Mtro. Javier Solis Noyola

Objetivos

Conocer y comprender el concepto de Sistema de Ecuaciones Lineales.

Conocer y comprender Regla de Cramer para la solución de sistemas de Ecuaciones Lineales.

Aplicar la Regla de Cramer para la solución de ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales.

SISTEMA

Es un conjunto organizado, formando un todo, en el que cada una de sus partes está conjuntada a través de una ordenación lógica, que encadena sus actos a un fin común.

Gabriel Cramer (31 de julio de 1704- 04 de enero de 1752) fue un matemático suizo nacido en Ginebra.

La Regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución a un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729)

Regla de Cramerpara resolver

Sistemas de Ecuaciones Lineales

¿Qué es el Álgebra Lineal?

El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y sus transformaciones lineales. Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como: análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas (renglones) y columnas.

¿Qué es una Matriz?

x1

x2

x3::xn

Para encontrar las soluciones (x1, x2,...xn) un sistema de ecuaciones lineales, se utilizan conceptos y procedimientos de matrices y determinantes.

Matriz

Determinante

Sistema de ecuaciones lineales

Cuando nos planteamos la resolución de varias ecuaciones a la vez con varias incógnitas, estamos ante un sistema y en el caso más sencillo, donde todas las ecuaciones sean lineales, se llama sistema de ecuaciones lineales. Existen muchas formas de resolver dichos sistemas, empezando por las clásicas de reducción, sustitución e igualación que son las primeras que nos enseñan, puesto que son muy fáciles de asimilar. 

¿Qué es un Sistema de Ecuaciones Lineales?

donde x1, ..., xn son las incógnitas,  b1, ..., bm se denominan términos independientes y los números aij se llaman coeficientes de las incógnitas.

• Dado un sistema de ecuaciones, el objetivo principal es hallar todas sus soluciones, es decir, hallar todos los valores de x1, ..., xn que verifican todas las ecuaciones.

• Atendiendo al número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales podemos clasificarlos en tres tipos:• Sistema incompatible:  son aquellos que no poseen solución.• Sistema compatible:  son aquellos que poseen solución. Dentro de ellos,

podemos hablar de:Sistema compatible determinado: sistemas con una única solución.Sistema compatible indeterminado: sistemas con infinitas soluciones..

a) Solución única b) Sin solución c) Infinidad de soluciones

Los ejemplos gráficos presentados corresponden a un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas

Las Soluciones gráficas de un sistema de ecuaciones lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas, son: Solución única con tres planos se cruzan en un punto (x,y,z). Infinidad de soluciones con tres planos coincidentes. Y sin solución con tres planos paralelos, 2 planos paralelos cortados por un plano, etc.

SoluciónÚnica(x,y,z)

Para resolver Un sistema de ecuaciones lineales por la Regla de Cramer, se deben cumplir las dos condiciones siguientes:

* El número de ecuaciones debe ser igual al número de incógnitas.

* El determinante de la matriz de los coeficientes (matriz del sistema) es debe ser diferente de cero ( det A ≠ 0 )

Condiciones para Aplicar la Regla de Cramer

Consideremos la aplicación de la Regla de Cramer, para un sistema de  n  ecuaciones lineales con  n  incógnitas, cuya expresión general es la siguiente:

* xA b

Sean  A  la matriz del sistema de Ecuaciones Lineales (matriz de los coeficientes).Llamaremos matriz asociada a la incógnita  xi  y la designaremos por  Ai  a la matriz que se obtiene al sustituir en la matriz del sistema la columna  i  por la matriz columna de los términos independientes en bi. Es decir:

El valor de cada incógnita (xi) se obtiene dividiendo el determinante de la matriz asociada a dicha incógnita por la matriz del sistema (matriz de los coeficientes de las incógnitas)

* xA b

Las Soluciones para cada xi quedará como se muestra abajo

Ejemplo:

Matriz Aumentada

Determinante de la Matriz de Coeficientes (matriz del sistema)

Determinantes de las Matrices asociadas:

│A1 │ ó │ Ax │

│A2 │ ó │ Ay │

│A3 │ ó │ Az │

Soluciones a: x, y, z ó x1,x2,x3

REFERENCIAS INFORMÁTICAS (textos):

•Cárdenas, Humberto y Emilio Luis R., y Francisco Tomas. ÁLGEBRA SUPERIOR. Editorial Trillas, 2002.

•Frank S Budnick. MATEMÁTICAS APLICADAS PARA ADMINISTTRACIÓN, ECONOMÍA Y CIENCIAS SOCIALES. Editorial Mc Graw Hill.

•Haeussler, Ernest F.. MATEMÁTICAS PARA LA ADMINISTRACIÓN, ECONOMÍA, CIENCIAS SOCIALES Y DE LA VIDA. Editorial Prentice Hall.

•Reyes Guerrero, Araceli. ÁLGEBRA LINEAL. Editorial Thomson, 2005.

•Richar Hill. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Prentice Hall.

•Stanley I Grossman. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Mc Graw Hill