SISTEMA DIÉDRICO. EL PUNTO, LA RECTA Y EL PLANO

TEMA 2.

Sistema Diédrico. El Punto, la Recta y el Plano.

2.1. Generalidades del Sistema Diédrico.

En el Sistema de Representación Diédrico, también conocido como sistema de doble

proyección o de Monge, se aplica la proyección cilíndrica ortogonal sobre dos planos de

proyección perpendiculares entre sí llamados plano horizontal (H) y plano vertical (V)

(Fig. 2.1). La intersección de ambos planos se llama línea de tierra y divide a éstos en

dos semiplanos denominados horizontal anterior y posterior, y vertical superior e

inferior.

Figura 2.1

Los planos de proyección se consideran ilimitados, quedando el espacio dividido en

cuatro sectores llamados cuadrantes que se identifican generalmente con números

romanos. El observador se supone siempre situado en el primer cuadrante, es decir, sobre

el semiplano horizontal anterior y frente al semiplano vertical superior.

En el tema anterior se dijo que el objeto de la Geometría Descriptiva es representar sobre

un plano las figuras del espacio y en este sistema se utilizan dos planos de proyección.

Por tanto hay que recurrir a un artificio consistente en proyectar la figura sobre cada uno

de los planos de proyección, y en segundo lugar hacer girar el plano vertical V alrededor

Expresión Gráfica en la Ingeniería

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de la línea de tierra, en el sentido indicado por las flechas de la Fig. 2.2, hasta hacerlo

coincidir con el horizontal.

Figura 2.2

De esta forma los planos horizontal y vertical de proyección quedan representados en

uno sólo en el que se señala, como referencia, la LT. En la parte inferior de los extremos

de la LT se dibujan dos trazos. El semiplano vertical superior (que se confundirá después

del giro con el horizontal posterior) se sitúa por encima de ellos, mientras que el

semiplano horizontal anterior (que se confundirá después del giro con el vertical inferior)

se encuentra por debajo.

Figura 2.3

Los planos bisectores se definen como aquellos que, conteniendo a la línea de tierra,

dividen simétricamente a los cuatro cuadrantes. Si se consideran los dos planos de

proyección y los dos bisectores, llamados primer y segundo bisector (Fig. 2.3), el espacio

queda definido en ocho sectores llamados octantes.

El primer bisector pasa por el primer y tercer cuadrante, y el segundo bisector por el

segundo y cuarto cuadrante.

F. Agüera, F.J. Aguilar, F. Carvajal, M.A. Aguilar, B. Navarro.

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2.2.-Representación del punto.

Sea A un punto cualquiera del espacio situado en el primer cuadrante (Fig. 2.4).

Como es característico de este sistema de representación, los rayos proyectantes Aa y

Aa’ son perpendiculares a los planos de proyección (proyección cilíndrico ortogonal).

Por tanto, el plano que contiene a dichos rayos proyectantes es perpendicular a los planos

de proyección y a la LT, y cortará a los planos H y V según las rectas Oa y Oa'

respectivamente, siendo éstas también perpendiculares a la LT. La proyección vertical

del punto A se identifica mediante a' y la proyección horizontal por a.

Figura 2.4

Figura 2.5

En lo sucesivo se empleará esta notación, según la cual se designará un punto en el

espacio con una letra mayúscula (p.e, A), su proyección horizontal por la misma letra

minúscula (a), y la proyección vertical con la letra minúscula con apóstrofe (a'). El

resultado, una vez girado el plano vertical, se representa en la Fig. 2.5, en la que se

observa que el segmento que une a las proyecciones de cualquier punto debe ser

perpendicular a la LT.


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Se llama cota de un punto A, a su distancia al plano horizontal de proyección y

alejamiento la distancia al vertical. Por tanto la cota de un punto estará representada por

la distancia de su proyección vertical a la LT, mientras que el alejamiento vendrá dado

por la distancia de su proyección horizontal a la LT (Fig. 2.6).

Figura 2.6

En ocasiones se utiliza un tercer plano de proyección perpendicular a los planos

horizontal y vertical de proyección, llamado de perfil (P), que proporciona otro punto de

vista del objeto y complementa la información que aportan las proyecciones horizontal y

vertical.

Figura 2.7

De igual modo que se obtienen las proyecciones horizontal y vertical del punto A,

mediante una proyección cilíndrico-ortogonal, se determina la proyección sobre el plano

de perfil, obteniendo a'', nomenclatura usada para todas las proyecciones de perfil (Fig.

2.7).

Para obtener la representación plana del punto, se realizarán dos abatimientos

consecutivos. Primero se gira, en sentido antihorario, el plano P alrededor de su recta

intersección con el plano V hasta hacerlo coincidir precisamente con este último.

Posteriormente se gira el conjunto V-P alrededor de la LT hasta hacerlo coincidir con H.

El resultado es la representación plana de la Fig. 2.8, en la que la línea continua


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perpendicular a la LT, también llamada traza de perfil, es la intersección entre los planos

de proyección y el de perfil P.

Figura 2.8

El punto cuyas proyecciones se muestran en la Fig. 2.8. se encuentra en el primer

cuadrante, mientras que en las Fig. 2.9a, 2.9b y 2.9c se representan las proyecciones

horizontal, vertical y de perfil de puntos situados en el segundo, tercer y cuarto cuadrante

respectivamente, tal y como se discutirá en el siguiente apartado.

Figura 2.9

2.3.-Alfabeto del punto.

Los puntos pueden ocupar en el espacio infinitas posiciones, que se agrupan en un

número reducido de clases, según su distancia a los planos de proyección horizontal y

vertical. La Fig. 2.10 muestra dichas posiciones tanto en el espacio, colocando en

posición de perfil a los planos de proyección, como en su representación diédrica.


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Figura 2.10

Como se puede observar, un punto se puede encontrar:

− Sobre el semiplano horizontal anterior (A1).

− En el primer cuadrante, y contenido en el primer o segundo octante respectivamente

(A2, A4).

− En el primer cuadrante, sobre el primer bisector (A3).

− Sobre el semiplano vertical superior (A5).

− En el segundo cuadrante, y contenido en el tercer o cuarto octante respectivamente

(A6, A8).

− En el segundo cuadrante, sobre el segundo bisector (A7).

− Sobre el semiplano horizontal posterior (A9).

− En el tercer cuadrante, y contenido en el quinto o sexto octante respectivamente

(A10, A12).

− En el tercer cuadrante, sobre el primer bisector (A11).

− Sobre el semiplano vertical inferior (A13).


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− En el cuarto cuadrante, y contenido en el séptimo u octavo octante respectivamente

(A14, A16).

− En el cuarto cuadrante, sobre el segundo bisector (A15).

− Sobre la línea de tierra (A17).

Los puntos situados en el primer cuadrante tienen su proyección horizontal por debajo de

la LT y la proyección vertical sobre de ella. Los puntos de este cuadrante y situados

sobre el primer bisector tendrán igual cota que alejamiento.

Los puntos situados en el semiplano horizontal anterior tienen su proyección horizontal

por debajo de la LT y la proyección vertical sobre la LT.

Los puntos situados en el semiplano vertical superior tienen su proyección vertical por

encima de la LT y la proyección horizontal sobre la LT.

Para definir la posición de las proyecciones de los restantes puntos respecto a la LT se

procede de igual forma, sin olvidar que el abatimiento del plano vertical sobre el

horizontal condiciona la situación de las proyecciones. En general se debe recordar:

Primer cuadrante: proyección horizontal debajo de la LT y vertical encima.

Segundo cuadrante: ambas proyecciones encima de la LT.

Tercer cuadrante: proyección horizontal encima de la LT y vertical debajo.

Cuarto cuadrante: ambas proyecciones debajo de la LT.

Los planos horizontal y vertical de proyección se pueden definir como el lugar

geométrico de los puntos que tienen una proyección sobre la LT, mientras que los

bisectores son el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos horizontal y

vertical de proyección.

2.4.-Representación de la recta.

La proyección de una recta sobre un plano se obtiene sólo con unir las proyecciones de dos

de los puntos de esa recta. Por tanto, en sistema diédrico, el método general para representar

una recta es obtener las proyecciones de dos de sus puntos y unirlas ordenadamente.

En la Fig. 2.11 se ha representado una recta R de la que se han tomado dos puntos

cualesquiera A y B. La proyección horizontal de R (r), es la recta que une la proyección

horizontal de A (a) con la de B (b), y la vertical (r') es la recta que une la proyección vertical

de A (a') con la de B (b'). La Fig. 2.11 también representa la recta R en el sistema diédrico,

así como los puntos auxiliares que se han usado para su definición.

Las proyecciones de una recta no deben cumplir ninguna condición, es decir, cualquier par

de rectas r y r' pueden ser proyecciones de una recta R en el espacio.


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Figura 2.11

2.5.-Trazas de la recta.

Ya se ha comentado que la definición de una recta se realiza a través de cualquier par de

puntos pertenecientes a ella. Sin embargo, lo más frecuente es utilizar, en caso de existir,

dos puntos particulares llamados trazas con los planos de proyección o simplemente trazas

de la recta.

Se definen las trazas o puntos notables de una recta como los puntos de intersección de la

misma con los planos de proyección y con los bisectores. En la Fig. 2.12 los puntos H y V

son las trazas de la recta R con los planos horizontal y vertical de proyección, que se

denominan traza horizontal y traza vertical, respectivamente. Las intersecciones con los

bisectores se llaman traza con el primer bisector y traza con el segundo bisector.

Figura 2.12

La manera de hallar estas cuatro trazas es fácil. Por un lado, la traza horizontal (H), como

punto perteneciente a la recta R, tiene sus proyecciones h’ y h sobre r’ y r respectivamente.

Además pertenece al plano horizontal por lo que su proyección vertical h' estará sobre la

LT. Luego si h' está en la LT y sobre r', entonces h' será la intersección de r' y la LT,

pudiéndose enunciar la regla siguiente:

Para hallar la traza horizontal de una recta en el Sistema Diédrico, se prolonga su

proyección vertical hasta la LT, donde se encontrará h'. Por este punto se traza una


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perpendicular a la LT hasta cortar a la proyección horizontal de la recta, obteniendo h

(Fig. 2.13).

De forma análoga se puede deducir lo siguiente para la traza vertical:

Para hallar la traza vertical de una recta en el Sistema Diédrico se prolonga su proyección

horizontal hasta la LT, donde estará v. Por este punto se traza una perpendicular a la LT

hasta cortar a la proyección vertical de la recta, obteniendo v'.

El mismo razonamiento se puede aplicar para la determinación de las trazas con los

bisectores. La traza M con el primer bisector es un punto que, además de tener sus

proyecciones sobre las de la recta por pertenecer a ella, éstas deben ser equidistantes de la

LT por estar contenidas en el primer bisector. Por tanto, para hallar la traza de una recta

con el primer bisector, se halla la simétrica de una de las proyecciones de la recta respecto

a la LT, y su intersección con la otra proyección nos determina una de las proyecciones de

la traza.

La traza N con el segundo bisector tendrá sus proyecciones confundidas, y por pertenecer a

la recta deben encontrarse sus proyecciones sobre las proyecciones homónimas de la recta.

Entonces, la traza de una recta con el segundo bisector viene determinada por la

intersección de sus proyecciones horizontal y vertical.

En la Fig. 2.13 se explica gráficamente como se obtiene cada una de las trazas de una recta.

Figura 2.13

2.6.-Partes vistas y ocultas en la recta proyectada.

Como ya se expuso en su momento, en sistema diédrico el observador se supone situado en

el primer cuadrante y por tanto percibirá directamente cualquier punto situado en él, sobre

los semiplanos horizontal anterior y vertical superior y sobre la LT, quedando ocultos

aquellos que se encuentren en el resto de los cuadrantes y semiplanos.


20

Los puntos traza de una recta con los planos de proyección definen los segmentos de esa

recta que pertenecen a los distintos cuadrantes. Basándose en este principio, y para

determinar las partes vistas y ocultas de una recta, se admite como regla general que el

segmento de recta comprendido entre sus trazas será visto y el resto de recta oculto si y

sólo si dichas trazas son puntos vistos.

Figura 2.14

En la Fig. 2.14 la recta R tiene sus dos trazas vistas y por tanto el segmento comprendido

entre ellas será visto y el resto oculto. La parte oculta de una recta se suele representar con

línea a trazos.

Figura 2.15

Análogamente, en la Fig. 2.15 la recta R tiene oculta su traza horizontal y vista la vertical.

Por lo tanto es vista desde esta última hacia la derecha y oculta desde la primera hacia la

izquierda. Puede decirse que cuando una recta tiene vista sólo una traza, es oculta a partir de

ésta en la zona que abarca a la traza oculta.

En el supuesto de que las dos trazas sean puntos no vistos toda la recta será no vista. En la

Fig. 2.16 se representa una recta de estas características.


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Figura 2.16

Como se puede comprobar fácilmente, una recta puede pasar por tres cuadrantes como

máximo.

2.7.-El punto sobre la recta.

La condición necesaria y suficiente para que un punto esté contenido en una recta es que

las proyecciones del punto estén contenidas en las proyecciones homónimas de la recta.

Figura 2.17

La excepción a esto lo constituyen las rectas paralelas al plano de perfil o rectas de perfil,

que se definirán en el apartado 2.9. Este es el único caso en el que se pueden encontrar

puntos que tienen sus proyecciones sobre las de la recta y no pertenecen a ella. Para

determinar si efectivamente el punto pertenece o no a la recta, se acude a la proyección de

perfil. En la Fig. 2.17 se puede observar que las proyecciones horizontal y vertical del punto

A están contenidas en r y r’ respectivamente, aunque dicho punto no pertenece a la recta R,

como puede apreciarse en el plano de perfil.


22

2.8.-Posición relativa de dos rectas.

Para que dos rectas se corten deben tener un punto en común. En consecuencia las

proyecciones de éste estarán en las proyecciones homónimas de las dos rectas. Además,

como todo punto en representación diédrica, tendrá sus proyecciones alineadas en dirección

perpendicular a la LT.

Por tanto, si los puntos intersección de las proyecciones homónimas de dos rectas se

encuentran alineados en dirección ortogonal a la LT, se puede asegurar que ambas rectas

se cortan (Fig. 2.18). Además, el punto intersección de las rectas en el espacio se proyectará

precisamente sobre las intersecciones de las proyecciones homónimas de las rectas.

Figura 2.18

Pero si una de las rectas es paralela al plano de perfil, puede que no se cumpla la regla

anterior. En la Fig. 2.19 se comprueba que las proyecciones horizontal y vertical de la recta

de perfil S, que pasa por los puntos A y B, y la recta R, se cortan en i e i’ respectivamente.

Sin embargo la proyección de perfil pone de manifiesto que I no es el punto de intersección

de las rectas en el espacio.

Figura 2.19


23

Un caso particular de intersección de rectas es el de aquellas que se cortan en el infinito, es

decir, el de rectas paralelas. En este caso las proyecciones del punto I también estarán en el

infinito por ser un punto impropio y por tanto, las proyecciones de las rectas deberán ser

paralelas (Fig. 2.20).

Figura 2.20

2.9.-Alfabeto de la recta.

Al igual que para el caso del punto, el alfabeto de la recta se refiere a las particularidades

que presentan las proyecciones de una recta según su posición en el espacio.

Recta situada en el plano horizontal. Cualquier recta R de estas características tendrá la

proyección horizontal confundida con ella misma y la vertical sobre la LT. Como casos

particulares se pueden citar el de la recta S paralela a la LT que tendrá su proyección

horizontal paralela a la LT, y el de la recta T perpendicular a la LT que tendrá como

proyección vertical un punto (Fig. 2.21). La proyección horizontal de estas rectas se verá en

verdadera magnitud.

Figura 2.21

Recta horizontal o paralela al plano horizontal. Se caracteriza por tener todos sus puntos

con la misma cota. En consecuencia sus proyecciones verticales equidistarán de la LT. La

proyección horizontal no debe reunir ninguna condición especial (rectas R, S y T de la Fig.


24

2.22). Cualquier recta situada en el plano horizontal de proyección o en otro paralelo a él se

proyecta horizontalmente en verdadera magnitud.

Figura 2.22

Recta paralela a la LT. Las proyecciones de una recta paralela a la LT son paralelas a su

vez a la LT (Fig. 2.23). Tanto la proyección vertical como horizontal se verán en verdadera

magnitud.

Figura 2.23

Recta situada en el plano vertical. Cualquier recta de estas características tendrá la

proyección vertical confundida con ella misma y la horizontal sobre la LT. La proyección

vertical se verá en verdadera magnitud. La Fig. 2.24 muestra algunas de estas rectas.


25

Figura 2.24

Recta frontal o paralela al plano vertical. Todos los puntos de una recta de este tipo tienen

el mismo alejamiento y en consecuencia, sus proyecciones horizontales equidistarán de la

LT. La proyección vertical no debe cumplir ninguna condición especial (Fig. 2.25).

Cualquier recta situada en el plano vertical o en uno paralelo a él se proyecta verticalmente

en verdadera magnitud.

Figura 2.25

Recta de punta o perpendicular al plano horizontal. Su proyección vertical es perpendicular

a la LT y la proyección horizontal es un punto (recta T de la Fig. 2.25). Las rectas paralelas

al plano vertical se proyectan verticalmente en verdadera magnitud.

Recta de punta o perpendicular al plano vertical. Su proyección horizontal es perpendicular

a la LT y la proyección vertical es un punto (recta T de la Fig. 2.22). Las rectas paralelas al

plano horizontal se proyectan horizontalmente en verdadera magnitud.

Recta de perfil. Es toda aquella contenida en un plano perpendicular a la LT (plano de

perfil). Sus proyecciones las tiene confundidas y perpendiculares a la LT (Fig. 2.26). Por

tanto, si se quiere representar una recta de perfil proyectada sobre el diedro, será necesario

definir dos puntos contenidos en ella.


26

Figura 2.26

Recta que pasa por la LT. La única particularidad de estas rectas es que la traza vertical y

horizontal están confundidas en un mismo punto de la LT (Fig. 2.27). Por tanto, sus

proyecciones convergen en ese punto.

Figura 2.27

Recta situada en el primer bisector. Estas rectas pueden cortar o no a la LT. Si la cortan,

como es el caso de la recta R de la Fig. 2.28, sus dos proyecciones serán concurrentes en un

punto de la LT, y además, por pertenecer al primer bisector, estas serán simétricas respecto

a la LT, ya que cualquier punto de R tendrá sus proyecciones equidistantes de la LT. Ambas

proyecciones forman con la LT el mismo ángulo α. Si las proyecciones no cortan a la LT,

es decir son paralelas a ella, tendrán además que equidistar de la LT (recta T de la Fig.

2.28).


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Figura 2.28

Recta situada en el segundo bisector. Todo punto de estas rectas tendrá confundidas sus

proyecciones, por pertenecer al segundo bisector. Como en el caso anterior, podrán cortar a

la LT (recta R de la Fig. 2.29) o ser paralela a la LT (recta T de la Fig. 2.29).

Recta paralela al primer bisector. La traza de este tipo de recta con el primer bisector es un

punto impropio, es decir, la recta cortará al primer bisector en el infinito. Por tanto no se

encontrará ningún punto que pertenezca a la recta con igual cota que alejamiento en el

primer o tercer cuadrante. La condición que debe cumplir una recta R para ser paralela al

primer bisector es que una de sus proyecciones ha de ser paralela a la simétrica de la otra

respecto a la LT (Fig. 2.30).

Figura 2.29


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Figura 2.30

Recta paralela al segundo bisector. Una recta R (Fig. 2.31) situada en el segundo bisector

tendrá sus proyecciones confundidas. Una recta T paralela a R tendrá sus proyecciones

paralelas a las de R. Como T no pertenece al segundo bisector sus proyecciones no

coincidirán. Por tanto, las rectas paralelas al segundo bisector tienen sus proyecciones

paralelas entre sí.

Figura 2.31

2.10.-Representación del plano. Trazas de un plano.

Un plano queda determinado por tres puntos no alineados, por un punto y una recta, por

dos rectas paralelas o por dos rectas que se cortan. Este último caso es el más empleado

en geometría descriptiva, utilizando como rectas para definir el plano las intersecciones

de éste con los planos horizontal y vertical de proyección, llamadas traza horizontal y

traza vertical del plano, respectivamente.

En la Fig. 2.32 un plano cualquiera P corta al plano horizontal de proyección según la

recta P (traza horizontal) y al vertical de proyección según la recta P' (traza vertical).

Todo plano oblicuo corta a un diedro según dos rectas concurrentes en un punto de su

arista. De igual modo, ambas trazas concurrirán en un punto de la LT, que en este caso es

la arista del diedro formado por los planos de proyección. Por tanto, la condición que

deben reunir las trazas de un plano es que sean concurrentes en un punto de la LT (Fig.


29

2.33). Como excepción se presenta el plano paralelo a la LT, cuyas trazas son paralelas a

la misma (en realidad cortan a la LT en un punto impropio).

Figura 2.32

Figura 2.33

2.11.-Recta y punto situados en un plano.

La recta R situada en el plano P (Fig. 2.34) cortará al plano horizontal en un punto de la

traza horizontal, y al vertical en un punto de la traza vertical del plano. En consecuencia,

para que una recta esté contenida en un plano es necesario que sus trazas estén sobre las

trazas homónimas del plano. La inversa también es cierta: si un plano contiene a una

recta sus trazas pasan por las trazas homónimas de la recta.

Para situar una recta R en un plano P (Fig. 2.35), se tomará un punto H de la traza

horizontal P del plano y otro V de la traza vertical P' y se unirán entre sí.

Para situar un punto cualquiera en un plano basta con definir una recta situada en él y

luego elegir uno de sus puntos.


30

Figura 2.34

Figura 2.35

2.12.-Rectas particulares de un plano: horizontales, frontales, de

máxima pendiente y de máxima inclinación.

Recta horizotal de plano. Es una recta que pertenece a un plano y es paralela al

horizontal de proyección. Por ser paralela al plano horizontal tendrá su proyección

vertical paralela a la LT, y por pertenecer al plano su traza vertical debe estar en la traza

vertical del plano. Este mismo paralelismo hace que la traza horizontal de la recta sea un

punto impropio, y por tanto, que su proyección horizontal sea paralela a la traza

horizontal del plano.

En la Fig. 2.36 la recta R es una horizontal del plano P, su proyección horizontal r es

paralela a la traza horizontal de P y su proyección vertical r’ es paralela a la LT, estando

su traza vertical V contenida en la traza vertical P’ del plano.

Las rectas horizontales de un plano pueden considerarse como el resultado de la

intersección de dicho plano con planos horizontales de diferentes cotas (Fig. 2.37). Una

horizontal de plano se proyectará horizontalmente en verdadera magnitud.


31

Figura 2.36

Figura 2.37

Recta frontal de plano. Es una recta R situada en el plano P y paralela al plano vertical de

proyección (Fig. 2.38). Este tipo de rectas pueden considerarse como el resultado de la

intersección del plano en cuestión con planos paralelos al vertical de proyección, situados

a diferentes alejamientos.

Siguiendo un razonamiento parecido al anterior se puede deducir que las frontales de

plano tienen su proyección vertical paralela a la traza vertical del plano que las contiene,

y su proyección horizontal paralela a la LT (Fig. 2.39). La traza horizontal H está

contenida en la traza horizontal P del plano.

Línea de máxima pendiente. Es una recta R, que está contenida en el plano P, y es

perpendicular a su traza horizontal (Fig. 2.40).

Para trazar una línea de máxima pendiente a un plano, se dibuja una recta r perpendicular

a la traza horizontal del plano (Fig. 2.41) obteniéndose las proyecciones horizontales de

las trazas horizontal y vertical de R. A continuación se calculan las proyecciones

verticales de las mismas y se unen ordenadamente.


32

Figura 2.38

Figura 2.39

Figura 2.40


33

Figura 2.41

Se define la pendiente de una recta como la tangente del ángulo que forma esta recta con

el plano horizontal. Se deduce lógicamente que no existe ninguna recta del plano cuya

pendiente sea mayor que la de su línea de máxima pendiente. Por tanto, la línea de

máxima pendiente es el camino que seguirá una gota de agua cuando se deposita sobre el

plano P.

Línea de máxima inclinación. Es una recta R contenida en un plano P y perpendicular a

su traza vertical, P’ (Fig. 2.42).

Figura 2.42

Su proyección vertical (r') es perpendicular a la traza vertical (P') del plano (Fig. 2.43).

De las infinitas rectas que pertenecen al plano, será la línea de máxima inclinación la que

forma mayor ángulo respecto al plano vertical de proyección.


34

Figura 2.43

2.13.-Alfabeto del plano.

Los planos se pueden clasificar en función de su posición respecto a los de proyección:

Plano P perpendicular al plano horizontal o proyectante horizontal. La traza vertical P'

es perpendicular a la LT y la horizontal P puede tomar cualquier dirección (Fig. 2.44). El

plano P es proyectante horizontal ya que todos los puntos contenidos en él tendrán su

proyección horizontal sobre la traza horizontal P. Este es el caso del punto A y la recta R

representados en la Fig. 2.44.

Figura 2.44

Plano P perpendicular al plano vertical o proyectante vertical. La traza horizontal P es

perpendicular a la LT y la vertical P' puede adoptar cualquier posición (Fig. 2.45). Este

plano es proyectante vertical porque los puntos en él contenidos, como el punto A y la

recta R, tienen su proyección vertical sobre la traza vertical P' del plano.


35

Figura 2.45

Figura 2.46

Figura 2.47

Plano de perfil o perpendicular a la LT. Por ser perpendicular a la LT lo será también a

los planos proyectantes. Sus trazas serán perpendiculares a la LT y se confundirán en una

sola recta (Fig. 2.46), donde se encontrarán las proyecciones de todos sus puntos. Las

figuras contenidas en este tipo de plano se proyectan en verdadera magnitud sobre el

plano de perfil.


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Plano horizontal o paralelo al horizontal de proyección. Este tipo de plano no tiene traza

horizontal al no cortar al horizontal de proyección. Por tanto la traza vertical será siempre

paralela a la LT pudiendo estar por encima o por debajo de ella (Fig. 2.47). Las figuras

contenidas en este tipo de plano se proyectan en verdadera magnitud sobre el plano

horizontal.

Plano frontal o paralelo al vertical de proyección. Del mismo modo que en el caso

anterior, este plano no tendrá traza vertical al ser paralelo al vertical de proyección, la

traza horizontal será paralela a la LT, pudiendo estar por encima o por debajo de ella

(Fig. 2.48). La proyección vertical de cualquier figura contenida en un plano de este tipo

se verá en verdadera magnitud.

Figura 2.48

Plano paralelo a la LT. Las dos trazas de un plano de este tipo son paralelas a la LT y

por tanto, todas las horizontales y frontales de plano serán paralelas a la LT (Fig. 2.49).

Figura 2.49

Plano que pasa por la LT. En este caso el plano no queda determinado por sus trazas ya

que éstas están confundidas con la LT. Para que quede totalmente determinado se suele

usar un punto (A) del plano y dos trazos, por debajo de la línea de tierra, simétricos a la

línea que une las proyecciones de dicho punto (Fig. 2.50).


37

Figura 2.50

Plano perpendicular a uno de los bisectores. En la Fig. 2.51 aparece la traza de perfil del

primer bisector representada por la recta OM. Si en el plano de perfil se traza una recta

perpendicular a OM, dicha recta será perpendicular también al primer bisector.

Figura 2.51

Además el ángulo formado por los segmentos OD y ON es igual al formado por ON y

OB, ambos de 45°. Por tanto en el triángulo DOB se verificará que el ángulo del vértice

D será igual al del vértice B y ambos iguales a 45°, por lo que OB=OD. Al abatir el plano

vertical sobre el horizontal, D se desplazará hasta A, cumpliéndose que OA=OB.

Cualquier plano, como el BCD, que pase por BD, será perpendicular al primer bisector

por serlo BD. Luego al girar el plano vertical sobre el horizontal tomando como eje de

giro la LT, su traza vertical CD tomará la posición CA, simétrica a CB respecto a la LT,

por ser A y B puntos simétricos.

Se deduce que todo plano perpendicular al primer bisector tiene sus trazas simétricas

respecto a la LT, tal como se muestra en la Fig. 2.52.


38

Repitiendo el mismo razonamiento para el plano ADC de la Fig. 2.51, perpendicular al

segundo bisector, se demostraría que al girar el plano vertical hasta hacerlo coincidir con

el horizontal tomando como eje de giro la LT, su traza vertical CD coincidiría con la

horizontal CA, probando que todo plano perpendicular al segundo bisector tiene sus

trazas confundidas (Fig. 2.53).

Figura 2.52

Figura 2.53

Si el plano es perpendicular a uno de los bisectores y paralelo a la LT, sus trazas serán

paralelas a la LT, equidistando de ella si es perpendicular al primer bisector (Fig. 2.54), o

confundiéndose en una sola si es perpendicular al segundo bisector (Fig. 2.55).


39

Figura 2.54

Figura 2.55

2.14.-Formas planas.

Por un punto situado en el espacio se pueden hacer pasar infinitas rectas, por lo que

existirán infinitos planos que lo contengan. De igual forma, una recta situada en el

espacio no define un plano, si no un conjunto de infinitos de ellos, denominado haz de

planos.

En el apartado 2.10 se hizo una enumeración de los elementos necesarios para determinar

un plano. Todas las posibilidades se reducen a conocer tres puntos no alineados, puesto

que a partir de ellos se pueden definir dos rectas que se cortan, dos rectas paralelas o una

recta y un punto exterior a ella.

De aquí se deduce el siguiente principio: dados tres puntos no alineados en el espacio,

existe uno y sólo un plano que los contenga. Además la figura geométrica que definen es

un triángulo cuyos lados también están contenidos en dicho plano. La condición que debe

cumplir un cuarto punto para determinar un cuadrilátero plano es pertenecer al plano

definido por los tres primeros.


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Por tanto, y en general, todos los vértices que definen cualquier forma plana deben

pertenecer al mismo plano, con lo cual también pertenecerán a él los infinitos puntos que

forman sus lados rectos o curvos. De forma recíproca, cualquier combinación de tres

puntos no alineados pertenecientes a una forma plana que se elijan debe definir el mismo

plano.

SISTEMA DIÉDRICO. EL PUNTO, LA RECTA Y EL PLANO

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