SIMETRÍA

Geometría y Arte

SIMETRÍA en papeles pintados

En la vida diaria encontramos frecuen-temente diseños como los siguientes:

SIMETRÍA en papeles pintados

ROSETONES

Catedral de Chartres

ROSETONES

Catedral de Palma de Mallorca

ROSETONES

Colegiata de Covarrubias

SIMETRÍA en arquitectura

SIMETRÍA

Informalmente, la idea de simetría viene ligada a una disposición armónica de los elementos de una figura a la que calificamos de simétrica, o de la que decimos que posee simetría.

SIMETRÍA

Pero… -¿Es posible medir la simetría? -¿Se puede decir con propiedad que una

figura es más simétrica que otra? -¿Son más “artísticas” las figuras con mayor

simetría?

La simetría es un rasgo característico de formas geométricas, y también de otros objetos materiales o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios.

En el caso de figuras planas, reconocemos inmediatamente la existencia de algún tipo de simetría en las imágenes anteriores y en los casos que a continuación se muestran.

Si pensamos en que el dibujo de la mari-posa está realizado en un papel transpa-rente, y pedimos al interlocutor que cierre un momento los ojos, si invertimos el papel y tras abrir los ojos preguntamos si lo hemos movido….

Una figura plana es invariante frente a un movimiento cuando después de aplicar tal movimiento la figura queda inalterada.

¿Se puede medir la simetría? En principio, cuantos más movimientos

dejen invariante a una figura, tanto más simétrica será.

Pero ¿qué entendemos por movimiento del plano? Los movimientos del plano son transformaciones que conservan las distancias. Esto supone que también se conservan los ángulos. Las figuras no cambian de forma, aun cuando pueda cambiar su orientación.

Tres son los movimientos del plano: traslaciones, giros y simetrías axiales.

Traslación

El polígono ABCDE se ha trasladado según el vector que aparece en la parte inferior del dibujo.

Giro

El polígono ABCDE ha girado 72 grados en torno al punto F.

Simetría (o reflexión en recta)

Simétrico del polígono ABCDE respec-to del eje señalado.

Cuando se combinan dos movimien-tos del plano, ejecutando primero uno y luego el otro, el resultado es un movimiento del plano. Todos los movimientos se pueden obtener a partir de simetrías.

Dadme un punto fijo..

Cuando se tiene una transformación t del plano, un punto fijo para dicha transformación es un punto P con la propiedad de que el transformado de P coincide con P, esto es,

t(P)=P. Un giro posee un punto fijo: el centro de giro.

Dadme un punto fijo..

Una simetría tiene infinitos puntos fijos, todos los del eje de simetría.

Por el contrario, una traslación no posee ningún punto fijo.

El Grupo de Simetría de una figura plana es el conjunto de movimientos que dejan invariante a dicha figura.

El grupo contiene al menos el movi-miento identidad i, consistente en no mover la figura. Si el grupo se reduce a este movimiento, la figura carece de simetrías.

La composición de dos movimientos del grupo genera otro movimiento del grupo y todo movimiento del grupo tiene su inverso, de forma que al aplicar un movimiento y luego su inverso se obtiene el movimiento identidad (el objeto no se mueve).

Si una figura es acotada – es decir, no se extiende ilimitadamente por el plano, entonces en su grupo de simetría no puede haber ninguna traslación, y únicamente pueden darse giros y simetrías. Las dos siguientes son de este tipo.

La figura anterior posee un grupo de simetría que tiene 8 movimientos. De ellos, cuatro son giros en torno al centro de la figura, y cuatro son simetrías, respecto de los ejes que se indican

Ahora vamos a ver el efecto de aplicar un giro o una simetría a la figura. Se han señalado los vértices con cuadraditos de color, para ver el efecto de cada movimiento. En la primera fila del dibujo se recogen los giros, mientras que la segunda corresponde a las simetrías:

En general, para un polígono regular de n lados, el grupo de simetría tiene 2n elementos si se tienen en cuenta los giros y las simetrías que llevan el polígono sobre sí mismo. Si dentro del polígono se dibujan figuras con menor grado de simetría, el grupo se reduce .

Diseños periódicos planos

Son los dibujos que se dan en los papeles pintados para paredes. En ellos, un mismo motivo es repetido en dos direcciones distintas. Existe un paralelogramo en el que está contenido dicho motivo, y los infinitos paralelogramos que se obtienen trasladando el primero pavimentan el plano.

Los grupos de simetría del plano

Aunque cueste creerlo, pues existe una infinidad de dibujos que permiten recubrir el plano periódicamente (es decir, existen dos traslaciones en direcciones distintas que dejan inalterado el dibujo), solo existen 17 formas distintas de organizar los motivos decorativos. Constituyen lo que se conoce como grupos de Fedorov o grupos de simetría planos.

Los grupos de simetría del plano

Las dos siguientes diapositivas recogen los dominios fundamentales – es decir, las “baldosas” para recubrir el plano – y los elementos de simetría de cada grupo: ejes de simetría y centros de giro. Los giros resultan ser de solo tres tipos: múltiplos de 60º, de 90º o de 120º.

Uno de los artistas que ha hecho uso intensivo de lo anterior ha sido Maurits C. Escher, cuyo autoretrato se muestra a continuación:

Escher estudió los mosaicos de la Alhambra, en los que aparecen todos los 17 posibles grupos de simetría planos.

La utilización de un programa como MORENAMENTS permite ver como se comporta una figura elemental al aplicarle los diferentes grupos de simetría.Si se carga MORENAMENTS, se hallará que contiene un fichero, de nombre

euc-1.7.jarque es el que se debe ejecutar.

Grupo p1

Región fundamental

Grupo p2

Región fundamental

Grupo pm

Región fundamental

Grupo pg

Región fundamental

Grupo p4m

Región fundamental

Grupo p6

Región fundamental