de (puntos críticos).
5. Calculo de Crecimiento y decrecimiento.
a) Crecimiento
Eligiendo un valor entre y
evaluar en ; se tiene:
0 1
+ + + + - - - - - - - + + + +
- +
b) Decrecimiento
Eligiendo un valor entre y
evaluar en ; se tiene:
0 1
+ + + + - - - - - - - + + + +
- +
6. Calculo de: (Punto Máximos) y (punto mínimos).
Los P.C. son
Analizando los intervalos se deduce a:
a)
en
b)
en
7. Calculo de (punto de inflexión).
En
8. Calculo de cóncava y convexa.
a) Cóncava
0.5- +
+
b) Convexo
0.5- +
-
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9. Grafica
4. Efectuar un análisis completo de:
Solución:
Para nuestro fin hallamos: y
1. Dominio .
2. Intersección de ejes coordenadas en: y
a) Para eje de ; .
Intersección en eje de
b) Para eje de ;
Intersección en eje de
3. Asíntotas.
a) Asíntotas Verticales.
Para calcular la asíntota debe cumplir la siguiente condición:
b) Asíntotas horizontales.
No se puede despejar .
Asíntota horizontal.
c) Asíntotas Oblicuas.
i. Asíntota O. por la derecha.
Ec, de la Recta.
¿Lo logré…. y tú?
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Reemplazando valores de y en Ec. , se tiene:
ii. Asíntota O. por la Izquierda.
Reemplazando valores de y en Ec. , se tiene:
Asíntota oblicua por izquierda.
4. Calculo de (punto crítico).
5. Calculo de Crecimiento y decrecimiento.
a) Crecimiento
Eligiendo un valor entre y
en
(Evaluación el signo) ……Falso.
Se tiene:
-1 1
+ + + + - - - - - - - + + + +
- +0
b) Decrecimiento
en
(Evaluación el signo) ……Verdad.
Se tiene:
-1 1
+ + + + - - - - - - - + + + +
- +0
6. Calculo de: (Punto Máximos) y (punto mínimos).
Los P.C. son
Analizando los intervalos se tiene:
a)
en
b)
en
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7. Calculo de (punto de inflexión).
Punto de inflexión.
8. Calculo de cóncava y convexa.
a) Cóncava
0- +
+
b) Convexa
0- +
-
9. Grafica
Asíntota vertical
Asíntot
a Obli
cua d
erech
a
5. Efectuar un análisis completo de:
Haciendo operaciones para su mejor desarrollo se tiene:
Solución:
Calculando: y
1. Dominio .
2. Intersección de ejes coordenadas en: y
a) Para eje de ; .
Intersección en eje de
b) Para eje de ;
3. Asíntotas.
a) Asíntotas Verticales.
Para calcular la asíntota debe cumplir la siguiente condición:
b) Asíntotas horizontales.
Despejando de se tiene la siguiente ecuación en :
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c) Asíntotas Oblicuas.
i. Asíntota Oblicua. por la derecha.
Ec, de la Recta.
Donde Asíntota oblicua por la derecha:
. Se tiene la ec.
Reemplazando valores de y en Ec. , se tiene:
ii. Asíntota O. por la Izquierda.
Donde Asíntota oblicua por la Izquierda:
. Se tiene la ec. De la forma:
Reemplazando valores de y en Ec. , se tiene:
Asíntota oblicua por izquierda.
4. Calculo de (punto crítico).
Punto critico
5. Calculo de Crecimiento y decrecimiento.
a) Crecimiento
Evaluando el signo se tiene el intervalo.
2
- - - - - - - - - - - - - - -
- +
Crecimiento.
b) Decrecimiento
Evaluando el signo se tiene el intervalo.
(Evaluación el signo)
Ambos son Verdad.
Se tiene:
2
+ + + + + + + + + ++ ++ + + + +
- +0
6. Calculo de: (Punto Máximos) y (punto mínimos).
Donde P.C
Por lo tanto
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a)
b)
7. Calculo de (punto de inflexión).
Punto de inflexión.
8. Calculo de cóncava y convexa.
a) Cóncava
2- +
+
b) Convexa
2- +
-
9. Grafica
6. Efectuar un análisis completo de:
Solución:
Derivando: y se tiene:
1. Dominio
2. Intersección de ejes coordenadas en: y
a. Para eje de ; .
b. Para eje de ;
Intersección en eje de
3. Asíntotas.
a. Asíntotas Verticales.
Para calcular la asíntota debe cumplir la siguiente condición:
b. Asíntotas horizontales.
No se puede despejar .
Asíntota horizontal.
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c. Asíntotas Oblicuas.
i. Asíntota O. por la derecha.
Demostrar:
ii. Asíntota O. por la Izquierda.
Demostrar:
Asíntota oblicua por izquierda.
4. Calculo de (punto crítico).
Punto critico.
5. Calculo de Crecimiento y decrecimiento.
a. Crecimiento
Eligiendo un valor entre y
(Evaluación el signo)
–
.
-1 1
- - - - - - - - - - - - - - -
- +
b. Decrecimiento
–
.
-1 1
- - - - - - - - - - - - - - -
- +
6. Calculo de: (Punto Máximos) y (punto mínimos).
Donde punto crítico:
Analizando los intervalos se tiene:
a.
b.
7. Calculo de (punto de inflexión).
8. Calculo de cóncava y convexa.
a. Cóncava
Ver el intervalo:
+
-1 1- +0
+
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b. Convexa
Ver el intervalo:
-
-1 1- +0
9. Grafica
7. haga un estudio de la siguiente función
Solución:
Calculando la: y , simplificando se tiene como resultado:
1. Dominio .
2. Intersección de ejes coordenadas en: y
a. Para eje de ; .
Intersección en eje de
b. Para el eje de ;
3. Asíntotas.
a. Asíntotas Verticales.
Para calcular la asíntota debe cumplir la siguiente condición:
Las asíntotas son:
b. Asíntotas horizontales.
La asíntota horizontal es:
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c. Asíntotas Oblicuas.
i. Asíntota O. por la derecha.
Ec, de la Recta.
Reemplazando valores de y en Ec. , se tiene:
ii. Asíntota O. por la Izquierda.
Reemplazando valores de y en Ec. , se tiene:
Asíntota oblicua por izquierda.
4. Calculo de (punto crítico).
5. Calculo de Crecimiento y decrecimiento.
a. Crecimiento
Eligiendo un valor entre y y evaluando el signo.
en
(Evaluación el signo) como resultado se tiene .
-2 2
- - - - - - - - - - + + + + + + + +
- +0
b. Decrecimiento
Eligiendo un valor entre y y evaluando el signo.
en
(Evaluación el signo) como resultado se tiene .
-2 2
- - - - - - - - - - + + + + + + + +
- +0
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6. Calculo de: (Punto Máximos) y (punto mínimos).
Los P.C. son
Analizando los intervalos se tiene:
a.
b.
en
7. Calculo de (punto de inflexión).
Punto de inflexión.
8. Calculo de cóncava y convexa.
a. Cóncava
Evaluando el signo entre a ,
Al azar en
Por tanto el signo de resultado es positiva es verdad
+
-2 2- +0
b. Convexa
Al azar en
Por tanto el signo de resultado es positiva entonces es
Falso.
-
-2 2- +0
-
9. Grafica
Se recomienda al lector un análisis completo de los ejercicios
resueltos, ya que puede haber errores de transcripción.
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Razona y medita antes de resolver los ejercicios.
EJERCICIOS PROPUESTAS
De acuerdo a las funciones definidos a continuación, haga un estudio y
determine de ser posible todos los puntos aplicados anteriormente:
El verdadero conocimiento está escrito en un enorme libro abierto continuamente ante nuestros ojos, me
refiero al universo; pero uno no puede entenderlo, uno debe aprender la lengua y reconocer los caracteres
para poder entender el lenguaje en el que está escrito, está escrito en lengua de las matemáticas. Galileo
Atentas todas y todos.
Importante: Los signos.
No SE OLVIDEN nunca de
ellos.
