Aplicacion de Las Derivadas

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8. Aplicaciones de la Derivada

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OOObbbjjjeeetttiiivvvooo EEEssspppeeecccííífffiiicccooo

888 Aplicar los criterios de la primera y segunda

función derivada como herramienta de trabajo

en la resolución de problemas de aplicación y

en la construcción de gráfica de funciones.

Empezaremos por presentar la aplicación que tiene la derivada en la

construcción de gráfica de funciones.

Este estudio requiere del conocimiento del criterio de las derivadas de

orden superior específicamente de orden 1 y 2. Así pues tenemos la

función f(x) = 4x3+5x2-7x-1; y se calcula f’(x)

Resulta:

f’(x) = 12x2+10x-7, la cual es también una función y se llama derivada de

f(x) o primera función derivada (orden 1).

La derivada es una herramienta fundamental

en la solución de problemas en casi todas las

ciencias del saber humano, pues ésta tiene

múltiples aplicaciones en diferentes áreas.

Vamos entonces a estudiar en una función f sus

valores críticos:

El crecimiento y decrecimiento de f.

Los valores máximos y mínimos de f.

El punto de inflexión de f y

La concavidad de la función.

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Esta función, f’(x), también puede ser derivable y en ese

caso, a la derivación obtenida se le llama segunda

función derivada (o derivada de orden 2) la cual se

denota por f”(x) y se lee “f biprima de x”.

Así en el ejemplo propuesto f”(x) = 24x + 10 ; la cual a

su vez es otra función y por tanto, puede tener

derivada.

Si está derivada existe, se le llama tercera función

derivada y se denota por f’’’(x) y se lee “f triprima de x”

en el ejemplo propuesto f’’’(x) = 24;

En general:

La derivada de orden n, donde n es un entero positivo

mayor que 1, es la derivada de la función derivada de

orden (n-1) y se denota por fn.

En el ejemplo propuesto, la función es derivable hasta

orden cuatro, ya que a partir de éste, el resto de las

derivadas son iguales a cero (0).

Así se tiene que f’’’’(x) = 0

Para el estudio de la gráfica de funciones solo necesitamos los criterios de

la primera y segunda función derivada.

COMENCEMOS LAS APLICACIONES DE LA DERIVADA CON EL TRAZADO DE GRÁFICAS

Utilizaremos un teorema básico conocido como valores extremos cuyo

enunciado es:

¡Piensa!

El número de

tres dígitos 2

a 3 al ser

sumado con el

número 326

da como

resultado el

número de

tres dígitos

5b9. Si 5b9 es

divisible por 9,

¿Cual es el

valor de a+b ?

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Recuerda que: una función es continua si la podemos realizar de un solo

trazo (sin interrupciones).

De acuerdo con el teorema a medida que nos desplazamos a lo largo de la

curva desde a hasta b, debe existir un punto donde la curva tiene un valor

más alto (valor máximo), y debe existir también un punto donde la curva

tiene su valor más bajo (valor mínimo).

Observemos las gráficas siguientes:

En conclusión:

Toda función que sea continua en un intervalo alcanza, su máximo y

mínimo en él.

x x x

y

a x1 x2 b

Mínimo

Máximo y

a x2 X1 b

Mínimo

Máximo

y

a b

Mínimo

Máximo

Teorema 20:

Si f es una función definida en un intervalo cerrado [a,b], existe (por lo

menos) un punto en [a,b] (por ejemplo x1) en el cual f toma el mayor

valor y existe (por lo menos) un punto en [a,b] (por ejemplo x2) en el

cual f toma el menor valor.

Importante: para que la función tenga máximo y mínimo f debe ser

continua y definida en un intervalo cerrado.

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En el caso de que el máximo o el mínimo ocurra en el interior el intervalo

es tan importante, que se puede enunciar como un teorema.

Los valores máximo y mínimo de una función se suelen llamar valores

extremos.

Ahora bien:

¿Dónde se presentan los valores extremos?

Por lo general una función que queremos maximizar o minimizar tiene

como dominio un intervalo I. Pero ese intervalo puede ser de cualquiera de

los siguientes 9 tipos:

1. (a,b) = {x/a<x<b} ( ) No incluye los extremos

2. [a,b] = {x/a≤x≤b} [ ] Incluye los extremos

3. [a,b) = {x/a≤x<b} [ ) Incluye un extremo y el otro no

4. (a,b] = {x/a<x≤b} ( ]

5. (-∞,b] = {x/x≤b} ]

6. (-∞,b) = {x/x<b} )

7. [a,∞) = {x:x≥a} [

8. (a,∞) = {x:x>a} (

9. (-∞,∞) = R

a

a

a

a

b

b

b

b

b

a

a

b

Teorema 21:

Sea f una función continua en un intervalo y teniendo su máximo o su

mínimo, en un punto cualquiera (por ejemplo xo) interior al intervalo, si

f’(xo) existe, entonces f’(xo)=0

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Los valores extremos de las funciones definidas en intervalos cerrados, a

menudo se presenta en los puntos frontera. Observa la gráfica siguiente:

Los valores extremos se presentan también en los puntos estacionarios.

Llamaremos así a un punto donde la gráfica de f se nivela, dado que la

tangente es horizontal, es decir donde f’(c) = 0 observe la gráfica

siguiente.

También los extremos se presentan en los puntos singulares; es un punto

donde la función tiene tangente vertical, o tal vez da un salto, o tiene un

vértice agudo. (picos) es decir el punto c donde no es diferenciable la

función (f’(c) no existe) observa la gráfica siguiente.

y

Mínimo

Máximo

x

Puntos fronteras

y

a b x

Puntos estacionarios

y

x

Puntos Singulares

Mínimo

Máximo

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Estas tres clases de puntos (frontera, estacionarios y

singulares) son la clave de la teoría de máximos y

mínimos.

Cualquier punto del dominio de una función f que sea

frontera, estacionario o singular se llama punto crítico

de f. Veamos ahora algunos ejemplos:

Ejemplo 67.

Encuentra los puntos críticos de la función f(x) =

3x2+6x+1 en el intervalo -2 ≤ x ≤ 0

Solución:

Como la función tiene dominio en el intervalo [-2,0]

incluye los extremos entonces -2 y 0 son puntos críticos

(Frontera)

-. Calculemos ahora los puntos estacionarios, para ello

hallemos la derivada:

f’(x) = 6x+6

Igualamos la derivada a cero

f’(x) = 0 ∴ 6x + 6 = 6 Resolviendo

6x = -6

x = -1

No hay puntos singulares por lo tanto los puntos críticos

son -2, 0 y 1

Como ya sabemos identificar los puntos críticos:

entonces vamos a establecer un procedimiento muy

simple para encontrar. Los valores máximos y mínimos

absolutos de una función continua f en un intervalo

cerrado I

Curiosidades Matemáticas

En una

biblioteca se colocan 4 tomos ordenadamente. Las tapas de los tomos miden 1 cm de espesor cada una y las

páginas de cada tomo ocupan 8

cm ¿ Qué distancia hay

desde la primera página del tomo I hasta

la última del tomo IV?

Si cada tomo tiene 150 hojas

y una polilla comienza por

perforar la primera hoja del

tomo I y prosigue

horizontalmente hasta la última hoja del último tomo, ¿Cuantas hojas perforará?

Page 8: Aplicacion de Las Derivadas

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Paso 1. Encuentra los puntos críticos de f sobre el

intervalo

Paso 2. Evalúa f para cada uno de estos puntos críticos.

El mayor de esos valores será el máximo; el menor será

el mínimo.

Ejemplo 68.

Encuentre el máximo y el mínimo valor que `puede

tomar f(x) = 1/3x3-2x2+3x, en el intervalo cerrado [-1,3].

Solución

Como la función es continua en el intervalo [-1,3] y, por

tanto, la existencia del máximo y del mínimo absoluto

está garantizada, (por teorema 21).

Paso 1. Encontrar los puntos críticos de f: -1 y 3 son

puntos críticos por medio de la derivada de f.

f’(x) = 3/3 x2 - 4x + 3 = x2 -4x+3 → Factorizando

ahora f’(x) = 0 ⇒ (x-1) (x-3) = 0 ⇒ x=1, x=3

1 y 3 son también puntos críticos (pts estacionarios)

No existen puntos singulares

Luego los puntos críticos son: -1, 1 y 3

Paso 2: Evaluando la función en los puntos críticos obtenidos

f(-1) = 31

(-1)3 - 2(-1)2+3(-1) = -16/3

f(1) = 31

(1)3 - 2(1)2+3(1) = 4/3

f(3) = 1

3 (3)3 - 2(3)2+3(3) = 0

¡Diviértete!

Organiza 9

esferas en 4

cajas de

forma que

cada una

tenga un

número impar

de esferas y

distinto del de

cada una de

las otras

Page 9: Aplicacion de Las Derivadas

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Luego: el máximo absoluto está en f(1) = 4/3 porque es el mayor de los

valores obtenidos.

Y el mínimo absoluto está en f(-1) = -16/3 porque es el menor de los

valores obtenidos.

Ya hemos visto que una función definida en un intervalo puede alcanzar su

máximo y mínimo valor dentro del intervalo, a estos valores se les llama

máximo y mínimo absoluto. Pero interior a este intervalo, también pueden

existir otros intervalos que contienen valores los cuales alcanzan máximo y

mínimo en ellos, estos valores se les llama máximo y mínimo relativos.

Veamos las definiciones:

Definición 4.

Definición 5:

Interpretemos estas definiciones con la ayuda de una representación

gráfica.

Sea f una función definida por y = f(x) y supongamos que la siguiente

figura muestra la gráfica representativa de la función dada. f es continua

en el intervalo [a,b].

Una función f tiene un máximo relativo en xo si existe

un intervalo que contiene a xo como punto interior, tal

que f(xo) es el máximo de f en ese intervalo.

Una función f tiene un mínimo relativo en xo si existe

un intervalo que contiene a xo como punto interior, tal

que f(x0) es el mínimo de f en ese intervalo.

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Vemos que: f(c1) es el mayor valor que toma la función en el intervalo

abierto (d,e); f(c1) es un mínimo relativo (aquí m=0, esto es f’(x) = 0).

f(c3) es el mayor valor que toma la función en el intervalo

abierto (h,i). Sin embargo la derivada de f(x) en ese punto

no existe (la tangente es una recta paralela al eje y). Lo

cual nos muestra que en un punto máximo relativo no

necesariamente la derivada es cero.

También se observa que f(c2) y f(c4) son los menores

valores que toma f en los intervalos (f,g) y (j,k)

respectivamente, entonces f(c2) y f(c4) son los valores

mínimos relativos.

Ahora si consideramos todos los valores que toma la

función en el intervalo [a,b] nos damos cuenta de que el

menor de los valores es f(a) y el mayor de f(c3).

Por tanto f(a) es el mínimo absoluto y f(c3) es el máximo

absoluto (f(c3) es máximo relativo y absoluto a la vez.

¡Piensa!

¿Cuáles pueden ser las dimensiones

de un rectángulo

para que no cambie de área, si se

disminuye en 5 cm su base y se aumenta en 5 cm su

altura?

C1

F(C1)

F(C2)

F(C4) a d e C2 C3 f g h i j k

C4

b

M=0

M=0

( ( ( ( ) ) ) ) [ ]

Y

x

Page 11: Aplicacion de Las Derivadas

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Vamos a enunciarlo como un teorema.

Veamos un ejemplo donde se aplica este teorema.

Ejemplo 69.

Tomemos la misma función estudiada en el ejemplo 68

f(x) = 1/3x3-2x2+3x, encuentra el máximo y el mínimo en el intervalo

[-1,3].

Teorema 22:

Sea f una función tal que c es un punto crítico, es decir f’(c) = 0 y f”(c)

existe en un intervalo abierto que contiene a c.

a) Si f”(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en c.

b) Si f”(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en c.

Importante

Cuando f”(c) = 0 el criterio de la segunda derivada no se puede aplicar;

en tal caso el criterio de la primera derivada se aplica para máximos y

mínimos relativos siguiendo los pasos 1 y 2 como lo establecimos

anteriormente.

De otra forma, existe un criterio que permite determinar los máximos y mínimos relativos de una función; a este se le conoce como criterio de la segunda derivada para máximos o mínimos relativos.

Page 12: Aplicacion de Las Derivadas

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Aplicando el criterio de la segunda derivada, o teorema 22.

Solución:

Hallamos la derivada de f

f’(x) = x2-4x+3 = (x-1) (x-3) ;

f’(x) = 0 ⇒ (x-1) (x-3) = 0

x-1 = 0 ∨ x-3 = 0 resolviendo

x=1 ∨ x= 3 Despejando

Luego los puntos críticos son: 1 y 3

Calculamos ahora la segunda derivada de f

f”(x) = 2x -4, → evaluamos los puntos críticos aquí

f”(1) = 2(1) -4 = -2 → f”(1) < 0 (En x=1, existe un máximo)

f”(3) = 2(3) -4 = 2 → f”(3) > 0 (En x=3, existe un mínimo)

Empezaremos con:

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN Existe una forma rápida de encontrar los intervalos de crecimiento y

decrecimiento de una función, empleando por supuesto la derivada de una

función, a este teorema se le conoce como criterio de la primera derivada.

Ya sabemos que la derivada es de mucha utilidad. Pero para formarnos una idea más clara

sobre la forma que tiene la gráfica de una función vamos a establecer otros teoremas que

nos sirven para este propósito.