SISTEMAS DE COLAS

Las colas son también llamadas Líneas de Espera y estas son parte de la vida. El fenómeno de la espera es el resultado de la aleatoriedad en la operación de las instalaciones de servicio. En lo general, la llegada del cliente y su tiempo de servicio no se conocen con anticipación; pero por otra parte, la operación de las instalaciones se podría programar en forma tal que eliminaría la espera por completo.

La Teoría de Colas es el estudio de la espera en las distintas modalidades, dicha teoría cuenta con modelos matemáticos para representar los tiempos de sistemas de colas que surgen en la práctica. Sus elementos esenciales son el cliente y el servicio.

El análisis basado en esta teoría contribuye a la toma de decisiones respecto al manejo y la asignación de recursos que una empresa necesita poner a disposición de los clientes para satisfacerles un servicio.

El estudio de las líneas de espera trata de cuantificar el fenómeno de esperar formando colas, mediante medias representativas de eficiencia, como la longitud promedio de la cola, el tiempo promedio en ella, y la utilización promedio de las instalaciones. 

Los objetivos de la teoría de colas son los siguientes:

-Evaluar el impacto que las alternativas de modificación de capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo. -Establecer un balance equilibrado, “óptimo”, entre las consideraciones cuantitativas de costos y las cualitativas de servicio. -Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el costo global del mismo. 

Un sistema de colas está compuesto por tres elementos, los cuales son:

1. Llegadas2. Líneas de Espera3. Servicio

El siguiente esquema nos mostrara los tres elementos anteriormente expuestos:

Las características de las llegadas al Sistema son las siguientes:* Los clientes se caracterizan por los intervalos de tiempo que separan sus llegadas.* La fuente de ingreso que genera los arribos (o clientes) para el servicio tiene tres características principales, las cuales son:1. Tamaño de la Fuente: El tamaño de la fuente puede ser finito, es decir, cuando se tienen pocos servidores y el servicio es restringido, por ejemplo, los pacientes en un Hospital. También pueden ser de una fuente infinita, es decir, cuando el número de clientes que llega en un momento dado es una pequeña parte de las llegadas potenciales,

como los aficionados a un partido del mundial de Fútbol, clientes en un supermercado, entre otros.2. Patrón de arribo al sistema: Este patrón puede darse bien de las siguientes forma:* Forma Programada* Forma aleatoria: Esto se refiere a que el número de arribos por unidad de tiempo se estiman por medio de la Distribución de Poisson. 3. Comportamiento de las llegadas: Lo anterior nos refiere al comportamiento de los clientes, ya sea la espera para recibir un servicio, o el retirarse sin obtener el servicio con tal de no esperar.Las características del segundo elemento de un sistema de colas son las siguientes:* La longitud de la cola: La longitud de cola puede ser limitada si, por aspectos físicos, no puede incrementarse a tamaños infinitos. Por el contrario encontramos que el tamaño de la cola no tiene restricciones, como es el caso de una caseta de peaje, se dice que es ilimitada o infinita.* Disciplina de cola: Nos refiere al orden en el que los clientes se seleccionan de la cola; se caracteriza por el tipo y tiempo de servicio, y también por el número de servidores. De acuerdo a esto se tiene: 

* Disciplina PEPS: La cual se refiere a que el primero que entra será el primero en salir. * Disciplina UEPS: Nos indica que el primero que entra será el último que sale.* SIRO: Es una selección de clientes de forma aleatoria. En el servicio el cual es el tercer elemento en el Sistema de Colas pueden varias los tiempos de servicio los cuales pueden ser deterministicos o aleatorios. Tiene dos propiedades básicas que son:1. Configuraciones básicas para el servicio: Los sistemas para el servicio son clasificados en función del número de canales o servidores, y el número de paradas que deben hacerse durante el servicio. 2. Patrón del Tiempo de Servicio: Puede ser constante, si toma la misma cantidad de tiempo atender a cada cliente; o aleatorio, el cual se determina por una distribución exponencial negativa.Podemos encontrar estructuras típicas de sistemas de colas, tales como:

* UNA LINEA-UN SERVIDOR.

* UNA LINEA-MULTIPLES SERVIDORES

* VARIAS LINEAS-MULTIPLES SERVIDORES

* UNA LINEA-SERVIDORES SECUENCIALES

En los sistemas de colas normalmente se asume son aleatorios tanto las llegadas de clientes como los tiempos de servicio.Es usual suponer que los tiempos entre llegadas y los de servicio se distribuyan de forma exponencial. En este caso, la probabilidad instantánea de ocurrencia de un suceso en la siguiente “t” unidades de tiempo es:f(t) = e-t ; para t 0 , Donde denota la tasa de llegadas Una distribución exponencial de los tiempos entre llegadas nos indica que es una

distribución de Poisson para las llegadas, Poisson describe la probabilidad de que llegue “n” clientes en la siguiente “t” unidades de tiempoEn general se supone que el sistema se encuentra en estado estacionario, con estabilidad independiente del tiempo.MODELO DE COLAS DE POISSON GENERALIZADO.

El desarrollo del modelo generalizado de Poisson se basa en el comportamiento a largo plazo, o de estado estable, de la cola que se alcanza después de que el sistema ha estado funcionando durante un tiempo suficientemente largo.En el modelo generalizado supone que las frecuencias tanto de llegadas como de salida dependen del estado, y eso quiere decir que dependen de la cantidad de clientes en la instalación del servicio. Las líneas de espera que combinan salidas y llegadas se inician en condiciones transitorias y llegan gradualmente al estado estable después de haber transcurrido un tiempo lo suficientemente grande, siempre que los parámetros permitan se alcance el estado estable. Se dice que el sistema se encuentra en el estado “n” si existen exactamente “n” clientes en el mismo.El objetivo final de analizar situaciones de espera consiste en generar medidas de desempeño para evaluar sistemas reales. 

Definiremos lo siguiente:* n: Cantidad de clientes en el sistema (en la cola y en el servicio).* n: Frecuencia de llegada cuando hay “n” clientes en el sistema.* μn: Frecuencia de salida cuando hay “n” clientes en el sistema.* Pn: Probabilidad de estado estable de que haya “n” clientes en el sistema.* P0: Probabilidad del Sistema.Ecuaciones de balance de flujo, nos refiere a la tasa esperada de llegada al estado “n” es igual a la tasa esperada de salida del estado “n” en estado estacionario; así:P0λ0= P1μ1P0λ0+ P2μ2= P1λ1+ P1μ1P0λ0+ P3μ3= P2λ2+ P2μ2Pn-1λn-1+ Pn+1μn+1= Pnλn+ Pnμn Pn-1λn-1+ Pn+1μn+1=Tasa esperada de flujo hacia el estado nPnλn+ Pnμn = Tasa esperada de flujo que sale del estado n Las ecuaciones de balance se resuelven recursivamente en función de Po como sigue: Para n = 0P1=λ0μ0P0P2=λ0λ1μ0μ1P0Pn=λn-1… λ0λ1μn… μ0μ1P0Para Calcular P0 (probabilidad de que el sistema se encuentre vacio), en General tenemos lo siguiente:P0+ P1+P2+ …+ Pn+ …=1Es decir que: n-1αPn=1COLAS ESPECIALIZADAS DE POISSON

Son modelos para líneas de espera que representa la situación especializada de Colas de

Poisson con c servidores paralelos idénticos y en donde cada modelo de los que se analiza se describe en términos de la notación extendida por Kendall.Un cliente es espera se selecciona de la cola para iniciar su servicio en el primer servidor disponible. La frecuencia de llegadas al sistema es λ clientes por unidad de tiempo. Todos los servidores están en paralelo y son idénticos, lo que quiere decir que la tasa de servicio en cualquier servidor es µclientes por unidad de tiempo. La cantidad de clientes en el sistema incluye, por definición, los que hay en servicio y los que están en cola.NOTACION GENERAL PARA LAS CARACTERISTICAS DE LA SITUACION GENERAL DE COLASLa notación general para la situación general de colas es:(a/b/c): (d/e/f)Donde:a: Describe la distribución de llegadasb: Describe la distribución de salidas (tiempos de servicio)c: Numero de servidores paralelos ( =1,2,…∞ )d: Disciplina de colae: Número máximo (finito o infinito) permitido en el sistema (en cola y servicio)f: tamaño de la fuente demandante (finito o infinito)La notación estándar para representar las distribuciones de llegadas y salidas es:M: Distribución de llegadas o salidas Markovianas (o de Poisson) o, de forma equivalente, distribución entre llegadas o de tiempo de servicio exponencial.D: Tiempo constanteEk: Distribución de Erlang o gama del tiempo o suma de distribuciones exponenciales independientesGI: Distribución general del tiempo entre llegadasG: Distribución general del tiempo de servicioEn el caso de la representación de la Disciplina de Colas se utiliza la notación mencionada anteriormente:PEPS: primero que llega, primero que se atiendeUEPS: último que llega, primero que se atiendeSIRO: Servicio de orden aleatorioGD: disciplina general (cualquier tipo de disciplina)Por ejemplo, para representar un sistema de colas de la entrada de vehicular a una escuela con gran cantidad de alumnos, la cual tiene un solo acceso y a la que los autos que llegan siguen una distribución de Poisson; mientras cada uno de éstos llega a la entrada de la escuela espera en la calle. La representación sería: (M/M/1):(GD

MEDIDAS DE RENDIMIENTO DE ESTADO ESTABLE

Estas medidas de desempeño se pueden usar para analizar la operación de las líneas de espera con el fin de hacer recomendaciones sobre el diseño del sistema. Entre las principales medidas de desempeño se encuentran: Ls= numero esperado de clientes en el sistema.Lq= numero esperado de clientes en la cola.Ws= tiempo estimado de espera en el sistema.Wq= tiempo estimado de espera en la cola.

λ = Tasa de llegada.µ = Tasa de salida1/λ = Tiempo promedio entre llagadas1/µ = Tiempo promedio requerido por el sistema¯c = Numero de servicios ocupados.c = Numero de servidores ρ = Factor de utilización del prestador del servicio o intensidad del tráfico (proporción del tiempo en que el prestador del servicio trabaja).Nota: el sistema abarca tanto la cola como el servicio.* Relaciones entre medidas de rendimiento.

* Ls= n=0∞nPn* Ls= λeff*Ws* Ls= Lq+λeffμ* Lq= n=c+1∞(n-c)Pn

*Lq= λeff*Wq* Wq= Ws- 1μ* Ws= Wq+ 1μ* Ws= Lsλeff* ¯c = Ls- Lq=λeffμ= ρ 

Suponga una población de clientes infinita y una cantidad limitada de espacio de espera en la fila. El tiempo total que un cliente invierte en el sistema es la cantidad de tiempo invertido en la fila más el tiempo durante el cual es atendido:Tiempo promedio en el sistema = tiempo de espera + tiempo de servicioEjemplo:Suponga que usted observa una peluquería los sábados en la mañana y encuentra que los clientes aparecen como un proceso de Poisson y que la rata de llegada es de 5 por hora. Además que todos los clientes que llegan esperarán hasta ser atendidos. Suponga ahora que la atención en la peluquería por tiempo es aproximadamente exponencial y en promedio dura 10 minutos cada corte de pelo etc.Al modelar la anterior información como M / M / 1 se tiene que:= 5 clientes por hora= 6 clientes por hora

Lo anterior nos da = 5/6 y de acuerdo con la teoría 

Es el número esperado de clientes en la peluquería incluyendo el que está en la silla.

Es el número de clientes esperando sentados para ser peluqueados. 

Es el número esperado de clientes en la cola dado que la peluquería no está vacía. Ahora = 1- = 1/6 significa que el 16,7 % del tiempo permanece ocioso el sistema o que un cliente que llegue encuentre vacía la peluquería.1 - = 0,833 representa que el 83.3 % de los clientes deben esperar antes de ser atendidos por el peluquero.MODELOS DE UN SOLO SERVIDOR

Modelo (M/M/1): (DG//) Este es un modelo de servidor único sin límites en la capacidad del sistema o de la fuente de llamadas, con llegadas y salidas de Poisson con tasa medias λ y µ. Se supone que las tasas de llegadas son independientes del número en el sistema; o sea, λn=λ para toda n. similarmente, se supone que el servidor único en el sistema completa el servicio a una tasa constante; ósea que µn=µ para toda n.Podemos decir que:Definiendo ρ = λµ obtenemos la siguiente fórmula general para este modelo:Pn = (1- n ; n = 0,1,2,..que es una distribución geométrica, donde además p0 = 1- ρ .El requisito matemático de que 1 necesario para garantizar la convergencia de la serie geométrica (1 + + 2 + , conduce a un elemento intuitivo. O sea 1 significa que lo que establece que la tasa de llegadas debe ser estrictamente menor que la tasa de servicio en la instalación, para que el sistema alcance estabilidad.Para este modelo las medidas de básicas de desempeño se calculan de la siguiente forma:* * λeff= λ* λperdida=0* ρ= λ/µ* Ls= ρ1-ρ* Lq= ρ21-ρ=λWq* Ws= 11-ρµ=Ls/λ* Wq= 11-ρµ* Pn= 1-ρρn* P (Ls>n)=ρn+1* P (Ws>t)=eµ1-ρt* P (Wq>t)=e-µ1-ρt* t≥0* ρ<1

Modelo (M/M/1): (DG/N/)La única diferencia entre este modelo y el Modelo (M/M/1): (DG//) es que el número máximo de clientes permitido en el sistema es N (longitud máxima de la línea de espera = N - 1). Esto significa que cuando haya N clientes en el sistema, se impiden todas las nuevas llegadas o no se les permite unirse a la línea de espera. Entre los ejemplos de este caso se encuentran los de manufactura en donde una maquina puede tener un área limitada de reserva y una ventana de servicio para un carril de autos.En términos del modelo generalizado esta situación se traduce en:

Haciendo ρ=λ/µ, obtenemos que:

El valor de Po se determina con la ecuación siguiente:n=0NPn=1O bien de la siguiente forma:

Las formulas para Pn pueden resumirse como:

Para este modelo no se hace necesario que 1 pues el número de unidades en el sistema está controlado por la longitud de la línea de espera (= N-1).Usando el valor anterior de pn, encontramos que el número esperado de unidades en el sistema se calcula como sigue:Ls= 1- N+1) N + N N+1] / 1- 1- N+1 ; 1Ls = N / 2 ; 1Las medidas Lq, Ws y Wq se pueden calcular a partir de Ls, una vez que se determina la tasa efectiva de llegadas ef de la forma siguiente: e, f = 1-pn)Usando Ls y ef obtenemos las formulas para calcular, Lq, Wq y Ws:* Lq = Ls- e, f Ls - 1-pN ) pN = Probabilidad de que una unidad no sea capaz de unirse al sistema.* Wq = Lq / e, f = Ls / 1-pN * Ws = Wq +1/ = Ls / 1-pN

MODELO DE SERVIDORES MÚLTIPLES

Modelo (M/M/c) : (DG//) En este modelo los clientes llegan a una tasa constate λ y un máximo de clientes “c” que pueden ser atendidos simultáneamente. La tasa de servicio por servidor activo es también constante e igual a µ. El efecto último de usar “c” servidores paralelos es acelerar la tasa de servicio al permitir servicios simultáneos. Si el número de clientes en el sistema, n, es igual o excede a “c”, la tasa de servicio es igual a nµ. Así, en términos del modelo generalizado, tenemos que:

Si ρ=λ/µ, y suponiendo que ρ/c < 1, el valor de Po se determina con n=0∞Pn= 1, lo que resulta en: 

Se puede determinar cómo sigue la ecuación para Lq:Lq= ρc+1c-1!(c-ρ)2PoComo λeff=λ, entonces:Ls=Lq+ρWs= Wq+ 1μWq= Lqλeff.Modelo (M/M/c): (DG/N/), c N Esta situación de espera difiere de la anterior pues se impone un límite N sobre la capacidad del sistema (es decir, tamaño máximo de la línea de espera = N-c). En términos del modelo generalizado, λ n y µ n para el modelo actual están dadas por:

Sustituyendo λ n y µ n en la ecuación anterior y observando que ρ=λ/µ, se obtiene:

En donde Po es:

Nótese que la única diferencia entre Pn en este modelo y (M/M/c): (DG/∞/∞) ocurre en la

expresión de Po. Obsérvese que el no de uso ρ/c no necesita ser menor que 1.A continuación, calculamos Lq:

Se puede demostrar que para ρ/c = 1, Lq se reduce a:

Para determinar Wq, y en consecuencia Ws y Ls, se calcula el valor de λeff como sigue:λperdido= λPnλeff= λ-λperdido=(1-Pn) λModelo de autoservicio (M/M/): (DG//) En este modelo el número de servidores es ilimitado porque el cliente mismo es también el servidor. Este es normalmente el caso en los establecimientos de autoservicio. Un ejemplo característico es hacer la parte escrita de la prueba de manejo para obtener la licencia. Las gasolineras de autoservicio y los cajeros automáticos no caben en la descripción de este modelo, porque en esos casos las bombas de gasolinera y los cajeros son los servidores. En el modelo se supone una llegada Una vez más en términos del modelo generalizado se tiene:

La sustitución directa en la expresión de Pn produce la siguiente fórmula:

Ya que n=0∞Pn=1, se deduce que:

Como resultado:

Que es de Poisson con promedio Ls=ρ. Como era de esperar, Lq=Wq=0, porque es un modelo de autoservicio. 

MODELO DE SERVICIO DE MÁQUINAS

(M/M/R): (DG/K/K), R >k En este modelo se supone que se dispone de R técnicos en reparaciones para dar servicio a k máquinas. Como una maquina descompuesta no puede generar nuevas llamadas mientras esta en servicio, el modelo es ejemplo de una fuente de llamadas finita. Este modelo se diferencia de todos los demás ya que tiene una fuente finita de clientes. Eso se puede visualizar que cuando todas las maquinas de un taller se encuentran descompuestas, no se pueden generar más llamadas o solicitudes.R = número de reparadores.λ= tasa de descomposturaK = número de máquinas.L = número esperado de máquinas descompuestas.Lq = número esperado de máquinas que esperan para ser reparadas.W = tiempo promedio que está descompuesta una máquina.Wq = tiempo promedio que espera una máquina antes de empezar a repararse.Dado que la frecuencia de descompostura por maquinas es λ, la frecuencia de descompostura en todo el taller es proporcional a la cantidad de maquinas que están funcionando Si se define como la tasa de descompostura por máquina, se tiene:

En términos del modelo generalizado, tenemos que:

Entonces, para el modelo generalizado se puede obtener:

Donde Po es:

En este modelo es difícil obtener una forma cerrada de Ls, y en consecuencia, se debe de calcular a partir de la siguiente definición:

El valor de λeff se calcula como sigue:λeff=λ(K-Ls)Se puede calcular Ws, Wq y Lq con * Lq= ρ21-ρ=λWq* Ws= 11-ρµ=Ls/λ* Wq= 11-ρµMODELO POLLACZEK-KHINTCHINEEste modelo no proporciona una ecuación cerrada par Pn debido a que no se puede manejar en forma analítica. Sea λ la frecuencia de llegadas a la instalación con un servidor(P-K) se obtiene para una situación de un solo servidor con base en las tres hipótesis siguientes:* Las llegadas son de Poisson con tasa igual a λ.* La distribución de tiempos de servicio es general con media y varianza .* Las condiciones de estado estable prevalecen con .Mediante complicados análisis de probabilidades y cadenas de markov, obtenemos que:

La probabilidad de que la instalación este vacía se calcula como:

Como λeff = λ, las medidas de desempeño se calcularan como:

* Lq= ρ21-ρ=λWq* Ws= 11-ρµ=Ls/λ* Wq= 11-ρµ

MM1 GD881. En un servidor de la universidad se mandan programas de ordenador para ser ejecutados Los programas llegan al servidor con una tasa de 10 por minuto. El tiempo medio de ejecución de cada programa es de 5 segundos y tanto los tiempos entre llegadas como los tiempos de ejecución se distribuyen exponencialmente.a) ¿Qué proporción de tiempo está el servidor desocupado?b) ¿Cuál es el tiempo esperado total de salida de un programa?c) ¿Cuál es el número medio de programas esperando en la cola del sistema?

Solución.El sistema es M/M/1 contrabajos /minuto trabajos / minuto. 

Se asumirá que el sistema es abierto y que la capacidad es infinita. Como , el sistema alcanzará el estado estacionario y se pueden usar las fórmulas mencionadasa) El servidor estará desocupadodel total, esto es, 10 segundos cada minuto (ya que el ordenador está ocupado segundos por minuto).b) Tiempo medio total es minuto por programa.c) El número medio de programas esperando en la cola es 

2. Suponga una clínica a la cual llegan en promedio 3 pacientes por hora, se tiene una capacidad para atender en promedio a 8 pacientes por hora. Determine:a) tiempo que esperan los pacientes en la colab) tiempo que esperan los pacientes en el sistemac) la probabilidad de que un paciente espere 15 min en la colaλ=3μ=8ρ=3/8Desarrollo:Wq=ρμ(1-ρ)Wq=388(1-38)Wq=0.075 hrs.Ws=1μ(1-ρ)Ws=18(1-38)Ws=0.2 hrsP(Wq>t)=ρe-μ1-ρtP(Wq>t)=38e-81-3814P(Wq>t)=0.1074

3. Suponga un restaurante de comida rápida con 1 despachador, los clientes llegan con una distribución de poisson y su taza de llegada es de 5 clientes por minuto y de pueden atender a 7 clientes por minuto, con estos datos determine:a) Número esperado de clientes en el restaurante incluya al que esta siendo atendido.b) Número de clientes que esperan en la colac) El tiempo que espera en cola d) La probabilidad de que el cliente encuentre vacío el restaurantee) La probabilidad de que el cliente espere mas de 5 minutos en sistema

λ=5μ=7ρ=5/7DESARROLLO:a) Ls=ρ1-ρLs=571-57Ls=2.5 clientes.b) Lq=ρ21-ρLq=5721-57Lq=1.79 clientes

c) Wq=ρμ(1-ρ)Wq=577(1-57)Wq=0.357 mind) Pn=0=(1-ρ)ρnPn=0=(1-57)57n

Pn=0=0.2857e) P(Wq>t)=ρe-μ1-ρtP(Wq>t)=57e-μ1-5714P(Wq>t)=0.000032

MM1 GDN8 En un negacio de lavados para autos . Los autyos llegan con una distribución de poisson , con 4 autos por hora , el tiempo para lvar y limpiar un auto es exponencial, con 10 minutos de promedio,suponga que tiene un total de cuatro vajones y que cuando estos se llenan los clienes se van para otro lado. Determinea) La probabilidad de que un automóvil que llegue pase de inmediato al lavado.b) El tiempo estimado de espera que se inicie un servicioc) Cantidad esperada de cajones de estacionamiento vacionDesarrollo}λ= 4autos/horµ=6 autos/ hrρ=λ/µ = 0.667N= 4 + 1 =5a) Po= 1-0.6671-ρ5+1 =0.3654b) Wq=0.6676(1-0.667)

(M/M/∞);(GD/N/∞)

Ejercicio:A los conductores nuevos se les pide pasar un examen por escrito, antes de hacer las pruebas de manejo. Los exámenes escritos suelen hacerse en el departamento de policía de la ciudad. Los registros de la ciudad de Springdale indican que la cantidad promedio de exámenes escritos es de 100 por día de 8 horas. El tiempo necesario para contestar el examen es de 30 minutos, mas o menos. Sin embargo, la llegada real de los aspirantes y el tiempo que tarda cada uno en contestar son totalmente aleatorios. Determine:a) La cantidad promedio de asientos que debe tener el departamento de policía en el salón de exámenes.

b) La probabilidad de que los aspirantes rebasen la cantidad promedio de asientos que hay en el salón de exámenes.

a) Ls=ρLs=10082Ls=6.25

Ls=7 asientosb) P(n≥8)=1-P(n≤7)P(n≥8)=1-n=07ρne-ρn!P(n≥8)=0.2911

Varios servidores (M/M/C);(GD/∞/∞)1. Calcule la cantidad mínima de servidores en paralelo necesarios en cada uno de los siguientes casos (llegadas y salidas de poisson) para garantizar que el funcionamiento de la cola se estable es decir, que la longitud de la cola no crezca de forma indefinida. a) Los clientes llegan cada 5minutos, y son servidos a una tasa de 10clientes por hora.b) El tiempo promedio entre llegadas es 2 minutos, y el tiempo promedio de servicio es 6 minutos.λ=605 λ=12 clientespor horaμ=10 clientes por horac>λμc>1210c>1.2c=2 servidores

λ=602λ=30 clientes por horaμ=606μ=10 clientes por horac>λμc>3010c>3c=4 servidores

2. El centro de computo de la U de A tiene cuatro computadoras principales idénticas. La cantidad de usuarios en cualquier momento es de 25. Cada usuario puede solicitar un trabajo por una terminal, cada 15 minutos en promedio, pero el tiempo real entre solicitudes es exponencial. Los trabajos que llegan pasan en forma automática a la primera computadora disponible. El tiempo de ejecución por solicitud es exponencial, con un promedio de 2 minutos. Calcule lo siguiente:a) Porcentaje del tiempo durante el cual el centro de computo esta inactivob) La cantidad promedio de trabajos que esperan su procesamiento.c) El tiempo promedio en el que el usuario obtiene sus resultados.

λ=25(6015)λ=100 trabajos por horaμ=602μ=30 trabajos por horaP0=n=0310030nn!+1003044!11-100304P0=0.0213Lq=ρc+1c-1!c-ρ2P0Lq=100304+14-1!4-1003020.0213

Lq=3.29 trabajosws=Lsλws=Lq+ρλ3. Una pequeña oficina de correos tiene dos ventanillas abiertas. Los clientes llegan siguiendo una distribución de Poisson con la frecuencia 1cada 3 minutos. Sin embargo solo el 80% deben ser atendidos en las ventanillas. El tiempo de servicio a los clientes es exponencial, con 5 minutos de promedio. Asi ese 80% de los clientes que llegan se forman en una cola y llegan a las ventanillas disponibles en disciplina PLPS.a) Cual es la probabilidad de que un cliente que llegue deba esperar en la filab) Probabilidad de que las dos ventanillas estén vaciasc) Longitud promedio de la cola 

λ=0.8(603)λ=16clientes por horaμ=605μ=12clientes por horaC=2Pn≥2=1-P0+P1P0=n=011612nn!+161222!11-16122-1P0=0.2Pn=1=161211!P0Pn=1=0.2667Pn≥2=1-0.4667Pn≥2=0.5333P0=n=011612nn!+161222!11-16122-1P0=0.2Lq=ρc+1c-1!c-ρ2P0Lq=16122+12-1!2-16301220.2Lq=1.0667 clientes