a11 a12 a13 a14 a15 ! a1n

0 a22 a23 a24 a25 ! a2n

0 0 a33 a34 a35 ! a3n

0 0 0 a44 a45 ! a4n

0 0 0 0 a55 ! a5n

" " "0 0 0 0 0 ! ann

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

Karl Fredrich Gauss (1777-1855)

MATEMÁTICAS Itema 3

Sistemas de ecuaciones

IES Mata Jove curso 2019/2020

Matemáticas I DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

ud3: SISTEMAS DE ECUACIONES IES Mata Jove

UD3. Sistemas de ecuaciones 2 material alumnadoLA CASA DE EVARISTO NOETHER http://rubenpzamanillo.blogspot.com/

Sistemas de ecuacionesUn sistema de ecuaciones no es más que un conjunto de varias ecuaciones para las que se buscan las soluciones comunes a todas las ecuaciones del sistema.

Sistemas de ecuaciones linealesEl sistema se dice lineal si todas las ecuaciones que lo forman son lineales, es decir, de grado 1. Para resolver este tipo de sistemas, se dispone de dos procedimientos llamados sustitución y reducción.

En función del número de soluciones un sistema puede ser: compatible determinado (una única solución), compatible indeterminado (infinitas soluciones) o incompatible (no tiene solución)

Sistemas de ecuaciones no linealesUn sistema de ecuaciones se dice no lineal cuando alguna de las ecuaciones que forman el sistema es no lineal, es decir es una ecuación de grado mayor que 1.

Habitualmente este tipo de sistemas se resuelve por sustitución; así se obtiene una ecuación polinómica que se puede resolver por los métodos conocidos.

Método de Gauss para la resolución de sistemas linealesEl método de Gauss consiste en transformar el sistema lineal que debemos resolver, en otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que el anterior. Para conseguir un sistema de este tipo, llamado triangular, se pueden aplicar al sistema las siguientes transformaciones:

Cambiar el orden de dos ecuacionesMultiplicar o dividir una ecuación por un número distinto de 0.Sustituir una ecuación por la suma de esta ecuación con otras ecuaciones del sistema

Para simplificar los cálculos que se deben hacer al aplicar el método de Gauss, se suele representar el sistema utilizando la denominada notación matricial de un sistema lineal.

Dado un sistema lineal de n ecuaciones y m incógnitas

a11 ⋅ x1 + a12 ⋅ x2 +…+ a1n ⋅ xn = b1

a21 ⋅ x1 + a22 ⋅ x2 +…+ a2n ⋅ xn = b2

!am1 ⋅ x1 + am2 ⋅ x2 +…+ amn ⋅ xn = bm

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

donde las ai j son los coeficientes del sistema,

las xi son las incógnitas y los

bj los términos independientes.

Se puede representar mediante la matriz

a11 a12 ! a1n b1

a21 a22 ! a2n b2

"am1 am2 ! amn bm

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

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1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:

a)

x2 + y 2 = 29x2 − y 2 = −21

⎧⎨⎪

⎩⎪b)

x x + y( ) = −3

x2 + y = 5

⎧⎨⎪

⎩⎪c)

x2 − 3y 2 = 1x + 5y = 7

⎧⎨⎩⎪

d)

x = y 2

y = x2

⎧⎨⎪

⎩⎪

e)

8x = y 2

2x − y = 8⎧⎨⎩⎪

f)

x + y = 4x ⋅ y = 3

⎧⎨⎩

g)

x2 + y 2 = 5yx= 2

⎧⎨⎪

⎩⎪h)

x2 + y 2 = 10xy = 3

⎧⎨⎩⎪

i)

x + y = 8x2 + y 2 + xy = 52

⎧⎨⎩⎪

2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss

a)

2x − y − z = −3x − 2y − 2z = −64x + 2y + z = 4

⎧

⎨⎪

⎩⎪

b)

x − y = 33x + 2y = 192x + 3y = 16

⎧

⎨⎪

⎩⎪

c)

x + y + 2z = 02x + 5y − 6z = 03x + 4y + z = 0

⎧

⎨⎪

⎩⎪

d)

x + y + z = 23x − y = 15x + 7y − 3z = 3

⎧

⎨⎪

⎩⎪

e)

x − y − 2z = 82x + y − 3z = 11x + 2y + 3z = 5

⎧

⎨⎪

⎩⎪

f)

2x + y = −1−x + y = −4−4x + −y = 1

⎧

⎨⎪

⎩⎪

g)

x + y + z = 10x + 2y − z = 2x + y + 2z = 15

⎧

⎨⎪

⎩⎪

h)

´−x + y − z = −2x − 2y + 3z = 62x + 3y + z = 11

⎧

⎨⎪

⎩⎪

i)

3x − y + z = 3−4x − 6y + 7z = −32x + 3y + 5z = 0

⎧

⎨⎪

⎩⎪

3. Si Laura sube de tres en tres los escalones de una torre, tiene que dar 30 pasos menos que si los sube de dos en dos. ¿Cuántos escalones tiene la torre?

4. En una bodega venden dos tipos de vino: crianza y reserva. Juan compró 3 botellas de reserva y 12 de crianza por 69€. Belén compró 8 botellas de reserva y 6 de crianza por 80€. ¿Cuánto vale una botella de cada tipo de vino?

5. Tenemos un alambre de 17cm. ¿Como debemos doblarlo para que forme un ángulo recto y los extremos del alambre queden a una distancia de 13cm.

6. Pedro compra dos tipos de sellos, unos de 0,26€ y los otros de 0,84€ cada uno. Si compró 11 sellos y pagó en total 5,18€, ¿cuántos sellos de cada tipo compró?

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7. Tengo en mi cartera monedas de 2€ y billetes de 5€. Tengo un total de 13 monedas y billetes que suman 32€. ¿Cuántas monedas de 2€ y cuántos billetes de 5€ tengo en la cartera?

8. Para una fiesta se compraron 18 bocadillos por un total de 48€. Se compraron dos tipos de bocadillos: los de jamón, a 2,80€ cada uno y los de queso, a 2,50€ cada uno. ¿Cuántos bocadillos de cada tipo se compraron?

9. Una empresa que comercializa aceite de oliva mezcla un aceite de 6€/l con otro aceite de 7,5€/l, de modo que obtiene 50 litros de aceite de 6,5€/l. ¿Cuántos litros de cada variedad de aceite mezclaron?

10. Se han mezclado 40kg de un café cuyo precio es de 10€/kg, con otro tipo de café cuyo precio es de 14€/kg. ¿Cuánto kilos se han usado de la segunda variedad de café, si la mezcla final tiene un precio de 12,80€/kg?

11. Las edades de Marta, Miguel y Carmen suman 94 años. Dentro de 17 años, las edades de Marta y Miguel sumarán un siglo. Calcula las edades de estas tres personas sabiendo que Marta es 7 años mayor que Carmen.

12. Tres amigos, Félix, Damián y Carlos han comprado acciones de tres empresas distintas: una aseguradora (A), un banco (B) y una constructora (C). Félix se gastó 1660€ en 100 acciones de A, 60 de B y 20 de C. Damián invirtió 1579€ en 60 acciones de A, 10 de B y 100 de C. Finalmente, Carlos compró 30 acciones de A y 150 de C por un importe de 1560€. Calcula el precio de cada acción.

13. En un frutería compraron melones a 40 céntimos el kilo que luego vendieron a 60 céntimos el kilo. Averigua cuántos kilos de melones compraron en la frutería, sabiendo que no pudo vender 10 de los kilos comprados y que la frutería obtuvo un beneficio de 42€ con la venta de los melones.

14. Los lados de un rectángulo se diferencian en 2m. Si aumentamos 2m en cada lado, el área del rectángulo aumenta 40m2.

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