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Propedéutico 2008 Facultad de Ciencias 1

Unidad 3Sistemas de Ecuaciones

Lineales

Propedéutico 2008Dra. Ruth M. Aguilar Ponce

Facultad de CienciasDepartamento de Electrónica


Sistema de Ecuaciones Lineales

• Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas x1, x2, …, xn es un conjunto de ecuaciones de la forma

• Deseamos determinar si el conjunto de ecuaciones tiene solución

• La solución al sistema de ecuaciones es encontrar un conjunto de valores x1, x2, …, xn de tales que satisfagan cada ecuación

12211

22222121

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

L

M

L

L


Representación Matricial

• El sistema de ecuaciones puede ser representado por matrices de la siguiente manera

• El sistema es consistente si tiene una solución de lo contrario se le denomina inconsistente.

bxArr

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nnmnmm

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

xAMM

K

MOMM

K

L

r 2

1

2

1

21

22221

11211


Sistemas de Ecuaciones Lineales

• Los sistemas de ecuaciones pueden presentar tres casos: – m = n, es el más común, ya que el número de

ecuaciones es igual al número de incógnitas. – m < n, el número de ecuaciones es menor que el

de incógnitas y tenemos lo que se conoce como problema subdeterminado.

– m > n, el número de ecuaciones es mayor que es de incógnitas y tenemos lo que se conoce como problema sobredeterminado. El sistema tiene al menos una solución.


Condiciones para encontrar soluciones

x

y

x

y

x

y

Solución única Número infinito de Soluciones Sin Solución

• Tiene una solución única si el det(A) ≠ 0• No tiene solución o tiene un número infinito de

soluciones si el det(A) = 0



• Considere el sistema de ecuaciones lineales Ax = b y r = rango(A) entonces,

– El sistema es inconsistente si r < m

– El sistema tiene una solución única si r = min(n,m)

– El sistema tiene un número infinito de soluciones si

r < n y r ≤ m



• El sistema Ax = b puede ser resuelto si y solo si el vector b puede ser expresado como una combinación lineal de las columnas de A.

• Sea A una matriz de m × n . El sistema lineal Ax= bes consistente si y solo si el rango de la matriz aumentada (A|b) es igual al rango de A.

• Cuando el rango de A es igual a m, entonces el sistema Ax = b será consistente para todos los vectores en Rm.


Forma Reducida de una Matriz

• Una matriz se encuentra en la forma reducida por renglones si cumple las siguientes condiciones– Si existen reglones cuyos elementos son todos cero,

entonces aparecen en la parte inferior de la matriz– El primer número diferente de cero en cualquier

renglón diferente de cero es 1– En cualquier renglón el 1 esta mas hacia la derecha

del 1 del renglón anterior. – Cualquier columna que contiene el primer 1 en un

renglón tiene ceros en el resto de sus elementos


Forma reducida de una matriz

• El primer número diferente de cero en un renglón se llama pivote.

• Si la matriz solo cumple las tres primeras condiciones entonces la matriz esta en la forma escalonada

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

100510321

000063105201

21005001

100010001


Rango de la Matriz

• El rango de la matriz A de m × n es el número de renglones diferentes de cero en su forma reducida.

• El número de pivotes de una matriz reducida es igual al rango de la matriz A.


Métodos para Solución de Sistema de Ecuaciones

• Se cuentan con dos métodos para la solución de sistemas de ecuaciones lineales:– Eliminación de Gauss-Jordan

• Se reduce por renglón la matriz de coeficientes a la forma reducida

– Eliminación Gaussiana• Se reduce por renglón la matriz de coeficiente a la

forma escalonada. Se despeja el valor de la última incógnita y después se usa la sustitución hacia atrás para las demás incógnitas


Operaciones elementales

• Ambos métodos utilizan las siguientes operaciones elementales para reducir la matriz de coeficientes:– Multiplicar (o dividir) un renglón por un número diferente

de cero– Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón– Intercambiar dos renglones

• Si la matriz A se puede transformar en la matriz B mediante operaciones elementales, entonces se dice que A y B son equivalentes por renglones.

• Cualquier matriz se puede reducir a forma escalonada o reducida mediante operaciones elementales.


Matrices Elementales

• Una matriz E de n × n se llama matriz elemental si puede obtenerse a partir de aplicar una sola operación elemental a la matriz identidad.

• Una operación elemental en una matriz A se puede escribir como el producto EA, donde E es la matriz elemental correspondiente.

• Toda matriz elemental es invertible, y su inversa es una matriz del mismo tipo.



222 5100050001

5100010001

RRR =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛→

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

13133 3103010001

3100010001

RRRRR −=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−→

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

2332

010100001

100010001

PRR =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛↔

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

Multiplicación

Permutación

Suma de un Múltiplo



• La transformación de una matriz A a la forma escalonada o reducida se puede expresar como el producto

• donde Ei es la matriz elemental correspondiente a la i-esima operación aplicada.

• Una matriz cuadrada es invertible si y solo si es el producto de matrices elementales.

AEEEm 12L

nEEEA L21=


Factorización LU

• Sea A una matriz de n × n y sean E1,E2,…,Em las matrices elementales correspondientes a las operaciones requeridas (ninguna de ellas una permutación) para transformar A en una matriz triangular superior U, es decir

AEEEU mm 11L−=

LUUEEEA m == −−− 112

11 L

Entonces


Factorización LU

• Suponga que se quiere resolver el sistema Ax = b donde A es invertible, entonces

• Ly = b puede ser resuelta por sustitución hacia delante.

• Ux = y puede ser resuelta por sustitución hacia atrás.

( ) byLxULxLUxArrrrr

====


Factorización PA=LU

• En general, para cualquier matriz invertible de n × n existe una matriz de permutación P tal que PA = LU, donde L es triangular inferior con unos en la diagonal, y U es triangular superior.

• Notar que toda matriz de permutación es su propia inversa, y que si P es una matriz de permutación.

• Entonces, P se puede construir como el producto de todas las permutaciones que se realizan durante la transformación de A en U.

11 PPPP kk L−=


Factorización LU y Determinantes

• Si una matriz cuadrada A tiene factorización LU tal que A = LU, donde L tiene unos en la diagonal y U es una matriz triangular superior, entonces

• Si P es una matriz de permutación (es decir, el producto de matrices elementales de permutación), entonces det P = ±1.

• Si A tiene factorización PA = LU, entonces det A = ±det U.

( ) ( ) ∏=

==n

iiiuUA

1

detdet


Matriz Ortonormal

• Si Q es una matriz (cuadrada o rectangular), se dice que tiene columnas ortonormales si cumple con QQT=I.

• Si Q es cuadrada entonces Q-1 = QT

• La multiplicación por cualquier Q preserva magnitud, angulos y producto punto– Para cualquier vector x, – Producto interno– Angulo

( ) Iqqq

q

qq

n

Tn

T

T

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

100

010001

212

1

L

MOMM

L

L

rL

rr

rM

r

r

xxQ rr=

( ) yxyQxQ TT rrrr=)(

( ) ( )yxyx

yQxQyQxQ TT

rr

rr

rr

rr

⋅

=⋅

=ϕcos


Gram-Schmidt

• El proceso Gram-Schmidt toma n vectores independientes v1, v2, …, vn y obtiene n vectores ortonormales q1, q2, .., qn. En el paso j substrae de vjsus componentes en las direcciones q1, q2,..., qj-1que han sido establecidas.

• Entonces qj es normalizado

( ) ( ) ( ) 112211 −−−−−−= jjTjj

Tj

Tjj qvqqvqqvqvu rrr

Lrrrrrrrr

j

jj u

uq r

rr=


Descomposición QR

• Sea A una matriz de m × n con columnas independientes, entonces A puede ser factorizada en,

• Donde Q es ortonormal y R es una matriz triangular superior e invertible.

( ) ( ) QRvqvqvqvqvqvq

qqqvvvAT

TT

TTT

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

33

3222

312111

321321

000

rr

rrrr

rrrrrr

rrrrrr


Descomposición QR

• La descomposición QR simplifica el sistema de ecuaciones lineales

• Substitución hacia atrás es empleada para resolver el sistema.

( ) ( )

bQxR

bQRxRRxQRQR

bQRxQRQR

bAxAA

bxA

T

TTTTT

TT

TT

rr

rrr

rr

rr

rr

=

==

=

=

=


Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneo

• El sistema de ecuaciones Ax = b se llama homogéneo si b = 0.

• Un sistema homogéneo siempre tiene al menos una solución, que es la solución trivial x = 0.

• El sistema puede tener solución única (la trivial) o un número infinito de soluciones.

• Un sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones siempre tiene un número infinito de soluciones.


Sistema Homogéneo Asociado

• Sea Ax = b un sistema de ecuaciones no homogéneo (es decir, con b ≠ 0). El sistema homogéneo asociado está dado por

Ax = 0

• Si x1 y x2 son soluciones de Ax = b, entonces su diferencia x1 - x2 es una solución del sistema homogéneo asociado.

• Dada una solución x del sistema no homogéneo, cualquier otra solución y de este sistema se puede obtener como y = x + h, donde h es una solución del sistema homogéneo asociado.


Sistema Homogéneo

• Sea A una matriz de n × n. Suponga que el sistema Ax = b es consistente.

• Entonces tiene una solución única si y solo si el sistema homogéneo asociado Ax = 0 tiene solo la solución trivial

• El sistema homogéneo tiene solo la solución trivial si ρ(A) = n.


Espacio Nulo

• Sea A una matriz de m × n. El conjunto de soluciones NA del sistema homogéneo Ax = 0 forma un espacio vectorial conocido como el espacio nulode A y se define como

• La dimensión del espacio nulo de una matriz A, denotado por ν(A)=dim(NA) y se conoce como la nulidad de A. Si NA={0} entonces ν(A)=0.

• Una matriz A de n × n es invertible si y solo si ν(A)=0.

{ } R 0: =∈= xAxN nA

r


Imagen de una Matriz

• La imagen de una matriz A de m × n es el espacio generado por las columnas de A. La imagen se denota por imag A y se define como

• La imagen de A es un subespacio de Rm

• ρ(A) = dim imag A.

• ρ(A) + ν(A) = n

{ }nm xalgunaparayxAyAimag R R ∈=∈=rrrr :


Imagen de una Matriz

• Sea RA el espacio generado por los renglones de A, entonces

• Sea A una matriz real. Entonces, todo vector en RA es ortogonal a todo vector en NA.

( ) ( ) ( )AAimagRA ρ== dimdim

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