CUBO MÁGICO

…Sin el menor esfuerzo, logró cambiar radicalmente su postura…“Humanoides” de Miguel Berardi Alfonso

Para la construcción de cualquier algoritmo que permita la solución del problema que plantea el cubo mágico, se hace necesario el establecimiento de un lenguaje que permita localizar los cubitos que forman el cubo. Teniendo en cuenta la posición del cubo con respecto a la persona que lo manipula, sus caras reciben el nombre de Frente, Atrás, Suelo, Techo, Derecha e Izquierda. De esta manera, cada uno de los cubitos quedará nombrado por las iniciales minúsculas de las caras del cubo en que se encuentra. Por ejemplo, un cubito medio (cm), quedará totalmente identificado con sólo dos letras, ya que únicamente tiene dos caras, un cubito esquina por tres y un cubito centro por una. En el ejemplo que aquí se ilustra (figura 1), al cubito centro de la cara superior del cubo se le da el nombre de (t), al cubito medio que se encuentra en la arista

Bibliografía:- “Investigación Científica y Tecnológica”, Tomo 1, Capítulo 7.- “Temas Metamágicos”, ensayo de Douglas R. Hofstader- “Humanoides” novela futurista de Miguel Berardi Alfonso

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formada por las caras Frente y Derecha se le asigna el nombre (fd), y al cubito esquina que se encuentra en el punto en que se unen las caras Frente, Derecha y Suelo se le designa como (fds).

Para construir el algoritmo que permita la vuelta a la posición inicial del cubo a partir de cualquier configuración, también se hace necesario establecer una nomenclatura que distinga los movimientos que pueden realizar las caras del cubo. El movimiento mas simple que puede realizar cualquiera de las seis caras del cubo mágico es un giro de noventa grados en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario. A este tipo de movimiento se le denotará por la letra mayúscula inicial del nombre de la cara que se gira en el caso de que esto sea en el sentido de las agujas del reloj, y esta misma inicial seguida de un apóstrofo cuando el movimiento se realiza en el sentido contrario de las agujas del reloj. En la figura 2 se ilustra un movimiento D. Cuando se realizan varios giros de una misma cara, la Derecha por ejemplo, esto se simboliza como D2 (en el caso de dos giros de 90º), D3, D4, etc. según el caso. Cuando se realiza un movimiento F y después un S' toda la operación queda simbolizada como FS'.

Paso 1: Colocación de los cm (cubitos medios) en T.

Se escoge la cara que se quiere resolver, la amarilla por

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ejemplo, y se coloca su centro en la cara techo. Ahora bien, primero hay que “subir” los cuatro cubitos medios amarillos. Existen tres casos:

1.1 Que la cara amarilla de un cm esté arriba. Si hay más de una elija sólo una y aplique T o T2 hasta que el otro color (complementario) del cm coincida con el cubito centro de una de las paredes. A los otros cm con cara amarilla arriba, aplíqueles un giro I2, D2, A2, F2, según el caso, para quitarlos de T.

1.2 Que la cara amarilla del cm mal colocado esté en Suelo. Entonces se aplican las S necesarias hasta que el color complementario del cm coincida con el de uno de los centros de las paredes. La pared con el centro del color complementario se convierte en Frente (F). Aplique un F2 y el cm quedará en su lugar. Si hay otro cm de cara amarilla en el Suelo repita la operación.

1.3 Que la cara amarilla del cm esté en un Pared. Hay cuatro subcasos: todos tomando como F la pared donde se encuentra la cara amarilla del cm.

1.3 a) Si la cara amarilla del cm está en fd, aplique D'SD y tantos giros de S como sean necesarios para que el color de la cara complementaria del cm con cara amarilla coincida con el cc (cubito central) del color complementario. Repita la operación descripta en 1.2.

1.3 b) Si la cara amarilla del cm está en fi, aplique un ISI' y así la cara amarilla del cm quedará en Suelo (S). Ahora aplique las S necesarias para que la cara complementaria del cm coincida con su cc. La cara donde se da esta coincidencia se convierte en F; aplique F2.

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1.3 c) Si la cara amarilla del cm está en fs aplique tantas S como sea necesario para que la cara amarilla del cm coincida con el cc de la cara de su color complementario. Esta cara se convierte en Frente (donde se da la coincidencia). Aplique F'T'DT.

1.3 d) Si la cara amarilla del cm mal colocado está en ft aplique F2 y luego las instrucciones dadas en 1.3 c).

Una vez colocados los cuatros cm en su lugar proceda al siguiente paso.

Paso 2: Colocación de las esquinas amarillas. 2.1 Si el cubito esquina (ce) con una cara amarilla está en Suelo, sin importar la orientación de la cara amarilla se gira el Suelo (S) hasta que el ce quede en la esquina formada por las caras que tienen como centro los cc de los colores complementarios del ce con cara amarilla. Ahora gire el cubo entero sobre el eje vertical de manera que el ce que acaba de colocar aparezca en fds. Hay tres casos posibles:

2.1 a) La cara amarilla está en Frente (F). Entonces se aplica S'D'SD, con lo que el ce quedará en su lugar. (Verifique que las otras dos caras del ce coinciden con el color de sus respectivos cc.)

2.1 b) La cara amarilla del ce está en Derecha (D). Entonces se aplica SFS'F'.

2.1 c) La cara amarilla del ce está en Suelo. Entonces se aplica FS2F'S2D'SD.

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2.2 Si alguno de los ce con cara amarilla está en Techo y mal orientado, gire todo el cubo sobre el eje vertical para que el ce con cara amarilla quede en fit. Aplique ID'S'DI'. El cubo quedará en fsi; aplique luego 2.1.

Si al colocar un ce llegara a quitar otro, busque otra opción de acuerdo con las instrucciones.

Paso 3: Formación de la franja ecuatorial.

Una vez hecha la cara amarilla (Techo) pasa a ser Suelo (S) y se procede a formar la franja ecuatorial. Para ello, girando el cubo sobre el eje vertical, se tratará siempre de colocar bien los cubitos medios fd que estén fuera de su lugar. Cada una de sus dos caras debe corresponder al color de su respectivo cc. Existen tres casos:

3.1 Si el cubito que va en fd está arriba y el color que debe estar en Frente está en Techo, se gira Techo hasta que el cm aparezca en ti. Entonces se aplica IT' F2T2F2T2F2 T'I'.

3.2 Si el cm está arriba y su cara que va en Frente está en una de las paredes, girando Techo se coloca en ta (Techo, Atrás) y se aplica A'T D2T2D2T2D2 TA.

3.3 Si el cm que va en fd está en la zona ecuatorial, girando todo el cubo sobre su eje vertical, se pone en fd y se aplica A'T D2T2D2T2D2 TA. El cubito aparecerá arriba, por lo que habrá que aplicar 3.1 ó 3.2, según el caso. Si al colocar un fd llegara a quitar otro, busque otra opción de acuerdo con las instrucciones.

Paso 4: Colocación de los cm con el color debido arriba.

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Tome la cara amarilla como Suelo. Existen 0, 2 ó 4 cubitos medios con el color debido hacia arriba (en este caso el color debido es el verde). En primer lugar se procede a poner los cm con la cara debida arriba, sin que importe el lugar donde quede el color complementario. Como sólo puede haber dos o cuatro mal colocados, se procede por pares. Se presentan dos casos: que los cm mal colocados estén en lados opuestos (separados por el cubo central), y que estén en lados adyacentes (unidos por el vértice).

4.1 En lados opuestos: girando todo el cubo sobre el eje vertical, se colocan los cm en tf y en ta y se aplica A ITI'T' A'.

4.2 En lados adyacentes: girando todo el cubo se colocan los cm en ta y ti y se aplica A TIT'I' A'.

Paso 5: Arreglo de los cm con orientación correcta.

Una vez que todos los cm tengan el color debido arriba,

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aunque sus caras complementarias no correspondan con los colores de las paredes, girando T, haga usted coincidir el mayor número posible de cm con su pared correspondiente. Si coinciden cuatro, proceda al siguiente paso. 5.1 Si coinciden dos, girando T haga que coincida uno. Luego, girando todo el cubo ponga el cm bien colocado en ti, y si se cumple que los cm mal colocados deben permutarse en el sentido de las agujas del reloj para que queden bien, aplique D2S' T2D'I F2DI' SD2; si deben permutarse en el sentido contrario, aplique D2S' D'IF2 DI'T2 SD2. Si no se cumple ninguna de las dos posibilidades, gire el Techo de manera que coincidan 0 cm con su pared correspondiente y coloque el cubo de manera que haya que intercambiar el tf por el td y el ti por el ta. Entonces se aplica D2S2A2S I2F2I2F2I2F2 S'A2S2D2. 5.2 Si coincide un cm, girando todo el cubo sobre el eje vertical, se coloca en ti. Puede verse que los cm que están mal colocados deben permutarse ya sea en el sentido de las agujas del reloj, o en el sentido contrario. En el sentido de las manecillas del reloj hay que realizar D2S' T2D'IF2DI' SD2 ; y en el sentido contrario D2S' D'IF2DI'T2 SD2.

5.3 Si coinciden dos, se gira T hasta que coincidan uno o ninguno y se procede como en 5.1 o en 5.2, respectivamente.

Paso 6: Ordenamiento de las esquinas sin importar su orientación.

6.1 Si uno de los ce está en su lugar, aunque mal orientado, para que los demás ce queden en el lugar adecuado, sin que importe su orientación, se aplica

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una permutación o bien en el sentido de las agujas del reloj, o en el sentido contrario. Para esto, primero, girando todo el cubo, se coloca el ce que está en el lugar debido en ftd. Si la permutación de los tres cubitos restantes debe ser en el sentido de las agujas del reloj, se aplica I'TDT'D'IDTD'T', y si en el sentido contrario se aplica TDT'D'I'DTD'T'I.

6.2 Si los cuatro ce están mal colocados, hay que intercambiarlos en paralelo (frontales por traseros o izquierdos o derechos) o en cruz (esquinas opuestas por el vértice). Si hay que intercambiarlos en paralelo, se gira todo el cubo de manera que se intercambien traseros por frontales. Se aplica AITI'T'ITI'T'ITI'T'A'; si en cruz, D'A2FDF'D'FDF' D'FDF'D' A2D.

Paso 7: (Final). Vuelta a la posición inicial.

En este paso se gira todo el cubo sobre el eje vertical y se pone de manera que un cubo mal orientado quede en ftd. Si el color que debe ir arriba está al frente, se aplica FSF'S'FSF'S'; si el color que debe ir arriba está a la

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derecha se aplica SFS'F'SFS'F'. Cabe indicar que estas operaciones suponen desordenamiento de todo el cubo. Esto no importa. Continúe orientando cada una de las esquinas mediante las operaciones antes mencionadas, sin preocuparse porque coincidan con sus colores complementarios, pero cada vez que acomode un cubito en ftd, hágalo mediante giros de T. Una vez orientado el último cubito, realice varios giros de T hasta que vuelva a la posición inicial. El algoritmo descripto, construido por Singmaster, no es el único ni el más “económico”, sino que existen miles y miles de algoritmos como éste. El reto que se plantean centenares de matemáticos es el de encontrar el algoritmo supremo, que con el mínimo de giros de 90º logre llevar el cubo mágico a la posición inicial partiendo de cualquier configuración. En opinión del matemático francés Jerome Jean-Charles, el algoritmo supremo consistirá en un mínimo de 23 a un máximo de 30 giros de 90º. El hasta ahora más “económico” es el diseñado por el matemático inglés Morwen Thistlethwaite, que requiere un máximo de 52 movimientos. El interés por encontrar el algoritmo supremo no es puramente matemático, sino que también obedece a razones tecnológicas. El tipo de mecanismo interno que permite la libertad de movimientos de los cubitos, es de esperarse que pronto se aplique como “alma” de algunas máquinas o aun de robots; debido a esta posible aplicación tecnológica se hace necesario describir de una manera “económica” cómo pasar de una configuración del cubo a otra.

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