REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAINSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”EXTENSION BARQUISIMETO

Aplicación de derivadas

Alumno:José SilvaC.I:26.831.554

Aplicaciones de las derivadas

INTERPRETACION GEOMETRICA

La pendiente de la RECTA SECANTE es igual a la tangente trigonométrica de α.

tga=  La recta tangente es aquella que corta a una curva en dos o mas puntos.

ˆ

Recta Secante

∆y∆x ∆x = F(x+∆x)-f(x)

∆x

La pendiente de la recta tangente es igual a límite cuando ∆ x tiende acero del cociente incremental.

Recta Tangente

∆y∆x

Lim∆x 0= f(x+ ∆x)-f(x)

∆xLim∆x 0=tga

A esta expresión lo conoceremos como derivada. 

INTERPRETACION GEOMETRICA

Aplicaciones de las derivadas

La derivada de una función es igual al límite cuando el incremento (∆ x) tiende acero del cociente incremental de la diferencia de la función incrementada [f(x+ ∆ x)]menos la función [f(x)] sin incrementar dividido el incremento (∆ x).

DEFINICION

Aplicaciones de las derivadas

∆y∆x

f(x+∆x)-f(x)∆x

Lim∆x 0=Lim

∆x 0=y′

Como se observa en el grafico, la función tiene un máximo en x2 y en x6. Además tiene un mínimo en x4.La función es creciente en (0;x2) y en (x4; x6).La función es decreciente en (x2; x4) y en (x6; x7).

El ANALISIS GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN 

En la x1 la función esCreciente y la rectaTangente forma un Angulo menor que 90 Grados con el eje x.Por lo tanto la derivada En ese punto es positivo

Caso contrario en x3 la función es decreciente y la resta tangente Forma un Angulo mayor a 90 grados con el eje x. Por lo tanto la Derivada en es e punto es negativo

ANALISIS DEL CRECIMIENTO FUNCIONAL 

Hallemos la derivada de la función

f(x)=12 x2−4+6

f′(x)=

12.2x−4=-4

Analicemos x=1f′(1)=1−4=-3 es negativo por lo tanto la funciónes decreciente

Analicemos en x=7

F’(7)=7 −4=3 es positivo por lo tanto la función es creciente

ANALIS DEL CRECIMIENTO - EJEMPLO 

En x2 y en x6 la función tiene Un máximo y la resta tangente Forma un ángulo de 0° por ser paralelas con el eje x. Por tantoLa derivada en ese punto es cerof’(x)=0

También en x4 la recta tangente a la función forma un Angulo de 0° con el eje x Por ser paralelo pero aquí existe un mínimo. Por lo tanto la derivada tambiénEs f’(x)=0

ANALISIS DE LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Un punto de inflexión es aqueldonde la función cambia deCurvatura.

Como vemos la recta tangente También forma un ángulo de 0°Con el eje x por ser paralela.También la primera derivada da0

ANALISIS DE LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN 

En conclusión tanto los puntos máximos,mínimos como puntos de inflexión danComo valor en la primera derivada cero.

A estos puntos las llamaremos puntos críticosy necesitamos analizarlos utilizando otraherramienta que no sea la primera derivada.

Máximos

Puntos de inflexión

Mínimos

PUNTOS CRÍTICOS

Máximo

Máximo

Puntos de inflexión

CeroCero

MínimosMínimos

f(x)=14x4−2x2 f’(x)=x3− 4x f”(x)=3x2−4

Graficas de primera, segunda y tercera derivadaFunción original Primera derivada segunda derivada