07 Sesión Sistemas de Ecuaciones Lineales CRAMER Y GAUSS

SISTEMA DE ECUACIONES SISTEMA DE ECUACIONES LINEALESLINEALES

MATEMÁTICA BÁSICA

2

PREGUNTA DE INICIOPREGUNTA DE INICIO

¿Conoces algún método para resolver este sistema aplicando únicamente matrices?

Dado el siguiente sistema:

LOGRO DE SESIÓN

Al finalizar la sesión el estudiante resuelve correctamente sistemas de ecuaciones lineales aplicando los métodos de Cramer y de eliminación Gaussiana en ejercicios con dos y tres variables.

4

CONTENIDOS:CONTENIDOS:

5

DEFINICIÓN:DEFINICIÓN:Un sistema ecuaciones lineales de “m” ecuaciones con “n” Un sistema ecuaciones lineales de “m” ecuaciones con “n” variables, es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:variables, es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

11 1 12 2 1 11

21 1 22 2 2 21

1 1 2 2 1

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x brepresentación matricial del sistemarepresentación matricial del sistema

11 12 1311

21 22 2321

11 2 3

BA

m

m m m mn X

a a a bxa a a b AX By

z ba a a a

matriz de matriz de coeficientescoeficientes

matriz de matriz de variables o variables o incógnitasincógnitas

matriz de las matriz de las constantes o constantes o términos términos independientes.independientes.

En nuestro caso, trabajaremos en sistemas de 2 y 3 ecuaciones con 2 y En nuestro caso, trabajaremos en sistemas de 2 y 3 ecuaciones con 2 y 3 variables respectivamente.3 variables respectivamente.

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12 13

21 22 23

31 32 33X BA

a x a y a z max by m

ó a x a y a z ncx dy n

a x a y a z o

a a a x ma b x m

a a a y nc d y n

a a a z o

En su forma matricial, seria:

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (SEL):SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (SEL):

2202

3

1229

zyxzyx

zyxo

yxyx

Ejemplos:

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CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ECUACIONES LINEALES

De acuerdo a sus soluciones, pueden ser:

Sistema Compatible: es aquel sistema que tiene solución y pueden ser:

a) Determinado: Cuando tiene solución única.b) Indeterminado: Cuando tiene Infinitas soluciones (solución paramétrica).

Sistema Incompatible. es aquel que no tiene solución.

1.

2.

8


INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE UN SEL COMPATIBLE DETERMINADO

----------

- - - - - - - - - - -

2x + y = 8 x + 2y = 72x + y = 8

(3; 2) solución única

x + 2y = 7

9


INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE UN SEL COMPATIBLE INDETERMINADO

10


INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE UN SEL INCOMPATIBLE

11

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN MÉTODOS DE RESOLUCIÓN MÉTODO MATRICIAL (CRAMER)MÉTODO MATRICIAL (CRAMER)

Este método solo es posible aplicar para aquellos sistemas de n ecuaciones y n Este método solo es posible aplicar para aquellos sistemas de n ecuaciones y n

incógnitas, siempre y cuando el determinante de la matriz de coeficientes sea incógnitas, siempre y cuando el determinante de la matriz de coeficientes sea

diferente se cero. diferente se cero.

Dado el siguiente sistema en su forma matricial

BAX

Si , entonces 0A

,11 A

Ax ...,2

2 AA

x AA

x nn

Donde es la matriz que se obtiene de A al remplazar la i-ésima columna de A por B

iA

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN MÉTODOS DE RESOLUCIÓN Ejemplo :Ejemplo :

423542

yxyx

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Resolución:Resolución:

)}1623;

83{(: CS

Método matricial (Cramer)Método matricial (Cramer)

OPERACIONES ELEMENTALES DE MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES DE MATRICES EN LAS FILASEN LAS FILAS

1) Intercambiar la fila « i » con la fila « j »

jiFF ji ;

2) Añadir a la fila « i », la fila « j » multiplicada por el escalar «k»

iji FkFF

2132

21 FF

2132

4532

Ejemplo:

Ejemplo:

3221

212 2 FFF

OPERACIONES ELEMENTALES DE MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES DE MATRICES EN LAS FILASEN LAS FILAS

3) Multiplicar a la fila « i » por un «k» diferente de cero

0; kkFF ii

2132

11 3FF

Ejemplo:

2196

Se dice que una matriz es escalonada, escalonada por filas o que está en forma escalonada si:•Todas las filas cero están en la parte inferior de la matriz.•El primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, está a la derecha del pivote de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero).•Si en cada fila el pivote es el único elemento no nulo de su columna, se dice que es escalonada reducida por filas.

MATRIZ ESCALONADAMATRIZ ESCALONADA

EJEMPLOEJEMPLOSS

001000001000001

reducida

escalonada Matriz

121003403040101

escalonada Matriz

001003430040121

escalonada no Matriz

No es una matriz escalonada porque en la tercera fila, el pivote no está a la derecha del pivote de la segunda fila

Pivote de la

segunda fila

Pivote de la tercera

fila

ALGORITMO DE ELIMINACIÓN ALGORITMO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA PARA SOLUCIONAR UN GAUSSIANA PARA SOLUCIONAR UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALESSISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Dado el sistema de ecuaciones

mnmnmmm

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxa

332211

22323222121

11313212111

1) Construir la matriz aumentada

nnnnn

n

n

b

bb

aaa

aaaaaa

2

1

21

22121

11211

Donde:

ija Son los coeficientes de las variables .

jb Son los términos independientes.

2) Usando las operaciones elementales en la matriz aumentada para transformarla en una matriz escalonada, se puede presentar con mayor frecuencia el siguiente caso:

Si la matriz de coeficientes equivalente es una matriz triangular superior, entonces el sistema tiene una única solución.

Para encontrar la solución de este sistema se debe realizar la sustitución hacia atrás.

nnn

n

n

b

bb

a

aaaaa

'

'

'00

''0 2

1

221

11211

Donde:

ija ' Son los nuevos coeficientes de las variables obtenidos a través de las operaciones elementales.

mnnn

nn

nn

nn

bxa

bxaxabxaxaxabxaxaxaxa

''

'''''''

33333

22323222

11313212111

nn

mn a

bx''

2) Usando las operaciones elementales en la matriz aumentada transformarla en una matriz escalonada. Es decir, transformar la matriz de coeficientes en una triangular superior.

3) Escribir el sistema reducido equivalente al sistema dado y realizar la sustitución hacia atrás.

nnn

n

n

b

bb

a

aaaaa

'

'

'00

''0 2

1

221

11211

Donde:

ija ' Son los nuevos coeficientes de las variables obtenidos a través de las operaciones elementales.

mnnn

nn

nn

nn

bxa

bxaxabxaxaxabxaxaxaxa

''

'''''''

33333

22323222

11313212111

nn

mn a

bx''

EjemploResolver el siguiente sistema

5433822

52

zyxzyxzyx

Solución

585

433212121

518

5

433450121

212 2 fff

184508212

10242

2018

5

730450121

313 3 fff 20730

543315363

4618

5

2300450121

323 53 fff

46230010035150

5412150

4623184552

zzy

zyx

El nuevo sistema es Sustituyendo hacia atrás, se tiene

2 z218)2(45 yy152)2(2 xx

22

1

zyx

518

5

433450121

23

• Ejercicios de la Hoja de trabajo nº7 Ejercicios de la Hoja de trabajo nº7 Ejercicios impares .Ejercicios impares .

TRABAJO EN EQUIPO TRABAJO EN EQUIPO

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• ¿Qué dificultades tuvieron al momento de aplicar los métodos de solución?

• ¿Consideraría que la aplicación de Cramer podría utilizarse en sistemas de ecuaciones con 5 variables?

• ¿En qué otros contextos (sociales antropológicos económicos geométricos, etc.) podríamos aplicar el sistema de ecuaciones?

CONTESTAN:CONTESTAN:

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BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA

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