Solución Espinoza
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Problema N°8 Si: f ( t ) = { 3 π + 2 t ;− π < t < 0 π + 2 t ; 0< t < π y f ( t +2 π ) =f ( t ) . Hallar su serie de Fourier y graficar. Solución: T =2 π →ω o = 2 π T = 2 π 2 π =1 La serie de Fourier para esta función será de la forma: f ( t ) = 1 2 a o + ∑ n=1 ∞ ( a n cos nt +b n sin nt ) Hallando los coeficientes de Fourier: a o = 2 T ∫ −T 2 T 2 f ( t ) dt = 2 2 π [ ∫ −π 0 ( 3 π + 2t ) dt + ∫ 0 π ( π +2 t ) dt ] ( πt + t 2 ) ∨¿ 0 π ( 3 πt + t 2 )∨¿ −π 0 + ¿ ¿ a o = 1 π ¿ a o =4 π a n = 1 π [ ∫ −π 0 ( 3 π +2 t ) cos ( nt ) dt + ∫ 0 π ( π + 2t ) cos( nt ) dt ]
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Problema N°8
Si:f ( t )=
{
3π +2 t ;−π <t <0
π +2
t ;0
< t <π y f ( t +2π )=f ( t ) . Hallar su
serie de Fourier y graficar.
Solución:
T =2π→ωo=2 π
T =
2 π
2 π =1
La serie de Fourier para esta función será de la forma:
f ( t )=1
2ao+∑
n=1
∞
(ancos nt +bnsinnt )
Hallando los coeficientes de Fourier:
ao=2
T ∫−T
2
T
2
f ( t )dt = 2
2π [∫−π
0
(3π +2t ) dt +∫0
π
( π +2 t ) dt ](πt + t 2 )∨¿0
π
(3πt +t 2)∨¿−π
0 +¿¿
ao=1
π ¿
ao=4 π
an=1
π [∫−π
0
(3π +2 t )cos(nt )dt +∫0
π
(π +2t ) cos(nt )dt ]
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( ( π +2 t ) se n (nt )n
+2cos (nt )
n2 )∨¿0π
( (3π +2 t ) se n (nt )n
+2cos (nt )
n2 )∨¿−π
0 +¿
¿an=
1
π ¿
an=1
π [( 2n2−
2cos (nπ )
n2 )+(2cos (nπ )
n2 −
2
n2 )]
an=0
bn=1
π [∫−π
0
(3π +2 t ) sen(nt )dt +∫0
π
(π +2 t ) s en(nt )dt ]
(−(π +2t ) cos (nt )n
+2 sen (nt )
n2 )∨¿0
π
(−(3 π +2 t ) cos (nt )n
+2 sen (nt )
n2 )∨¿−π
0 +¿
¿
bn=1
π ¿
bn=1
π [(−3π
n +
π cos(nπ )n )+(−3 π cos(nπ )
n +
π
n )]
bn=−2 (1+cos(nπ ))
n
(nπ )=¿{ 1 ;nes par
−1; n esimpar⇒bn=
−2(1+(−1)n )n
cos¿
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La serie de Fourier para esta función es:
f ( t )=4 π
2+∑
n=1
∞ −2 (1+(−1)n ) se n(nt )n
f ( t )=4 π
2−2∑
n=1
∞ (1+(−1 )n ) sen (nt )
n
El desarrollo de la misma:
f ( t )=2π −2(sen2 t + sen4 t
2+se n6 t
3+…)
Gráficas:
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