Aplicacion de Las Derivadas

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78 8. Aplicaciones de la Derivada S S S e e e s s s i i i ó ó ó n n n d d d e e e T T T r r r a a a b b b a a a j j j o o o I I I V V V
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8. Aplicaciones de la Derivada

Sesin de Trabajo IV78

Aplicar los criterios de la primera y segunda

Objjetiivo Ob et vo Especfiico Espec f co

8

funcin derivada como herramienta de trabajo en la resolucin de problemas de aplicacin y en la construccin de grfica de funciones.

La derivada es una herramienta fundamental en la solucin de problemas en casi todas las ciencias del saber humano, pues sta tiene mltiples aplicaciones en diferentes reas.

Empezaremos por presentar la aplicacin que tiene la derivada en la construccin de grfica de funciones.

Vamos entonces a estudiar en una funcin f sus valores crticos: El crecimiento y decrecimiento de f. Los valores mximos y mnimos de f. El punto de inflexin de f y La concavidad de la funcin.

Este estudio requiere del conocimiento del criterio de las derivadas de orden superior especficamente de orden 1 y 2. As pues tenemos la funcin f(x) = 4x3+5x2-7x-1; y se calcula f(x) Resulta: f(x) = 12x2+10x-7, la cual es tambin una funcin y se llama derivada de f(x) o primera funcin derivada (orden 1). 79

Esta funcin, f(x), tambin puede ser derivable y en ese caso, a la derivacin obtenida se le llama segunda funcin derivada (o derivada de orden 2) la cual se denota por f(x) y se lee f biprima de x. As en el ejemplo propuesto f(x) = 24x + 10 ; la cual a su vez es otra funcin y por tanto, puede tener derivada.El nmero de

Piensa!

Si est derivada existe, se le llama tercera funcin derivada y se denota por f(x) y se lee f triprima de x en el ejemplo propuesto f(x) = 24;

tres dgitos 2 a 3 al ser sumado con el nmero 326 da como resultado el nmero de tres dgitos 5b9. Si 5b9 es divisible por 9, Cual es el valor de a+b ?

En general:La derivada de orden n, donde n es un entero positivo mayor que 1, es la derivada de la funcin derivada de orden (n-1) y se denota por fn. En el ejemplo propuesto, la funcin es derivable hasta orden cuatro, ya que a partir de ste, el resto de las derivadas son iguales a cero (0). As se tiene que f(x) = 0

Para el estudio de la grfica de funciones solo necesitamos los criterios de la primera y segunda funcin derivada.

COMENCEMOS LAS APLICACIONES DE LA DERIVADA CON EL TRAZADO DE GRFICASUtilizaremos un teorema bsico conocido como valores extremos cuyo enunciado es:

80

Teorema 20:Si f es una funcin definida en un intervalo cerrado [a,b], existe (por lo menos) un punto en [a,b] (por ejemplo x1) en el cual f toma el mayor valor y existe (por lo menos) un punto en [a,b] (por ejemplo x2) en el cual f toma el menor valor.

Recuerda que: una funcin es continua si la podemos realizar de un solo trazo (sin interrupciones). De acuerdo con el teorema a medida que nos desplazamos a lo largo de la curva desde a hasta b, debe existir un punto donde la curva tiene un valor ms alto (valor mximo), y debe existir tambin un punto donde la curva tiene su valor ms bajo (valor mnimo). Observemos las grficas siguientes: yMximo

yMximo

yMximo

Mnimo

a

x1

x2

b

x

Mnimo

Mnimo

a

x2

X1 b

x

a

b

x

En conclusin: Toda funcin que sea continua en un intervalo alcanza, su mximo y mnimo en l.

Importante: para que la funcin tenga mximo y mnimo f debe ser continua y definida en un intervalo cerrado. 81

En el caso de que el mximo o el mnimo ocurra en el interior el intervalo es tan importante, que se puede enunciar como un teorema.

Teorema 21:Sea f una funcin continua en un intervalo y teniendo su mximo o su mnimo, en un punto cualquiera (por ejemplo xo) interior al intervalo, si f(x ) existe, entonces f(x )=0o o

Los valores mximo y mnimo de una funcin se suelen llamar valores extremos. Ahora bien: Dnde se presentan los valores extremos? Por lo general una funcin que queremos maximizar o minimizar tiene como dominio un intervalo I. Pero ese intervalo puede ser de cualquiera de los siguientes 9 tipos: 1. (a,b) = {x/a