Semana2_Sistema de Ecuaciones Lineales-Metodo de Gauss
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ALGEBRA LINEAL Módulo: 2 Unidad: 2 Semana : 2 Lic. José M. DE LA CRUZ UCAÑAN
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ALGEBRA LINEAL
Módulo: 2 Unidad: 2 Semana: 2
Lic. José M. DE LA CRUZ UCAÑAN
CONTENIDOS TEMÁTICOS
1. MATRICES y SISTEMAS DE
ECUACIONES
• El Método de Gauss
¿Qué sistema es más fácil de resolver?
423
24654
18642
zyx
zyx
zyx
300
420
10
zyx
zyx
zyx
Operaciones elementales sobre
renglones
Intercambio de dos renglones de una matriz
R1 x R2
305
124
201
305
4 -2 1
1 0 -2
Operaciones elementales sobre
renglones
3R2
305
124
201
305
201
Multiplicación de un renglón de una matriz por un
escalar diferente de cero
3*4 = 12
12 -6 3
Operaciones elementales sobre
renglones
-4 (1) +
305
124
201
Suma de un múltiplo de un renglón de una matriz a
un renglón diferente de esa matriz
– 4R1 + R2
305
201
= 0 (4)
-2 9 0
El método de Gauss para resolver un
Sistema de Ecuaciones Lineales
Ejemplo 1:
1062
613
462
zyx
yzx
zyx
El método de Gauss para resolver un
Sistema de Ecuaciones Lineales
1. Arregle las ecuaciones con los términos variables en
el mismo orden a la izquierda del signo igual y las
constantes a la derecha
2. Escriba la matriz aumentada del sistema.
1062
613
642
zyx
zyx
zyx
10
6
6
162
1311
421
2
0
6
100
310
421
3. Use operaciones sobre renglones para
transformar la matriz aumentada:
El método de Gauss para resolver un
Sistema de Ecuaciones Lineales
Se obtiene:
x – 2y + 4z = 6
0x + y + 3z = 0
0x + 0y + z = 2
La solución del sistema es: )2;6;14(:CS
El método de Gauss para resolver un
Sistema de Ecuaciones Lineales
Ejemplo 2:
Use el método de Gauss para resolver el siguiente sistema:
Solución gráfica
72
863
442
yx
yx
yx
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
2x + 4y = 4
3x + 6y = 8
2x + y = 7
Ejemplo 3:
Use el método de Gauss para resolver el siguiente
sistema:
05105
63
02
zyx
zyx
zyx
Cada vez que obtengamos un renglón sólo con ceros la
solución es paramétrica, es decir:
tttt
SC ,;7
64;
7
12..
Resolver:
12
32
642
zyx
zy
zyx
Cada vez que obtengamos un renglón cuyos elementos
son todos ceros excepto el último, entonces el sistema es
inconsistente y no tiene solución.
3
42
733
zyx
zyx
zyx
Una compañía fabrica tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás. Para la fabricación de estos muebles, se necesitó unidades de madera, plástico y aluminio, tal como se indica en la siguiente tabla:
Madera (Und.)
Plástico (Und.)
Aluminio (Und.)
Silla 1 1 2
Mecedora 1 1 3
Sofá 1 2 5
La compañía tenía en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1.500 unidades de aluminio. Si la compañía utilizó todas sus existencias, ¿cuántas sillas, mecedoras y sofás fabricó?
Ejercicio 4:
x: nº de sillas
y: nº de mecedoras
z: nº de sofás
1500532
6002
400
zyx
zyx
zyx
Solución:
Variables:
Planteamiento: Respuesta:
x: 100 de sillas
y: 100 de mecedoras
z: 200 de sofás
Regla de CRAMER
Sea un sistema de n ecuaciones lineales con n
incógnitas como sigue:
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
. . . . .
. . . . .
an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn
Considere las siguientes notaciones:
D: matriz de coeficientes del SEL
Dj: matriz obtenida reemplazando
j-ésima columna de D por la
columna de constantes
Si , entonces el sistema tiene una única
solución
0|| D
...||
|| 22
D
Dx
||
|| 11
D
Dx
||
||
D
Dnnx
La solución del sistema está dada por:
Ejemplos: Use Cramer para resolver:
2x - 3y = - 4
5x + 7y = 1
Ejemplo: Encontrar el valor de “y” utilizando
la regla de Cramer
x - 2y + 4z = 6
x + y + 13z = 6
-2x + 6y - z = -10
La regla de Cramer nos permite resolver para
una incógnita sin tener que resolver para las
otras.
814
312
201
z
y
x
30
10
7
Consideremos el
siguiente sistema de
ecuaciones lineales:
Se puede representar
matricialmente por: =
¿Cómo resolvemos matricialmente?
A X B
x + 2z = 7
2x – y + 3z = 10
4x + y + 8z = 30
Ecuaciones matriciales
AX = B
A: matriz de coeficientes
X: matriz de variables
B: matriz de constantes
Si A-1 existe, entonces X = A-1 B
A-1(AX) = A-1B
(A-1A)X = A-1B
IX = A-1B
Multiplique ambos lados por A-1
X = A-1B
Propiedad asociativa
Inversa
Matriz de Identidad
30
10
7
116
104
2211
2
2
3
814
312
201
z
y
x
30
10
7
=
Del ejemplo anterior
z
y
x
BAX 1
BAX
2;2;3:CS
Despeje X de la siguiente ecuación matricial XA = B, teniendo
A y B inversa
¿Sería igual el proceso para AX = B? , teniendo A y B inversa.
• Despeje X de la ecuación N = X – MX ,
teniendo M y N inversa
• Dada la ecuación X=AX+D , despejar X,
teniendo A y D inversa
Ejercicios:
Ejemplo:
Resolver los sistemas:
2. 3x – 4y – 5z = 6
7x + y – 4z = –7
x + 2y + 2z = 0
x -2z = 1
4x - 2y + z = 2
x + 2y -10z = -1
1.
GRACIAS
