Sistemas Coordenados - Gradiente Divergente y Rotacional

UNIDAD 1.

CAMPO ELCTRICO, FLUJO ELECTRICO Y POTENCIAL ELCTRICO

CAPTULO 1: El MARAVILLOSO SOPORTE MATEMTICO El encanto que producen las ecuaciones de Maxwell solo puede ser

experimentado cuando uno ha manejado un ratito con alegra, bondad y

rigurosidad el soporte matemtico, al principio parece muy complejo, que permite

una comprensin razonable de la teora de los campos electromagnticos. Este

captulo se interesa por dar a conocer las ideas matemticas bsicas que permiten

navegar con tranquilidad por estos mgicos mundos de los campos de inters

para nosotros. Comprender las operaciones vectoriales (suma, producto escalar o

vectorial), manipular los operadores especiales (gradiente, divergencia, rotacional,

laplaciano), adems de ser un desafo estimulante para la mente y para el alma,

es un mecanismo sencillo, elegante y apropiado, que nos llena de fortaleza, de

conocimientos, de esperanza, para disfrutar y comprender el trabajo de Maxwell.

Leccin 1: Sistemas de Coordenadas Existen muchos sistemas de coordenadas de inters para la ciencia o para la

tecnologa y su utilizacin es una necesidad especfica de acuerdo al tema de

inters. Es bueno saber que en la fsica del movimiento, en electromagnetismo o

en el clculo de varias variables, se manejan los tipos de coordenadas

mencionados a continuacin: cartesiana (rectangulares, cilndricas y las esfricas.

Coordenadas Cartesianas.

Es el sistema que hemos disfrutado y manejado desde siempre; nos lo

compartieron en el colegio, en l el hombre ha evolucionado, vivido,

amado, sufrido, progresado y ha comprendido que su vida se ha

desarrollado en tres dimensiones y en l nos hablaron de los volmenes.

Es este sistema, como se indica en la figura un punto cualquiera P

puede ser identificado mediante sus tres coordenadas xp , yp , zp

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 299001 Campos Electromagnticos

Es bueno mostrar que los vectores unitarios, que indican la direccin en cada

eje coordenado se representan por: y que equivalen a

los vectores unitarios y ordenados: i, j, k y en estricto orden.

Conviene recordar que los tres vectores mencionados con lin ealmente

independientes, de magnitud uno, y que cada par es perpendicular entre s.

Adems de esos detalles importantes mencionados, los especiales vectores

(i, j, k) se deben orientar de tal manera que: i x j = k, j x k = i.

Los desplazamientos diferenciales a lo largo de los ejes coordenados son

sencillamente: dx , dy , dz. Es el sistema coordenado ms cercano a nosotros.

Coordenadas Cilndricas.

Otro sistema, es el indicado en la figura [3], aqu un punto cualquiera P

puede ser identificado mediante las coordenadas rp , p , zp


Puedes imaginar este sistema de coordenadas concibiendo un tarro recto y

cilndrico en cual se tiene su radio ( r ), su altura ( z ) y el ngulo que ves en la

figura. Este sistema es muy interesante para trabajar con las lneas de los

campos magnticos que son lneas cerradas y concntricas, que como el caso

de un conductor rectilneo son circunferencias concntricas y de valor fijo.

Los desplazamientos diferenciales presentes a lo largo de cada uno de los ejes

coordenados en este sistema de referencia son: dr , r d , dz

Coordenadas Esfricas.

En la figura un punto cualquiera P ser identificado en este sistema de

referencia mediante las coordenadas, rp , p , p

Los desplazamientos diferenciales a lo largo de los ejes coordenados son: dr,

r d, r sen d. Este marco de referencia es muy utilizado en sistemas esfricos de distribuciones de carga elctrica en sistemas estticos en los

cuales las lneas de campo son lneas abiertas que como en el caso de una

carga elctrica puntual se consideran que son lneas que salen del sistema.

Los desplazamientos diferenciales a lo largo de los ejes coordenados son: dr,

r d, r sen d. Este marco de referencia es muy utilizado en sistemas esfricos de distribuciones de carga elctrica en sistemas estticos en los

cuales las lneas de campo son lneas abiertas que como en el caso de una

carga elctrica puntual se consideran que son lneas que salen del sistema.


Leccin 2: Cantidades Vectoriales

En matemticas, en la fsica y en la ingeniera, se manejan varios tipos diferentes

de cantidades. Ellas son las escalares, las vectoriales y las tensoriales, aunque

para los estudiosos normales solo son conocidas las dos primeras clases .

Escalares: son cantidades que quedan definidas por una magnitud

(un nmero) como ejemplos tenemos masa, tiempo, estatura, rea,

longitud, energa, rapidez, parmetros en los cuales al preguntar por

ellos aquedamos satisfechos y comprendemos cuando nos

responden con una cifra definida. Por ejemplo: cul es tu

estatura?... la respuesta puede ser 1.78 m, pero nunca preguntamos:

acostado? parado? Es de inters solo el nmero que nos digan.

Vectoriales: son aquellas cantidades que para quedar debidamente

definidas necesitan una magnitud y una direccin (ngulo).


Para representar un vector, es costumbre universal utilizar una flecha, cuya

longitud es proporcional a su magnitud y su orientacin con respecto al eje X

muestra su direccin.

Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y la misma direccin. como

ejemplo tenemos:

Un vector en dos dimensiones, algebraicamente se puede especificar como un

par ordenado . Los elementos del par ordenado se llaman componentes

rectangulares del vector.


Leccin 3: Operaciones Vectoriales

La suma de vectores puede lograrse usando el mtodo grfico (polgono, o

usando reglilla, transportador, papel milimetrado), o el mtodo analtico (el cual

hace uso de la calculadora cientfica y de las componentes rectangulares).

Adems de la operacin suma, se definen entre vectores dos productos

importantes: el escalar (producto escalar) y el vectorial (producto cruz).

PRODUCTO PUNTO ( a . b )

Se define como el producto de sus mdulos (magnitudes) multiplicado por el

coseno del ngulo que forman. Note que es siempre menor o igual que 180. l resultado es siempre un nmero que puede ser positivo, negativo o nulo. Se

representa por un punto, y se define de la siguiente manera:

En coordenadas cartesianas y sabidas las componentes rectangulares de cada

vector en bases ortonormales (ortogonal y unitaria), lo cual se traduce en vectores

de magnitud igual a la unidad y que forman ngulos rectos entre s):

PRODUCTO CRUZ ( a X b)

El producto vectorial de los vectores a y b (a b) es un vector cuya

magnitud est dada por |a||b| sen , en donde |a| y |b| son las magnitudes

de los vectores a y b y es el ngulo entre ellos. La direccin del vector resultante apunta en la direccin en la que un tornillo de rosca


derecha penetrara perpendicularmente al pasar del vector a al vector b. El vector resultante es un vector que es perpendicular a cada uno de los

vectores que lo generaron: (a x b) . a = (a x b) . b = 0

Ejemplos:

A) Sean los vectores:

y

El producto vectorial entre a y b se calcula como:

Expandiendo el determinante:

Por lo tanto:

Si (a x b) . a = (1, -5, -2) . (2, 0, 1) = (1) (2) + (-5) (0) + (-2) (1) = 0, lo cual

garantiza, que como estaba predicho, estos dos vectores eran perpendiculares.

H a l l a r e l p r o d u c t o p u n t o ( a . b ) d e l o s v e c t o r e s a y b c u y a s c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s s o n ( 1 , 1 / 2 , 3 ) y ( 4 , 4 , 1 ) .

a . b = ( 1 , 1 / 2 , 3 ) ( 4 , 4 , - 2 ) = 1 4 + ( 1 / 2 ) 4 + 3 ( - 2)

= 4 + 2 + - 6 = 0 ( s o n p e r p e n d i c u l a r es )

Leccin 4: Operadores especiales Las cantidades vectoriales son bsicas en este curso. Las funciones escal ares y

las funciones vectoriales siempre estn asociadas con el comportamiento de los

campos elctricos y algunas descripciones o parmetros asociados.

Los operadores que son de inters en el estudio de los campos electromagnticos

son: el gradiente (operador fundamental), el cual combinado con el producto punto

o con el producto cruz y bien comprendida la naturaleza de una cantidad fsica


debemos saber su naturaleza escalar o vectorial para poder contribuir con su

estudio. Los operadores derivados de las distintas mezclas entre gradiente y los

productos escalar y vectorial, generan los dems operadores: divergencia,

rotacional, laplaciano, y es el tema de inters en este captulo que ha disfrutado de

la presencia de la esencia matemtica y fsica de cada n avegante.

Estos operadores mgicos y especiales, fundamento y soporte de la teora

electromagntica, se estructuran en el manejo de las derivadas direccionales (si

tienes dudas sobre su manejo o hace rato no los estudias por favor busca un libro

de clculo avanzado y trabaja algunos ejercicios) y van a ser definidos:

GRADIENTE

Es el operador fundamental. Este operador especial se le aplica a funciones

escalares y genera como resultado una funcin vectorial. Se representa el

gradiente de la funcin escalar "V", de la siguiente forma V (se lee nabla).

El operador gradiente muestra en un punto, la direccin y la magnitud de cambio

de una funcin escalar V. Observar que todas las derivadas implicadas en estos conceptos son derivadas acostadas es decir derivadas direccionales:

Las expresiones matemticas del operador gradiente en cada uno de los sistemas coordenadas se muestran a continuacin y se sugiere guardarlos en

tablas apropiadas para su debida utilizacin:

En coordenadas rectangulares se tiene que:

En coordenadas Cilndricas se tiene que:

En coordenadas Esfricas se tiene que:


DIVERGENCIA ( . A)

Es un operador especial que se le aplica a funciones vectoriales (A) para generar funciones escalares. Se interpreta como una funcin que nos indica en un punto determinado la presencia de fuentes o de sumideros (desagues).

Por ejemplo: la fuente de los campos elctricos son las cargas elctricas, por lo

tanto en ciertos puntos .E (la divergencia del campo elctrico es diferente de

cero, porque existe una fuente (cargas elctricas) que lo genera)

Para la funcin vectorial E el concepto matemtico, que es prcticamente, un producto escalar entre dos funciones vectoriales se trabaja de la manera siguiente:

. E= ( i ) . (E1 i + E2 j + E3 k)

En coordenadas rectangulares se resume a::

En coordenadas cilndricas se tiene que: En coordenadas esfricas se tiene que:

Asociado con este interesante operador se tiene el conocido t eorema de la divergencia o teorema de Gauss o teorema del flujo, el cual permite convertir una integral de superficie en una integral de volumen para una regin. Su inters

se presenta en los campos electrostticos o en la mecnica de los fluidos, donde

en forma natural se presentan los conceptos de fuentes o de sumideros. Este teorema se describe matemticamente de la manera siguiente:


ROTACIONAL ( x E)

Es otro operador especial que se le aplica a funciones vectoriales y genera

otra funcin vectorial. Es operador est asociado al concepto de giro

bien sea en un fluido o bien sea en un campo. Mentalmente se puede

asociar a una rueda colocada dentro de un fluido y el anlisis se dara

pensando en los lugares donde ella pueda girar como consecuencia del

desplazamiento del fluido. Su expresin en cada uno de los sistemas de

referencia es:

En coordenadas Rectangulares se tiene:

En coordenadas Cilndricas se tiene:

En coordenadas Esfricas se tiene:

LAPLACIANO (2

V)

Es un operador especial de enorme inters en los cursos avanzados de

matemticas especiales por su relacin estrecha con los armnicos. Toda funcin cuyo laplaciano sea nulo se denomina armnica y ella es la ecuacin


diferencial ms conocida (cumple el papel del famoso teorema de Pitgoras en

los cursos bsicos de matemticas). Este operador, se indica y se define como:

En coordenadas Rectangulares se tiene que:

En coordenadas Cilndricas se tiene que:

En coordenadas Esfricas se tiene que:

La bella ecuacin de Laplace es entonces: 2

V = 0, y a las funciones V que la

satisfacen plenamente se les denomina funciones armnicas. Buscar algunas

Ejemplo: la funcin V = 3 X

2 + 2 Y

2 - 5 Z

2, cumple la ecuacin de Laplace

porque: 2

(3 X2) / X

2 = 6,

2 (2 Y

2) / Y

2 = 4,

2 (- 5 Z

2) / Z

2 = -10

Y entonces: 2

(V) / X2

+2

(V) / X2

+ 2

(V) / X2

= 6 + 4 10 = 0


Leccin 5: El vector posicin (R) y el lgebra de operadores

En coordenadas cartesianas el vector posicin (R) se define como:

R = X i + Y j + Z k, cuya magnitud, una cantidad escalar, es simplemente:

R = (X2

+ Y2

+ Z2) = (X

2 + Y

2 + Z

2)0.5

UR, es un vector unitario (magnitud uno) en la direccin del vector R.

Algunas propiedades del vector de posicin R son:

R X R = 0 (vector nulo o vector cero)

R . R = R 2 = R2 (cantidad escalar o simplemente un nmero) . R = 3

X R = 0 (vector nulo o vector cero)

R X UR = 0 (vector nulo o vector cero)

R . UR = R

Si f( R ) es una funcin meramente radial, es decir, depende slamente del

parmetro R, entonces su gradiente { f ( R ) } se puede hallar

simplemente encontrando df ( R ) / dR (la derivada de f con respecto a

R y colocando el vector UR; es decir: f ( R ) = {df ( R ) / dR} UR

Por ejemplo, si f ( R ) = R

6, entonces su gradiente es la funcin vectorial:

f ( R ) = 6 R5

UR, porque d R6/ dR = 6 R

5. El UR le da el carcter vectorial.

Los operadores mencionados, tal como las funciones trigonomtricas,

cumplen unas propiedades que conviene tener presentes permanentemente.

Si A es una funcin vectorial y es una funcin escalar, se cumple que:

(1 2) = 1 (2) + 2 (1)


. ( A) = . (A) + A . ()

x ( A) = x (A) - A x ()

X (A x B) = (B .) A (A. ) B + A (.B) B (.A)

. (x A) = 0 (la divergencia del rotacional es cero)

X (F) = 0 (rotacional del gradiente es vector nulo)

x ( X A) = (.A) - 2A

Para socializar el manejo de esta lgebra de operadores favor analizar con

cuidado y entusiasmo los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1: 1 =X2 y 2 = ln X

5 (ln logaritmo natural) son dos funciones escalares,

encontrar el gradiente de 1 2. Solucin: se sabe del lgebra de operadores que: (1 2 ) = 12 + 21

(1 2) = { x2 (1/ X

5)(5 X4 ) + (ln X

5 ) 2x } UR

(1 2 ) = (5 x + ln (X5) 2 x) UR

(1 2) = (5X + 10x ln x ) UR

Ejemplo 2: si F = R3

R, es una funcin de carcter vectorial, hallar con la ayuda

del lgebra de los operadores y los conocimientos del clculo: a. X F

b. . F

Solucin: se sabe que x ( A) = x (A) - A x (), y adems x R = 0

Luego: X F = R3

( x R) R x ( R3) = 0 - R x (3R UR)

pero R X UR =0 por lo tanto: X F = 0

Para resolver la parte b. del ejemplo 2 recordar: . ( A) = . (A) + A . ()

. F = . (R3

R) = R3 . R + R . R

3 = 3 R

3 + R . 3 R

2 UR = 3 R

3 + 3 R

3 = 6 R

3


CAPTULO 2: CAMPO ELCTRICO ESTTICO La fuerza gravitacional es una fuerza muy estudiada en la naturaleza y su

comportamiento explica con claridad el movimiento planetario, el peso que

ejerce la tierra sobre nosotros y que no nos permite levantarnos del piso con

facilidad. Esta fuerza es atractiva, de carcter central y solo puede notarse

cuando las masas son grandes; es el caso de los planetas movindose

alrededor del sol, las mareas terrestres causadas por la influencia de la luna.

La fuerza elctrica es una fuerza significativamente ms poderosa, que

puede ser atractiva o repulsiva, de carcter central y adems es una fuerza

conservativa. Es la responsable de los enlaces de la materia, explica el

movimiento de los electrones en una pantalla de televisin, nos ayuda a

comprender el fenmeno del galvanizado, justifica la esttica de las nubes;

es una fuerza especial de la naturaleza que est muy cerca de nosotros.

Comprender y manejar los campos elctricos estticos, es decir, aquellos

campos elctricos que no dependen del tiempo, es muy importante para

justificar y analizar el comportamiento de muchos equipos, dispositivos o

fenmenos relacionados de la industria con este bello campo del saber.

Leccin 1: Carga elctrica La carga elctrica es un concepto fundamental (al nivel de la masa, la longitud y el

tiempo) y que se aplica ante la existencia de fuerzas susceptibles de ser medidas

experimentalmente. Es una medida de la cantidad de electrizacin que posee un

cuerpo. La carga tiene dos formas conocidas como son:

Carga positiva (+).

Carga negativa (-).

Estos dos tipos de carga fueron determinados por Benjamn Franklin (1706 -

1790), quien a travs de sus observaciones sistemticas determin que cargas

similares se repelen entre s y cargas opuestas se atraen entre s.

Grficamente esta situacin se puede ilustrar de la siguiente manera:


Figura 1

En la figura 1A si se suspende una barra dura de caucho que se ha frotado con un

pao y se le acerca una barra de cristal que igualmente se ha frotado con seda,

las dos barras se atraern entre s (el frotamiento permanente de un cuerpo y en

la misma direccin produce una electrizacin que carga elctricamente los

cuerpos y recibe el nombre de triboelectricidad). De manera similar, si se

acercan dos barras de caucho (o dos de cristal) cargadas, como se muestr a en la

figura 1B, ambas se repelern. Cargas de diferente signo o carga elctrica,

simplemente se atraen y de igual signo se repelen o se rechazan.

La carga elctrica en un cuerpo, se puede presentar en su exterior, en su interior o

dentro de una superficie cerrada, constituyendo una forma cualitativa de exceso

de electricidad respecto a la presente en otro cuerpo o superficie.

La electricidad es una de las siete cantidades fundamentales, las que han sido

adoptadas por la General Conference on Weights and Measures (Junta General

de Pesas y Medidas) y son aquellas cantidades que no se derivan de ninguna

otra. Las unidades de estas cantidades fundamentales son las creadas por el

Sistema Internacional (SI), se basan en el sistema M.K.S.A (metro-kilogramo-

segundo-amperio) y han sido adoptadas por las entidades normativas a nivel

mundial, entre las que se pueden mencionar la IEC, el ANSI y el IEEE.

La unidad correspondiente a la cuantificacin de la carga elctrica es el Coulomb io

(C), el cual es una unidad derivada en el Sistema Internacional, es decir, que se

expresa en trminos de las llamadas y aceptadas cantidades fundamentales.


Un coulombio equivale aproximadamente a 6 x 1018 electrones, mientras que la

carga de un electrn es: 1 e-

= -1,6019 x 10-19

C. La carga elctrica de un protn

es positiva y tiene el mismo valor absoluto de la carga elctrica del electrn. Debe

conocerse adems que los neutrones no poseen carga elctrica. En el mundo de las partculas atmicas los protones y los neutrones son

prcticamente igual de pesados y cada una de sus masas con casi dos mil veces

la del electrn, el cual es una partcula sumamente ligera con respecto a ellos. En

los pesos atmicos se consideran los protones y los neutrones (muy pesados).

Leccin 2: Clases de Materiales elctricos Los materiales por sus propiedades fsicas tienen una capacidad para conducir las

cargas elctricas. Los electrones de la ltima capa atmica de un elemento

determinan su capacidad de conducir bien sea la electricidad o bien sea el calor;

por ejemplo, el cobre, que es un metal muy conocido, es muy buen conductor del

calor y por lo tanto de la electricidad. En la naturaleza se pueden encontrar o

generar cuatro tipos especiales de materiales segn su capacidad conductora:

Materiales aislantes: son aquellos en los que una pequea o despreciable

cantidad de cargas elctricas se pueden mover o fluir. Los electrones no se

pueden desplazar fcilmente y se utilizan como aislantes del calor o de la

electricidad. Tambin se les conoc e con el nombre de dielctricos. Son la

materia prima para los condensadores. Son muy conocidos y usados el tefln,

el neopreno, la mica, algunas cermicas, la madera seca.

Materiales conductores: son los que permiten el paso de cargas elctricas

con absoluta facilidad. Tienes electrones libres fciles de desplazar, lo cual

favorece el desplazamiento del calor o de la electricidad por su interior. Son

buenos conductores el cobre, la plata, el aluminio.

Semiconductores: es una tercera clase de materiales y cuyas propiedades

son intermedias entre los aislantes y los conductores, por lo que se denominan

de esta manera. Estos materiales permiten el paso de cargas elctricas en

unas condiciones, mientras que en otras condiciones, el mismo material se

comporta como un aislante. La magia del silicio (del grupo IV A de la tabla

peridica) elemento que tiene 4 electrones de valencia, o sea favorece cuatro

enlaces sencillos, ha motivado grandes investigaciones a su alrededor y se

puede dopar con ciertas impurezas (elementos del grupo III A o del V A) y ese

detalle de la fsica del estado slido produce unas sustancias muy especiales

en cada caso: si se dopa con elementos del III A se van a tener estructuras con

7 electrones y como la ley del octeto exige ocho elec trones en el ltimo nivel


para fortalecer el enlace, se percibe que queda un hueco el cual se comporta

como un sistema positivo, son las famosas pastillas tipo P. El otro caso especial se genera cuando se dopa, el silicio por ejemplo, con elementos del

grupo V A se tienen 9 electrones; se copan los 8 electrones para la ley del

octeto y sobra uno que hace ms negativo le sistema; de esta manera se

forman las pastillas tipo N. La gran revolucin moderna se produce cuando los laboratorios Bell le entregan al mundo un negrito de tres patas, el transistor. El mundo cambi profundamente y los aparatos electrnicos se

hicieron compactos, pequeos, con bajo consumo de energa; fue una

revolucin profunda que permiti socializar muchos dispositivos que han

facilitado y elevado la calidad de vida de los seres humanos.

Superconductores: son materiales especiales que a temperaturas cercanas al

cero absoluto (-273C) no presentan resistencia elctrica. Esta propiedad

sugiere que esos materiales no gastan energa elctrica y es como si fuese un

proceso eterno. En los resonadores magnticos, equipos bsicos para la

R.M.N (resonancia magntica nuclear) se utiliza el helio lquido a temperaturas

muy bajas como elemento superconductor en los sistemas de trabajo.

Como ejemplos tpicos de cada una de estas clases de materiales, se pueden

mencionar los siguientes:

Aislantes Caucho, porcelana, mica, resinas polimricas, vidrio,

celulosa, nylon, polivinilos, policarbonatos.

Conductores Metales como el cobre, aluminio, oro, plata.

Semiconductores Silicio, germanio.

Superconductores Helio lquido a -269 C

La acumulacin de cargas elctricas en un cuerpo se puede dar por dos mtodos

bsicos: la induccin y la conduccin. En el primero, un cuerpo cargado

elctricamente induce acumulacin de cargas de polaridad contraria en un cuerpo

cercano, sin que haya un contacto entre los dos cuerpos.

Leccin 3: La ley de Coulomb Charles Coulomb (1736 1806) midi las magnitudes de las fuerzas elctricas

que experimentaban cuerpos cargados elctricamente, mediante un dispositivo

denominado Balanza de Torsin y que l mismo desarroll. Las fuerzas que


actuaban a distancia y que Newton haba inmortalizado en sus trabajos de

gravitacin universal estimularon los trabajos de Coulomb en la fuerza elctrica.

Las mediciones de Coulomb permitieron concluir lo siguiente: La fuerza elctrica entre dos pequeas esferas cargadas es inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, es decir:

F 1 r

2

La fuerza elctrica experimentada por dos partculas cargadas es proporcional

al producto de la magnitud de cargas de las partculas, o sea:

F q1, q2 La fuerza elctrica es de atraccin si los signos de las cargas son opuestos

(fig. 5B) o de repulsin si los signos son iguales (fig. 5A), con lo cual:

Figura 5

A partir de esas conclusiones experimentales, Coulomb expres la ley que lleva su

apellido, la cual se puede representar con la siguiente ecuacin:

F = k q1 .q2

r 2

Donde:


C

F: fuerza elctrica entre las cargas, [N].

q1, q2: magnitudes de las cargas elctricas bajo consideracin, [C].

r: distancia de separacin entre las cargas, [m].

k: constante de proporcionalidad, [ N .m 2

]. C

2

Las unidades aplicadas son las correspondient es al SI (Sistema Internacional). La

constante k se deriva de la siguiente expresin:

k = 1

4

La constante se conoce como la permitividad elctrica del medio y

equivale a = 0 . r donde r es la constante dielctrica del medio y

adems la constante o se conoce como la permitividad elctrica del vaco. Representa el efecto que las cargas elctricas tienen en el espacio libre y tiene el

2

siguiente valor: o = 8,854 x 10-12 N .m

2

N .m 2 Con lo cual para el vaco: k = 9 x 109

C 2

Hay que destacar que la fuerza es una cantidad vectorial, por lo que tendr una

magnitud y un sentido, y la suma de fuerzas se debe realizar de forma vectorial. Leccin 4: El campo elctrico esttico Un campo elctrico esttico no depende del tiempo. La electrosttica es la parte

del electromagnetismo que analiza, estudia, aplica, el estudio de las cargas

elctricas en equilibrio. Un campo elctrico es una regin en la cual una carga

elctrica es capaz de experimentar una fuerza elctrica como consecuencia de

otras cargas presentes en el lugar. Una carga elctrica altera el espacio que la

circunda, siendo la intensidad de esa alteracin igual a la relacin entre la fuerza

elctrica (F) sobre la carga de prueba (qo). La expresin correspondiente es:

E = F

[ N

]

qo C


o

El campo elctrico es producido por una carga externa a la carga de prueba, es

decir, no es producido por la carga de prueba. El campo elctrico es un vector y

tendr la misma direccin de la fuerza (F) considerada. En la siguiente tabla se presentan algunos valores tpicos de campo elctrico.

Fuente

E ( N

) C

Tubo de luz fluorescente 10

Atmsfera (buen clima) 100

Atmsfera (con nubes de tormenta) 10.000

Fotocopiadora 100.000

Chispa elctrica en el aire > 3.000.000

Ejemplo. Encontrar la intensidad de campo elctrico a 50cm de una carga

positiva de 10-4

C.

Figura 8

En este ejemplo la carga externa es la carga de +10 -4

C y la carga de prueba

positiva se ubica a 50 cm de sta (en el punto A).

N .m 2 F = 9 x 109 x

C 2

(10 4

C).(q )

(0,5m) 2

= 3,6 x 106

. qo [N]

E = F

= qo

3,6x106.q N o = 3,6 x 106

qo C

Si se aplica un campo elctrico uniforme a un conjunto de iones se percibe una

dolarizacin de cargas es decirlas positivas siguen la direccin del campo y las

negativas se van en la direccin contrarias. Adems usando el concepto de fuerza:


F ma F q E

a q

E m

Este fenmeno fue aplicado por el creador Faraday para estructurar y aplicar la

electrlisis (descomposicin de sustancias por medio de la electricidad) y su

industria se denomina galvanoplastia, como en el caso del cobrizado, plateado,

dorado, cromado, industrias prsperas y cercanas en todos los mbitos sociales.

Dado que el campo elctrico tiene una direccin, se pueden establecer lneas de

campo que permitan visualizar la distribucin del mismo, determinando los

puntos de concentracin. De manera pictrica ayudan a comprender o a explicar

significativamente el comportamiento de los campos elctricos estticos.

Unas reglas bsicas para dibujar las lneas de campo elctrico son:

Las lneas salen de la carga positiva y llegan o terminan en la carga negativa.

El nmero de lneas dibujadas saliendo de una carga positiva o aproximndose a una carga negativa es proporcional a la magnitud de la carga.

Ningn par de lneas de campo puede cruzarse.

Algunas configuraciones tpicas se ilustran a continuacin:


Figura 9 Analizando con cuidado y detenimiento las lneas de fuerza mostradas en la figura

9 y recordando la interpretac in del operador rotacional puede concluirse que

sise colocase un aspa en el interior de ese campo elctrico ella no rotara, lo cual

sera una evidencia de que su rotacional ( x E) sera el vector cero o vector nulo.

Esta gran apreciacin permite deducir con magia extrema que:

x E = 0 Para que una expresin matemtica (E) tenga validez en el reino del

electromagnetismo se requiere que se cumplan dos detalles importantes:

x E = 0 y que adems que cuando la distancia (R) es muy grande () el lmite de

la expresin que define el campo elctrico debe ser cero. Ese detalle nos muestra

que los campos elctricos son decrecientes, es decir a medida que nos alejamos

de la fuente que lo genera (carga) su valor va decayendo, va disminuyendo


Ejemplo. Una carga elctrica puntual genera a su alrededor un campo elctrico de

la forma: E = q UR / ( 4 R2). Repasando las propiedades del vector R y el

lgebra de los operadores, se tiene que:

E = {q / (4 R2) } R / R = {q / (4 )} (R

-3 R) y su rotacional ser:

x E = {q / (4 )} x (R

-3 R) = {q / (4 )} { R

-3 x R R x R-3}

x E = {q / (4 )} { R-3

O R x (-3 R-4 UR)} = O De esta manera se ha probado con propiedad que el rotacional del campo

elctrico es nulo. La segunda propiedad exige que el lmite de esa expresin

tienda a cero cuando la distancia ( R ) tiende a infinito ( ). Favor verificarlo.

Leccin 5: Campo elctrico debido a distribuciones continuas de carga

Hasta el momento se han considerado los efectos de cargas puntuales . Sin

embargo, se tienen muchos casos de inters en el mundo de la ciencia o de la

tecnologa, cuando las cargas elctricas se agrupan y se distribuyen a lo largo de

una lnea, en una superficie o en volumen. Cuando las cargas se encuentran en

grupo, la distancia de separacin entre ellas es mucho menor, por lo que se

consideran que estn distribuidas de forma continua.

Para estudiar el campo elctrico producido por una distribucin de carga continua

se debe seguir con un procedimiento, como el siguiente:

Se establece una densidad de carga, segn corresponda a una distribucin

lineal, superficial o volumtrica, as:

Densidad de carga lineal: es la carga elctrica distribuida por unidad de

C longitud (L = dQ / dL= ) y sus unidades de medida son [

m ]. Por ejemplo las

cargas elctricas distribuidas a lo largo de un filamento o de un hilo.

V


Densidad de carga superficial: es la carga elctrica distribuida por unidad de

C superficie (S = dQ / dS=) y sus unidades de medida son

m 2

.Por ejemplo las

cargas elctricas distribuidas en una hoja de papel para fotocopiadora.

Densidad de carga volumtrica: es la carga elctrica distribuida por unidad de

volumen ( = dQ / dV= ) y sus unidades de medida son [ C

]. Por m 3

ejemplo las cargas elctricas distribuidas en una esfera slida y conductora.

La intensidad de campo elctric o debido a cada una de las distribuciones de

carga , , , puede considerarse como la sumatoria de las contribuciones al

campo que realizan todas las cargas puntuales que componen esa distribucin

de carga y se puede obtener la carga total como una integr al definida con los

lmites apropiados segn la distribucin de carga elctrica considerada.

Ejemplo 1. Cunta carga elctrica est contenida en una distribucin de la cual

se tienen 1.8 metros y se tiene una densidad uniforme con = 12 mC / m?

Como = dQ / dL, entonces dQ = dL, y as:

Q = dL = dL = L = 12 mC / m * 1.8 m = 21.6 mC

Ejemplo 2. Cunta carga elctrica est contenida en una distribucin cuadrada

de lado 0.5 metros y se tiene una densidad uniforme con = 12 mC / m2?

Como = dQ / dS, entonces dQ = dS, y as:

Q = dS = dS = S = 12 mC / m2 * (0.5m)2 = 3 mC

Ejemplo 3. Cunta carga elctrica est contenida en una distribucin esfrica de

radio 3 metros y se tiene una densidad uniforme con = 12 mC / m3?

Como = dQ / dV, entonces dQ = dV, y as:

Q = dV = dV = V = 12 mC / m3 * 4 (3m)3 / 3 = 432 mC

Ejemplo 4. Cunta carga elctrica est contenida en un cascarn esfrico de

radio 3 metros y se tiene una densidad uniforme con = 12 mC / m2?

Este caso es muy interesante tanto tcnica como acadmicamente. Si es un cascarn la carga elctrica est distribuida obviamente solo en la parte externa y adentro no hay carga (est vaca); por esa razn la carga interna es nula pero mirando desde afuera del elemento se percibe una carga elctrica superficial y

total de: Q = dS = dS = S = 12 mC / m2

* (3 m)2

= 108 mC


CAPTULO 3: FLUJO ELCTRICO Y POTENCIAL ELCTRICO

Leccin 1: FLUJO ELCTRICO Considerando un campo elctrico uniforme tant o en magnitud como en direccin,

las lneas de campo penetrarn una superficie rectangular de rea S, la cual es

perpendicular al campo. El nmero total de lneas que penetra la superficie es

proporcional al producto entre S y E, lo cual constituye el flujo elctrico, as:

E = E . S [ N .m 2

] C

Figura 10 En otras palabras, el flujo elctrico es proporcional al nmero de lneas de campo

elctrico que penetran una superficie. Por lo general, la evaluacin del flujo se

realiza a travs de una superficie cerrada, la que se define como aquella que

divide el espacio en una regin interior y en otra exterior, de manera que no se

puede mover de una regin a la otra sin cruzar la superficie. El ejemplo ms tpico

de una superficie cerrada es una esfera. El concepto de flujo en general es un

concepto matemtico, que a su vez tiene profunda interpretacin fsica, y el cual

es una integral definida a travs de una superficie S:

E = E . dS Asociado con el concepto de flujo est el teorema o ley de Gauss, el cual puede

ser trabajado a travs del teorema de la divergencia (lgebra de operadores).

Asociado al campo elctrico se encuentra el vector desplazamiento elctrico (D),

el cual en ausencia de polarizacin elctrica se define como: D = E y es paralelo,

en este caso especial, al vector campo elctrico ( E ).

N

9


Leccin 2: LA LEY DE GAUSS Kart Friedrich Gauss (1777 1855) estableci una relacin general entre el flujo

elctrico neto a travs de una superficie cerrada y la carga elctrica encerrada por

esa superficie. Esta relacin se conoce como la Ley de Gauss y establece que:

E = E.dS = E ds

Para una carga elctrica puntual, todos los puntos ubicados sobre una misma

superficie (tienen igual radio) tienen el mismo valor de intensidad de campo

elctrico, por lo tanto el flujo de campo elctrico desarrollado a travs de esa

integral genera:

E = E.dS = E dS E = q / (4 R2) UR . dS = q / , en la cual se

recuerda que la superficie de una esfera de radio R es: 4 R2. Este resultado se

ha generalizado a mltiples distribuciones de carga elctrica y se ha encontrado

que: el flujo de campo elctrico a travs de una superficie cerrada equival e a la

carga elctrica encerrada por la superficie dividida por la permisi vidad elctrica

del medio (); es decir:

q E =

o

La Ley de Gauss es una formulacin alterna a la Ley de Coulomb, con la cual se

puede hallar el campo elctrico en el caso de distribuciones simtricas de carga

como la de carga puntual, carga lineal, carga superficial cilndrica o esfrica.

Ejemplo. Cul es el flujo elctrico a travs de una superficie esfrica que tiene

un radio de 1,0 m y porta una carga elctrica de +1C en su centro?

Solucin 1: mediante la Ley de Coulomb, se tiene:

E = k . q

= (9 x 10 r

2

N .m 2 ) x

C 2

1x10 6

C

(1m) 2

= 9 x 103 N

C

El campo apunta radialmente hacia fuera, y por tanto, es perpendicular en todo

punto a la superficie de la esfera. El rea de la superficie de la esfera es:

S = 4 R2

= 12,6 m2

El flujo a travs de la superficie esfrica es:

E = E . S = (9 x 103 ) x (12,6 m2)

C

2


N .m 2 E = 1,13 x 10

5

C

Solucin 2: mediante la Ley de Gauss, se tiene que:

E = q

= o

1x10 6

C

8,854x10 12 C

N .m 2 = 1,13x105

C

N .m 2 Leccin 3: APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS Antes de aplicar la Ley de Gauss para el clculo del campo el ctrico se debe

identificar la existencia de simetra. Una vez identificada la distribucin simtrica

de carga, se determina una superficie cerrada (superficie gaussiana). Las

siguientes son las aplicaciones sobre las que se puede aplicar la Ley de Gauss:

Carga de lnea infinita: asmase una lnea infinita de carga uniforme [ C

] m

se ubica a lo largo del eje z en el espacio. Para determinar el campo elctrico

en un punto P, se elige una superficie cilndrica de radio R y de altura arbitraria L que contenga a P para satisfacer la condicin de simetra:

Figura 13


La Ley de Gauss restringida a una longitud determinada L de la lnea es:

E . dA = E . 2R.L = L /

En la cual 2R.L es el rea de la superficie gaussiana (correspondiente a un cilindro de radio R y de altura L), con lo cual el campo elctrico ( E ) es:

E = L / (2R.L ) = / (2 R )

Campo elctrico en una placa conductora. considerar una placa conductora

inmersa en un campo elctrico externo E, de acuerdo con la siguiente grfica:

Figura 11 Las cargas inducidas en las caras de la placa, por efecto del campo externo E,

producen un campo que se opone a ese campo externo, de tal forma que el

efecto neto sobre las cargas de la placa es nulo. En tal sentido, el campo en el

interior de la placa es cero. La aplicacin de la Ley de Gauss fuera de esta

superficie se expresa como:

q E = E.dA = E.A = =

o

.A

o = E . A de donde: E =

o

Leccin 4: POTENCIAL ELCTRICO El concepto de potencial se asocia con el de fuerza conservativa, como la fuerza

gravitacional o la fuerza elstica. Dado que la fuerza electrosttica, estudiada bajo

el concepto de la Ley de Coulomb es conservativa, los fenmenos electrostticos

pueden describirse en trminos de energa potencial elctrica.

Esta idea, permite definir una cantidad escalar denominada Potencial Elctrico,

el cual se determina en cualquier punto dentro de un Campo Elctrico. Tambin es

vlido usar el trmino voltaje el cual se mide en voltios en honor al genio de

Volta, creador de la primera pila elctrica, presentada en el ao de 1800.

o


Cuando una carga de prueba qo se encuentra dentro de un Campo Elctrico E

creado por un algn otro cuerpo cargado, la fuerza elctrica que acta sobre esa

carga de prueba es: F = qo . E

Esta fuerza es de tipo conservativo. Ahora, si la carga se mueve dentro de ese

Campo Elctrico por efecto de un agente externo, el trabajo realizado por el

Campo Elctrico sobre la carga es igual al negativo del trabajo hecho por el

agente externo que produce el movimiento de la carga. La energa empleada en

la realizacin de este trabajo, equivale al producto de la fuerza por la distancia

recorrida (d), con lo cual: F . d = qo . E . d

Para un desplazamiento determinado entre dos puntos, A y B, el cambio en la

energa potencial del sistema se puede expresar como:

Ep = UA-B = qo . E. d U A B

= E . d qo

Al igual a lo que sucede en la determinacin de la energa potencial gravitatoria, el

cambio en la condicin de energa no depende de la trayectoria seguida, sino de la

diferencia de potencial entre los dos puntos considerados.

La energa potencial por unidad de carga, U

es independiente del valor de q y q o

tiene un valor nico en cada punto en un campo elctrico. La cantidad

U recibe

q o

el nombre de Potencial Elctrico (o simplemente Potencial) V, por tanto, el

Potencial Elctrico en cualquier punto en un campo elctrico es:

V = U qo

La diferencia de potencial V = VB BA entre los puntos A y B, en un campo

elctrico, se define como el cambio en la energa potencial del sistema, con lo

cual: V = U qo

= E . d (Voltio = Joule / coulombio)

Observar que de acuerdo con la expresin anterior, al expresar el Campo Elctrico

V E en funcin de la Diferencia de Potencial, el campo queda con unidades de [ ].

m


Leccin 5: RELACIN ENTRE CAMPO ELCTRICO Y POTENCIAL En los laboratorios, en las placas de los televisores, de los osciloscopios, los

campos elctricos reales, se registran o se controlan por la manipulacin de la

distancia entre dos placas deflectoras y el voltaje o potencial entre ellas. En efecto

V la experiencia registra que: E =

d

(voltios / metro)

La magnitud del Campo Elctrico en cualquier direccin es igual al cambio del

potencial elctrico en dicha direccin. El voltaje no cambia para cualquier

desplazamiento perpendicular al Campo Elctrico, por lo que las superficies

equipotenciales se determinan perpendicularmente al Campo Elctrico. Ejemplos

se superficies equipotenciales se presentan en la siguiente figura:

Figura 16

Debido a que el rotacional del campo elctrico esttico es nulo y que adems,

segn el lgebra de operadores, el rotacional del gradiente es nulo, y

considerando las relaciones y experiencias en los laboratorios se ha logrado

encontrar y evidenciar que: el campo elctrico equivale a menos el gradiente del

voltaje: E = - V

Esta relacin determina que si se conoce la forma del voltaje (cantidad escalar), se

puede encontrar la forma del campo elctrico (cantidad vectorial).

Para una carga puntual se tiene que:

E q

4 R2

R

V

V (R) v

R

R

q Por tanto: 4 R


El voltaje es entonces una funcin escalar y a diferencia del campo elctrico es

medible en un laboratorio. El voltaje debido a varias cargas en un punto definido

puede ser positivo negativo o cero.

Los campos electrostticos no son capaces de mantener una corriente elctrica

entre dos puntos. En efecto usando el teorema del rotacional se tiene que:

V E.dl xE.ds 0

s

Los campos elctricos estticos pueden generar chispas los cuales pueden

producir incendios y se recomienda a empresas que trabajen con algodn, teres,

disolventes o espumas, eliminarlos significativamente. En el sector productivo la

esttica ha sido muy bien estudiada y se han ideado experiencias para eliminarla.

Leccin 6: APLICACIONES DE LA ELECTROSTTICA La electrosttica est presente en dispositivos de uso corriente, entre los cuales se

pueden mencionar los siguientes:

Filtros electrostticos: son dispositivos que eliminan las partculas

materiales de los gases de combustin, reduciendo la contaminacin

atmosfrica producida por las industrias que generan humos. Los sistemas

actuales pueden eliminar el 99% de las emisiones de partculas.

La siguiente figura muestra un esquema de un filtro electrosttico:


Figura 17

Se mantiene una alta diferencia de potencial, entre 40 y 100kV, entre el

alambre que se ubica en el centro del dispositivo y las paredes del mismo,

estando el primero conectado a tierra. El alambre est a un potencial negativo

respecto de las paredes, con lo cual, el Campo Elctrico est dirigido hacia el

alambre. El Campo Elctrico en el alambre es tan intenso que produce

descargas elctricas alrededor del mismo, las cuales ionizan el aire. El humo a

ser tratado se introduce en el ducto del dispositivo y se mueve cerca del

alambre, al entrar en contacto con los iones de aire se producir una ionizacin

de las partculas del humo, y dado que la mayora de esas partculas quedan

con carga negativa, se desplazarn hasta las pared es del dispositivo

permitiendo ser retiradas por precipitacin mediante vibracin del ducto.

Impresoras lser: el proceso de impresin con ayuda del rayo lser se basa

en el proceso de xerografa en el cual primero se recubre la superficie de una

placa o un tambor con una pelcula delgada de material fotoconductor

(generalmente selenio) y se le proporciona una carga electrosttica positiva

bajo un ambiente oscuro. La imagen de lo que se va a imprimir o a copiar se

proyecta con el rayo lser sobre la superficie cargada, la superficie

fotoconductora se vuelve conductora slo en aquellas reas donde incide la

luz. En estas reas la luz produce conduccin de cargas en el fotoconductor,

lo cual mueve la carga positiva del tambor, pero se presenta permanencia de


algunas cargas positivas en aquellas zonas donde no incide la luz. El polvo del

toner con carga negativa se esparce sobre la superficie fotoconductora, el

polvo cargado se adhiere slo en aquellas zonas con carga positiva, pasando

al papel que se encuentra cargado positivamente.

En la figura siguiente se presentan los pasos mencionados en el proceso de

impresin.

Figura 18


ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIN DE LA UNIDAD

1. Un electrn y un protn ubicados en el vacio estn separados una distancia de 1.5 metros. Evaluar: A. La fuerza gravitacional que los atrae

B. La fuerza elctrica que se presenta entre ellos

C. La relacin existente entre esas dos fuerzas

2. Un protn y un neutrn ubicados en el vacio estn separados una distancia de 1.5 metros. Evaluar:

A. La fuerza gravitacional que los atrae

B. La fuerza elctrica que se presenta entre ellos

C. La relacin existente entre esas dos fuerzas

3. El campo elctrico generado por una carga elctrica puntual es descrito por la expresin:

. Demostrar que esa relacin satisface las dos condiciones necesarias para que una

expresin matemtica sea reconocida como vlida para representar un campo elctrico ( )

4. Se piensa que el campo elctrico generado por cierta distribucin de carga elctrica est dada

por la expresin: (K es una constante). Desde el puno de vista de la teora

electromagntica analizar profundamente la validez matemtica que encierra esa interesante y

sencilla relacin.

5. Para la carga central de la distribucin puntual de cargas elctricas presentada (en forma de cuadrado) y

donde las cargas uno y cuatro son negativas mientras que la dos y la tres son positivas, hallar:

a. La fuerza total

b. El campo elctrico

c. El potencial (V)

d. La energa potencial (Ep)

Coulombios


(Constante dielctrica)

Observar que cada diagonal forma un ngulo de 45 o con la lnea horizontal o con la vertical. En la figura derecha est el diagrama de fuerzas correspondiente a esa distribucin de cargas elctricas; si

analizas la simetra se percibe que las componentes verticales de las fuerzas se anulan y solo quedan las

componentes horizontales de las fuerzas y todo debido a que la magnitud de las fuerzas es la misma.

6. El potencial elctrico generado por cierta distribucin de carga elctrica est dado por la relacin

matemtica: . Encontrar el campo elctrico asociado con esa distribucin y mostrar que la expresin

propuesta satisface plenamente las dos condiciones especiales para consolidar su validez.

7. Se aplica una diferencia de potencial (d.d.p) de 1000 Voltios entre dos placas paralelas separadas 20 centmetros. Qu intensa aceleracin podr experimentar un electrn en esa regin? y un protn?

8. Analizar cules de las tres funciones dadas son armnicas (aquellas cuyo Laplaciano es nulo).

A. B.

D.

9. Sea P una funcin vectorial definida como

A. B.

10. Sea una funcin escalar definida como: . Con alegra:

A. encontrar el gradiente de () y hacerlo igual a la funcin vectorial M

B. hallar con emocin extrema la divergencia de la funcin M ( . M)

11. En la carga elctrica 4 de la siguiente distribucin puntual de cargas hallar:

a.

b.

c. V (potencial)

d. Ep (energa potencial)

La base del rectngulo es de 60 cms y la altura 30 cms.

Sistemas Coordenados - Gradiente Divergente y Rotacional

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