Sistemas de ecuaciones lineales: Método de Gauss....Sistemas de ecuaciones lineales: Método de...
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Introducción El Método de Gauss Qué operaciones hacer... Mismas soluciones Una, niguna, infinitas Sistemas de ecuaciones lineales: Método de Gauss. Álgebra II - 2020 - 1er cuatrimestre
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Introducción El Método de Gauss Qué operaciones hacer... Mismas soluciones Una, niguna, infinitas
Sistemas de ecuaciones lineales:Método de Gauss.
Álgebra II - 2020 - 1er cuatrimestre
Introducción El Método de Gauss Qué operaciones hacer... Mismas soluciones Una, niguna, infinitas
1 Introducción
2 El Método de Gauss
3 Qué operaciones hacer...
4 Mismas soluciones
5 Una, niguna, infinitas
Introducción El Método de Gauss Qué operaciones hacer... Mismas soluciones Una, niguna, infinitas
En este archivo presentamos el Método de Gauss para resolversistemas de ecuaciones lineales.También respondemos las siguientes preguntas:
Qué operaciones hacer para transformar un sistema cualquieraen otro asociado una MERF? Siempre es posible hacer esto?Por qué estos sistemas tienen las mismas solciones?Cómo saber si el sistema tiene o no tiene solución? Una oinfinitas?
Como antes, seguiremos la Sección 1.2 de las Notas de Álgebra IIde Agustín Garcia y Alejandro Tiraboschi. Usaremos la mismanumeración de estas notas para las Definiciones, Teoremas, etc.Allí se pueden encontrar más detalles y el sustento teórico de todasnuestras afirmaciones.
Introducción El Método de Gauss Qué operaciones hacer... Mismas soluciones Una, niguna, infinitas
1 Introducción
2 El Método de Gauss
3 Qué operaciones hacer...
4 Mismas soluciones
5 Una, niguna, infinitas
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El Método de Gauss para resolver el sistema de ecuaciones
AX = Y
consiste en transformar este sistema usando operacioneselementales por fila en otro sistema
BX = Z
que tenga las mismas soluciones y que B sea una MERF.
Como dijimos en el archivo anterior este sistema será más fácil deresolver porque B es MERF.
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A continuación explicaremos en 3 pasos el Método de Gauss pararesolver el sistema de ecuaciones
AX = Y.
Ejemplificaremos los pasos con el sistema
(E)
1 0 21 −3 32 −3 5
x1
x2x3
=
123
Tarea1 Verificar que (E) es el sistema del Ejemplo 3 del primer
archivo.2 Anotar el sistema (E) en una hoja y sigan los siguientes pasos
en la misma para ir comprendiendo.
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Primer paso: Matriz ampliada
Armar la matrizA′ = (A|Y ) ,
es decir, le agregamos a A una columna igual a Y .
EjemploLa matriz ampliada del sistema (E) es 1 0 2 1
1 −3 3 22 −3 5 3
NotaciónUsaremos una línea vertical para separar en A′ la matriz A de lacolumna Y .
Definición 1.2.7A′ se llamamatriz ampliada.
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Segundo paso: reducir la matriz ampliada
Usar operaciones elementales por filas para transformar lamatriz ampliada A′ en una matriz B′ de la forma
B′ = (B|Z)
donde B es una MERF y Z es una columna.
Ejemplo
A′ =
(1 0 2 11 −3 3 22 −3 5 3
)F2−F1−→
(1 0 2 10 −3 1 12 −3 5 3
)F3−2F1−→
(1 0 2 10 −3 1 10 −3 1 1
)− 1
3 F2−→
(1 0 2 10 1 − 1
3 − 13
0 −3 1 1
)F3−3F2−→
(1 0 2 10 1 − 1
3 − 13
0 0 0 0
)= B′
B Z
+
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Tercer paso: despejar y describir el conjunto de soluciones
Escribir explicitamente el sistema BX = Z.Despejar en cada ecuación la incognita correspondiente al 1principal.Describir el conjunto de soluciones. Hay tres opciones: tenersólo una solución; infinitas, parametrizadas por las incognitasque no corresponden a 1’s principales; no tener solución.
Ejemplo
BX = Z
{x1 + 2x3 = 1x2 − 1
3x3 = −13x3
x1 = −2x3 + 1x2 = 1
3x3 − 13x3
Entonces el conjunto de soluciones del sistema AX = Y es{(−2x3 + 1,
13x3 −
13 , x3) | x3 ∈ R
}.
Por ej., si x3 = 1, entonces (−1, 0, 1) es una solución del sistema.
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Es posible que se hagan algunas de las siguientes preguntas:Qué operaciones hacer para transformar A′ en B′? Siempre esposible encontrar B′?Por qué las soluciones de BX = Z son también las solucionesdel sistemas AX = Y ?Cómo saber si el sistema tiene o no tiene solución? Una oinfinitas?Hasta cuándo durará el coronavirus?
Responderemos estas preguntas luego de hacer otro ejemplo decómo funciona el Método de Gauss.
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Ejemplo
ProblemaResolver el sistema de ecuaciones:
(E)
x2 − x3 + x4 = 12x3 + x4 = 3x1 + x2 − x4 = 15x1 + 7x2 − 2x3 − 3x4 = 7x1 + 2x2 − x3 = 2
RespuestaEl conjunto de soluciones es
Sol(E) ={(5
2x4 −12 ,−3
2x4 + 52 ,−1
2x4 + 32 , x4
)| x4 ∈ R
}3
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DemostraciónHacer los siguientes pasos en sus hojas para encontrar lassoluciones del sistema.
Armar la matriz ampliada del sistema (E).Intercambiar la fila 1 y la fila 3.Cambiar la fila 4 por F4 − 5F1.Cambiar la fila 5 por F5 − F1.Intercambiar la fila 2 y la fila 3.Cambiar la fila 4 por F4 − 2F2.Cambiar la fila 5 por F5 − F2.Cambiar la fila 1 por F1 − F2.Multiplicar la fila 3 por 1
2 .Cambiar la fila 2 por F2 + F3.Cambiar la fila 1 por F1 − F3.Despejar x1, x2 y x3.Escribir el conjunto de soluciones.
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3 Qué operaciones hacer...
4 Mismas soluciones
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¿Cómo hacemos para transformar a A′ en B′ usando operacioneselementales por fila?
La Observación 1.2.2 nos da un algoritmo para reducir una matriza una MRF (una MERF salvo que los 1 principales pueden no estarescalonados y filas nulas en cualquier lugar).
A continuación reescribimos este algoritmo para MERF.
En la práctica no es necesario seguir al pie de la letra el algoritmo.Lo damos para que tengan una idea de como comenzar. Luego dehacer ejercicios se irán dando cuenta de como hacer menoscuentas. Al final daremos algunos tips que les pueden ser deutilidad.
Siempre es posible encontrar B′?Sí, gracias al Teorema 1.2.3.
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1 Buscamos la primer fila no nula. Digamos que es la fila Fs.2 Sea a el primer elemento no nulo de dicha fila. Convertimos
este elemento en un 1 principal multiplicando la fila por 1a .
......
· · · 0 · · · 0 · · ·· · · 0 a b · · ·
......
1a
Fs−→
...
...· · · 0 · · · 0 · · ·· · · 0 1 b
a· · ·
......
Fs
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3 Anulamos todos los elementos por encima y por debajo del 1principal. Por ejemplo, si en la fila Fr esta el número t 6= 0,entonces le sumamos a esta fila −tFs.
......
· · · 0 1 ba· · ·
......
...· · · 0 t u · · ·
......
Fr−tFs−→
......
· · · 0 1 ba
· · ·...
......
· · · 0 0 u− t ba· · ·
......
F
F
s
r
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4 Buscamos la siguiente fila no nula por debajo de Fs.Repetimos el paso 2 y 3 con esta fila.
5 De esta manera iremos bajando en las filas hasta quelleguemos a la última fila.
6 Finalmente, intercambiando las filas, ponemos los 1 principalde forma escalonada y las filas nulas al final.
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TipsPueden empezar por intercambiar filas de acuerdo a suconveniencia.En vez de multiplicar por una fracción para hacer un 1principal, pueden intercambiar filas por una que ya tenga un 1en la columna.Para hacer menos cuentas pueden anular sólo los elementospor debajo de los 1 principales. Una vez que llegaron al finalcomenzar a anular todos los elementos por encima de los 1principales (así tienen que hacer menos cuentas).
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Por qué las soluciones del sistema BX = Z son también lassoluciones del sistema AX = Y ?
La justificación a esto es el Teorema 1.2.2 para sistemashomogéneos (cuando Y = 0) y el Teorema 1.2.9 en el caso general.
Las demostraciones de estos teoremas consisten en escribir deforma precisa las siguientes afirmaciones.
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Teorema 1.1.2: Sistemas equivalentes tienen las mismassoluciones. Estos son sistemas cuyas ecuaciones se escribencomo combinaciones lineales unas de otras. Como lasecuaciones son lineales, si hacemos combinaciones linealesentre ellas siguen manteniéndose las igualdades. Por esotienen iguales soluciones.Las operaciones elementales por filas son la traducción allenguaje de matrices de las combinaciones lineales deecuaciones.Teorema 1.2.1: Las operaciones elementales son inversibles.Es decir, si la matriz B′ se obtiene de A′ por operacioneselementales, entonces podemos volver de B′ a A′ usandooperaciones elementales.Los dos item anteriores nos dicen que los sistemascorrespondientes a A′ y B′ son equivalentes. Entoncespodemos aplicar el Teorema 1.1.2 para concluir que tienen lasmismas soluciones.
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4 Mismas soluciones
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Cómo saber si el sistema tiene o no tiene solución? Una o infinitas?
Las respuestas a estas preguntas dependen de la forma de B y Z.
Asumamos que B ∈ Rm×n y Z ∈ Rm×1 donde
B =
0 · · · 1 ∗ 0 ∗ ∗ 0 ∗ ∗0 · · · 0 · · · 1 ∗ ∗ 0 ∗ ∗...
......
......
0 · · · 0 · · · 0 · · · · · · 1 ∗ ∗0 · · · 0 · · · 0 · · · · · · 0 · · · 0...
......
......
0 · · · 0 · · · 0 · · · · · · 0 · · · 0
y Z =
z1z2...
zr
zr+1...
zm
k k k1 2 r
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El sitema BX = Z tiene la siguiente forma
xk1 +∑
j 6=k1,...,krb1j xj = z1
xk2 +∑
j 6=k1,...,krb2j xj = z2
......
xkr +∑
j 6=k1,...,krbrj xj = zr
0 = zr+1...
...0 = zm
TeoremaEl sistema BX = Z tiene solución si y sólo sizr+1 = zr+2 = · · · zm = 0.
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La demostración del Teorema consiste en observar bien el sistema.
Para convencerse de lo que sigue conviene que también lo escribanustedes en sus hojas.
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TeoremaEl sistema BX = Z tiene solución si y sólo sizr+1 = zr+2 = · · · zm = 0.
Demostración⇒) Si el sistema tiene solución entonces zr+1 = zr+2 = · · · zm = 0,pues si alguno de estos z’s fuera no nulo tendriamos un absurdo.
xk1 +∑
j 6=k1,...,krb1j xj = z1
xk2 +∑
j 6=k1,...,krb2j xj = z2
......
xkr +∑
j 6=k1,...,krbrj xj = zr
......
0 = zi 6= 0...
...
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TeoremaEl sistema BX = Z tiene solución si y sólo sizr+1 = zr+2 = · · · zm = 0.
Demostración⇐) Si zr+1 = zr+2 = · · · zm = 0, entonces xk1 = z1, xk2 = z2, ...,xkr = zr y todos los otros xj = 0 es una solución al sistema.En efecto, reemplazando en el sistema vemos que las igualdadesson satisfechas:
z1 +∑
j 6=k1,...,krb1j 0 = z1
z2 +∑
j 6=k1,...,krb2j 0 = z2
......
zr +∑
j 6=k1,...,krbrj 0 = zr
0 = zr+1...
...0 = zm
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En la demostración de ⇐) encontramos una solución haciendo cerotodas las incognitas que no se corresponden con 1 principales.
Pero le podriamos haber dado cualquier otro valor y así encontrarotras soluciones, siempre y cuando hubiera incognitas que no secorresponden con 1 principales.
Esto que estamos diciendo se puede enunciar como teoremas.
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TeoremaSupongamos que el sistema tiene solución y la cantidad de 1principales es igual a la cantidad de incognitas. Entonces elsistema BX = Z tiene una única solución, la cual es X = Z.
DemostraciónEn este caso, el sistema BX = Z tiene la siguiente forma
x1 = z1x2 = z2...
...xn = zn
0 = zn+1...
...0 = zm
y la solución queda determinada explicitamente.
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TeoremaSupongamos que el sistema tiene solución y hay más incognitasque 1 principales. Entonces el sistema BX = Z tiene infinitassoluciones parametrizadas por los valores que toman las incognitasque no se corresponden con los 1 principales.Explicitamente, las soluciones son de la forma
xk1 = z1 −∑
j 6=k1,...,krb1j xj
xk2 = z2 −∑
j 6=k1,...,krb2j xj
...xkr = zr −
∑j 6=k1,...,kr
brj xj
y los xj con j 6= k1, . . . , kr pueden tomar cualquier valor real.
DemostraciónReemplacen en sus hojas y chequeen que se satisfacen lasecuaciones del sistema.
variablesprincipales
variables libres
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ConclusiónPara saber si el sistema AX = Y tiene o no solución, una oinfinitas, lo transformamos a uno de la forma BX = Z con BMERF usando operaciones elementales por filas y aplicamos losteoremas anteriores.
Caso particularUn sistema AX = Y se dice homogéneo si Y = 0.
Estos sistemas siempre tienen solución pues X = 0 es una solución.
