Mtro. Javier Solis Noyola

*A x b

Objetivos

Conocer y comprender El Método de Solución de Eliminación Gaussiana para solucionar sistemas de Ecuaciones Lineales.

Aplicar la el Método de Solución de Eliminación Gaussiana para la solución de ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales.

Carl Friedrich Gauss

Junto con el físico alemán Eduard Weber, investigó sobre el magnetismo y la electricidad; una unidad de inducción magnética recibe su nombre.

El más grande matemático del siglo XIX, Johann Carl Friedrich Gauss se considera uno de los tres matemáticos más importante de todos los tiempos, siendo Arquímedes y Newton los otros dos.

Las aportaciones de Gauss en todos los campos de la Matemática son inestimables: Teoría de números, Astronomía, Magnetismo, Geometría, Análisis... Cualquier gran descubrimiento matemático a lo largo de este siglo encuentra detrás la alargada sombra de Gauss.

(1777- 1855)

Gauss nació en Brunswick, Alemania

Cuando nos planteamos la resolución de varias ecuaciones a la vez con varias incógnitas, estamos ante un sistema y en el caso más sencillo, donde todas las ecuaciones sean lineales, se llama sistema de ecuaciones lineales. Existen muchas formas de resolver dichos sistemas, empezando por las clásicas de reducción, sustitución e igualación que son las primeras que nos enseñan, puesto que son muy fáciles de asimilar. 

¿Qué es un Sistema de Ecuaciones Lineales?

donde x1, ..., xn son las incógnitas,  b1, ..., bm se denominan términos independientes y los números aij se llaman coeficientes de las incógnitas.

• Dado un sistema de ecuaciones, el objetivo principal es hallar todas sus soluciones, es decir, hallar todos los valores de x1, ..., xn que verifican todas las ecuaciones.

• Atendiendo al número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales podemos clasificarlos en tres tipos:• Sistema incompatible:  son aquellos que no poseen solución.• Sistema compatible:  son aquellos que poseen solución. Dentro de ellos,

podemos hablar de:Sistema compatible determinado: sistemas con una única solución.Sistema compatible indeterminado: sistemas con infinitas soluciones..

a) Solución única b) Sin solución c) Infinidad de soluciones

Los ejemplos gráficos presentados corresponden a un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas

Las Soluciones gráficas de un sistema de ecuaciones lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas, son: Solución única con tres planos se cruzan en un punto (x,y,z). Infinidad de soluciones con tres planos coincidentes. Y sin solución con tres planos paralelos, 2 planos paralelos cortados por un plano, etc.

SoluciónÚnica(x,y,z)

ELIMINACIÓN GAUSSINA PARA UN SISTEMA DE

ECUACIONES LINEALES DE nxn Este método se aplica para resolver sistemas lineales de la forma: A*X = B. Consiste en escalonar la matriz aumentada original (inicial) de un sistema de ecuaciones lineales de nxn. Ésta otra matriz (escalonada) es equivalente, de la cual se puede obtener el sistema de ecuaciones lineales escalonado, donde la última xi tiene un valor definido, el cual podrá ser sustituido hacia atrás para obtener las demás soluciones.

sistema escalonado equivalente:Donde la notación a‘ij se usa simplemente para denotar que el elemento aij cambió.    Se despejan las incógnitas comenzando con la última ecuación y hacia arriba.    Por  esta  razón,  muchas  veces  se  dice  que  el método  de eliminación Gaussiana consiste en la eliminación hacia adelante y sustitución hacia atrás.

0

0 0

Sistema de Ecuaciones Original Matriz Aumentada OriginalMatriz Escalonada

(equivalente)

~

ELIMINACIÓN GAUSSINA PARA UN SISTEMA DE

ECUACIONES LINEALES DE nxn El objetivo del escalonamiento es la obtención de equivalencia, y de ésta manera facilitar la obtención de las soluciones de las incógnitas xi

sistema escalonado equivalente:

0

0 0

Sistema de Ecuaciones Original

Matriz Aumentada Original Matriz Escalonada (equivalente)

ELIMINACIÓN GAUSSINA PARA UN SISTEMA DE

ECUACIONES LINEALES DE nxn

Ejemplo de un sistema escalonado:

De este modo, el sistema tiene la solución única:

 x = 35/28 ; y = -19/28, z = 87/28

~ ~ ~

x + 2y + z = 3 y -3z = -10 z = 87/28

*

Matriz Aumentada

Proceso de escalonado de Matriz aumentada original:

Matriz Escalonada

Sistema Escalonado

Aplicando el proceso de sustitución hacia atrás

1 2 1 3

0 1 -3 -10

0 -8 -4 - 7

1 2 1 3

0 1 -3 -10

0 0 1 87/28

*

Operaciones Fundamentales para escalonar una matriz aumentada y obtener su equivalencia

sistema escalonado equivalente:

Sistema de Ecuaciones Original

…0

0 0

• Multiplicar un Renglón o fila por un escalar K . Rin = KRi ;

donde: Rin = Renglón i nuevo (equivalente); K es el escalar; Ri = Renglón i (anterior)

• Intercambiar Renglones o filas Ri ↔ Rj ;

Donde: el símbolo ↔ significa intercambio; Ri = Renglón 1; Rj = Renglón 2

• Sumar Renglones o filas Rjn = KRi + Rj ;

Donde: Rjn = Renglón 2 nuevo; KRi = K es el escalar y Ri = Renglón i (anterior) ; Rj = Renglón 2

~

ELIMINACIÓN GAUSSINA PARA UN EJEMPLO CONCRETO

Proceso de escalonado de Matriz aumentada original:

• Intercambiar Renglones o filas Ri ↔ Rj ;

Donde: el símbolo ↔ significa intercambio; Ri = Renglón 1; Rj = Renglón 2

R1 ↔ R2R1

R2

R3

R1

R2

R3

Matriz Aumentada Original

Matriz Aumentada Equivalente

Proceso de escalonado de Matriz aumentada (continuación):

R1

R2

R3

• Sumar Renglones o filas Rjn = KRi + Rj ;

Donde: Rjn = Renglón 2 nuevo; KRi = K es el escalar y Ri = Renglón i (anterior) ; Rj = Renglón 2

• Sumar Renglones R1 y R2 R2n = -2R1 + R2

-2R1 = -2 (1 2 1 │ 3 ) = -2 -4 -2 │ -6 R2 = 2 5 -1 │-4 = 2 5 -1 │ -4 R2n = 0 1 -3 │ -10

• Sumar Renglones R1 y R3 R3n = -3R1 + R3

-3R1 = -3 (1 2 1 │ 3 ) = -3 -6 -3 │ -9 R3 = 3 -2 -1 │2 ) = 3 -2 -1 │ 2 R3n = 0 -8 -4 │ -7

1 2 1 3 0 1 -3 -10 0 -8 -4 - 7

R1

R2

R3

Proceso de escalonado de Matriz aumentada (continuación):

• Sumar Renglones R2 y R3 R3n = 8R2 + R3

8R2 = 8 ( 0 1 -3 │-10 ) = 0 8 -24 │ -80 R3 = 0 -8 -4 │ -7 = 0 -8 -4 │ -7 R3n = 0 0 -28 │ -87

1 2 1 3 0 1 -3 -10 0 -8 -4 - 7

R1

R2

R3

1 2 1 3 0 1 -3 -10 0 0 -28 -87

R1

R2

R3

• Multiplicar un R3 por un escalar K . R3n = (-1/28) R3

R3n = (-1/28) ( 0 0 -28 │ -87 )

R3n = 0 0 -28/-28 │ -87/-28

R3n = 0 0 1 │ 87/28

1 2 1 3 0 1 -3 -10 0 0 1 87/28

R1

R2

R3

X + 2 Y + Z = 3 Y - 3Z = -10 Z = 87/28

X = 35/28

Y = -19/28

Z = 87/28

Solución única

REFERENCIAS INFORMÁTICAS (textos):

•Cárdenas, Humberto y Emilio Luis R., y Francisco Tomas. ÁLGEBRA SUPERIOR. Editorial Trillas, 2002.

•Frank S Budnick. MATEMÁTICAS APLICADAS PARA ADMINISTTRACIÓN, ECONOMÍA Y CIENCIAS SOCIALES. Editorial Mc Graw Hill.

•Haeussler, Ernest F.. MATEMÁTICAS PARA LA ADMINISTRACIÓN, ECONOMÍA, CIENCIAS SOCIALES Y DE LA VIDA. Editorial Prentice Hall.

•Reyes Guerrero, Araceli. ÁLGEBRA LINEAL. Editorial Thomson, 2005.

•Richar Hill. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Prentice Hall.

•Stanley I Grossman. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Mc Graw Hill