1 Lic. Araujo Cajamarca, Raul Teora de colas 2 Lic. Araujo Cajamarca, Raul 3 Lic. Araujo Cajamarca, Raul 4 Lic. Araujo Cajamarca, Raul 5 Lic. Araujo Cajamarca, Raul 6 Lic. Araujo Cajamarca, Raul 7 Lic. Araujo Cajamarca, Raul 8 Lic. Araujo Cajamarca, Raul 9 Lic. Araujo Cajamarca, Raul 10 Lic. Araujo Cajamarca, Raul 11 Lic. Araujo Cajamarca, Raul 12 Lic. Araujo Cajamarca, Raul 13 Lic. Araujo Cajamarca, Raul 14 Lic. Araujo Cajamarca, Raul 15 Lic. Araujo Cajamarca, Raul 16 Lic. Araujo Cajamarca, Raul 17 Lic. Araujo Cajamarca, Raul 18 Lic. Araujo Cajamarca, Raul 19 Lic. Araujo Cajamarca, Raul Agradecimientos a: 20 Lic. Araujo Cajamarca, Raul Modelo de lneas de espera de un solo canal Sistema simple o M/M/1 Ejemplo 01 Los pacientes del consultorio llegan en forma aleatoria, de acuerdo con un proceso de Poisson. El consultorio puede atender a los pacientes con una tasa promedio de 5 personas por hora; el proceso deservicio tambin esPoisson. El promedio dellegadas de los pacientesesde4 por hora, el consultorio opera las 24 horas del dia. a)Cul es el tiempo (%) de que el servidor est ocupado? b)Cul es el tiempo (%) de que el consultorio est vaco? c)Cul es el nmero promedio de clientes en espera? d)Cul es el nmero promedio de clientes en espera? e)Cul es el tiempo promedio permanencia de un cliente en la cola? f)Cul es el tiempo promedio que un cliente permanece en el sistema? Solucin Tasa de arribo: =4/Hora Tasa de Servicio: =5/Hora 415= = 5 C >As debe haber 5 cajeros como mnimo de lo contrario explotar el nmero de clientes. A continuacin calcular para5;6;.... C = Cajeros EJEMPLO 03 JimMcDonald,GerentedelrestaurantedehamburguesasMcBurger,sabeque proporcionar un servicio rpido es la clave de xito. Es posible que los clientes que esperan mucho vayan a otro lugar la prxima vez. Estima que cada minuto que u cliente tiene que esperaantesdeterminarsuserviciolecuestaunpromediode30centavosennegocio futuro perdido. Por lo tanto, desea estar seguro de siempre tener suficientes cajas abiertas para que la espera sea mnima. Un empleado de tiempo parcial opera cada caja, obtiene la orden dl cliente y cobra. El costo total de cada empleado es de $9 por hora. 35 Lic. Araujo Cajamarca, Raul Durantelahoradelalmuerzo,losclientesllegansegnunprocesodePoisson aunatasa mediade66porhora.Seestimaqueeltiemponecesarioparaserviraunclientetiene distribucin exponencial con media de 2 minutos. Determine cuantas cajas debe abrir Jim durante este tiempo para minimizar su costo total esperado por hora. Frederick S. Hillier PP. 769 EJEMPLO 04 LacompaaGarret-TompKinstienetrescopiadorasparausodesusempleados.Sin embargo, debido a quejas recientes de la cantidad de tiempo que se pierden en espera de que se desocupe una copiadora, la gerencia planea agregar una o ms. Durante las 2000 horas de trabajo al ao, los empleados llegan al rea de copiados segn unprocesodePoissoncontasamediade40porhora.Secreequeeltiempoquecada empleadonecesitaunacopiadoratieneunadistribucinexponencialconmediade4 minutos. El costo promedio de la productividad perdida debido al tiempo que pasa un empleado en el rea de copiado se estima en 40$ por hora.La renta de cada copiadora es de 400$ por ao. Determinecuantascopiadorasdebetenerlacompaaparaminimizarsucostototal esperado por hora. Frederick S. Hillier PP. 769 36 Lic. Araujo Cajamarca, Raul NOMENCLATURA MODELO M/M/1/FIFO// MODELO M/M/C/FIFO// : tasa de uso de cada servidor U= =*Uc= ;=0P = Probabilidad de que no existan clientes en el sistema 01 P = 0101*! !n c cnPcn c c ==+; 0 1 1 10! 0! 1! ( 1)!n c cnn c == + + + nP = Probabilidad que n clientes estn en elsistema (1 )nnP = 0*!nnP Pn= ; n c s 0*( !)*nn n cP Pc c= ; n c >L =En promedio la cantidad de clientes en elSistema 1L= * L W =qL = Promedio de clientes en la cola 21qL= 10 21* *( 1)! ( )cqL Pc c+= W =Tiempo promedio transcurrido en el sistema 1W = 1qW W= +qW = Tiempo promedio de espera en la cola qW = qqLW=wP =Probabilidadque un cliente que llega deba esperar para ser atendido 01wP P= = =01* * *!cwcP Pc c= Probabilidad que un cliente espere en el sistema ms de t ( )( )tP W t e > =( 1 )01 1( ) ( )1!(1 )c t ctP eP W t eccc ( (+ > =( ( ( Probabilidad que tiene una unidad de que al llegar al sistema est ms de t en la cola (1 )( ) *tqP W t e > =; 0 t >(1 )( ) (1 ( 0))c tcq qP w t P W e > = = ; donde10( 0)cq nnP W P== =