Sistemas de ecuaciones:

Llamaremos sistema de ecuaciones a un conjunto de ecuaciones vinculadas, de manera que

admitan todas el mismo conjunto solución.

A modo de ejemplo: vemos un sistema conformado por dos ecuaciones las cuales tienen dos

incógnitas.

Resolver el sistema implica encontrar los valores de que verifican las dos ecuaciones.

Para ello debemos recurrir a algún método que permita encontrar dicha solución; en cursos

anteriores debes haber trabajado con alguno de los siguientes.

- Método de igualación

- Método de sustitución

- Método de igualación

- Método de reducción

Cada uno de ellos tiene sus ventajas y aplicaciones. Vamos a revisar dos de ellos, el de

reducción y sustitución, para resolver y utilizaremos el método gráfico para comprender el

significado de la solución.

Método de sustitución:

Implica escribir una de las incógnitas en función de la restante, despejando en una de las

ecuaciones.

Sustituimos en la segunda ecuación:

Sustituimos el valor de obtenido

Método de reducción:

Implica crear una combinación lineal entre las dos ecuaciones, de modo que una de las

incógnitas se anule. (Es decir que su coeficiente sea cero)

Para lograr esto, debemos multiplicar a cada ecuación por un par de números reales de forma

conveniente para que se anule una de las incógnitas. Por ejemplo podría multiplicarse a la

primera ecuación por -1 y a la segunda por 2, de este modo los coeficientes de quedarán

opuestos y al sumarlos se anularan.

Una vez que tenemos el valor de , para obtener sustituimos en una de las ecuaciones.

verifiquemos:

Veamos gráficamente la situación

Para ello debemos representar gráficamente cada una de las ecuaciones. Estas corresponden a

las siguientes rectas. La solución del sistema coincide con las coordenadas del punto de

intersección de dichas rectas.

¿Esto ocurre siempre?

Es decir, ¿siempre la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es un

punto? Veamos el siguiente caso.

Al aplicar el método de reducción vemos que se eliminan ambas incógnitas y si bien llegamos

a una igualdad no podemos resolver el sistema.

Las rectas son coincidentes, una ecuación se puede obtener multiplicando a la otra por un

número real diferente de cero. Por lo tanto su intersección es la propia recta. Quiere decir que

todos los puntos de la recta son solución del sistema, es decir tiene infinitas soluciones.

¿Siempre hay solución?

Observa el siguiente sistema:

Claramente llegamos a una contradicción pues es evidente que por lo tanto el sistema

resulta incompatible, es decir que no tiene solución.

Gráficamente se puede observar:

En conclusión, un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, puede tener solución o no.

Por lo tanto podemos realizar una clasificación según el número de soluciones que admita.

- Compatible (admite solución)

Determinado: admite una única solución Indeterminado: admite infinitas soluciones

- Incompatible (no tiene solución o tiene solución vacía)

Veamos el siguiente sistema

Si representamos gráficamente las tres ecuaciones veremos que se cortan en un mismo punto,

dicho punto de coordenadas es la solución del sistema.

Si consideramos aplicar el método de reducción tomando las ecuaciones de 2 en 2, veremos

que la solución es única y coincide con la obtenida gráficamente.

Sistemas equivalentes:

Dos sistemas son equivalentes sí admiten la misma solución.

Podemos resolver ambos sistemas y comparar sus soluciones o podemos resolver uno y

verificar su solución en el otro sistema.

Veamos la solución del segundo sistema:

Vemos como los dos sistemas tiene la misma solución. Por lo tanto son equivalentes.

Veamos gráficamente ambas situaciones:

Es decir que la solución es:

La solución es:

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas

Veamos ahora los llamados sistemas de 3x3, porque tienen tres ecuaciones con tres

incógnitas. En realidad podrían estar formados por un número mayor de ecuaciones, como

vimos anteriormente en los sistemas de dos incógnitas.

IMPORTANTE:

Para poder resolver un sistema de ecuaciones, el número de ecuaciones debe ser igual o

mayor al número de incógnitas.

132

522

83

zyx

zyx

zyx

Observa el siguiente sistema, tiene tres incógnitas

También tiene tres ecuaciones, lo cual nos permitirá resolverlo.

Para ello vamos a ver a continuación un nuevo método de resolución.

Método de Escalerización de Gauss

Consiste en escribir un sistema equivalente (que admite la misma solución), de modo que esté

escrito en forma escalonada, dejando una ecuación con las tres incógnitas, la segunda con dos

incógnitas y la tercera con una sola de las incógnitas de la segunda ecuación. Esto se logra

mediante combinaciones lineales, como veremos a continuación.

132

522

83

zyx

zyx

zyx

Tomamos la primera ecuación y la usaremos como primera ecuación del nuevo sistema

equivalente

Para obtener la segunda ecuación del sistema escalonado debemos realizar una combinación

lineal entre dos de las ecuaciones de modo que se elimine una de las incógnitas.

Repetimos el procedimiento tomando otro par de ecuaciones del sistema original para formar

una combinación lineal que permita eliminar la misma incógnita.

Si trabajamos ahora con la segunda y la tercera ecuación del sistema equivalente podremos

obtener una combinación lineal que tenga una sola incógnita, esta ecuación será el último

escalón del sistema.

El sistema queda escalerizado, lo que facilita su resolución “subiendo” los escalones.

Ejercicios:

Resuelve los siguientes sistemas aplicando el método de escalerización:

a)

01882

2864

08

zyx

zyx

zyx

b)

52

122

0

zyx

zyx

zyx

c)

094

1432

08

zyx

zyx

zyx

Investiga si los siguientes sistemas son equivalentes:

a)

094

1432

08

zyx

zyx

zyx

027123

1432

01622

zyx

zyx

zyx

b)

01882

2864

08

zyx

zyx

zyx

027123

1432

03244

zyx

zyx

zyx

c)

132

522

83

zyx

zyx

zyx

52

122

0

zyx

zyx

zyx

d)

123

1645

02

zyx

zyx

zyx

123

162

0322

zyx

zyx

zyx

Aplicaciones:

La matemática permite modelizar situaciones del universo, simples o complejas, y esto aplica

también al planteo de ecuaciones y sistemas.

El planteo de ecuaciones y sistemas de ecuaciones permite resolver un gran número de

problemas de la vida cotidiana y otros más complejos.

Veamos algunas aplicaciones:

1) La suma de las edades de una madre y su hija es 42 años. Cuando la hija tenga la edad actual de la madre, esa suma será 90. ¿Cuántos años tiene cada una en la actualidad?

2) Se alea un lingote de oro puro con otro de 75% de pureza, obteniéndose 1kg de aleación con una pureza del 90%. ¿Cuántos gramos de cada tipo de lingote se han empleado?

3) La suma de las dos cifras de un número es 9. Si a ese número le restamos 45, el que se obtiene es igual al número que resulta de invertir el orden de las cifras del original. ¿Cuál es dicho número?

4) Una persona tiene 20 monedas, algunas de $5 y otras de $10. ¿Cuántas monedas de cada tipo debe tener para reunir $160?

5) Un vendedor de panchos vende un pancho, un vaso de refresco y un alfajor por un total de $37. Si vende dos panchos y un vaso de refresco cuesta lo mismo que tres alfajores y un vaso de refresco. En cambio si vende cinco panchos, tres vasos de refresco y tres alfajores se debe abonar $141. ¿Cuánto cuesta cada artículo?

6) Se encuentra un grupo de 65 personas de tres edades diferentes. Algunos de 12 años otros de 20 años y otros de 24 años. Sumando todas las edades da un total de 1220 años. Además se sabe que el total de personas que tienen 12 o 20 años superan en 5 personas a los de 24. ¿Cuántas personas hay en cada grupo etáreo?

7) En la fabricación de cierta marca de chocolate se emplea leche, cacao y almendras, siendo la proporción de leche el doble que la de cacao y almendras juntas. Los costos de cada kg de ingrediente son: leche 1 dólar, cacao 4 dólares y almendras 13 dólares. Si se elaboran 9kg de chocolate con un costo total de 27 dólares; ¿cuántos kg se utilizan de cada ingrediente? Justifica

8) 120 estudiantes de bachillerato realizan una excursión con tres posibles destinos: Piriápolis, Aiguá y Garzón; por un total de $8922. Se asignan $60 a cada alumno con destino a Garzón, $72 a cada uno con destino a Aiguá, y $90 a cada estudiante con destino Piriápolis. Además el número de estudiantes que van a Garzón y Aiguá exceden en 50 a los que van a Piriápolis.

9) Una empresa ha invertido $73000 en la compra de ordenadores portátiles de tres clases A, B y C, cuyos costos por unidad son $2400, $1200 y $1000 respectivamente. Sabiendo que, en total, ha adquirido 55 ordenadores y que la cantidad invertida en los de tipo A ha sido la misma que la invertida en los de tipo B, averigua cuántos aparatos ha comprado de cada clase la empresa.

Clasificación de sistemas

Existen varias formas de clasificar un sistema, en este caso veremos una clasificación dada por

el número de soluciones que este tenga.

Como ya vimos para los sistemas con dos incógnitas, en los sistemas de tres incógnitas también

aceptaremos la misma clasificación

Sistema compatible determinado: un sistema es compatible determinado cuando admite una

única solución.

Sistema compatible indeterminado: un sistema es compatible indeterminado cuando admite

infinitas soluciones

Sistema incompatible: cuando no admite solución

Gráficamente esto puede verse ya que cada ecuación del sistema representa a un plano.

La intersección de dos planos es una recta, tres planos pueden tener como intersección un

punto, una recta. No cortarse nunca los tres al mismo tiempo, sin necesidad de ser paralelos los

tres.

El sistema tiene una única solución, cada ecuación es independiente de las otras dos.

132

522

83

zyx

zyx

zyx

El sistema tiene infinitas soluciones, la tercera ecuación es una combinación lineal de las dos

primeras. (en este caso la tercera ecuación se obtiene de sumar la primera y la segunda)

Este sistema no tiene solución si realizamos una combinación lineal entre la primera y segunda

ecuación obtendremos una contradicción con la tercera. Este sistema es incompatible.

En este caso, ocurre lo mismo que en el caso anterior pero con las tres ecuaciones al mismo

tiempo, lo que resulta de tener tres planos paralelos.