TRANSFORMACIONES LINEALES (ALGEBRA)

ALUMNOS:

MIGUEL ANGEL GARCIA WHA

VICTOR MANUEL GONZALES OLLERVIDEZ

JESUS ALBERTO MONTOYA BALLEZA

ÍNDICE PAG.

Introducción 31. Transformaciones lineales 41.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades 4

1.2 Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación) 7

1.3 Definición del núcleo o kernel, e imagen de una transformación lineal 11

1.4 La matriz de una transformación lineal y representación matricial de una transformación lineal 13

1.5 Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales 15

1.6 Algebra de las transformaciones lineales 19

1.7 Aplicación de las transformaciones lineales. 19

1.8 Isomorfismos 22

Conclusión 23

Bibliografía 23

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INTRODUCCIÓN

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.

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1. TRANSFORMACIONES LINEALES

1.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades

Definición.   Sean  V  y  W  espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal  de V  en  W, es una función   tal que:

i)   ,  .

           i)   ,  ,  .

En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.

Observaciones:

i) Si   es una transformación lineal, entonces  .

En efecto . Por la ley de la cancelación en W, tenemos que .

Nótese que en realidad solo se usa la propiedad aditiva  (i) de T. Este hecho lo usamos en el siguiente inciso.

i)  es lineal si y solo si , , .

Si T linéal, entonces . Inversamente, supongamos que , , . Probemos las dos condiciones para que  T  sea

lineal:

a)    .

b)  

Nótese que usamos el hecho de que  , lo cual es consecuencia del comentario hecho al final del inciso (i).

i)    es lineal si y solo si

,  .

La demostración se hace por inducción sobre n.

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a)      Si  , entonces  , por la condición  (ii) de T.

b)      Supongamos válido para n. Probemos para  :

Por la condición (i) de T, tenemos que, Y por hipótesis de inducción, tenemos que,

 

Así que podemos concluir que,

Este último inciso se puede abreviar usando la notación sigma como sigue:

Veamos algunos ejemplos de transformaciones lineales, donde haremos uso extenso de la observación  (i) de arriba.

Ejemplo 1. 

Sea   tal que  ,  . Entonces  T es lineal,  ya que , y  por otro lado,  . Por lo tanto, vemos que  .

Esta transformación recibe el nombre de la transformación cero y se denota como .

Ejemplo 2.

Sea    tal que  ,  . Entonces  T es lineal, ya que  .

Esta transformación recibe el nombre de la transformación identidad de V en V, y se denota como  .

Ejemplo 3.

Sea    tal que   la traza de A, es decir,  , la suma de los elementos de la diagonal. Entonces  T  es lineal, ya que

5

Ejemplo 4.

Sea    tal que  . Entonces T es lineal, ya que

Ejemplo 5.

Sea   tal que  , la derivada de . Entonces  T  es lineal ya que:

Ejemplo 6.

Sea  , el espacio vectorial de todas  las funciones continuas en un intervalo

cerrado  y sea   tal que  .  Entonces  T  es lineal ya que:

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

1. T(u+v) = T(u) + T(v)2. T(ku) = kT(u) donde k es un escalar.

Clasificación de las transformaciones lineales1. Monomorfismo: Si es inyectiva, o sea si el único elemento del

núcleo es el vector nulo. 2. Epimorfismo: Si es sobreyectiva (exhaustiva).3. Isomorfismo: Si es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).4. Endomorfismo: Si o sea si el dominio es igual al codominio (el

espacio vectorial de salida y el de llegada son el mismo).

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5. Automorfismo: Si es endomorfismo e isomorfismo a la vez.

1.2 Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación)

Ejemplo 7. (Rotación por un ángulo  )

Sea    un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar  cual es la transformación  T  de    en   que gira cada vector   un ángulo , para obtener un vector . En una gráfica, vemos la situación como sigue:

Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:

Distribuyendo y usando el hecho de que   y            tenemos que:

Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación  tal que  .

Esta transformación se llama la rotación por un ángulo  y es lineal, ya que:

7

Ejemplo 8.  (Reflexión sobre el eje x)

En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T  de    en  que cada vector  lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector  . En una gráfica, vemos la situación como sigue:

 

 

 

En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde  T  queda definida como sigue:

Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:

8

 

Ejemplo 9. (Proyección ortogonal sobre el eje x)

En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T  de   en que a cada vector  lo proyecta perpendicularmente sobre el eje x, para obtener un vector  . En una gráfica, vemos la situación como sigue:

También este caso es sencillo, pues es obvio que  T  queda definida como sigue:

Esta transformación se llama la proyección sobre el eje x, y es lineal, ya que:

Este último ejemplo tiene más fondo desde el punto de vista de Álgebra Lineal. Consideremos el siguiente subespacio de  :

Vemos que  éste no es sino el eje x (sobre quien se efectuó la proyección). Ahora bien,

 tiene un complemento directo, a saber,

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De tal forma  que cada vector  se escribe en forma única como suma de un vector de  más un vector de   como sigue:

Notamos que la proyección sobre el eje x, manda a  sobre , el cual  es precisamente el término correspondiente a  en la descomposición anterior!

Todo esto nos induce a definir proyecciones sobre subespacios en general como sigue:

Definición.   Sea  V  un espacio vectorial y sea   un subespacio tal que existe el complemento directo de  en V,  es decir  tal que  , de tal forma que cada vector   se escribe en forma única como:

Con   y  . Definimos entonces la proyección sobre  , como aquella transformación   tal que  .

Lo primero que observamos es que esta transformación es lineal, ya que si  ,    con    y   , entonces  con    y  . Por lo tanto, de acuerdo a la definición de  T, tenemos que:

En segundo lugar, vemos que esta definición, incluye como caso especial a la de la proyección sobre el eje x. Sin embargo, vemos que no es suficiente con especificar sobre que subespacio queremos proyectar, sino también es necesario aclarar cual es el complemento directo que se estará usando, ya que un mismo subespacio puede tener distintos complementos directos. El mismo eje x, tiene el siguiente complemento

directo:

En efecto, es claro que  es un subespacio de   y  . Además, cada   se escribe como  . Todo esto demuestra que

. Usando esta descomposición y la definición de proyección, tendremos que en este caso, la transformación queda dada como sigue:

Así pues, por cada complemento directo que tengamos a la mano, podemos definir una proyección asociada a dicha descomposición.

Ejemplo contracción

Una contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la original.

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Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal 100k

A cuando K=1/2

411002/1

42 VA

Haciendo la grafica el punto disminuye en el eje horizontal.

Ejemplo dilatación o expansión

Una dilatación es una transformación que incrementa distancias.

Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical k

A0

01 cuando K=2

822001

42 VA

Expansión horizontal (k71) o contracción (0<k<1)Expansión vertical (k71) o contracción (0<k<1)

1.3 DEFINICIÓN DEL NÚCLEO O KERNEL, E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Kernel o Núcleo

Definición 94 Sea una transformación lineal. Se define el Kernel o Núcleo de la transformación lineal , denotado por al conjunto de las preimágenes del vector nulo, es decir

Ejemplo Hallar el conjunto de las preimágenes del vector nulo para la transformación lineal

Solución: Necesitamos determinar los vectores de tales que

Evaluando

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es decir,

luego, utilizando la matriz asociada al sistema, obtenemos

Por lo tanto,

Con lo cual,(x;y;z) = (0;-(1/3)z;z) = z(0;-(1/3);1) Así el conjunto de las preimágenes del vector nulo es el subespacio

Note que el resolver un sistema de ecuaciones lineales equivale a encontrar las pre imágenes de un vector para una transformación lineal dada.

Ejemplo Determinar el kernel de la siguiente transformación lineal

Solución: Como tenemos que

Reemplazando

Imagen o Recorrido

Recordemos la definición de recorrido.

Definición Se define la Imagen o Recorrido de una transformación lineal , esto es como el conjunto de los vectores que tienen al menos una preimagen.

Ejemplo Dada la transformación lineal

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Determinar la imagen de

Solución: Si recordamos el proceso que usamos en el cálculo en una variable, determinemos cuales vectores tienen pre imagen. Para ello, sean tales que  T(x;y;z) = (a;b;c) (2x-y+z;x-y+z;x) = (a;b;c)Igualando coordenadas tenemos el siguiente sistema

Ahora, resolvamos el sistema buscando la matriz asociada a él, y determinando su escalonada

luego, un vector tiene pre imagen si y sólo si el sistema el sistema es consistente (no necesitamos que la solución sea única), lo cual es equivalente a escribir

Por lo tanto, Im(T) = {(a;b;c) /((x;y;z) ((T(x;y;z)=(a;b;c)) = {(a;b;c) /a-b-c=0} = <(1;1;0);(1;0;1)>:

1.4 LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Y REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Representación matricial de una transformación lineal.

Sea T : V ↦−→ W una T.L con dimV = n, dimW = m si {e1,...,en} es una base de V y {w1,...,wm} es una base de W, cada elemento t(ek) puede expresarse con unicidad, como una combinación lineal de los elementos de la base es decir T(ek) =m∑i=1tikwi donde tik ,...,t mk son los componentes de t(ek) respecto a la base ordenada {w1,...,wm}.

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Los tik forman un vector columna o matriz columna. Tenemos una columna para cada uno de los n–elementos t(e1),..., t(en), formando así una matriz de orden m × n. Así toda T.L de un espacio n–dimensional V, en un espacio m dimensional W da origen a una matriz m × n t(eik), cuyas columnas son los componentes de t(ei),...,t(en), relativos a la base (w1,...,wn), la llamamos representación matricial de T relativa a unas bases ordenadas {e1,...,en}, de V y {w1,...,wm}, para w.

TeoremaDada una transformación lineal T: V → V donde dimV = n. Si T tienen una representación en matriz diagonal, existe entonces un conjunto de elementos independientes u1,...,u2 en V y un conjunto correspondiente de escalares λ1,...λn que satisfacen: T(uK) = λkuk para k=1, 2,...,n. Recíprocamente, si existe un conjunto independiente u1,...,un en V y un conjunto correspondiente de escalares λ1,...,λn que satisfacen (1), entonces la matriz A = diag(λ1,...,λn) es una representación de T respecto a la base (u1,...,un).Luego el problema de hallar una representación en matriz diagonal de una transformación lineal se reduce al de hallar el elemento sin dependientes u1,...,un y los escalares λ1,...,λn que satisfacen T(uk) = λkuk. Para k = 1, 2,...,n. Tales elementos u1,...,un y λ1,...,λn, se conocen como autovectores y autovalores respectivamente.TeoremaSea una matriz de n × n se dice que λ es un valor propio de A ssi P(λ)=det(A − λi) = 0 Esta es la ecuación característica de A, P(λ) se llama polinomio característico de A.

TeoremaSea A una matriz real o compleja de orden n × n, entonces exite una matriz C compleja invertible de orden n × n talque C−1 AC = JDonde J es la matriz de Jordan cuyos elementos en la diagonal son los valores propios de A.Mas aun la matriz de Jordan es única, excepto por el orden (dado por la base ordenada fija) en el que aparecen los bloques de Jordan.

Una manera de facilitar el trabajo con una transformación lineal, es asociarle una matriz, para lo cual es necesario considerar un par de bases ordenadas. Definición Sean dos espacios vectoriales sobre , además

bases ordenadas de respectivamente y una transformación lineal de en Se define la matriz asociada a en las bases a

denotada por

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donde Además si la base del espacio de partida es igual al del espacio de llegada, la matriz asociada a la transformación lineal se denota por

1.5 TRANSFORMACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Teorema sobre transformaciones de renglones de matrices.

Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, resulta una matriz de un sistema equivalente si:

a) Se intercambian dos renglones. Símbolo:      Ri Rj.

b) Se multiplica o divide un renglón por una constante diferente de cero. Símbolo: kRi

Ri.

c) Un  múltiplo  constante  de  un  renglón  se  suma  a  otro  renglón.   Símbolo:     kRi

+ Rj Rj.

Uso de matrices para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplo.Resuelve el sistema:x + 2y + 3z = 94x + 5y + 6z = 243x + y - 2z = 4Comenzaremos con la matriz del sistema, es decir, la matriz aumentada:

Luego aplicamos transformaciones elementales de renglón a fin de obtener otra matriz (más sencilla) de un sistema de ecuaciones equivalentes. Pondremos símbolos adecuados entre matrices equivalentes.

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     (-4)R1 + R2 R2 

(-3)R1 + R3 R3       

(-(1÷ 3))R2 R2    

(-1)R3 R3     

(-5)R2 + R3 R3             

Con la matriz final regresamos al sistema de ecuaciones:

     

Que equivale al sistema original. La solución x = 4, y = -2, z = 3 se puede encontrar ahora por sustitución.La matriz final de la solución es una forma escalonada.

En general, una matriz está en forma escalonada si satisface estas condiciones:

a) El primer número diferente de cero de cada renglón, leyendo de izquierda a derecha, es 1.b)   La columna que contenga el primer número diferente de cero en cualquier renglón está a la izquierda de la columna con el primer número distinto de cero del renglón de abajo.c)  Los renglones formados enteramente de ceros pueden aparecer en la parte inferior de la matriz.

Ejemplo:Sea la matriz:

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,      es "una matriz escalonada"

Guías para hallar la forma escalonada de una matriz.

(a) Localizar la primera columna que contenga elementos diferentes de cero y aplicar transformaciones elementales de renglón a fin de obtener 1 en el primer renglón de esa columna.(b) Aplicar transformaciones elementales de renglón del tipo kR1 + Rj Rj. para j > 1 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía (a) en cada uno de los renglones restantes.

(c) Hacer caso omiso del primer renglón. Localizar la próxima columna que contenga elementos diferentes de cero y aplicar transformaciones elementales de renglón con objeto de obtener el número 1 en el segundo renglón de esa columna.(d) Aplicar transformaciones elementales del tipo kR2 + Rj Rj. para j >2 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía (c) en cada uno de los renglones restantes.(e) Hacer caso omiso del primer y segundo renglones. Localizar la siguiente columna que contenga elementos diferentes de cero y repetir el procedimiento.(f) Continuar el proceso hasta alcanzar la forma escalonada.

Uso de la forma escalonada para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplo:Resuelve el sistema:

Solución: Comenzamos con la matriz aumentada y luego obtenemos una forma escalonada, según se describe en las guías.

       R1 R4    

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       R2 R3    

(1)R1 + R3 R3

(-2)R1 + R4 R4

(-1)R2 R2         

(-(1÷ 2))R2 R2

(-1)R2 + R3 R3

(-1)R2 + R4 R4

(3)R3 + R4 R4

La matriz final está en forma escalonada y corresponde a un sistema de ecuaciones:

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(-(1÷ 2))R4 R4      

Ahora usamos sustitución a fin de hallar la solución. De la última ecuación vemos que   w = -1;  de la tercera ecuación vemos que   z = -2 .   Sustituimos en la segunda ecuación, y obtenemos:y - 2z - w = 6y - 2(-2) - (-1) = 6y + 4 + 1 = 6y = 1

Sustituimos los valores encontrados en la primera ecuación:x + z + 2w = -3x + (-2) + 2(-1) = -3x - 2 - 2 = -3x = 1

Por lo tanto, el sistema tiene una solución:   x = 1,   y = 1,   z = -2,   w = -1.

1.6 ALGEBRA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

Sean podemos definir la suma de transformaciones lineales, dada por

También podemos definir la multiplicación por escalar.

Sean definamos la multiplicación por escalar de una transformación lineal, dada por

Definición. Un álgebra A sobre un campo F es un espacio vectorial sobre F en el que se tiene definida una operación producto que satisface para todos los elementos T1, T2, T3 Î A y a ÎF:

T1(T2+T3)=T1T2+T1T3 (T2+T3)T1=T2T1+T3T1

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a(T1T2)=(aT1)T2=T1(aT2) Si además se cumple que (T1T2)T3=T1(T2T3) entonces A es un álgebra asociativa Definición. Sean V, U y W espacios vectoriales sobre el mismo campo F. Sean

T1: VàU y T2: UàW dos transformaciones lineales. Se define la composición de T2 seguida de T1 T2°T1 como la función de V a W

(T2°T1) :VàW tal que (T2°T1)(v)=T2(T1(v)) Proposición. Si T1 y T2 son TL, entonces T2°T1 también lo es. Demo. Sean u,v ÎV y a,b Î F, entonces (T2°T1)(av+bu)=T2(T1(av+bu))=T2(aT1(v)+bT1(u)) = a (T2°T1)(v)+b (T2°T1)(u) (T2°T1) es T.L. Puede verse que Hom(V,V) con la composición es un álgebra asociativa.

1.7 APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.

Se aplican en sistemas de ecuaciones lineales, en matrices y en un sin número de problemas, gracias a las transformaciones lineales sabemos el dominio e imagen y teniendo esto saber si es un espacio vectorial.

Ejemplo 142Dada la transformación lineal

Determinar todos los espacios propios asociados a sabiendo que son los únicos valores propios.

Solución: Determinemos el espacio propio asociado al valor propio V2 = { (x;y)/T(x;y)=2(x;y)}= {(x;y)/(x+y;3x-y)=2(x;y)}= {(x;y)/(-x+y;3x-3y)=(0;0)}= {(x;y)/-x+y=0= <(1;1)> Para el otro valor propio procedemos de manera similar V-2 = {(x;y)/T(x;y)=-2(x;y)} = {(x;y)/(x+y;3x-y)=-2(x;y)} = {(x;y)/(3x+y;3x+y)=(0;0)} = {(x;y)/3x+y=0}

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= <(1;-3)>

Ejemplo Sean bases de y una transformación lineal tal

que

Demostrar que es un isomorfismo, sin explicitar

Solución: Para demostrar que es un isomorfismo, basta celular el determinante de y comprobar que es distinto de

Calculemos

Por lo tanto la matriz es invertible, luego es un isomorfismo. Para explicitar la transformación inversa, tenemos

Reemplazando obtenemos

Necesitamos determinar las coordenadas de en la base .

Igualando coordenadas obtenemos el sistema de ecuaciones lineales

Resolviendo el sistema mediante la matriz, tenemos

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Así luego

[T-1(x;y;z)]b = ( -1 -2 0)74x+14y-54z                         ( -8 -13 1)14y-54x+34z                         ( -11 -18 1) 14z+14x-14y

[T(x;y;z)]D = ( 34x-34y-14z)      (a')                      ( 52x-112y+12z)=(b')                      ( 72x-152y+12z)  (c')  

Con lo cual obtenemos T-1(x;y;z) = a'(1;1;-1)+b'(0;2;-1)+c'(1;0;1)T-1(x;y;z) = (174x-334y+14z;234x-474y+34z;14x-54y+14z )

1.8 ISOMORFISMOS

El concepto matemático de isomorfismo (del griego iso-morfos: Igual forma) pretende captar la idea de tener la misma estructura.

Dos estructuras matemáticas entre las que existe una relación de isomorfismo se llaman isomorfas.

Ejemplos de isomorfismosPor ejemplo, si X es el conjunto de los números reales positivos con el producto y Y es el conjunto de los números reales con la suma, la función logarítmica ln:X→Y es un

isomorfismo, porque   y cada número real es el logaritmo de un único número real positivo. Esto significa que cada enunciado sobre el producto de números reales positivos tiene (sin más que sustituir cada número por su logaritmo) un enunciado equivalente en términos de la suma de números reales, que suele ser más simple.

Otro ejemplo: si en el espacio E elegimos una unidad de longitud y tres ejes mutuamente perpendiculares que concurren en un punto, entonces a cada punto del espacio podemos asociarles sus tres coordenadas cartesianas, obteniendo así una aplicación f:E→R³ en el conjunto de las sucesiones de tres números reales. Cuando en E consideramos la distancia que define la unidad de longitud fijada y en R³

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consideramos la distancia que define la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias, f es un isomorfismo. Este descubrimiento fundamental de Descartes permite enunciar cualquier problema de la geometría del espacio en términos de sucesiones de tres números reales, y este método de abordar los problemas geométricos es el núcleo de la llamada geometría analítica.

Características del isomorfismo

El descubrimiento de un isomorfismo entre dos estructuras significa esencialmente que el estudio de cada una puede reducirse al de la otra, lo que nos da dos puntos de vista diferentes sobre cada cuestión y suele ser esencial en su adecuada comprensión. También significa una analogía como una forma de inferencia lógica basada en la asunción de que dos cosas son la misma en algunos aspectos, aquellos sobre los que está hecha la comparación. En ciencias sociales, un isomorfismo consiste en la aplicación de una ley análoga por no existir una específica o también la comparación de un sistema biológico con un sistema social, cuando se trata de definir la palabra "sistema". Lo es igualmente la imitación o copia de una estructura tribal en un hábitat con estructura urbana.

CONCLUSIÓN

Se han visto más detallado y con mas exactitud los teoremas y propiedades que hilan todos los temas propuestos por este trabajo y se ha se ha llegado a la conclusión de todos los temas están relacionados en cierta forma ya que en varios de estos se necesita recurrir a las propiedades que se han visto en temas anteriores.

Con esto podríamos decir que nos ha enseñado a tener un amplio criterio de la utilidad de temas ya vistos en nuestra carrera, ya que no podemos omitir las enseñanzas pasadas ya que estas nos forman las bases para comprender y analizar y poder poner en practica los temas futuros.

Este trabajo se ha hecho con el fin de comprender de que no hay que dejar tirado lo ya hemos aprendido antes ya que eso nos va a ayudar a solucionar problemas en nuestro futuro, citando el dicho popular si no aprendemos de nuestros errores del pasado los mismo nos estarán esperando en un futuro.

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BIBLIOGRAFÍA

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http://html.rincondelvago.com/algebra-lineal_vectores-y-espacios-vectoriales.html

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