Sistema diédrico ortogonal (II)8. Sistema diédrico ortogonal (II) 8.1. Intersecciones 151...

Todos los sistemas de representación de los que se ocupa la geometría descriptiva se basan en métodosy teoremas que presentan las formas geométricas de figuras de dos o tres dimensiones sobre un soporteplano, denominado plano del cuadro.

Estos sistemas se fundamentan en el concepto de proyección. En este capítulo vamos a continuarestudiando el sistema diédrico ortogonal.

Los contenidos que se desarrollan giran en torno a intersecciones, paralelismo, perpendicularidad, distanciasy ángulos.

08Sistema diédrico ortogonal (II)

08_DIBUJO_TECNICO_1_BCH_149_162.qxd:Modelo mio 14/12/11 00:32 Página 149

8. Sistema diédrico ortogonal (II)8.1. Intersecciones

150

8.1. Intersecciones

cc A. Intersecciones de planos: método general

La intersección de dos planos es una recta r. Para su determinación se opera del modo siguiente:

1. Dados los planos a y b, se cortan por un plano auxiliar p cuyas intersecciones con ambos seanfáciles de realizar, por ejemplo, s y t; el punto A de corte de las citadas intersecciones corresponde-rá a la recta r de intersección entre a y b.

2. Esta operación se repite tomando otro plano auxiliar p’ para situar otro punto B, que unido con Adetermina la recta de intersección r buscada entre los planos propuestos, a y b.

3. Si consideramos como planos auxiliares los de proyección, estos cortan a los propuestos en sus pro-pias trazas. Por tanto, las intersecciones de las trazas ha y hb proporcionan el punto Hr de la recta rde intersección, y de igual modo las trazas va y vb determinan al punto Vr. Uniendo las representa-ciones homónimas de dichos puntos se obtiene la recta r de intersección buscada (Fig. 8.1).

Los procesos para determinar la representación de la recta de intersección entre dos planos varían se-gún sus trazas se corten o no dentro de los límites del papel. Veamos los dos casos:

ccc Las trazas se cortan dentro de los límites del papel

Observa en las figuras algunas representaciones entre diferentes tipos de planos cuyas trazas se cortan enlos límites del papel, y donde se ha aplicado lo expuesto anteriormente para hallar la recta de intersección.

Intersección entre planos a y b oblicuos

Las rectas r de intersección son oblicuas (Fig. 8.2).

Fig. 8.1. Intersecciones de planos, método general.

t'

r1

a bp

r2

A

B

t

r

s'

s

p'

ha

va

hb

vb PV

PHHr

Vr

r1

r2

Hr

Vr

ha hb

va vb

HV

HV

Fig. 8.2. Diversas formas de intersección entre planos oblicuos.

r1

r2

ha

va

Hr

Vr

hb

vb

V

H

r1

r2

ha

va

Hr

Vr

hb

vb

VH

r1

r2

ha

va

Hr

Vr

hb

vb

r1

r2

ha

va

Hr

Vr

hb

vb

V H



151

Intersección entre un plano a oblicuo y otro b frontal, y de un plano aoblicuo con uno b horizontal

En el primer caso la recta r de intersección resulta ser una frontal de ambosplanos; y en el segundo, r es horizontal, también de los planos a y b (Figs.8.3 y 8.4).

Fig. 8.3. Intersección entre un plano oblicuo yun plano frontal.

r1

r2

ha

va

Hrhb

H

Fig. 8.4. Intersección entre unplano oblicuo y un plano vertical.

r1

r2

ha

va

Vr

vb

V

Fig. 8.5. Intersección entre un plano vertical con otro de canto.

r1

r2

ha

va

Hr

Vr

hb

vb

V

H

Intersección entre un plano a vertical y otro b de canto

La recta r de intersección es oblicua y sus proyecciones coinciden con lastrazas del plano (Fig. 8.5).

Fig. 8.6. Intersección entre un plano oblicuo yotro de canto.

r1

r2

ha

va

Hr

Vr

hb

vb

V

H

Intersección entre un plano a oblicuo y otro b de canto

La recta r de intersección es oblicua, coincidiendo la representación r2 conla traza vertical del plano de canto (Fig. 8.6).

Fig. 8.7. Intersección entreun plano oblicuo y otrovertical.

r1

r2

ha

va

Hr

Vr

hb

vb

H

V

Intersección entre un plano a oblicuo y otro b vertical

La recta r de intersección es oblicua, coincidiendo la representación r1 conla traza horizontal del plano vertical (Fig. 8.7).

Intersección entre un plano a paralelo a la LT y otro oblicuo b

En este caso la recta r de intersección es oblicua (Fig. 8.8).

Fig. 8.8. Intersección entre unplano paralelo a la LT y otrooblicuo.

r1

r2

ha

va

Hr

Vr

vb

H

V



152

Intersección entre un plano a línea de tierra punto y otro plano b oblicuo

1. El punto I1 – I2 en que el plano b corta a la LT está en la recta de intersección, de ahí que baste con tra-zar un plano auxiliar p, horizontal, que contenga al punto A1 –A2 del plano a , y se determina el puntoB1 – B2 , corte de las dos rectas de intersección entre los planos p y a, recta t; y p y b, recta m.

2. Uniendo las proyecciones homónimas de los puntos I y B se obtiene la recta r solución (Fig. 8.9).

Fig. 8.9. Intersección entre un plano línea de tierra punto y otro oblicuo.

r1

r2

hb

vb

A1

A2

va = haI1 = I2

B1

B2

m1

vp = t2 = m2

hb

vb

A1

A2

va = haI1 = I2

t1

ccc Las trazas horizontales o verticales se cortan fuera de los límites del dibujo

En estos casos particulares en que solo se puede hallar un punto de la recta de intersección prolon-gando las trazas horizontales o verticales de los planos dados a y b, para obtener otro, necesariopara dar solución al problema, se tomará un plano auxiliar de apoyo, paralelo a uno de los planos deproyección.

1. Observa el proceso seguido en la Figura 8.10, donde se ha utilizado un plano auxiliar p paralelo alplano horizontal de proyección, y un p’ paralelo al vertical de proyección, en la citada figura sedeterminan los puntos A1 – A2 y B1 – B2 , respectivamente, según sean las trazas que no se cortanen los límites del dibujo.

2. Uniendo estos puntos con los anteriores se determinan al cortarse las mencionadas trazas de los pla-nos I1 – I2 y J1 – J2 se obtienen las rectas r y r’ de intersección buscadas (Fig. 8.10).

3. Si los planos que se cortan tienen sus trazas verticales o las horizontales paralelas, la recta deintersección es paralela a ellas. Por tanto, serán una vertical u horizontal de los dos planos respec-tivamente (Fig. 8.11).

Fig. 8.10. Dos casos en los que las trazas secortan fuera de los límites del dibujo.

r1

r2

hb

vb

B1

B2

J2

m2

m1 = t1

va

t2

J1

hp'

ha

r1

r2

hb

vb

A1

A2

I2

m1

m2 = t2 vp

va

t1I1

ha

Fig. 8.11. Dos casos en los que las trazas sonparalelas.

r1

r2

ha

va

Hr

vb

hb

r1

r2

ha

va

Vr

vb

hb

H

V



153

ccc Ni las trazas horizontales ni las verticales se cortan en los límites del dibujo

En este caso, donde ninguna de las trazas de los planos se cortan dentro de los límites del dibujo, se ac-túa del modo siguiente: se cortan simultáneamente, los dos planos a y b dados por medio de otros dosplanos horizontales p y V auxiliares, que al interseccionar a los propuestos mediante horizontales delos planos determinan los puntos A1 – A2, y B1 – B2, que corresponden a la recta de intersección de losplanos dados (Fig. 8.12).

Fig. 8.12. Ni las trazas horizontales ni las verticalesse cortan en los límites del dibujo.

r1

r2

ha

vavb

hb

t2

m2

t1 n1

s1

n2

s2 vp

vV

m1

ccc Intersección de una recta rcon un plano a oblicuo

En las Figuras 8.14 y 8.15 se puede apreciar cómose resuelven algunos casos de intersección de unarecta r dada con un plano a. Se han utilizado comoplanos auxiliares los proyectantes de la recta sobreel horizontal o el vertical de proyección respecti-vamente, es decir, planos verticales o de canto.

cc B. Intersección de recta con plano

La intersección de una recta r con el plano a es un punto A; para hallarlo se ha de tomar un planoauxiliar b que contenga a la recta. La intersección de a con b será una recta s que corta a la dada en elpunto A; este punto es la solución del problema.

Los planos auxiliares más recomendables, por la facilidad que dan para situar la recta dada en ellos, son los llamados planos proyectantes, es decir, perpendiculares a uno de los planos de proyección. Observa en laFigura 8.13 las construcciones desarrolladas para hallar el punto A de intersección de la recta r con el plano a.

Fig. 8.14. Intersección de una recta con un planooblicuo. Plano auxiliar: plano proyectante del vertical,o plano de canto.

r1

ha

va

hb

r2 = vb = s2

HsVs

s1

A1

A2

V

Fig. 8.15. Intersección de una recta con un planooblicuo. Plano auxiliar: plano proyectante delhorizontal, o plano vertical.

HV

s2

ha

va

Hs

Vs

vb

A2

hb = r1 = s1

A1

Fig. 8.13. Intersección de recta con plano.

r

PV

r1

r2

hb = r1

r2

PH

A

r

a

b A2

A1

A

s

s1

s2

ha

va

hb

vb

Vs

Hs

A2

A1

va

vb

Vs

Hs

s1

s2

ha

H

V



154

ccc Intersección de una recta r con un plano a proyectante del horizontal,o plano vertical

Donde la representación r1 de la recta dada corta a ha se encuentra A1, proyección horizontal del puntode intersección de r con a. Proyectando ortogonalmente desde A1 a r2 se determinará A2 (Fig. 8.16).

ccc Intersección de una recta r con un plano a proyectante del vertical,o plano de canto

De manera análoga, si el plano es proyectante del vertical se emplea un razonamiento similar al anterior.Donde la representación r2 de la recta corta a va se halla A2; proyectando desde este punto a r1 se deter-mina A1, con lo que queda definido el punto de intersección de la recta r con el plano buscado (Fig. 8.17).

ccc Casos particulares

Intersección de una recta r vertical con un plano a. Intersección de una recta s de punta con un plano b

En el primer caso (Fig. 8.18), se ha utilizado un plano auxiliar p paralelo al PV; y en el segundo(Fig. 8.19), uno paralelo al PH, V. En ambos casos, el punto de intersección buscado se determina me-diante la aplicación de los procedimientos expuestos anteriormente.

ccc Intersección de una recta de perfil r con un plano a

Dada la recta r1 – r2 cuyas trazas son Vr y Hr y el plano a, el plano auxiliar que se utiliza para contenera este tipo de rectas es el de perfil; por ejemplo b, que contiene a la recta r. Como ya es sabido, esteplano corta a a según una recta de perfil m.

Estas rectas m y r se abaten, y donde ambas se corten estará el punto A de intersección. Desabatiéndoloa su plano, quedarán determinadas sus proyecciones A1 – A2 (Fig. 8.20).

Fig. 8.17. Intersección de una recta con un plano decanto.

r1

ha

var2

A1

A2

Fig. 8.18. Intersección de una recta vertical con unplano.

r2

ha

va

hp = t1Ht

I2

r1 = I1

t2

H

Fig. 8.19. Intersección de una recta de punta con unplano.

r1 ha

va

r2 = I2Vt

t1

I1

vV = t2

V

Fig. 8.20. Intersección de una recta de perfil con unplano.

ha

va

hb

vb

Hm

Vm

A1

A2(A)

(r)

(m)

Hr

Vr

Fig. 8.16. Intersección de una recta con un planovertical.

r1 ha

var2

A1

A2


8. Sistema diédrico ortogonal (II)8.2. Paralelismo

155

8.2. Paralelismo

cc A. Paralelismo entre rectas

Como ya se expuso anteriormente en el apartado dedicado a «Posiciones relativas de dos rectas», dosrectas son paralelas cuando tienen sus proyecciones homónimas paralelas entre sí.

Inversamente, podemos decir que si las proyecciones homónimas de dos rectas son paralelas, las rectasen el espacio también lo son (Fig. 8.21). Como excepción a esta regla están las rectas de perfil que, aunteniendo sus proyecciones paralelas, pueden ser o no paralelas en el espacio.

Para comprobar que las rectas r y s de perfil son paralelas es necesario abatirlas sobre un plano a auxi-liar de perfil, para hallar sus trazas y observar si sus representaciones (r) y (s), abatidas, son o no pa-ralelas. Observa en las Figuras 8.22 y 8.23 un caso con rectas paralelas y otro en que no lo son.

Fig. 8.21. Dos rectas paralelas y unas proyecciones en sistema diédrico.

PV

PH

r1

r2

Hs

Vs

s1

s2

Hr

Vr

sr

r1

r2

Hs

Vs

s1

s2

Hr

Vr

HVH

V H

V

H

V

Fig. 8.22. Dos rectas de perfil paralelas.

A1

A2(A)

B1

B2(B)

C1

C2(C)

s1

s2

(s)

D1

D2(D)

r1

r2(r)

ha

(Vs)

(Hs)

(Vr)

(Hr)

Vs

Hs

Vr

Hr

(va)

O

Fig. 8.23. Dos rectas de perfil no paralelas.

A1

A2 (A)

B1

B2 (B)

C1

C2 (C)

s1

s2

(s)

D1 = D2

r1

r2

(r)

ha

(Vr)

(Hr)

Vr

Hr

va

O = (D)


8. Sistema diédrico ortogonal (II)8.2. Paralelismo

156

ccc Plano a paralelo a una recta dada, y que contiene un punto A

Este caso consiste en trazar un plano que contenga a un punto dado A1 – A2 y tenga que ser paralelo auna recta también dada r1 – r2; se resuelve trazando por A1 – A2 una paralela s1 – s2 a r1 – r2; se hallansus trazas, y cualquier plano que la contenga será una solución posible (Fig. 8.25).

Fig. 8.25. Plano paralelo a una recta dada quecontiene un punto dado.

r1

r2

ha

va

HsVs

s1

s2

A1

A2

HV

Fig. 8.24. Recta paralela a un plano.

r1

r2

ha

va

Hs

Vs

s1

s2

A1

A2

H

V

cc B. Paralelismo entre recta y plano

Para que una recta sea paralela a un plano se ha de cumplir que lo sea a una recta cualquiera contenidaen dicho plano.

ccc Recta r paralela a un plano a dado, y que contiene un punto A exterior a él

Basta con trazar por las proyecciones del punto A dado, y una paralela a cualquier recta contenida en elplano a, por ejemplo, la recta s. Es obvio pensar que hay infinitas rectas paralelas a un plano (Fig. 8.32).

Recordemos que, para que una recta pertenezca a un plano, sus trazas tienen que estar situadas en lahomónima del plano (Fig. 8.24).

cc C. Paralelismo entre planos

Dos planos paralelos tienen sus trazas homónimas paralelas, dado que se cumple que las rectas deintersección de dos planos paralelos, con cualquier otro plano, son paralelas. De esta afirmación seexceptúan los planos paralelos a la LT, puesto que pueden no serlo.

ccc Plano a paralelo a otro b dado, y que contiene un punto A

El problema se reduce a trazar por A1 – A2 dos rectas paralelas respectivamente a dos contenidas en elplano b. Se hallan sus trazas y se unen las de igual nombre entre sí, y así se obtienen las trazas delplano a.

Para agilizar estas operaciones es conveniente utilizar una vertical r y una horizontal s del plano,puesto que se conocen sus direcciones, y por ello se actúa del modo siguiente: por las trazas Vr y Hs deestas dos rectas, han de pasar las trazas va y ha del plano solución (Fig. 8.26).

Fig. 8.26. Plano paralelo a uno dado y que contieneun punto dado.

r1

r2

ha

va

Hs

Vr

s1

s2

A1

A2

hb

vb

H V


8. Sistema diédrico ortogonal (II)8.3. Perpendicularidad

157

8.3. PerpendicularidadAntes de comenzar este apartado, conviene recordar los siguientes teoremas:

Fig. 8.27. Si una recta es perpendicular a un plano,lo es también a todas las rectas contenidas en él.

a

ms

r

t

Fig. 8.28. Teorema de las tres perpendiculares.

a

r

s

B1

B

I1

I

r1A1

A

s1

Fig. 8.29. Teorema de las tres perpendiculares a lainversa.

a

s

I = I1

r = r1 A1

A

s1

Fig. 8.30. Recta perpendicular a un plano.

r1

r2

ha

va

A1

A2

• Si una recta r es perpendicular a un plano a,lo es también a todas las rectas que formandicho plano (Fig. 8.27). De manera recípro-ca, una recta será perpendicular a un planocuando lo sea a dos rectas cualesquiera dedicho plano que no sean paralelas.

• Teorema de las tres perpendiculares: si dosrectas r y s son perpendiculares en el espacioy una de ellas, r por ejemplo, es paralela aun plano a, sus proyecciones ortogonales r1y s1 sobre este serán perpendiculares (Fig.8.28).

Este principio se cumple también inversamente,es decir, si las proyecciones r1 y s1 de dos rectasr y s del espacio son perpendiculares y la recta, rpor ejemplo, es paralela o contenida en el planoa de proyección, dichas rectas r y s son perpen-diculares en el espacio (Fig. 8.29).

ccc Recta perpendicular a un plano

Para que una recta sea perpendicular a un plano se ha de cumplir que las proyecciones de la recta seanperpendiculares a las trazas del plano.

Si se quiere trazar, desde un punto A dado, una recta r perpendicular a un plano a, es suficiente con tra-zar desde las representaciones A1 y A2 del punto y las proyecciones r1 y r2 perpendiculares a las trazasdel plano, es decir, a va y ha (Fig. 8.30).

Como puede apreciarse en la Figura 8.31, su represen-tación t2 ha de ser perpendicular a r2, así se podrán si-tuar las trazas del plano a pedido.

Es conveniente apuntar que con solo una de las rec-tas, s o t, es suficiente para determinar el plano a.Véase la Figura 8.32, donde se ha utilizado una hori-zontal s del plano a para dar solución al problema.

Situada la recta s1 – s2, por su traza Vs se traza va per-pendicular a r2, y donde esta corta a la LT se dibuja ha,paralela a s1. En el caso de querer aplicar una rectafrontal se actuaría de manera similar a la expuesta.

Fig. 8.31. Plano perpendicular a una recta.

r1

r2

ha

va

A1

A2

s1

s2

t1

t2

Vs

Ht

V

H

Fig. 8.32. Plano perpendicular a una recta.

ccc Plano perpendicular a una recta

Análogamente, para que un plano sea perpendicular a una recta las trazas del plano han de ser perpen-diculares a las proyecciones de la recta.

Para dibujar por un punto A dado un plano a perpendicular a la recta r, bastará con trazar por A1 y A2una horizontal s del plano a cuya proyección s1 sea perpendicular a r1, y una frontal t de a, también tra-zada por las proyecciones del punto A.

r1

r2

ha

va

A1

A2

s1

s2 Vs

V


8. Sistema diédrico ortogonal (II)8.4. Verdadera magnitud. Distancias

158

Fig. 8.33. Plano perpendicular a otro.

r1

r2

ha

va

A1

A2

Vr

vb

Hr

hb

VH

ccc Plano perpendicular a otro

Un plano a será perpendicular a otro b cuandouno de ellos, por ejemplo el a, contenga unarecta r perpendicular al otro. Por tanto, todoslos planos que pasen por la recta r serán per-pendiculares a b; de ahí que las soluciones a es-te problema puedan ser infinitas.

Para trazar por un punto A dado un plano a per-pendicular a otro b, se actúa del siguiente modo:por el punto A1 – A2 se traza una recta r perpen-dicular al plano b y, como se expuso anterior-mente, todos los planos que contengan las tra-zas de r (Vr y Hr) serán perpendiculares al planob (Fig. 8.33).

ccc Recta perpendicular a otra

Cualquier recta que esté contenida en un plano perpendicular a una recta será perpendicular a ella.

Para trazar una recta r perpendicular a otra dada y que pase por un punto A conocido, basta con trazarun plano a perpendicular a s y que contenga al punto A; para ello, recordar cómo se traza un plano per-pendicular a una recta que contenía un punto dado. Se halla el punto I de intersección de a con s y,uniendo este punto con A, se obtiene la recta r solución del problema (Fig. 8.34).Fig. 8.34. Recta perpendicular a otra.

r1

r2

ha

va

A1

A2

Vm

s2 = vb

Hm

hbs1

t2

I1

I2

Vt

t1m1

m2

H VV

8.4. Verdadera magnitud. DistanciasLos aspectos desarrollados bajo este apartado constituyen una aplicación directa de los conceptos tra-tados en la perpendicularidad.

ccc Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos A y B es la longitud del segmento que los une. Para hallar su verdaderamagnitud se utiliza el artificio de abatirlo sobre el horizontal o el vertical de proyección por medio del

plano proyectante que lo contiene sobre uno delos citados planos.

Veamos, por ejemplo, el segmento AB de la Figura8.35; su verdadera magnitud es la hipotenusa deltriángulo rectángulo ABC, cuyos catetos son: uno,la proyección horizontal A1B1 de los puntos, y elotro, la diferencia de cota existente entre ambospuntos, o sea, B2C’.

Si se abate el segmento AB sobre el horizontal, esdecir, por B1 se traza una perpendicular al segmen-to A1 B1, y sobre ella se lleva la distancia B2 C’, di-ferencia de cota entre los puntos A y B que se lla-ma Dz, se obtiene el punto (C), que unido con A1determina la distancia real entre los puntos A y B.

B2

B1

A2

A1

C´

d Dz

Dz

(C)

PV

PH

B2

B1

A2

A1

C´

A

B

C

Dz

Dz

(C)

Fig. 8.35. Distancia entre dos puntos.


8. Sistema diédrico ortogonal (II)8.4. Verdadera magnitud. Distancias

159

ccc Distancia de un punto a un plano

La distancia de un punto A a un plano a es el segmento perpendicular al plano definido por el citadopunto A y su intersección I con a.

Por tanto, para determinar la distancia del punto A1 – A2 al plano a se actúa del modo siguiente:

1. Se trazan por las proyecciones A1 – A2 del punto las perpendiculares r1 – r2 al plano a.

2. Se halla el punto de intersección I de la recta r con el plano a, para lo que se utiliza un plano deapoyo proyectante b horizontal de la recta, que corta a a conforme a la recta s1 – s2 la cual nos sir-ve para situar el punto de intersección I buscado.

3. Por tanto, el segmento A1A2 – I1I2 es la distancia pedida. Para hallar su verdadera magnitud es su-ficiente con aplicar lo expuesto anteriormente sobre distancia entre dos puntos (Fig. 8.36).

Fig. 8.36. Distancia de un punto a un plano.

r2

ha

va

A1

A2

s2

Hs

hb = r1

s1

I1

I2

A

I

d

d

vb

Dz

Dz

a

r2

ha

va

A1

A2

s2

Hs

hb = r1

s1

I1

I2

A

I

d

d

vb

Dz

Dz

a

ccc Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto A a una recta r es la longitud existente entre dicho punto y el punto I de in-tersección de la recta r con la perpendicular a ella trazada desde A.

Fig. 8.37. Distancia de un punto a una recta.

ccc Distancia entre rectas paralelas

La distancia entre dos rectas paralelas r y s estádeterminada por la longitud del segmento JI; sonpuntos de intersección de una recta t perpendicu-lar común a dichas rectas.

Para hallar la distancia JI entre dos rectas parale-las r y s, se traza un plano a perpendicular a am-bas, determinándose los puntos J e I de intersec-ción de estas con a. Observa en la Figura 8.38cómo se ha desarrollado este problema.

Las rectas dadas son r1 – r2 y s1 – s2, y el planoauxiliar perpendicular a ambas a. Las rectas r y scortan a a en los puntos J1 – J2 e I1 – I2 , obteni-do por medio de los planos de apoyo proyectan-tes vb – hb y vV – hV, cuyas rectas de intersec-ción con a son las rectas m1 – m2 y l1 – l2. Elsegmento d es la verdadera magnitud de JI. Fig. 8.38. Distancia entre rectas paralelas.

r2

ha

va

s1 = hV

I1

I2

J

I

d

d

vb

Dz

Dz

r

s

a

Hl

m1

s2

Vm

m2

vV

Hm

l2

l1

Vl

hb = r1

J1

J2

(J)

r2

ha

va

A1

A2

r1 = hb = t1

I1

I2

A

I

d

d

vb

z

z

r

a

Vt

Ht

m2t2

Vm

m2

Esta distancia se determina trazando por el pun-to A un plano a perpendicular a la recta dada r, pa-ra lo cual hay que aplicar como se trazaba un planoperpendicular a una recta. Se halla su punto de in-tersección I, y basta con medir el segmento AI pa-ra obtener la solución del problema. Véanse las ope-raciones llevadas a cabo para resolver este problemaen la Figura 8.37.

r2

ha

va

A1

A2

r1 = hb = t1

I1

I2

A

I

d

d

vb

z

z

r

a

Vt

Ht

m2t2

Vm

m2


8. Sistema diédrico ortogonal (II)8.5. Ángulos

160

ccc Distancia entre planos paralelos

La distancia entre dos planos paralelos a y b está dada por lalongitud del segmento JI que estos planos delimitan con susintersecciones sobre cualquier recta perpendicular a ambos.

Para hallar la distancia entre los planos a y b basta con ha-llar los puntos de intersección J e I de una recta perpendi-cular a ellos. Para llevar a cabo esta operación se traza unarecta r1 – r2 perpendicular a los planos dados a y b, estarecta corta al plano a en el punto J1 – J2 y al plano b en elI1 – I2 . Se ha utilizado un plano auxiliar V proyectantevertical de la recta. La longitud d es la verdadera magnitudde la distancia entre a y b (Fig. 8.39).

Fig. 8.39. Distancia entre planos paralelos.

r2

ha

va

I1

I2

J

I

d

vb

Dz

Dz

r

b

a

Hl

t2Vt

l2

t1

Vl

hb

J1

J2

Ht

r1

l1

(J)

r2

ha

va

I1

I2

J

I

d

vb

Dz

Dz

r

b

a

Hl

t2Vt

l2

t1

Vl

hb

J1

J2

Ht

r1

l1

(J)

8.5. ÁngulosAntes de comenzar este apartado, conviene recor-dar los siguientes aspectos:

• Denominamos ángulo de la recta s con unplano a al ángulo agudo b que s realiza me-diante su proyección ortogonal s1 sobre dichoplano (Fig. 8.40).

• La figura geométrica descrita por dos planos ay b que se cortan, determinándose en su in-tersección t, se conoce con el nombre de án-gulo diedro g; a los citados planos, caras, y Ataristas del diedro (Fig. 8.41).

Fig. 8.40. Ángulo de una recta con un plano.

a

s

A

M

b s1M1

Fig. 8.41. Ángulo diedro.

p

t

ba

DtDtg

Fig. 8.42. Ángulo de una recta con el plano horizontal.

PV

PH

r1

r2

e2

Hr

Vr

r

bb

H'r

r'

b

e2

Vr

H'r

r'

r2

Hr

r1

e1

e1

cc A. Ángulos que forma una recta con los planos de proyección

ccc Con el plano horizontal

El ángulo b que forma una recta r con el plano horizontal es el determinado por ella y su proyección r1.Para hallar la verdadera magnitud de dicho ángulo se procede del siguiente modo:

Se hace girar la recta r alrededor de un eje e perpendicular al plano horizontal hasta situarla sobre elplano vertical en la posición H’r – Vr; de esta manera se habrá obtenido el ángulo b que forma la recta rcon el horizontal de proyección en verdadera magnitud (Fig. 8.42).

PV

PH

r1

r2

e2

Hr

Vr

r

bb

H'r

r'

b

e2

Vr

H'r

r'

r2

Hr

r1

e1

e1


8. Sistema diédrico ortogonal (II)8.5. Ángulos

161

Fig. 8.43. Ángulo de una recta con el plano vertical.

ccc Con el plano vertical

En este caso se opera aplicando el mismo razonamiento expuesto para el plano hori-zontal. El eje e que se toma ahora ha de ser una recta de punta, y la recta r dada habráque situarla mediante un giro sobre el plano horizontal, quedando así definido, en ver-dadera magnitud, el valor del ángulo b (Fig. 8.43).

ccc Ángulos de una recta con los planos de proyección (PV,PH, PP), método directo

Como se deduce de lo expuesto anteriormente, el ángulo que forma una recta cual-quiera con un plano de proyección es el que describe dicha recta y su proyección or-togonal sobre él. Basándose en la obtención de la verdadera magnitud de un seg-mento, se determina el valor del ángulo que la recta forma con los planos deproyección, PH y PV. Véase en las Figuras 8.42 y 8.43 la solución gráfica.

cc B. Ángulos que un planoforma con cada uno de los planos de proyección

ccc Con el plano horizontal

Para hallar el ángulo b que determina un plano a cual-quiera con PH, basta con trazar un plano auxiliar pperpendicular a la traza ha, que define el ángulo corres-pondiente. Como puede observarse en la Figura 8.44a,uno de sus lados Ht Vt es recta de máxima pendiente dea, y el otro Ht T’2 es su proyección sobre el PH.

Por tanto, abatiendo el triángulo cuyos vértices son lospuntos Vt T’2 Ht sobre el PV alrededor de la charnela Vt T’2se determina el valor del ángulo b en verdadera magnitud.En la Figura 8.44b puede observarse el proceso seguido.

Fig. 8.45. Ángulo que un planoforma con el vertical.

b

(Vt)

t2

T'2

t1

ha

va

hp

vp

Ht

Vt

Fig. 8.44. Ángulo que un plano forma con el horizontal.

PV

PH

t2(Ht)

T'2

b

t'

b

Vt

Ht

hm

vm

ha

va

t1

t b

Vt

t'

t2

T'2

t1

ha

va

hp

vp

Ht

(Ht)

a) b)

ccc Con el plano vertical

El ángulo b que forma un plano a cualquiera con el PV seobtiene del mismo modo que en el caso anterior. No obs-tante, en la Figura 8.45 se presenta el desarrollo gráficodel problema, dejando al alumno su reconstrucción lógi-ca, una vez indicado el proceso que se debe seguir.

PV

PHr1

r2

e2

Hr

Vr

r

b

b

e2

Vr

r'

r2

Hr

r1

e1

e1

b

r'PV

PHr1

r2

e2

Hr

Vr

r

b

b

e2

Vr

r'

r2

Hr

r1

e1

e1

b

r'


8. Sistema diédrico ortogonal (II)Actividades del sistema diédrico ortogonal (II)

162

Contesta de manera razonada las siguientes pre-guntas:

1. Explica por escrito en qué consiste el mé-todo general de intersección entre planos.Apóyate si lo ves necesario en trazadosgráficos.

2. Explica por escrito cómo se realiza en elsistema diédrico la intersección de unarecta con un plano. Apóyate si lo ves ne-cesario en trazados gráficos.

3. ¿Cuándo se dice que dos rectas son para-lelas en el sistema diédrico?

4. ¿Cómo se hace para trazar una recta para-lela a un plano dado en el sistema diédri-co? ¿Y un plano paralelo a otro dado?

5. ¿Cuál es el procedimiento a seguir en elsistema diédrico para que una recta seaperpendicular a un plano dado?

6. Explica por escrito cómo se halla la dis-tancia entre dos puntos dados en el siste-ma diédrico. Apóyate si lo ves necesarioen trazados gráficos.

7. Explica por escrito cómo se halla el ángu-lo que forma una recta con los planos deproyección. Apóyate si lo ves necesario entrazados gráficos.

Sobre papel blanco formato A4 dibuja a lápiz lossiguientes ejercicios, teniendo en cuenta que launidad de medida es el milímetro:

1. Por el punto A (–30, 10, 25) traza una rec-ta r perpendicular el primer bisector.

2. Dibuja un plano a (30, 30, 30) perpendi-cular a otro b que contenga al punto A(20, 20, 30).

3. Por el punto E(0, 10, 45), traza una rectam que corte a otra r A (–10, 10, 15) B (30,40, 50), y sea perpendicular a s C (–15, 0,25) D (35, 50, 25).

4. Encuentra la distancia del punto A (30, 0,0) a la recta r A (–30, 0, 20) B (30, 25,35).

5. Determina la distancia entre dos muros deun jardín que son paralelos. Las proyec-ciones diédricas del primero son a (–20,–15, 30), mientras que el segundo contie-ne al punto A (20, 30, 35).

6. Dado el plano a traza otro paralelo a40 mm de distancia.

7. Sobre el plano a (–30, 30, 30) se apoyauna pirámide recta de 60 mm de altura; sesabe que los vértices de la base son lospuntos A (0, 20, Z), B (40, 0, Z) y C (20,35, Z). Se pide:

a) Las proyecciones diédricas de la pirá-mide.

b) La longitud real de las aristas AB y CV.

Se denominará con la letra V al vérticeopuesto a la base de la pirámide.

8. Dada la recta r A (0, 10, 35) B (30, 25,50), a partir del punto A, en dirección ha-cia el segundo diedro, determina un seg-mento por sus proyecciones diédricas cu-ya longitud real sea 55 mm.

9. Halla los ángulos que tiene la recta r A (–30, 30, 10) B (30, 10, 35), con losplanos de proyección.

Cuestiones

Ejercicios


Sistema diédrico ortogonal (II)8. Sistema diédrico ortogonal (II) 8.1. Intersecciones 151...

Documents

Transcript of Sistema diédrico ortogonal (II)8. Sistema diédrico ortogonal (II) 8.1. Intersecciones 151...