Modelado de Teoría de Colas y sistemas de Telecomunicaciones

Ing. Orlando Philco A. MSc.

INVESTIGACIÓN OPERATIVA

Hoy las nuevas tecnologías están ampliamente diversificadas; lo que además hapuesto énfasis en la necesidad de compartir recursos, desde fuentes de energíahasta los servidores de centros de datos.

La optimización requerida en las redes de telecomunicaciones va por lanecesidad de mejorar la utilización de un recurso que se agota y destinarlo a unusuario sólo por determinados tiempos de conexión según sea su demanda, loque lleva también una optimización en los costos involucrados en los modelos deasignación de éstos para determinar una valorización de los servicios.

El continuo aumento en el númerode usuarios y dispositivos quecomparten estos recursos, le hadado un vuelco insospechado a lastelecomunicaciones modernas. Noobstante, en sus inicios, éstas nohabrían podido existir sin la Teoríade Colas.

Naturaleza compleja del tráfico en las redes de telecomunicaciones

• Tráfico combinado de diversas clases: voz, video, datos.

• Distintos modos de conmutación:

• Conmutación de circuitos.

• Conmutación de paquetes.

• Variedad de dispositivos de gestión y control de tráfico.

• Distintos métodos de gestión de tráfico:

• FIFO. (First In First Out, primero en entrar, primero en salir)

• Prioridades.

• Leaky bucket, Token bucket. (Algoritmos que evitan que el tráfico llegue aniveles inaceptables de congestión).

• Aleatoriedad en los procesos de demanda de servicios.

• Aleatoriedad en el proceso de circulación de paquetes.

• Aleatoriedad en las duraciones de las conexiones.

• Aleatoriedad en los tiempos de respuesta de los dispositivos.

Objetivos del diseño de un sistema de telecomunicaciones

• Ofrecer un servicio de calidad dentro de las restricciones físicas,tecnológicas o económicas a que esté sujeto el sistema.

Para cuantificar la calidad es preciso medir una serie de parámetrosde interés:

• Throughput

• Retardo

• Tasa de pérdidas

• Variabilidad en el retardo (Jitter)

• Modelos matemáticos: Teoría de Colas.

• Modelos de simulación

Parámetros para cuantificar la QoS

• Throughput: Aprovechamiento real del ancho de banda disponible.

• Retardo: ƒEn conmutación de circuitos, tiempo que tarda el usuario entener un circuito disponible. ƒEn conmutación de paquetes, tiempo deespera a que se someten los paquetes de una conexión por tener quecompartir los recursos de la red con paquetes de otras conexiones.

• Tasa de pérdidas: Clientes que no consiguen acceder al sistema porestar todos sus recursos ocupados; proporción de paquetes que sepierden por desbordamiento de los buffers de una red.

• Variabilidad en el retardo (Jitter): Aplicaciones como lavideoconferencia son muy sensibles a esta variabilidad. Necesidad deconstruir modelos de los sistemas que clarifiquen las relaciones entrela calidad de servicio y la configuración de los recursos del sistema

• Modelos matemáticos: Teoría de Colas.

• Modelos de simulación

Teoría de Colas

Se ocupa del estudio de las colas de espera, con un alcance másgeneral que los sistemas de comunicaciones cuyo objetivo es elestudio de sistemas compuestos, por una o más unidades,llamadas servidores, encargados de realizar las tareasencomendadas por otras unidades, llamadas clientes, con laparticularidad de que si durante algún intervalo de tiempo lallegada de clientes supera la capacidad de procesamiento delsistema, dichos clientes permanecen en cola hasta que seanservidos.

Cuestiones que pueden consistir simplemente en la evaluación decaracterísticas de un sistema ya establecido (por ejemplo: tiempode espera de los clientes en cola, número medio de clientes encola, número medio de servidores del sistema que están ocupadosen cada momento, etc.)

• Por Ejemplo:

En el contexto particular de los sistemas de conmutación depaquetes, los clientes son los paquetes o mensajes generadospor alguna fuente (datos, voz, video, etc.); los servidores sonlos canales a través de los cuales deben ser enviados estospaquetes o mensajes.

Las colas se forman en los buffers disponibles en losconmutadores o multiplexores, donde los mensajes debenesperar a que se libere el canal correspondiente para poder sertransmitidos.

Campos de Aplicación de Teoría de Colas

Se puede resolver un buen número de cuestiones que se planteanen el contexto de estos sistemas; cuestiones que pueden consistirsimplemente en la evaluación de características de un sistema yaestablecido (por ejemplo: tiempo de espera de los clientes en cola,número medio de clientes en cola, número medio de servidoresdel sistema que están ocupados en cada momento, etc.), o bien enel diseño de un sistema del que se desea que cumpla ciertosparámetros de calidad sobre dichas características.

Campos de Aplicación Teoría de Colas

Los campos de aplicación de laTeoría de Colas en la Ingeniería deTelecomunicación, puede agruparseen las siguientes grandes áreas:

• Análisis y diseño de protocolos decomunicación.

• Control y gestión de recursos enredes de telecomunicaciones.

• Dimensionado de redes decomunicación.

• Modelado del tráfico que circulapor las redes: voz, video y datos.

Erlang

En sentido estricto un Erlang representa el uso continuo de un canalde voz; pero en la práctica se emplea para medir el volumen detráfico en una hora.

• Por ejemplo, Si un grupo de personas hacen 30 llamadas en unahora y cada llamada tiene una duración de 5 minutos, dicho grupoha tenido un tráfico de 2,5 Erlangs. Esta cifra resulta de lo siguiente:

• Minutos de tráfico en una hora = número de llamadas x duración

• Minutos de tráfico en esa hora = 30 x 5

• Minutos de tráfico en esa hora = 150

• Horas de tráfico por hora = 150 / 60

• Horas de tráfico por hora = 2.5

• Valor del Tráfico = 2.5 Erlangs

Tabla de Erlang B

CARACTERÍSTICAS DE UN SISTEMA DE TEORÍA DE COLAS

Numero de Servidores• Forma de arribo y servicio• Comportamiento de la línea

Medición del Sistema

Promedio del número de clientes en espera• tiempo promedio de espera del cliente• Utilization del sistema

Número de Servidores

Un servidor

Multiples servidores

Multiples Servidoressencillos

Forma de llegada

Usualmente se asume una distribución Poisson:

Distribuciones de variable discreta. Susprincipales aplicaciones hacenreferencia a la modelización desituaciones en las que nos interesadeterminar el número de hechos decierto tipo que se pueden producir enun intervalo de tiempo o de espacio,bajo presupuestos de aleatoriedad yciertas circunstancias restrictivas.

Una variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson, si su función deprobabilidades está dada por:

Donde e es la base de los logaritmos naturales y el promedio de ladistribución, la cual debe ser mayor que cero. (e = 2,71828 ...)

Tiempo de Servicio

Una distribución exponencial es asumida:

Service Time

Relative Frequency (%)

Si se considera que:1. La esperanza de ocurrencia de unevento en un intervalo es la mismaque la esperanza de ocurrencia delevento en otro intervalocualesquiera, sin importar dondeempiece el intervalo.2. Que las ocurrencias de loseventos son independientes, sinimportar donde ocurran3. Que la probabilidad de queocurra un evento en un intervalo detiempo depende de la longitud delintervalo.4. Que las condiciones delexperimento no varían, y5. Que nos interesa analizar elnúmero promedio de ocurrenciasen el intervalo.

Entonces se puede afirmar, que la variablealeatoria mencionada en los fenómenosdescritos es una variable de Poisson.

Comportamiento de la linea de espera

Primeras entradas – Primeras Salidas (FCFS, FIFO):

Prioridades Multiples:

Algunos Modelos

1. Un servidor, tiempo de servicio exponencial (M/M/1)

2. Un servidor, tiempo de servicio general (M/G/1)

3. Servidores múltiples, tiempo de servicio exponencial (M/M/s)

Nomenclatura A / B / s

Distribución Distribución Número de

De llegada de servicio Servidores

dondeM = distribución exponencial (“Markovian”)D = determinística (constante)G = distribución general

Existe una clasificación estándar para identificar los modelos de colas, según sus

características o propiedades. Esta clasificación se aplica a modelos de servicio

único prestado por una o varias estaciones. Los modelos se identifican mediante

la siguiente convención, en letras:

Donde las letras o campos se usan según la siguiente convención:

A = En esta campo se coloca la distribución del tiempo entre llegadasB = En este campo se especifica la distribución del tiempo de servicioC = Se usa para identificar el número de estaciones de servicio, en paraleloD = Se especifica la prioridad del sistema. Por defecto se supone que es FIFO.E =Indica la capacidad de sistema (Por defecto se supone que es limitada)F = Tamaño de la fuente (Por defecto se asume que es ilimitada)

Para especificar la distribución del tiempo entre llegadas y del tiempo se servicio se usa lasiguiente convención:

• M = Distribución exponencial• G = Distribución general• Ek = Distribución de Erlang• D = Distribución constante

A veces la clasificación es simplemente A/B/C, y si es del caso se especifica con palabras alguna otra propiedad del sistema.

Ejemplo: M/M/5: (FIFO/∞/∞)Ejemplo: M/M/1: (FIFO/10/∞)Ejemplo: M/M/s: (FIFO/M/M)Ejemplo: M/G/1

Principales parámetros usados en los modelos de colas:

= Tasa o número de llegada del cliente

m = tasa o número de servicio (1/m = tiempo de servicio promedio)

s = número de servidores

m = Tamaño de la fuente (número máximo de clientes que pueden llegar al sistema)

N = Capacidad del sistema (número máximo de clientes que pueden haber en el sistema

en cualquier instante)

Se calcula

Lq = número promedio de clientes en la línea (en la cola)

L = número promedio de clientes en el sistema

Wq = tiempo promedio de espera de un cliente en la línea

W = Tiempo pormedio de espera (incluyendo tiempo de servicio)

Pn = Probabilidad de tener n clientes en el sistema

r = Utilización del sistema

Conceptos basicos

Las siguientes ecuaciones se aplican para todos los tipos de modelos

• Utilización del sistema

• Número promedio de clientes en el sistema

• Tiempo promedio de espera en la línea

• Tiempo total de espera (incluyendo servicio)

r

sm

L Lq

m

Wq Lq

W Wq 1

m

Modelo 1 (M/M/1)

Formulas:

Probabilidad que el sistema este vacío:

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema:

Numero promedio en la línea de espera:

P0 1

m

Pn P0

m

n

Lq 2

m m

Estas formulas se aplican cuando µ> λ; esto es, la tasa promedio de servicio > tasapromedio de llegadas; o sea, cuando λ/µ < 1 ; en caso contrario la cola crece sinlimite, pues el servicio no tiene capacidad para manejar las unidades que llegan

Modelo 2 (M/G/1)

Número promedio en línea:

Probabilidad de que le sistema este vacio:

Caso especial: M/D/1

Lq 2 2 r2

2 1 r

P0 1

m

Lq 2

2m m

Formulas

Modelo 3 (M/M/s)

Formulas

Probabilidad que sistema este vacío :

Probabilidad de n clientes en el sistema:

Probabilidad de que un nuevo cliente vaya a esperar:

Numero promedio en línea:

P0 1

/ m n

n!

/ m s

s!(1 r)n0

s1

Pn

( / m)n

n!P0 for n 1 , s

/ m n

s!snsP0 for n s

Pw

m

sP0

s!(1 r)

Lq P0

( / m)s1

(s 1)!(s / m)2

Aplicación de teoria de Colas

Se pueden usar los resultados deteoria de colas para tomar lassiguientes decisiones:

Cuantos servidores usar

Usar un servidor rapido ovarios servidores lentos

Tener un servidor general o unservidor para una tareaespecífica

Objetivo:

Minimizar costo total = costo del servidor + costo de espera

Cost of

Service Capacity

Cost of customers

waiting

Total Cost

Optimum

Service Capacity

Cost

Resultados de simulación de red de telecomunicaciones

Mediante simulación, múltiples trabajos estiman cifras de eficiencia en el uso delrecurso espectral, mediante asignación dinámica, manteniendo reducidos objetivosde probabilidad de bloqueo. Sin duda al existir una asignación dinámica derecursos habrá una degradación de la QoS debido a la probabilidad de congestión,por ello los modelos de estimación y simulación del tráfico de datos, son de sumaimportancia, y existe mucha investigación al respecto. Se puede ver resultados dela simulación de los distintos esquemas de asignación para rutas entre nodos.

Resultado de simulación de teoría de ColasProblema:

Simulación del tiempo de espera de un cliente en la fila de un banco antes de que sea atendido

Tiempo Tiempo Tiempo del Tiempo de

Cliente llegada salida servidor espera

1 0.4 2.4 2 0

2 1.6 3.1 0.7 0.8

3 2.1 3.3 0.2 1

4 3.8 4.9 1.1 0

5 4.0 5.2 0.3 0.9

6 5.6 8.6 3 0

NA=0 (No. De clientes atendidos)

NNA=0 (No. De clientes no atendidos)

NS=1 (No. De servidores)

T=600 minutos (tiempo servicio)

L=20 (cantidad personas máximo en la fila)Dist. Poisson para llegadas

Dist. Exponencial para salida

S =0 (Estado del servidor)

Wq=0 (T. promedio espera en fila)

Lq=0 (T. promedio clientes en fila)

Tts=0 (Tiempo total del servicio)

Ttl=0 (Tiempo total de llegadas)

Tto=0 (Tiempo total)

Cf=0 (No. De clientes en la fila)

Inicio

S=0 No

Si

t. llegadas

4

4

Tto=Tto+Ttl

L<20 Si

No

cf=cf+1

NNA=NNA+1t. servicio

t>600

No

Fin de la simulación

NA=0 (No. De clientes atendidos)

NNA=0 (No. De clientes no atendidos)

t=600 minutos (tiempo servicio)

L=20 (cantidad personas máximo en la fila)Dist. Poisson para llegadas

Dist. Exponencial para salida

Wq=0 (T. promedio espera en fila)

Lq=0 (T. promedio clientes en fila)

tts=0 (Tiempo total del servicio)

tl=0 (Tiempo total de llegadas)

tt=0 (Tiempo total)

cf=0 (No. De clientes en la fila)

4

4

t. salidas

Dist. Exponencial

Para llegadas λ=4

Return

t. llegadas

Dist. Poisson para llegadas λ=4

Return

Conclusiones

• Se formulan modelos matemáticos que representan su operación ydespués se usan estos modelos para obtener medidas de desempeño.

• El ‘cliente’ es todo agente o individuo que inicia una petición a unservicio en específico. Forman parte de la cola, ya que son quienesparticipan de forma activa en el estudio de un sistema.

• En el campo de las telecomunicaciones, estos clientes serían paquetesde datos con todos los encabezados requeridos para la aceptación yoperación del servicio a solicitar. Los clientes necesitan ser analizadospor medio de una distribución estadística para dar información detiempos entre llegadas.

• El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporcionael balance correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a unhorario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que momento llegaránlos clientes. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo.

• Este análisis proporciona información vital para diseñar de maneraefectiva sistemas de colas que logren un balance apropiado entreel costo de proporcionar el servicio y el costo asociado con la espera porese servicio.

Conclusiones• La disciplina de la cola se refiere al orden en el que se seleccionan sus

miembros para recibir el servicio. Por ejemplo, puede ser:

FIFO (first in first out) primero en entrar, primero en salir, según la cualse atiende primero al cliente que antes haya llegado.

LIFO (last in first out) también conocida como pila que consiste enatender primero al cliente que ha llegado el último.

RSS (random selection of service) que selecciona los clientes de maneraaleatoria, de acuerdo a algún procedimiento de prioridad o a algún otroorden.

Processor Sharing Sirve a los clientes igualmente. La capacidad de la redse comparte entre los clientes y todos experimentan con eficacia elmismo retraso.

• En un caso típico de un servidor con varios dispositivos conectados; lavelocidad del servidor depende más que nada de las características de losdispositivos empleados, Si la velocidad es baja, el retardo crecerárápidamente conforme a la utilización. En el caso de que la velocidad seaalta, el retardo no subirá tan de golpe, sino hasta que alcance ciertoporcentaje de utilización en donde peligrará la saturación total del sistemaen caso de que haya un salto brusco de utilización.