1

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Unsistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales (es

decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado),

definidas sobre un cuerpo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el

siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1,

x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

Para tener una idea de que como se resuelve problemas con sistema de

ecuaciones lineales.Les presentamos algunos ejemplos:

Ejemplo I:

Una compañía minera extrae mineral de dos minas, el cual contiene para la

mina I el 1% de níquel y 2% de cobre, para la mina II el 2% de níquel y 5% de

cobre. ¿Qué cantidad de mineral se deberá extraer de cada mina para obtener

4 toneladas de níquel y 9 toneladas de cobre?

Solución:

¿Cuál es el problema? ¿Qué se busca?

Queremos saber el número de toneladas de mineral que hay que extraer de

cada mina, asignemos variables a esos números.

Sean x el número de toneladas que se extrae de la mina I.

Y y el número de toneladas que se extrae de la mina II.

Primera variable: x

Segunda variable: y

Establezcamos ahora relaciones algebraicas entre las variables.

¿Cuánto se obtiene de níquel de la mina I?

0.01x

¿Y de la mina II?

0.02y

Luego:

0.01 0.02 4x y

2

Análogamente para el cobre tenemos:

0.02 0.05 9x y

Así, para saber cuántas toneladas hay que extraer de cada mina debemos

resolver el sistema de dos ecuaciones lineales con las dos variables:

0.01 0.02 4x y

0.02 0.05 9x y

Ejemplo II:

En una fábrica de ropa se producen tres estilos de camisas que llamaremos

estilo“a”, estilo“b” y estilo“c”. Cada prenda pasa por el proceso de cortado,

cosido, planchado y empaquetado. Las camisas se elaboran por lote. Para

producir un lote de camisas del estilo “a” se necesitan 30 min para cortarlas, 40

min para coserlas y 50 min para plancharlas y empaquetarlas. Para el estilo “b”,

50 min para cortar, 50 min para coser y 50 min para planchar y empaquetar.

Para el estilo “c”, 65 min para cortar, 40 min para coser y 15 min para planchar

y empaquetar. ¿Cuántos lotes se pueden producir si se trabajan 8 horas en

cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar y empaquetar?

Solución:

Queremos saber cuántos lotes de cada tipo de camisa se pueden producir,

asignemos variables.

Sea x el número de lotes de camisas del estilo “a” que se pueden producir.

Sea y el número de lotes de camisas del estilo “b” que se pueden producir.

Sea z el número de lotes de camisas del estilo “c” que se pueden producir.

Primera variable: x

Segunda variable: y

Tercera variable: z

Establezcamos relaciones algebraicas entre las variables.

El número de minutos que se emplean en cortar una camisa del estilo“a” es

30x , del estilo “b” es 50y , y del estilo “c” es 65z .

El número total de minutos que se emplea en cortar todas las camisas es:

30 50 65x y z

Y tiene que ser igual a 480 minutos que son las 8 horas que se trabajan en

cortar

30 50 65 480x y z

Análogamente en coser se tiene:

3

40 50 40 480x y z

En planchar y empaquetar tenemos:

50 50 15 480x y z

Luego sí queremos resolver el problema hay que solucionar el sistema de tres

ecuaciones lineales con tres incógnitas.

30 50 65 480

40 50 40 480

50 50 15 480

x y z

x y z

x y z

Ejemplo III:

Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una

unidad del fertilizante del tipo I requiere 10 kg del compuesto A, 30 kg del

compuesto B y 60 kg del compuesto C. Una unidad del tipo II requiere 20 kg del

A, 30 kg del B, y 50 kg del C. Una unidad del tipo III requiere 50 kg del A y 50

kg del C. Si hay disponibles 1600 kg del A, 1200 kg del B y 3200 del C.

¿Cuántas unidades de los tres tipos de fertilizantes se pueden producir si se

usa todo el material químico disponible?

Solución:

Queremos saber cuántas unidades de cada tipo de fertilizante se pueden

producir, asignemos variables.

Sea x el número de unidades del fertilizante del tipo I.

Sea y el número de unidades del fertilizante del tipo II.

Sea z el número de unidades del fertilizante del tipo III.

Establezcamos relaciones algebraicas entre las variables.

La cantidad de kilogramos del compuesto A que contiene el fertilizante del tipo I

es 10x , del tipo II es 20y , y del tipo III es 50z .

El número total de kilogramos del compuesto A es:

10 20 50x y z

Y tiene que ser igual a 1600 kg que son los kilogramos disponibles del

compuesto A:

10 20 50 1600x y z

Análogamente para el compuesto B se tiene:

30 30 1200x y

Para el compuesto C se tiene:

60 50 50 3200x y z

4

Así, para saber cuántas unidades de cada tipo de fertilizante se pueden

producir, hay que resolver el sistema de tres ecuaciones lineales con las tres

variables.

10 20 50 1600

30 30 1200

60 50 50 3200

x y z

x y

x y z

5

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

Llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo

del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones

lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve

por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la

reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene

una incógnita menos que la anterior.

Carl Friedrich Gauss:

Johann Carl Friedrich Gauss (Brunswick, 30 de abril de 1777 – Gotinga, 23 de

febrero de 1855), fue un matemático, astrónomoy físico alemán que contribuyó

significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis

matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, el magnetismo y

la óptica. Considerado «el príncipe de las matemáticas» y «el matemático más

grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido una influencia notable en

muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los

matemáticos que más influencia ha tenido en la historia.

Wilhelm Jordan:

Wilhelm Jordan (1842–1899) fue un geo desista alemán que hizo trabajos de

topografía en Alemania y África.

Es recordado entre los matemáticos por su algoritmo de Eliminación de Gauss-

Jordan que aplicó para resolver el problema de mínimos cuadrados. Esta

técnica algebráica apareció en su Handbuch der Vermessungskunde (1873).

6

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN PARA SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES

En esta sección del presente trabajo de investigación aprenderemosa hallar la

solución de sistemas de ecuaciones lineales usando el Método de Gauss-

Jordan.

El tema se presenta en 4 secciones:

a) Método de Gauss-Jordán para sistemas de ecuaciones lineales con

solución única.

b) Método de Gauss-Jordán para sistemas de ecuaciones lineales con

infinidad de soluciones.

c) Método de Gauss-Jordán parasistemas de ecuaciones lineales sin

solución.

d) Método de Gauss-Jordán para sistemas de ecuaciones lineales

homogéneas.

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MÉTODO DE GAUSS-JORDAN PARA SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES CON SOLUCIÓN ÚNICA

Ejemplo I:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de

Gauss-Jordán.

2 3 1

3 2 4 3

5 4

x y z

x y z

x y z

Solución:

a) Escribimos la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales:

2 3 1 1

3 2 4 3

5 1 1 4

Debemos llevar a dicha matriz aumentada a su forma escalonada reducida (si

todas las filas cero están en la parte inferior de la matriz y si el primer elemento

no nulo de cada fila, llamado pivote, está a la derecha del pivote de la fila

anterior;esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero)

mediante operaciones elementales en las filas de dicha matriz.

En la solución de dichos problemas de sistemas de ecuaciones lineales por el

método de Gauss-Jordan;escribiremos la matriz aumentada y a continuación

una flecha. Encima de esta flecha indicaremos la(s) operación(es) que estamos

efectuando para que se pueda entender el desarrollo de la solución. También

cabe resaltar que las tres rayas separan a la columna que nos mostrara los

datos de la solución a nuestro sistema de ecuaciones por el método ya

mencionado.

La matriz aumentada contiene los coeficientes de las variables y las igualdades

de estas ecuaciones.

Notación para las operaciones elementales en las filas:

* R ib Nueva fila i de la matriz aumentada.

i jR R Intercambio de la fila i con la fila j .

* i ja R R Nueva fila j de la matriz aumentada.

8

b) Desarrollo para obtener la forma escalonada reducida:

1 2

1 1 3

31 52

3 1 13 1 1 11 2 2 22 3 1 1 2 2 213 11 93 2 4 3 3 2 4 3 02 2 2

5 1 1 4 5 1 1 417 7 302 2 2

R RR R R

2

3 2 3

2132 17

3 1 1 3 1 11 12 2 2 2 2 2

11 9 11 90 1 0 113 13 13 13

0 17 7 3 96 1920 013 13

R

R R R

3 2

3 3 1

1113

13 196 2

3 1 11 3 11 02 2 2 2 211 90 1 0 1 0 113 13

0 0 1 20 0 1 2

R R

R R R

2 132

1 0 0 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 2 2

R Rx

y

z

c) Interpretación del resultado: La última matriz escalonada reducida indica que: La solución del sistema de ecuaciones lineales es:

1x 1y

2z

9

Ejemplo II:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

36 16 6 4 0

64 8 0

4 16 2 4 0

64 9 8 3 0

B D E F

B D E F

B D E F

B D E F

16 6 4 36

8 64

16 2 4 4

9 8 3 64

B D E F

B D E F

B D E F

B D E F

Solución: Escribimos la matriz aumentada y reducimos:

3 21 2

16 6 4 1 36 1 8 1 1 64

1 8 1 1 64 16 6 4 1 36

16 2 4 1 4 16 2 4 1 4

9 8 3 1 64 9 8 3 1 64

R RR R

2 2 1

1 3 2 3

1 4 2 4

188

16 1309 80

1 8 1 1 64 1 8 1 1 64

0 8 8 0 32 0 1 1 0 4

16 2 4 1 4 0 130 20 15 1020

9 8 3 1 64 0 80 12 8 512

R R RR R R RR R R R

3

4 3 4

151

17 224

1 0 7 1 32 1 0 7 1 32

0 1 1 0 4 0 1 1 0 4

0 0 110 15 500 0 0 22 3 100

0 0 68 8 192 0 0 17 2 48

R

R R R

4 14 4 3

137

1 0 7 1 32 1 0 7 1 32

0 1 1 0 4 0 1 1 0 4

0 0 22 3 100 0 0 22 3 100

0 0 0 7 644 0 0 0 1 92

R RR R R

10

3 13 3 2

7122

1 0 7 0 60 1 0 7 0 60

0 1 1 0 4 0 1 1 0 4

0 0 22 0 176 0 0 1 0 8

0 0 0 1 92 0 0 0 1 92

R RR R R

1 0 0 0 4

0 1 0 0 4

0 0 1 0 8

0 0 0 1 92

Así 4B , 4D , 8E y 92F .

11

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN PARA SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES CON INFINIDAD DE SOLUCIONES

Ejemplo I:

Obtener la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

3 2 3 5

2 4 2

x y z

x y z

Solución:

22 1 1 2

12 1653 2 3 1 6 4 3 1 6 4 3

22 4 1 2 4 1 2 0 16 9 4

RR R R R

2 16

5 31 01 6 4 38 2

9 1 90 1 10 116 4 16 4

R R

La última matriz está en su forma escalonada reducida, ya no se puede reducir más, de donde obtenemos que:

5 3

8 2x z

9 1

16 4y z

Despejando x , y :

3 5

2 8x z

1 9

4 16y z

Luego x , y dependen de z , si z s , s R ,tenemos

3 5

2 8x s

1 9

4 16y s ; s R

z s

12

Es decir, el sistema de ecuaciones lineales tiene una infinidad de soluciones ya

que para cada valor de s habrá un valor para x , y y z .

Por ejemplo, si 0s entonces 3

2x ,

1

4y y 0z , es una solución para el

sistema de ecuaciones lineales.

Si 1s entonces 7

8x ,

5

16y y 1z , es otra solución para el sistema de

ecuaciones lineales.

Si 4s entonces 4x , 5

2y y 4z , también es solución para el sistema

de ecuaciones lineales. Así una vez más, remarcamos, el sistema de ecuaciones lineales tiene una

infinidad de soluciones.

Ejemplo II:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

5 3 2 1

2 3 2

3 2 2 3 3

2 5 5 4

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

Solución:

2 1

2 3

3 2 2 4

53

2

5 3 1 2 1 5 3 1 2 1

52 1 3 1 2 1 1 1 4

33 2 2 3 3 3 2 2 3

42 5 1 5 4 2 5 1 5

R RR R

R R R R

3 2

3 41 2

87

50 8 6 22 1 1 1 426

5 261 1 1 4 0 8 6 22

12 120 1 5 9 0 1 5 9

14 140 7 1 13 0 7 1 13

R RR RR R

13

2 4

3 2 3

5 51 1 1 4 1 1 1 4

70 700 0 34 50 0 0 34 50

12 120 1 5 9 0 1 5 9

70 00 0 34 0 0 0 0 0

R RR R R

2 13 1

3 3 2

41

534

71 0 4 551 1 1 4120 1 5 9120 1 5 9352570 0 0 10 0 34 501717

00 0 0 0 00 0 0 0

R RR R

R R R

15 211 0 017 1728 290 1 017 1725 350 0 117 17

0 0 0 0 0

15 2117 1728 2917 1725 3517 17

0 0

x w

y w

z w

w

15 2117 1728 2917 1725 3517 17

x w

y w

z w

21 1517 17

29 2817 1735 2517 17

wx

y w

z w

Síw c , tenemos:

21 1517 17

29 2817 1735 2817 17

c

c

c

x

y

z

w c

, con t R .

Entonces se puede decir que hay infinidad de soluciones para este sistema de

ecuaciones lineales.

14

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN PARA SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES SIN SOLUCIÓN

Ejemplo I:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

8 5 3x y z

3 2 3 1x y z

2 3 4x y z

Solución:

1 2

1 3 3 2

32 2

1 8 5 3 1 8 5 3 1 8 5 3

3 2 3 1 0 26 18 8 0 0 0 4

2 3 1 4 0 3 9 2 0 13 9 2

R RR R R R

No hay necesidad de seguir reduciendo, ya que en la segunda fila se tiene que

0 0 0 4x y z da la igualdad de 0 4 que es algo incorrecto, por la tanto, el

sistema de ecuaciones lineales no tiene solución.

Ejemplo II:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

3 4 1

2 2 2 1

2 2 5

a b c d

a b c d

a b c d

Solución:

1 2

1 3 2 3

21 1 3 4 1 1 1 3 4 1

2 2 1 2 1 0 0 5 6 3

51 1 2 2 0 0 5 6 6

R RR R R R

1 1 3 4 1

0 0 5 6 3

0 0 0 0 3

Dela tercerafila se tiene0 0 0 0 3a b c d que da la igualdad de 0 3

(incorrecto)por lo tanto el sistema de ecuaciones lineales no tiene solución.

15

Ejemplo III:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

2

2 5

3 1

2 2 2 3

x y z w

x y w

x z w

x y z w

Solución:

1 2

1 3

4 2 31

232

1 1 1 1 1 1 1 12 2

52 1 0 1 0 3 2 3 1

1 53 0 1 1 0 3 2 4

3 12 2 2 1 0 0 0 1

R RR RR R R R

3 4

1 1 1 1 2 1 1 1 1 2

0 3 2 3 1 0 3 2 3 1

0 0 0 1 6 0 0 0 1 6

50 0 0 1 1 0 0 0 0

R R

De la cuartafilase tiene0 0 0 0 5x y z w que da la igualdad de 0 5

(incorrecto) por lo tanto el sistema de ecuaciones lineales no tiene solución.

16

MÉTODO DE GAUSS-JORDÁN PARA UN SISTEMA DE ECUACIONES

LINEALESHOMOGÉNEAS

Un sistema de ecuaciones lineales se dice HOMOGÉNEO si cada una de las

ecuaciones está igualada a cero es decir:

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

............... 0

............... 0

n n

n n

a x a x a x a x

a x a x a x a x

1 1 2 2 3 3 ............... 0m m m mn na x a x a x a x

Los sistemas homogéneos SIEMPRE tienen solución ya que:

1 2 3 ....... 0nx x x x

Esta solución es llamada la solución trivial, así un sistema homogéneo de

ecuaciones lineales tiene solución única o tiene una infinidad de soluciones.

Ejemplo I:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

2 3 0

0

4 2 3 0

x y z

x y z

x y z

Solución:

1 2

1 31 2

24

2 3 1 0 1 1 1 0

1 1 1 0 2 3 1 0

4 2 3 0 4 2 3 0

R RR RR R

2 3

3 2 2 1

23

1 1 1 0 1 1 1 0

0 5 3 0 0 1 18 0

0 2 7 0 0 2 7 0

R RR R R R

3 22 3 1

181

1729

1 0 17 0 1 0 17 0

0 1 18 0 0 1 18 0

0 0 29 0 0 0 1 0

R RR R R

17

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

Luego, 0x y z , el sistema de ecuaciones lineales tiene solución única,y es

la solución trivial.

Ejemplo II

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

2 3 4 0

3 2 2 0

4 6 0

x y z

x y z

x y z

Solución:

1 2

3 1 1 3

32

2 3 4 0 1 4 6 0

3 2 2 0 3 2 2 0

1 4 6 0 2 3 4 0

R RR R R R

22 311

102

1 4 6 0 1 4 6 0

0 10 16 0 0 10 16 0

1 5 8 0 0 0 0 0

RR R

2 14

21 01 4 6 50 0

8 80 1 0 0 1 0

5 50 00 0 0 0 0 0

R R

De donde:

20

5

80

5

0 0

x z

y z

z

20

5

80

5

x z

y z

;

2

5

8

5

x z

y z

Hacemos z v , y la solución se expresa como:

18

2

5x v

8

5y v

z v

En éste caso el sistema de ecuaciones lineales tiene una infinidad de soluciones.

19

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES QUE INVOLUCRAN CONSTANTES ADICIONALES PARA QUE EL SISTEMA TENGA O NO

SOLUCIÓN

En esta parte se dan ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales donde se

determinan valores de constantes para que el sistema de ecuaciones lineales

tenga o no solución.

Ejemplo I:

Obtener el valor de para que el sistema de ecuaciones lineales:

2 6

4

x y

x y

Tenga: a) Solución única. b) Infinidad de soluciones. c) Carencia de solución.

Solución: Aplicando el método de Gauss-Jordan tenemos:

1 1 2

12

11 12 1 6 3 31 221 4 4 1 11 0

2

R R R

Ahora queremos multiplicar la segunda fila por 1

1

2

, para poder hacerlo

debemos garantizar que 1

2sea distinto de cero, es decir, si

1

2 podemos

multiplicar, entonces:

2

2 1

11 12 2

6 431 1 01 2 12 2 0 1 20 1 2 1 2 1

RR R

De donde se tiene que:

6 4

2 1

6 4

2 1

x

y

20

Luego si 1

2el sistema de ecuaciones lineales tiene solución única.

Ahora, si1

2, al substituir en la tercera matriz tenemos:

131

21

0 0

Dela segunda fila se tieneque0 0 1x y da la igualdad 0 1

Lo cual nos dice que si1

2el sistema de ecuacioneslineales no tiene

solución.

Remarcamos:

Si 1

2el sistema de ecuaciones lineales no tiene solución.

Si 1

2el sistema de ecuaciones lineales tiene solución única.

Para ningún valor de el sistema de ecuaciones lineales tendrá infinidad de

soluciones.

21

Ejemplo II:

Determinar el valor de k para que el sistema de ecuaciones lineales tenga o no

solución.

2

3 2

2 5 4

2 5 4

x y z

x y z

x y k z k

Solución:

1 2

1 3 2 32

2 2

1 3 1 2 1 3 1 2

1 2 5 4 0 1 6 2

42 5 0 1 2

R RR R R R

k kk k

321

4

2

1 3 1 2

0 1 6 2

0 0 1 2

4

Rk

k

k

Sí 24 0k entonces:

3 2

6 2

1

2

x y z

y z

zk

Del sistema de ecuaciones lineales anterior se obtiene que es un sistema de

ecuaciones lineales con solución única si 2k .

Pero si 2k , la cuarta matriz queda en la forma:

1 3 1 2

0 1 6 2

0 0 0 0

De la matriz se obtiene que:

3 2

6 2

0 0

x y z

y z

z

3 2

6 2

x y z

y z

22

Es un sistema de ecuaciones lineales con infinidad de soluciones.

Y si 2k , la cuarta matriz se transforma en:

1 3 1 2

0 1 6 2

0 0 0 4

En el tercera fila se tiene que 0 0 0 4x y z , que da la igualdad0 4

Lo cual nos indica que el sistema de ecuaciones lineales no tiene solución.

En conclusión:

Sí 2k , el sistema de ecuaciones lineales tiene solución única

Sí 2k , el sistema de ecuaciones lineales tieneinfinidad de soluciones.

Sí 2k , el sistema de ecuaciones lineales no tiene solución.

23

MÉTODO DE GAUSS- JORDANPARA HALLAR LA INVERSA DE UNA

MATRIZ

Ejemplo I:

Obtener la inversa de la matriz mediante el método de Gauss- Jordan

2 3 13 2 45 1 1

Solución:

Para obtener la inversa de una matriz primero se procede a describir una matriz

aumentada que contiene a la matriz anterior más una matriz identidad; dicha

matriz identidad está separada por tres rayas, la cual se convertirá en la matriz

inversa de la anterior.

112

3 1 11 0 02 3 1 1 0 0 2 2 23 2 4 0 1 0 3 2 4 0 1 0

5 1 1 0 0 1 5 1 1 0 0 1

RA

1 2

1 3

35

3 1 11 0 02 2 213 11 30 1 02 2 2

517 7 0 1022 2

R RR R

A

2

3 2 3

2132 17

3 1 1 3 1 11 0 0 1 0 02 2 2 2 2 2

11 3 2 11 3 20 1 0 0 1 013 13 13 13 13 13

0 17 7 5 0 2 96 116 340 0 213 13 13

R

R R RA

24

3 2

3 3 1

1113

13 196 2

106 17 133 1 11 0 0 31 0 96 96 962 2 2 211 3 2 8 20 1 0 0 1 0 013 13 13 13 13

0 0 10 0 1 116 34 26 116 34 2696 96 96 96 96 96

R R

R R RA

2 132

1 0 0 0 3 0

0 1 0 1 0 4

0 0 1 1 2 0

R RA

La inversa es:

1

0 3 0

1 0 4

1 2 0

A