SISTEMA DIÉDRICO

Introducción

El Sistema Diédrico o de Monge es un Sistema de Representación sobre el plano de cuerpos y elementos geométricos del espacio.Emplea la proyección cilíndrica ortogonal según la dirección perpendicular del espacio. Ambas proyecciones se dibujan en el mismo papel o plano de dibujo, colocando directamente una sobre él y abatiendo la otra alrededor de la llamada línea de tierra. El cuerpo o el conjunto en el espacio queda así representado por una vista frontal, también llamada alzado o proyección vertical y por una vista superior, planta o proyección horizontal.Como en cualquier otro sistema, la representación realizada en Sistema Diédrico es reversible, es decir, a partir de las imágenes representadas en el papel podemos representarlas en el espacio.

Planos de Proyección

El Sistema Diédrico o de Monge se compone de dos planos perpendiculares entre sí: uno vertical, denominad PV (plano vertical de proyección) y otro horizontal PH (plano horizontal de proyección). La intersección de estos dos planos es la Línea de Tierra (LT).

Diedros o Cuadrantes

Los dos planos PH y PV dividen al espacio en cuatro cuadrantes, diedros o regiones.

Del espacio al papel (de 3D a 2D) Para trasladar la representación espacial de las proyecciones al papel, se abate el plano horizontal sobre el vertical. El papel queda dividido en dos zonas, separadas por la línea de tierra.

Esta línea de tierra (LT) se representa con trazo grueso y terminada en sus extremos con dos trazos horizontales por debajo. La zona superior del papel corresponde a la parte positiva del plano vertical PV y la inferior a la parte positiva del plano horizontal PH.

Si es necesario, puede utilizarse un tercer plano de perfil (PP, en la figura) , perpendicular a PH y a PV, para representar con claridad las figuras o sus partes, sobre todo las que se encuentran perpendiculares a ambos planos de proyección.

El conjunto de proyecciones sobre el plano V se denomina alzado o proyección vertical, y el de las proyecciones sobre H se denomina planta o proyección horizontal . Si existen, las proyecciones sobre los planos laterales se denominan perfiles o proyecciones laterales.

Planos Bisectores - Octantes

Los Planos Bisectores son dos planos que, pasando por LT, dividen a los diedros en 8 zonas iguales denominadas octantes.

Se emplea un tercer plano de perfil (PP,) perpendicualar a PH y a PV, para representar el perfil de algunas piezas o cuerpos.

El conjunto de proyecciones de una figura abatido sobre el plano PV se denominan alzado o proyección vertical; el de las proyecciones sobre H se denomina planta o proyección horizontal. La proyección ortogonal sobre el plano de perfil se denomina perfil o proyección lateral.

Planos Bisectores - Octantes

Los Planos Bisectores son dos planos que, pasando por LT, dividen a los diedros en 8 zonas iguales denominadas octantes.

EL PUNTO

Proyecciones de un Punto - Alejamiento y Cota

Las proyecciones de un punto sobre los planos PH y PV se encuentran sobre una línea perpendicular a la LT. Los puntos en el espacio se designan por letras mayúsculas, y para indicar sus proyecciones se le añaden a esta letras primadas o sin primar minúsculas (la proyección horizontal o minúscula sin primar y la proyección vertical o minúscula primada y la proyección lateral o minúscula doblemente primada, si existe). La distancia que separa a la proyección horizontal (a) de la LT, y que es igual a la distancia del punto A al plano V, se denomina alejamiento. La distancia que separa a la proyección vertical (a´) de la LT, y que es igual a la distancia del punto A al plano H, se denomina cota o altura.

Alfabeto del Punto

El Alfabeto del Punto es la relación de posibles posiciones que un punto puede tomar en el espacio con respecto a los planos de proyección, a los bisectores y a la LT. Estas posiciones son:

Un punto tiene sus dos coordenadas positivas si está en el primer cuadrante, es decir, todolos puntos que se encuentren del plano horizontal hacia arriba, tendrán cotas positivas y los que se

encuentren por debajo del plano horizontal, tendrán cotas negativas. Los puentos que se encuentren delante del plano vertical tendrán alejamiento positivo, los que se encuentren por detrás, tendrán alejamiento negativo.

LA RECTA

Consideraciones iniciales:- Una recta queda definida por 2 de sus puntos.

- Una línea recta puede atravesar, como máximo 3 cuadrantes, siendo los puntos traza los que establecen las barreras de separación de los cuadrantes por los que discurre la recta.

- Se representa con línea continua la porción de recta situada en el primer cuadrante, el resto en línea discontinua.

Proyecciones de una Recta

Las rectas se designan con una letra mayúscula (R en las figuras).

Sus proyecciones se denominan con la letra minúscula sin primar (para la proyección horizontal), o minúscula primada (para la vertical) o minúscula doblemente primada (si existe proyección lateral).

Puede comprobarse que las proyecciones de una recta no son más que la unión de las proyecciones de todos sus puntos.

Trazas de la Recta

Las trazas de una recta son las intersecciones con los planos de proyección (PV y PH). La traza vertical tendrá alejamiento cero, y su posición se determina partiendo del punto de corte de la proyección horizontal de la recta (r) con la LT, trazando una perpendicular a ella hasta que toque a la proyección vertical (r´). Del mismo modo, la traza horizontal tendrá cota cero y su posición se determina partiendo del punto de corte de la proyección vertical de la recta (r´) con LT, trazando una perpendicular a LT hasta que toque a la proyección horizontal (r).

Las trazas de la recta se designan con las letras H y V, siendo v´ y h´ las cotas de V y H y v y h los alejamientos de V y H.

Alfabeto de la Recta El Alfabeto de la recta es la relación de posibles posiciones que una recta puede tomar en el espacio con respecto a los planos de proyección, a los bisectores y a la LT.

· En las rectas perpendiculares a los planos de proyección H y V, una de las proyecciones es un punto, y la otra una recta perpendicular a la línea de tierra. La perpendicular a V se denomina de punta y la perpendicular a H se denomina vertical.

· Las rectas paralelas a la línea de tierra no poseen trazas. Sus dos proyecciones son también paralelas a la LT.

· Las rectas paralelas a los planos de proyección solo tienen una traza (se cortan con el otro plano). La proyección que tiene traza es paralela a la línea de tierra. Si la recta es paralela

Tipos de rectas

Las rectas pueden adoptar diferentes posiciones en el espacio con respecto a los planos de proyección, a los bisectores y a la LT.

· En las rectas perpendiculares a los planos de proyección PH y PV, una de las proyecciones es un punto, y la otra una recta perpendicular a la línea de tierra. La perpendicular a V se denomina de punta y la perpendicular a H se denomina vertical.

· Las rectas paralelas a la línea de tierra no poseen trazas. Sus dos proyecciones son también paralelas a la LT.

· Las rectas paralelas a los planos de proyección solo tienen una traza (se cortan con el otro plano). La proyección que tiene traza es paralela a la línea de tierra. Si la recta es paralela al PH se denomina horizontal, y si es paralela al PV se denomina frontal. (Rectas auxiliares).

· Las rectas oblicuas a los planos de proyección que pasan por 3 cuadrantes y poseen dos trazas, y sus proyecciones visibles son las que corresponden al primer cuadrante. En la figura, se muestra qué sectores de la recta corresponden a cada diedro.

· En las rectas oblicuas a los planos de proyección que pasan por 2 cuadrantes (y que, por tanto, cortan a la LT) sus dos trazas coinciden, ambas en la LT.

· En las rectas paralelas al primer bisector las proyecciones forman ángulos iguales y opuestos con la LT.

· En las rectas paralelas al segundo bisector las dos proyecciones son paralelas.

· Las rectas de perfil están situadas en planos de perfil (perpendiculares a los planos PV y PH), y sus dos proyecciones coinciden en una misma línea sobre el papel, por tanto necesitan al menos indicar explícitamente dos puntos para definirse correctamente.

Intersección entre dos rectas Si dos rectas se cortan en un punto A, definen un plano. El punto de corte y común A que, por pertenecer a las dos rectas, estará en las trazas de ambas.

De este modo, si los puntos de corte de las proyecciones de dos rectas están en la misma linea de referencia vertical, esas rectas se cortarán en el espacio y serán coplanarias (pertenecen al mismo plano). En caso contrario, las rectas se cruzarán en el espacio, pero no se cortarán y no formarán ningún plano común. (Véase fig.)

Rectas Paralelas Dos rectas son paralelas tienen proyecciones homónimas paralelas (r´- s´ y r - s)

Intersección de una recta con los planos Bisectores El punto de corte de una recta con el primer bisector tiene la particularidad de tener cota y alejamiento iguales, por lo que sus proyecciones quedan a ambos lados de la LT, y a la misma distancia de ella (el punto puede pertenecer al primer o al tercer cuadrante), por tanto puede determinarse mediante una igualdad de distancias a partir de cualquiera de las proyecciones de la recta.

En el punto de corte de la recta con el segundo bisector, al pertenecer al segundo o al cuarto cuadrante, la cota y el alejamiento son iguales, pero de distinto signo, así que sus proyecciones

son coincidentes y en el papel quedarán ambas al mismo lado de la LT. Este punto puede por tantoobtenerse prolongando las proyecciones de la recta.

Representación de partes Vistas y Ocultas Se representa con línea continua la parte de proyección de recta que se encuentre en el primer cuadrante. Las partes que estén en el resto del espacio (2º, 3º y 4º cuadrantes) se representan con líneas de trazos (ocultas).

EL PLANO

Formas de definir un plano:

-Por 2 rectas R y S que se cortan en un punto.

-Por 2 rectas paralelas.

-Por 3 puntos no alineados.

-Por una recta R y un punto A.

Trazas de un plano.

Son las intersecciones con los planos de proyección (PV y PH). Existe una traza horizontal y una traza vertical que pueden ser concurrentes en la L.T. , paralelas entre sí, etc.

Representación del Plano

En diédrico, el plano se designa mediante una consonante mayúscula. En diédrico, un plano se indica sobre el papel mediante sus trazas (P´- traza vertical y P – traza horizontal), no mediante sus proyecciones.

Las dos trazas de un plano son dos rectas, una perteneciente a V y otra a H, que se cortan en un punto de la LT o son paralelas. Pertenencia de recta a plano Por geometría, se deduce que las trazas de cualquier recta perteneciente a un plano (o sea, los puntos de corte de esa recta con los planos PH y PV) están situadas sobre las trazas del plano (los cortes de ese plano con los planos PH y PV).

Planos paralelos Cuando dos planos paralelos son cortados por un tercero, se obtienen dos rectas paralelas, así que si dos planos son paralelos, sus trazas homónimas también lo son dos a dos.

Rectas notables del plano Son rectas auxiliares de un plano las horizontales del plano y las frontales de plano.

· En las rectas horizontales de plano la proyección vertical r´es paralela a la LT y, al ser su traza horizontal impropia (en el infinito), su proyección horizontal r es paralela a la traza horizontal del plano.

· En las rectas frontales del plano la proyección horizontal r es paralela a la LT y, al ser su traza vertical impropia (en el infinito), su proyección vertical r´es paralela a la traza horizontal del plano.

Pertenencia de punto a plano Un punto pertenece a un plano, si previamente pertenece a una recta del mismo, es decir, para que un punto pertenezca a un plano, debemos encontrar una recta que, conteniendo al punto, esté contenida a su vez en el plano. Si se hace uso de una recta auxiliar (horizontal o frontal), por comodidad, dada la facilidad de su trazado, podemos encontrar fácilmente si el punto pertenece al plano (en la figura, sí pertenece).

Formas de determinar un plano Para determinar las trazas de un plano dados tres puntos no alineados, unimos las trazas de las rectas que unen los puntos dos a dos, ya que las trazas de cualquier recta que pertenezca a un plano están situadas siempre sobre las trazas de dicho plano.

Se emplea el mismo método si tenemos dos rectas o una recta y un punto.

LMP y LMI

· La línea de máxima pendiente (lmp) de un plano es aquella que forma el mayor ángulo posible con el PH. Su proyección horizontal es perpendicular a la traza horizontal del plano.

·∙  La línea de máxima inclinación (lmi) del plano es aquella que forma el mayor ángulo posible con el PV. Su proyección vertical es perpendicular a la traza vertical del plano.

Un plano puede quedar definido únicamente por un punto y por una lmp ó una lmi, conociendo la relación geométrica de perpendicularidad mencionada entre las proyecciones de éstas y las trazas del plano.

Tipos de planos

Estudiaremos las posibles posiciones que un plano puede tomar en el espacio con respecto a los planos de proyección, a los bisectores y a la LT.

• Los planos proyectantes son planos perpendiculares a los p lanos de proyección PH y PV, así que una de sus trazas es perpendicular a la LT.

Este es el plano proyectante horizontal (perpendicular a H):

Y este es el plano proyectante vertical (perpendicular a V):

Se usan para realizar construcciones auxiliares, ya que todo lo que contienen se proyecta horizontal o verticalmente (dependiendo de a qué planos sean perpendiculares) sobre una de sus trazas.

• Los planos paralelos a los de proyección son casos particulares de planos proyectantes. Solo tienen una traza.

Este es el plano horizontal (paralelo a H).

· Y este es el plano frontal (paralelo a V).

· El plano de perfil es perpendicular a la LT y, por tanto, también lo es a H y a V (también se denomina plano doblemente proyectante). Sus trazas coinciden en el papel.

·∙  En los planos perpendiculares al primer bisector las dos trazas forman el mismo ángulo con LT.

· Los planos perpendiculares al segundo bisector tienen sus dos trazas solapadas, formando un ángulo cualquiera con LT.

· Los planos que pasan por la LT tienen sus dos trazas coincidentes con ella, así que se necesita un punto auxiliar que pertenezca al plano para terminar de definirlo. Además del punto, se hace una indicación especial mediante dos marcas paralelas por debajo de la LT.

· Los planos paralelos a la LT tienen sus dos trazas paralelas a ella. Si además son paralelos al primer bisector, entonces sus dos trazas coinciden.

Convencionalismos para Dibujar

En general, para el dibujo de figuras y construcciones en diédrico, deberán seguirse siempre estas reglas:

• La línea de tierra se dibujará con trazo grueso y con los dos trazos (también con línea gruesa) por debajo de los extremos.

• Para dibujar las líneas que unen las dos proyecciones de un mismo punto (líneas de referencia), se usará línea fina continua o de trazos.

• Las aristas de las proyecciones se dibujarán con trazo grueso. Las aristas aparentes se dibujarán con línea continua, y las aristas ocultas y en general todas las aristas o partes que estén fuera del primer diedro se dibujarán con línea de trazos.

• Cuando se dibujen las proyecciones de las rectas, se procurará designar sus trazas, salvo cuando sean impropias o estén fuera del área de dibujo.

• Se evitará dibujar tramos innecesarios de las proyecciones, especialmente si son tramos ocultos.

• Las líneas auxiliares se dibujarán con línea fina continua.

• Los puntos se designarán con letras mayúsculas.

• Las rectas se designarán con letras minúsculas.

• Los planos se designaran con letras griegas.

• Las proyecciones se designarán con la letra o referencia del objeto proyectado seguido de un subíndice, que será 1 para la proyección horizontal, 2 para la vertical y 3 para la lateral (si existe).