MATRICES ELEMENTALES

ProfesoresOmar Darıo Saldarriaga Ortız

Ivan Darıo GomezHernan Giraldo

2009

Definicion

Sea E una matriz de tamano n× n, decimos que E es una matriz elementalsi E se obtiene de la identidad al aplicar una operacion elemental de fila.

Ejemplo

Las siguientes matrices son matrices elementales: A =

0 1 01 0 00 0 1

,

B =

1 2 00 1 00 0 1

C =

1 0 00 −3 00 0 1

.

Definicion

Sea E una matriz de tamano n× n, decimos que E es una matriz elementalsi E se obtiene de la identidad al aplicar una operacion elemental de fila.

Ejemplo

Las siguientes matrices son matrices elementales: A =

0 1 01 0 00 0 1

,

B =

1 2 00 1 00 0 1

C =

1 0 00 −3 00 0 1

.

Observaciones

Como hay tres tipos diferentes de operaciones elementales, hay un numeroigual de tipos de matrices elementales entonces usaremos la siguientenotacion.

Eij denotara la matriz elemental que se obtiene al intercambiar lasfilas i y j de la matriz identidad.

Eij(c) denotara la matriz que se obtiene al sumar c veces la fila i a lafila j de la matriz identidad.

Ei(c) la matriz que se obtiene al multiplicar por la constante c la fila ide la matriz identidad.

Ejemplo

En el ejemplo anterior tenemos que A = E12, B = E21(2) y C = E2(−3).

Observaciones

Como hay tres tipos diferentes de operaciones elementales, hay un numeroigual de tipos de matrices elementales entonces usaremos la siguientenotacion.

Eij denotara la matriz elemental que se obtiene al intercambiar lasfilas i y j de la matriz identidad.

Eij(c) denotara la matriz que se obtiene al sumar c veces la fila i a lafila j de la matriz identidad.

Ei(c) la matriz que se obtiene al multiplicar por la constante c la fila ide la matriz identidad.

Ejemplo

En el ejemplo anterior tenemos que A = E12, B = E21(2) y C = E2(−3).

Ejemplo

Para ilustrar la invertibilidad de las operaciones elementales consideremos

la matriz A =

0 1 32 0 2−3 1 0

Teorema

Toda matriz elemental es invertible y las inversas estan dadas por

E−1ij = Eij , Eij(c)−1 = Eij(−c) y Ei(c)

−1 = Ei

(1

c

).

Teorema

Sea A una matriz de tamano m× n y E una matriz elemental de tamanom×m asociada a una operacion elemental de fila, el producto EA es lamatriz que se obtiene la aplicar la operacion elemental de fila a la matriz A.

Ejemplo

Para ilustrar la invertibilidad de las operaciones elementales consideremos

la matriz A =

0 1 32 0 2−3 1 0

Teorema

Toda matriz elemental es invertible y las inversas estan dadas por

E−1ij = Eij , Eij(c)−1 = Eij(−c) y Ei(c)

−1 = Ei

(1

c

).

Teorema

Sea A una matriz de tamano m× n y E una matriz elemental de tamanom×m asociada a una operacion elemental de fila, el producto EA es lamatriz que se obtiene la aplicar la operacion elemental de fila a la matriz A.

Ejemplo

Para ilustrar la invertibilidad de las operaciones elementales consideremos

la matriz A =

0 1 32 0 2−3 1 0

Teorema

Toda matriz elemental es invertible y las inversas estan dadas por

E−1ij = Eij , Eij(c)−1 = Eij(−c) y Ei(c)

−1 = Ei

(1

c

).

Teorema

Sea A una matriz de tamano m× n y E una matriz elemental de tamanom×m asociada a una operacion elemental de fila, el producto EA es lamatriz que se obtiene la aplicar la operacion elemental de fila a la matriz A.

Corolario

Toda matriz se puede expresar como el producto de un numero finito dematrices elementales por una matriz en forma escalonada reducida. Masconcretamente, si A una matriz de tamano m× n, existen matriceselementales E1, . . . , Ek todas de tamano m×m y una matriz escalonadareducida A′ tal que

A = E1 · · ·EkA′.

Ejemplo

Expresar la matriz A =

1 1 01 1 22 2 2

como un producto de matrices

elementales por una matriz en forma escalonada reducida.

Corolario

Toda matriz se puede expresar como el producto de un numero finito dematrices elementales por una matriz en forma escalonada reducida. Masconcretamente, si A una matriz de tamano m× n, existen matriceselementales E1, . . . , Ek todas de tamano m×m y una matriz escalonadareducida A′ tal que

A = E1 · · ·EkA′.

Ejemplo

Expresar la matriz A =

1 1 01 1 22 2 2

como un producto de matrices

elementales por una matriz en forma escalonada reducida.

Inplementacion al Matlab

Consideremos las siguientes matrices elementales:>> E1=[1 0 0;1 1 0;0 0 1]; E2=[1 0 0;0 1 0;2 0 1]; E3=[1 0 0;0 2 0;0 0 1];E4=[1 0 0;0 1 0;0 2 1]La matriz escalonada >> A′=[1 1 0;00 1;0 0 0]>> A = E1 ∗ E2 ∗ E3 ∗ E4 ∗A′.Obtendremos la matriz de el ejemplo anterior.

Lema

Sea A una matriz de tamano n× n en forma escalonada reducida, entoncesA es invertible si y solo si A = I.

Teorema

Sea A una matriz de tamano n× n, entonces A es invertible si y solo si Ase puede escribir como un producto de matrices elementales.

Inplementacion al Matlab

Consideremos las siguientes matrices elementales:>> E1=[1 0 0;1 1 0;0 0 1]; E2=[1 0 0;0 1 0;2 0 1]; E3=[1 0 0;0 2 0;0 0 1];E4=[1 0 0;0 1 0;0 2 1]La matriz escalonada >> A′=[1 1 0;00 1;0 0 0]>> A = E1 ∗ E2 ∗ E3 ∗ E4 ∗A′.Obtendremos la matriz de el ejemplo anterior.

Lema

Sea A una matriz de tamano n× n en forma escalonada reducida, entoncesA es invertible si y solo si A = I.

Teorema

Sea A una matriz de tamano n× n, entonces A es invertible si y solo si Ase puede escribir como un producto de matrices elementales.

Inplementacion al Matlab

Consideremos las siguientes matrices elementales:>> E1=[1 0 0;1 1 0;0 0 1]; E2=[1 0 0;0 1 0;2 0 1]; E3=[1 0 0;0 2 0;0 0 1];E4=[1 0 0;0 1 0;0 2 1]La matriz escalonada >> A′=[1 1 0;00 1;0 0 0]>> A = E1 ∗ E2 ∗ E3 ∗ E4 ∗A′.Obtendremos la matriz de el ejemplo anterior.

Lema

Sea A una matriz de tamano n× n en forma escalonada reducida, entoncesA es invertible si y solo si A = I.

Teorema

Sea A una matriz de tamano n× n, entonces A es invertible si y solo si Ase puede escribir como un producto de matrices elementales.

Ejemplo

Expresar la matriz A =

0 1 21 1 1−1 −2 −2

y su inversa como un producto de

matrices elementales.

Teorema (Algoritmo para calcular A−1)

Sea A una matriz invertible de tamano n× n, al aplicar reduccionGauss-Jordan a la matriz aunmentada

[A I

]obtenemos la matriz[

I A−1]. Mas aun, si B es una matriz de tamano n× q, al aplicar

reduccion Gauss-Jordan a la matriz aumentada[A B

]obtenemos la

matriz[I A−1B

].

Ejemplo

Expresar la matriz A =

0 1 21 1 1−1 −2 −2

y su inversa como un producto de

matrices elementales.

Teorema (Algoritmo para calcular A−1)

Sea A una matriz invertible de tamano n× n, al aplicar reduccionGauss-Jordan a la matriz aunmentada

[A I

]obtenemos la matriz[

I A−1]. Mas aun, si B es una matriz de tamano n× q, al aplicar

reduccion Gauss-Jordan a la matriz aumentada[A B

]obtenemos la

matriz[I A−1B

].

Inplementacion al Matlab

Sea A =

0 1 21 1 1−1 −2 −2

calcular A−1. Para hallar la inversa de la matriz

A en el Matlab se da por:>> AI = [0 1 2 1 0 0; 1 1 1 0 1 0;−1 − 2 − 2 0 0 1]; rref(AI)

Inplementacion al Matlab

Sean A =

0 1 21 1 1−1 −2 −2

y B =

1 22 30 1

, calcular A−1B. Inplementando

en Matlab :>> AB = [0 1 2 1 2; 1 1 1 2 3;−1 − 2 − 2 0 1]; rref(AB)

Inplementacion al Matlab

Sea A =

0 1 21 1 1−1 −2 −2

calcular A−1. Para hallar la inversa de la matriz

A en el Matlab se da por:>> AI = [0 1 2 1 0 0; 1 1 1 0 1 0;−1 − 2 − 2 0 0 1]; rref(AI)

Inplementacion al Matlab

Sean A =

0 1 21 1 1−1 −2 −2

y B =

1 22 30 1

, calcular A−1B. Inplementando

en Matlab :>> AB = [0 1 2 1 2; 1 1 1 2 3;−1 − 2 − 2 0 1]; rref(AB)

Observaciones

Si en el teorema anterior las columnas de la matriz B son los vectoresb1, . . . , bq, entonces al aplicar reduccion Gauss-Jordan a la matrizaumentada

[A B

]=[A b1 · · · bq

]obtenemos la matriz la

matriz A−1B =[A−1b1 · · · A−1bq

], obteniendo soluciones simultaneas a

los sistemas Ax = b1, . . . , Ax = bq.

Ejemplo

Usar la observacion anterior para resolver los sistemas

x2 + 2x3 = 1x1 + x2 + x3 = 2−x1 − 2x2 − 2x3 = 0

yx2 + 2x3 = 2

x1 + x2 + x3 = 3−x1 − 2x2 − 2x3 = 1

.

Observaciones

Si en el teorema anterior las columnas de la matriz B son los vectoresb1, . . . , bq, entonces al aplicar reduccion Gauss-Jordan a la matrizaumentada

[A B

]=[A b1 · · · bq

]obtenemos la matriz la

matriz A−1B =[A−1b1 · · · A−1bq

], obteniendo soluciones simultaneas a

los sistemas Ax = b1, . . . , Ax = bq.

Ejemplo

Usar la observacion anterior para resolver los sistemas

x2 + 2x3 = 1x1 + x2 + x3 = 2−x1 − 2x2 − 2x3 = 0

yx2 + 2x3 = 2

x1 + x2 + x3 = 3−x1 − 2x2 − 2x3 = 1

.

Definicion

Sea A una matriz de tamano m× n,

1. decimos que A tiene inversa a la izquierda si existe una matriz L detamano n×m tal que LA = In,

2. decimos que A tiene inversa a la derecha si existe una matriz R detamano n×m tal que AR = Im.

Teorema

Sea A una matriz de tamano m× n, entonces las siguientes afirmacionesson equivalentes:

1. A tiene inversa a la derecha.

2. El sistema Ax = b tiene solucion para cada b ∈ Rm.

3. rango(A) = m = # de filas de A,

4. La funcion TA : Rn −→ Rm definida por TA(x) = Ax es sobreyectiva.

Definicion

Sea A una matriz de tamano m× n,

1. decimos que A tiene inversa a la izquierda si existe una matriz L detamano n×m tal que LA = In,

2. decimos que A tiene inversa a la derecha si existe una matriz R detamano n×m tal que AR = Im.

Teorema

Sea A una matriz de tamano m× n, entonces las siguientes afirmacionesson equivalentes:

1. A tiene inversa a la derecha.

2. El sistema Ax = b tiene solucion para cada b ∈ Rm.

3. rango(A) = m = # de filas de A,

4. La funcion TA : Rn −→ Rm definida por TA(x) = Ax es sobreyectiva.

Ejemplo

Determine si la matriz A =

[1 2 2−1 0 4

]tiene inversa a la derecha y en

caso afirmativo calcular una inversa a la derecha de A.

Teorema

Sea A una matriz de tamano m× n, entonces las siguientes afirmacionesson equivalentes:

1. A tiene inversa a la izquierda.

2. El sistema Ax = b tiene a lo sumo una solucion para cada b ∈ Rm.

3. La funcion TA : Rn −→ Rm definida por TA(x) = Ax es inyectiva.

4. El sistema Ax = θn tiene solucion unica.

5. rango(A) = n = # de columnas de A.

Ejemplo

Determine si la matriz A =

[1 2 2−1 0 4

]tiene inversa a la derecha y en

caso afirmativo calcular una inversa a la derecha de A.

Teorema

Sea A una matriz de tamano m× n, entonces las siguientes afirmacionesson equivalentes:

1. A tiene inversa a la izquierda.

2. El sistema Ax = b tiene a lo sumo una solucion para cada b ∈ Rm.

3. La funcion TA : Rn −→ Rm definida por TA(x) = Ax es inyectiva.

4. El sistema Ax = θn tiene solucion unica.

5. rango(A) = n = # de columnas de A.

Observaciones

El teorema provee un algorimo para calcular dicha matriz, el cualdescribimos a continuacion

1. Se aplica reduccion Gauss-Jordan a la matriz

2. Se calculan las matrices elementales E1, . . . , Ek asociadas a cada unade las operaciones elementales aplicadas en el paso 1.

3. Se calcula el producto Ek · · ·E1.

4. La matriz L formada por las primeras n filas de la matriz Ek · · ·E1 esla inversa a la izquierda.

Inplementacion al Matlab

Determine si las matrices tienen inversa a la izquierda y encuentrela en casoafirmativo.

a. A =

2 −1−4 2−2 1

b. B =

[1 −1 02 −1 1

]c. C =

1 −10 12 1

.

Observaciones

El teorema provee un algorimo para calcular dicha matriz, el cualdescribimos a continuacion

1. Se aplica reduccion Gauss-Jordan a la matriz

2. Se calculan las matrices elementales E1, . . . , Ek asociadas a cada unade las operaciones elementales aplicadas en el paso 1.

3. Se calcula el producto Ek · · ·E1.

4. La matriz L formada por las primeras n filas de la matriz Ek · · ·E1 esla inversa a la izquierda.

Inplementacion al Matlab

Determine si las matrices tienen inversa a la izquierda y encuentrela en casoafirmativo.

a. A =

2 −1−4 2−2 1

b. B =

[1 −1 02 −1 1

]c. C =

1 −10 12 1

.

Inplementacion al Matlab

Calcular una inversa a la izquierda de C =

1 −10 12 1

.

>> Ct = [1, 0, 2;−1, 1, 1], e1 = [1; 0], e2 = [0; 1], r1 = Ae1, r2 = Ae2

Corollary (Caracterizacion de una matriz invertible)

Sea A una matriz cuadrada de tamano n× n, entonces las siguientesafirmaciones son equivalentes:

1. A es invertible.

2. A tiene inversa a la izquierda.

3. El sistema Ax = b tiene a lo sumo una solucion para cada b ∈ Rm.

4. La funcion TA : Rn −→ Rm definida por TA(x) = Ax es inyectiva.

5. El sistema Ax = θn tiene solucion unica.

6. rango(A) = n = # de columnas de A=# de filas deA.

7. A tiene inversa a la derecha.

8. El sistema Ax = b tiene solucion para cada b ∈ Rm.

9. rango(A) = m = # de filas de A,

10. La funcion TA : Rn −→ Rm definida por TA(x) = Ax es sobreyectiva.

11. La funcion TA : Rn −→ Rn definida por TA(x) = Ax es biyectiva.

12. At es invertible.

13. A es un producto de matrices elementales.