Unidad V. TRANSFORMACIONES LINEALES.

INSTITUTO TECNOLOGICO DE TUXTEPEC

MATERIA:ALGEBRA LINEAL

CATEDRATICO:ING. PEREYRA HERNANDEZ EMILIANO

TRABAJO:UNIDAD V. TRANSFORMACIONES LINEALES.

ESPECIALIDAD:ING. ELECTROMECANICA

NOMBRE DEL ALUMNO:MARTINEZ MORENO MIGUEL ANGEL

TUX, OAX, A 03 De Diciembre Del 2013

TUXTEPEC, OAXACA DE JUNIO DEL 2009

CONTENIDO.

5.1. INTRODUCCION A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.

5.2. NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL.

5.3. LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACION LINEAL.

5.4. APLICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES: REFLEXIN, DILATACIN, CONTRACCIN Y ROTACIN.

5.1. INTRODUCCIN A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.

El presente capitulo aborda una clase especial de funciones denominadastransformaciones linealesque ocurren con mucha frecuencia en el lgebra lineal y otras ramas de las matemticas. Estas tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Antes de definirlas, se estudiaran dos ejemplos sencillos para ver lo que es posible realizar.

Ejemplo 1: reflexin respecto al eje x.En R2se define una funcinTmediante la frmulaT(x; y)=(x;-y). Geomtricamente,Ttoma un vector en R2y lo refleja respecto al ejex. esto se ilustra en la figura. Una vez que se ha dado la definicin bsica, se ver queTes una transformacin lineal de R2en R2.

Ejemplo 2: transformacin de un vector de produccin en un vector de materia prima.Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos comoP1, P2, P3,yP4y a los materiales porR1, R2yR3. La tabla siguiente muestra el nmero de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar 1 unidad de cada producto.

Ejemplo 3: transformacin de un vector de produccin en un vector de materia prima.Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos comoP1, P2, P3,yP4y a los materiales porR1, R2yR3. La tabla siguiente muestra el nmero de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar 1 unidad de cada producto.

Surge una pregunta natural: si se produce cierto nmero de los cuatro productos, Cuntas unidades de cada material se necesitan? Seanp1, p2, p3y p4el nmero de artculos fabricados en los cuatro productos y seanr1, r2,yr3el nmero de unidades necesarios de los tres materiales. Entonces se define

Por ejemplo, suponga que P= (10, 30, 20, 50). Cuntas unidades deR1se necesitan para producir estos nmeros de unidades de los cuatro productos? De la tabla se tiene que

r=p1*2+p2*1+p3*3+p4*4=10*2+30*1+20*3+50*4=310 unidadesDe manera similar r2=10*4+30*2+20*2+50*1=190 unidadesy r3=10*3+30*3+20*1+50*2=240 unidadesEn general se ve que

O Ap= r.

Esto se puede ver de otra manera. Si apse le conoce como le vector de produccin y arcomo el vector de materia prima, se define la funcin T por = T (p) = Ap. Esto es, T es la funcin que transforma el vector de produccin en el vector de materia prima y se hace mediante la multiplicacin de matrices ordinaria. Como se ver, esta funcin es tambin una transformacin lineal.Definicin 1. Transformacin lineal.

Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformacin lineal T de V en W es una funcin que asigna a cada vector vV un vector nico TvW y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar.

T(u + v) = Tu + Tv YT(av)=aTv

Tres observaciones sobre notacin.

1.Se escribe T: vW para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una funcin con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.

2.Se escriben indistintamente Tv y T (v). Denotan lo mismo; las dos se leen T de v. Esto es anlogo a la notacin funcional (x), que se lee de x.

3.Gran parte de las definiciones y teoremas en este captulo tambin se cumplen para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son nmeros complejos).

Ejemplo 4. La transformacin identidad.

Sea V un espacio vectorial y definida I: VV por Iv = v para todo v en V. Aqu es obvio que es I es una transformacin lineal, la cual se denomina transformacin identidad u operador identidad.

Ejemplo 5. Transformacin de reflexin.

Sea T: R2R2definida por T(x; y)=(x;-y). Es fcil verificar que T es lineal. En trminos geomtricos, T toma un vector en R2y lo refleja respecto al eje y.

Ejemplo 6. Transformaciones de RnRmdada por la multiplicacin por una matriz de m*n.

SeaA una matriz de m*n y definida T: RR por Tx = Ax. Como A(x + y) = Ax + Ay y A (sixyyestn en R, se observa que T es una transformacin lineal. Entonces: toda matriz A de m*n se puede utilizar para definiruna transformacin lineal de R en R.

5.2 NCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIN LINEAL.

En esta seccin se desarrollan algunas propiedades bsicas de las transformaciones lineales.

Teorema 1.Sea T: VW una transformacin lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2,.vnen V y todos los escalares.

Notaen la parte i el 0 de la izquierda es el vector cero en v; mientras que el cero de la derecha es el vector cero en W.i.T (0) = T (0 + 0)= T(0) + T(0). As0= T (0) T (0) = T (0) + t (0) T (0) = T (0)

ii. T (u-v) = T [u + (-1) v] = Tu + T [(-1) v] = Tu + (-1) Tv = Tu Tv.

iii.Esta parte se prueba por induccin. Para n = 2 se tiene T (1v1+2v2) = T (1v1) + T (2v2) =1Tv1+2Tv2.As, la ecuacin (1) se cumple para n = 2. Se supone que se cumple para n = k y se prueba para n=k + 1: T (1v1+ 2v2+.+ kvk+k+1vk-1) = T (1v1+ 2v2+.+kvk) + T (k+1vk+1), y usando la ecuacin en la parte iii para n= k, esto es igual a (1Tv1+ 2Tv2+.kTvk) + k+1Tvk+1, que es lo que se quera demostrar. Esto completa la prueba.

Observacin.Los incisos i) y ii) del teorema 1 son casos especiales del inciso iii).Un dato importante sobre las transformaciones lineales es que estn completamente determinadas por el efecto sobre los vectores de la base.

Teorema 2. Sea v un espacio vectorial de dimensin finita con base B= {v1, v2,.vn}. Sean w1, w2,.wnvectores en W. Suponga que T1y T2son dos transformaciones lineales de V en W tales que T1vi= T2vi= wipara i = 1, 2,, n. Entonces para cualquier vector v v, T1v = T2v; es decir T1= T2.Como B es una base para V, existe un conjunto nico de escalares a1, a2,...., an.

Tales que V= a1v1 + a2v2+...+anvn. Entonces, del inciso iii) del teorema 1,T1v = T1 (1v1+2v2++nvn) =1T2v1+2T2v2++ nTnvn= 1w1+ 2w2++ nTnvn

De manera similarT2v = T2 (1v1+2v2++nvn) =1T2v1+2T2v2++nTnvn = 1w1+ 2w2++ nvn

Por lo tanto, T1v =T2v.

El teorema 2 indica que si T: vW y V tiene dimensin finita, entonces slo es necesario conocer el efecto que tiene T sobre los vectores de la base en V. Esto es, si se conoce la imagen de cada vector bsico, se puede determinar la imagen de cualquier vector en V. Esto determina T por completo. Para ver esto, sean v1, v2,.vnuna base en V y sea v otro vector en V. Entonces, igual que en l aprueba del teorema 2,Tv = 1Tv1+ 2Tv2++ nTvn

As, se puede calcular Tv para cualquier vector v V si se conocen Tv1, Tv2,.Tvn

Ejemplo 1. Si se conoce el efecto de una transformacin lineal sobre los vectores de la base, se conoce elefecto sobre cualquier otro vector.

Sea T una transformacin lineal de R3en R2y suponga que

Solucin. Se tiene:

Entonces:

Surge otra pregunta; si w1, w2,., wnson n vectores en W, existe una transformacin lineal T tal que Tv1= w1para i = 1,2,, n? La respuesta es s. Como lo muestra el siguiente teorema.

Definicin 1. Ncleo e imagen de una transformacin lineal.Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T: VW una transformacin lineal. Entonces

i. El ncleo de T, denotado por un, est dado por:

ii. La imagen de T, denotado por Im T, est dado por:

Observacin 1. Observe que un T es no vaco porque, de acuerdo al teorema 1, T (0) = 0 de manera que 0 un T para cualquier transformacin lineal T. Se tiene inters en encontrar otros vectores en V que se transformen en 0. De nuevo, observe que cuando escribimos T (0) = 0, el 0 de la izquierda est en V y el de la derecha en W.

Observacin 2. La imagen de T es simplemente el conjunto de imgenes de los vectores en V bajo la transformacin T. De hecho, si w = Tv, se dice que w es la imagen de v bajo T.

Antes de dar ejemplos de ncleos e imgenes, se demostrar un teorema de gran utilidad.

Teorema 3. Si T: VW es una transformacin lineal, entonces:i.Un T es un subespacio de V.ii.Im T es un subespacio de W.

Demostracin.

i. Sean u y v en un T; Entonces T (u + v) = Tu + Tv =0 + 0 =0 y T () ==0 = 0 de forma que u + v yu estn en un T.

ii. Sean w y x en Im T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vectores u y v en V. Esto significa que T (u + v)= Tu + Tv = w + x y T (u) = Tu =w. Por lo tanto, w + x y w estn en Im T.

Ejemplo 2. Ncleo e imagen de la transformacin cero.Sea Tv = 0 para todo v V (T es la transformacin cero).Entonces un T = v e Im T = {0}.

Ejemplo 3. Ncleo e imagen de la transformacin identidad.Sea Tv = v para v V (T es la transformacin identidad).Entonces un T= {0} e Im T = V.

Las transformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos. En la primera todo se encuentra en el ncleo. En la segunda slo el vector cero se encuentra en el ncleo. Los casos intermedios son ms interesantes.

Ejemplo 4. Ncleo e imagen de un operador de proyeccin.

Sea TR3 R3 definida por T es el operador de proyeccin de R3en el plano xy.

Entonces x = y = 0. As, nu T = {(x,y,z):x = y = 0, zR}, es decir, el eje z, e Im T = {(x,y,z): z = 0}, es decir el plano xy. Observe que dim un T = 1 y dim Im T = 2.

Definicin 2. Nulidad y rango de una transformacin lineal.Si T es una transformacin lineal de v en w, entonces se define.

Observacin. En la seccin 4.7 se definieron el rango, la imagen, el espacio nulo y la nulidad de una matriz. Segn el ejemplo 5.1.7, Toda matriz A de m*n da lugar a una transformacin lineal T:RRdefinida por Tx = Ax. Es evidente que un T = NA, Im T = Im A = CA, v (T) = v(A) y p (T) = p(A). Entonces se ve que las definiciones de ncleo, imagen, nulidad y rango de una transformacin lineal son extensiones del espacio nulo, la imagen, la nulidad y el rango de una matriz.

Ejemplo 5. Ncleo y nulidad de un operador de proyeccin.Sea H un subespacio de R y sea Tv = proyHv. Es obvio que la Im T = H. Se tiene que toda v V si v=h + proyHv + proyHv. Si Tv = 0, entonces h=0, lo que significa498.

5.3 LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIN LINEAL.

Si A es una matriz de m*n y T: Rn-Rmest definida por Tx = Ax, entonces, T es una transformacin lineal. Ahora se ver que para toda transformacin lineal de Rnen Rmexiste una matriz A de m*n tal que Tx = Ax para todo xRn. Este hecho es de gran utilidad. Si Tx = Ax. Entonces un T = NAe Im T = RA. Ms aun, v (T) = dim un T = v(A) y p (T) = dim Im T = p(A). As se puede determinar el ncleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformacin lineal de Rn-Rmdeterminando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Adicionalmente, una vez que se sabe que Tx = Ax. Se puede evaluar Tx para cualquier x en Rnmediante una simple multiplicacin de matrices.Pero esto no es todo. Como se ver, cualquier transformacin lineal entre espacios vectoriales de dimensin finita se puede representar mediante una matriz.Teorema 1. Sea T: Rn-Rmuna transformacin lineal. Existe entonces una matriz nica de m*n, ATtal que

Demostracin. Sea w1= Te1, w2= Te2,.,wn= Ten. Sea ATla matriz cuyas columnas son w1, w2,., wny hagamos que ATdenote tambin a la transformacin de Rn-Rm, que multiplica un vector en Rnpor AT. si

Entonces:

De esta forma, ATei= wipara i = 1,2,.n., T y la transformacin ATson las mismas porque coinciden en los vectores bsicos.

Ahora se puede demostrar que ATes nica. Suponga que Tx = ATx y que Tx = BTx para todo xRn. Entonces ATx = BTx, o estableciendo CT= AT BT, se tiene que CTx = 0 para todo x Rn. En particular, CTeies la columna i de CT. As, cada una de las n columnas de CTes el m-vector cero, la matriz cero de m*n. Esto muestra que AT= BTy el teorema queda demostrado.

Definicin 1. Matriz de transformacin.La matriz ATen el teorema 1 se denomina matriz de transformacin correspondiente a T o representacin matricial de T.

NOTA. La matriz de transformacin ATest definida usando las bases estndar tanto en Rncomo en R3. Si se utilizan otras bases, se obtendr una matriz de transformacin diferente.

Teorema 2. Sea ATla matriz de transformacin correspondiente a laa transformacin lineal T. entonces.

i. Im T = Im A = CATii. P(T) = p(AT)iii. Un T = NATiv. v(T) = v(AT

Ejemplo 1. Representacin matricial de una transformacin de proyeccin.Encuentre la matriz de transformacin ATcorrespondiente a la proyeccin de un vector en R3sobre el plano xy.Solucin:

Teorema 3. Sean V y W espacios vectoriales de dimensin finita con dim V = n. sea T: V-W una transformacin lineal y sea ATuna representacin matricial de T respecto a las bases B1en V y B2en W. entonces

i. p(T) =p(AT) ii. V (A) = v (AT) iii. V (a) + p (T) = n

Teorema 4. Sea T: Rn-Rmuna transformacin lineal. Suponga que C es la matriz de transformacin de T respecto a las bases estndar Sny Smen Rny Rm, respectivamente. Sea A1la matriz de transicinde B2a base Smen Rm. Si ATdenota la matriz de transformacin de T respecto a las bases B1y B2, entonces.

Geometra de las transformaciones lineales de R2en R2.

Sea T: R2-R2una transformacin lineal con representacin matricial ATAhora de demostrar que si ATes invertible, entonces T se puede escribir como una sucesin de una o ms transformaciones especiales, denominadasexpansiones, compresiones, reflexiones y cortes.

Expansiones a lo largo de los ejes x o y.

Una expansin a lo largo del eje x es una transformacin lineal que multiplica a la coordenada x de un vector en R2por una constante C>1. Esto es

De manera similar, una expansin a lo largo del eje y es una transformacin lineal que multiplica la coordenada y de todo vector en R2 por:

Una constante C>1. Como antes:

Entonces la representacin matricial de T es:

De manera que:

a). Se comienza con este rectngulo.b). Expansin en la direccin de x c = 2.c). Expansin en la direccin de y con c = 4.

Compresin a lo largo de los ejes x o y.

Una compresin a lo largo de los ejes x o y es una transformacin lineal que multiplica ala coordenada x o y de un vector en R2por una constante positiva 0