Presentación sobre las Transformaciones Lineales y método de Gauss – Jordan

Estudiante: Carlos MorrisC.I: 24.391.937

Transformaciones LinealesLas Transformaciones Lineales, también llamadas Aplicaciones Lineales, es una función de espacios vectoriales donde el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro, en el que asigna a cada vector v V un vector único Tv W y que satisface, para ∈ ∈cada u y v en V y cada escalar α.

T(u + v) = Tu + Tv Y

T(av) = aT (vav) = aTvSuponiendo que se tienen dos vectores V y W, una Aplicación Lineal se expresará de forma f (v) = W o sino también T : V W, donde W es una Transformación Lineal de V.

Transformaciones Lineales• NÚCLEO: Sea T : V → W una transformación lineal. El núcleo T es

el subconjunto formado por todos los vectores en V que se mapean a cero en W.

Ker(T) = {v V | T(v) = 0 W}.∈ ∈• NULIDAD: Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T

L(V, W). La nulidad o N de T se define como la dimensión del ∈núcleo de T:

N(T) = dim(ker(T)). • RANGO O IMAGEN: Sean V, W espacios vectoriales sobre un

campo F y sea T L(V, W). La imagen de T se define como el ∈conjunto de todos los valores de la aplicación T: im(T) := { w W : ∈

v V tal que w = T(v)}. ∃ ∈Es decir, de W formado por aquellos vectores que provienen de algún vector de V.

Transformaciones Lineales1.

Transformaciones Lineales2.

Transformaciones Lineales3.

Método de Gauss-JordanEl método de Gauss - Jordan fue la continuación por parte del geodesista alemán Willhelm Jordan (1842-1899) del trabajo realizado por el matemático y físico alemán Carl Friederich Gauss (1777-1855) sobre la resolución de un sistema de ecuaciones, matrices e inversas. Sumando, restando, multiplicando o dividiendo unas filas con otras para lograr eliminar incógnitas.X Y Z = T.E. (Términos Independientes)Fila 1

Fila 2

Fila 3

Método de Gauss - JordanConsiste en emplear el mismo método de reducción del sistema de ecuaciones, pero a diferencia del método de Gauss donde se elimina una incógnita de las siguientes ecuaciones de manera que la ecuación precedente siempre tenga mayor número de incógnitas, en éste caso se eliminarán dos de cada ecuación de manera que cada una dé directamente el valor de cada incógnita. El resultado de esto será una matriz diagonal.Se trabajará con ecuaciones de dos o hasta tres incógnitas cada una (X, Y y Z), aunque puedan ser de mayor cantidad, y con ellas se armará la matriz utilizando sólo sus magnitudes y no las letras en sí. En los próximos ejercicios, el primero lo explicaremos de forma detallada y los dos posteriores de forma más directa.

Método de Gauss - Jordan

1) Ejercicio: Teniendo las ecuaciones:

Se ordena en matrices de modo que: Fila 1 Fila 2 Fila 3

Eliminamos el coeficiente de X de la Fila 2 sumando 3/2 veces la Fila 1 a la misma Fila 2 y después sumamos la Fila 1 a la Fila 3.[(-3, -1, 2) = -11] + 3/2 [(2, 1, -1) = 8] [(-3, -1, 2) = -11] + [(3, 3/2, -3/2) = 12] [(0, 1/2, 1/2) = 1] Nueva Fila 2

[(-2, 1, 2) = -3] + [(2, 1, -1) = 8] [(0, 2, 1) = 5] Nueva Fila 3

Método de Gauss - JordanAhora eliminamos Y de la Fila 1 restando 2 veces la Fila 2 a la Fila 1, y restando 4 veces la Fila 2 a la Fila 3 para eliminar Y.

[(2, 1, -1) = 8] – 2 [(0, 1/2, 1/2) = 1] [(2, 1, -1) = 8] - [(0, -1, -1) = -2] [(2, 0, -2) = 6] Nueva Fila 1

[(0, 2, 1) = 5] – 4 [(0, 1/2, 1/2) = 1] [(0, 2, 1) = 5] - [(0, 2, 2)=-4] [(0, 0, -1) = 1] Nueva Fila 3

Método de Gauss - JordanPara finalmente eliminar Z de la Fila 1 restando 2 veces la Fila 3 a la Fila 1, y sumando 1/2 veces la Fila 3 a la Fila 2 para eliminar Z. Dando el siguiente resultado:[(2, 0, -2) = 6] – 2 [(0, 0, -1) = 1] [(2, 0, -2) = 6] - [(0, 0, 2) = -2] [(2, 0, 0) = 4] Nueva Fila 1

[(0, 1/2, 1/2) = 1] + 1/2 [(0, 0, -1) = 1] [(0, 1/2, 1/2) = 1] + [(0, 0, -1/2) = 1/2] [(0, 1/2, 0) = 3/2] Nueva Fila 2

Método de Gauss - JordanEntonces quedará la siguiente matriz resultante:

De la que se puede simplificar multiplicando la Fila 1 por 1/2, la Fila 2 por 2 y la Fila 3 por 1, dará el siguiente resultado:

Dando los valores de las incógnitas directamente. Siendo X = 2; Y = 3; Z = -1.

Método de Gauss - Jordan2) Ejercicio:

X = -1 Y = 3

Método de Gauss - Jordan• Ejercicio 3: Dado el sistema de ecuaciones ax + by + z = 1

A x + aby + z = b Se pide: x + by + az = 1 .

Calculemos la matriz inversa (A)^(-1)utilizando el método de Gauss-Jordan de la matriz para a = 2 y b = 1. Elegimos como matriz A la matriz del sistema original:

Relación de las Matrices y Transformaciones Lineales

Si bien las transformaciones lineales pueden estudiarse sin hacer referencia alguna a las matrices, un cálculo efectivo de las mismas exige el conocimiento de dichas bases.Cualquier transformación lineal T: V ® W puede representarse mediante una matriz: T(x) = A x. La matriz A dependerá de las bases elegidas para V y W. La matriz de una transformación lineal queda determinada cuando se conocen una base ordenada de V, una base ordenada de W y los transformados de la base de V, en la base de W. Supongamos que V y W son espacios vectoriales de dimensión finita y que T : V → W es una transformación lineal. Si fijamos bases en V y en W, podemos identificar estos espacios con k n y k m respectivamente, donde n = dim(V ) y m = dim(W). De esa forma, la transformación lineal T se identifica con un elemento de Hom(k n , k m), que a su vez, se identifica con una matriz de n columnas y m filas, o sea con un elemento de Mm×n(k). Ejemplo: Supongamos que en el plano x-y la transformación de matriz A lleva a cada vector a su reflejo tomando como espejo el eje x. Encontrar la matriz A, usando como base de R2el conjunto {(1, 0), (0, 1)}.

A)    Transformado de (1, 0) = (1, 0)         Transformado de (0, 1) = (0, -1)  Entonces la matriz la matriz de la transformación es:

ConclusiónLuego de haber estudiado todo lo referente a las

Aplicaciones Lineales, su relación con las matrices y el método de resolución de sistemas de ecuaciones mediante la eliminación de incógnitas Gauss – Jordan, podemos determinar su gran importancia en la aplicación en la Álgebra Lineal siendo los temas de mayor envergadura ya que abarcan casi todo lo relacionado y enseñado en dicha cátedra.

Bibliografía• Título: Aplicación Lineal. Recuperado de:

https://es.wikipedia.org/wiki/Aplicaci%C3%B3n_lineal• Título: Carl Friedrich Gauss. Recuperado de:

https://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss• Título: Eliminación de Gauss-Jordan. Recuperado de:

https://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordan

Bibliografía• Título: Matriz de una Transformación Lineal. Lugar de

publicación: Buenos Aires, Argentina. Recuperado de: http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/tl/matriz.html

• Título: Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal. Lugar de Publicación: México DF, México. Recuperado de: http://cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-17.pdf

• Título: Núcleo en Transformaciones Lineales. Lugar de Publicación: Quito, Ecuador. Recuperado de: https://es.slideshare.net/erika7529/ncleo-en-transformaciones-lineales

Bibliografía• Título: Transformaciones Lineales. Lugar de Publicación:

Quito, Ecuador. Recuperado de: https://es.slideshare.net/algebralineal/transformaciones-lineales-4784959

• Título: Wilhelm Jordan. Recuperado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Jordan