1

2

1.- Transformaciones de figuras geomtricas

planas en coordenadas cartesianas en los

cuatro cuadrantes.

2.- Traslacin de figuras geomtricas.

3.- Traslacin de figuras en el plano cartesiano.

4.- Rotacin de figuras en el plano cartesiano.

5.- Simetra.

6.- Simetra de figuras en el plano cartesiano..

7.- Homotecia.

CAPACIDADES:

Realizar transformaciones en el plano cartesiano (Traslaciones, rotaciones y simetra)

Efecta rotaciones de figuras geomtricas empleando regla y comps.

Identifica y traza los ejes de simetra de una determinada figura geomtrica.

Identifica la razn para efectuar la homotecia en figuras geomtricas.

3

MATE - INGENIO

RETA A TU MENTE: Cambia de lugar 1 de los 7 palillos y haz que quede formada una igualdad verdadera porque 10 1 no es 1.

Cambia de lugar 1 de los 9 palillos y haz que quede formada una igualdad verdadera porque 1 3 no es 2.

Cambia de lugar 1 de los 17 palillos y haz que quede formada

otra igualdad verdadera.

Cambia de lugar 2 de los 12 palillos y haz que quede formada una igualdad verdadera porque 11 + 2 no es 6.

4

SEMANA N 1

TRANSFORMACIONES DE FIGURAS PLANAS

El principio de la sabidura es el temor a Jehov, los

insensatos desprecian la sabidura y la enseanza

Proverbios 1; 7

1.- PLANO CARTESIANO

1.1.- EJES CARTESIANOS

40 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11

X-X

Y

-Y

-4

-1

-2

-3

-5

-6

-7

-8

-9

-4 -1-2-3-5-6-7-8-9

4

1

2

3

5

6

7

8

9

5

El plano cartesiano est formado por 2 ejes:

a) El eje horizontal llamado el "Eje de Abscisas",

representado por "x"

b) El eje vertical llamado el "Eje de Ordenadas",

representado por "y"

1.2.- PAR ORDENADO:

Son las coordenadas de un punto.

Ejemplo:

1.3.- UBICAMOS PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO

A= (-6; 4)

A= (3; 2)

Eje

horizontal

Eje

vertical

40 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11

X-X

Y

-Y

-4

-1

-2

-3

-5

-6

-7

-8

-9

-4 -1-2-3-5-6-7-8-9

4

1

2

3

5

6

7

8

9

A Ubicamos

el punto A

en el

plano

Cartesiano

6

PRACTICANDO EN CLASE

1.- Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano, e

identifique al cuadrante al que pertenece cada punto.

A (-2; -8):.B (-4; -6):.

C (4; -5):.D (7; 4):...

E (2; -9):.F (-3; -3):.

G (7; -2):.H (4; 6):..

40 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11

X-X

Y

-Y

-4

-1

-2

-3

-5

-6

-7

-8

-9

-4 -1-2-3-5-6-7-8-9

4

1

2

3

5

6

7

8

9

7

2.- Escribe las coordenadas de los siguientes puntos.

A=( ; ) N=( ; )

B=( ; ) M=( ; )

C=( ; ) R=( ; )

V=( ; ) L=( ; )

S=( ; ) P=( ; )

T=( ; ) Q=( ; )

40 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11

X-X

Y

-Y

-4

-1

-2

-3

-5

-6

-7

-8

-9

-4 -1-2-3-5-6-7-8-9

4

1

2

3

5

6

7

8

9

C

R

L

A

N M

T

B

V

S

P

Q

8

TAREA DOMICILIARIA

1.- Grfica y ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano:

A= (-8 ; 3)

B= (-7 ; -3)

C= (6 ; 5)

D= (9 ; -7)

E= (-3 ; 7 )

F= (-10 ; 7)

G= (-6 ; -5)

H= (1 ; 8)

SEMANA N 2

TRASLACIN DE FIGURAS GEOMTRICAS

La traslacin (T) de una figura del plano es una

transformacin que consiste en cambiar de posicin a una

figura siguiendo la direccin, distancia y sentido de una

flecha llamada vector directriz.

As podemos trasladar puntos, segmentos, polgonos, etc.

Veamos:

a)Traslacin de puntos:

A

A

9

A es la imagen trasladada de A, a travs de , luego:

a)Traslacin de segmentos:

A B es la imagen trasladada de AB , a travs de , luego:

a)Traslacin de polgonos:

A

B

B

C

D

E

C E

D

A

A

B

B

A A

A

10

ABCDE es la imagen trasladada de ABCDE, a

travs de , luego:

Luego, para que una traslacin se pueda llevar a cabo,

debemos conocer la longitud, direccin y sentido del

vector directriz. Su por ejemplo queremos trasladar un

polgono, por efecto de un vector directriz dado, te sugiero

los siguientes pasos:

a) Trazar por cada uno de sus vrtices, una recta paralela al vector directriz dado. Para ello debemos emplear regla y escuadra.

b) Copiar con el comps la longitud del vector directriz y luego haciendo centro en el vrtice del polgono original, marcamos sobre las rectas trazadas, la imagen trasladada de los vrtices.

c) Finalmente, unimos mediante segmentos de recta, las imgenes trasladadas de los vrtices del polgono.

En la figura:

r

1 2 3l / / l / / l / / yAA=BB=CC=d

Luego:

ABC ABC

ABCDE ABCDE

11

SE LEE: El ABC es el trasladado del ABC, por efecto

(o a travs) del vector

Recuerda los puntos cardinales:

N

O

S

E

NE NO

SE SO

A

B

C

A

B

C

1l

2l

3l

d

d

12

PRACTICANDO EN CLASE

I. Emplea una regla, comps para poder trasladar las

siguientes figuras geomtricas.

a) Trasladar el punto A hacia el este, a travs del vector r

cuyo modulo es 4cm.

b) Trasladar el punto M hacia el norte, a travs del vector s

cuyo modulo es 6cm.

c) Trasladar el punto N hacia el nor-este, a travs del vector t cuyo modulo es 7cm.

d) Trasladar el segmento AB hacia el sur-este, a travs del

vector r cuyo modulo es 5cm.

e) Trasladar el segmentoMN hacia el sur-oeste, a travs del

vector s cuyo modulo es 6cm.

f) Trasladar el segmentoPQ hacia el nor-oeste, a travs del

vector t cuyo modulo es 8cm.

g) Trasladar el tringulo PQR hacia el nor-este, a travs del

vector t cuyo modulo es 5cm.

h) Trasladar el cuadriltero UNCP hacia el este, a travs del

vector s cuyo modulo es 7cm.

i) Trasladar el pentgono LIBRO hacia el oeste, a travs del

vector r cuyo modulo es 6 cm.

13

TAREA DOMICILIARIA

I. Emplea una regla, comps para poder trasladar las

siguientes figuras geomtricas.

a) Trasladar el punto R hacia el sur, a travs del vector r

cuyo modulo es 5cm.

b) Trasladar el segmento RT hacia el sur-este, a travs del

vector s cuyo modulo es 6 cm.

c) Trasladar el cuadriltero PUCA hacia el nor-este, a travs

del vector t cuyo modulo es 7cm.

14

SEMANA N 3

TRASLACIN DE FIGURAS EN EL PLANO CARTESIANO

El desplazamiento o traslacin en una determinada

direccin, se puede definir como:

: A la derecha, al este (se suma)

: A la izquierda, al oeste (se resta)

: Hacia arriba, al norte (se suma)

: Hacia abajo, al sur (se resta)

La notacin: 5 4 es equivalente a T(+5; -4)

SIGNIFICA: 5 cuadraditos o unidades a la derecha del eje X

(5 unidades hacia el este) luego 4 cuadraditos o unidades

hacia abajo del origen en la direccin del eje Y (4 unidades

hacia el sur).

(+)

(-)

(+)

(-)

15

Ejemplo: Trasladar el cuadriltero ABCD a travs del vector

T(6; 4)

A (2,5) A(2+6; 5+4) = A(8; 9)

B (1,1) B(1+6; 1+4) = B(7; 5)

C (3,-2) C(3+6; -2+4) = C(9; 2)

D (4, 2) D(4+6; 2+4) = D(10; 6)

1 2 3 4 5 6 0

X

Y

8 9

7

8

7 -1

1

2

3

4

5

6

-3

-2

-1 T(6; 4)

A

10 11

B

C

D

A

B

D

C

T(6; 4)

T(6; 4)

T(6; 4)

T(6; 4)

16

En general:

PRACTICANDO EN CLASE

I.- Ubicar y trasladar el polgono ABCD,por efecto del vector

T(8; 5)

A (3; 2)A (3+8; 2+5)

B (3; 5)B (......;..)

C (7; 5) C (......;..)

D (7; 4) D (......;..)

II.- Ubicar y trasladar el polgono VIDA, por efecto del vector

T(9; 5)

V (1; 3)V (..;..)

I (3; 7) I (......;..)

D (7; 4) D (.....;..)

A (5; 2) A (.....;..)

III.- Ubicar y trasladar el polgono DEFGH, por efecto del

vector T(-11; -3)

A(x; y) A(x+a; y+b) T(a; b)

ABCD ABCD T(6; 4)

17

D (16; 10) D(...;...)

E (18; 10) E (.......;..)

F (18; 8) F (....;.....)

G (16; 6) G (....;.....)

H (15; 9) H (.....;.....)

IV.- Completar los espacios en blanco, al trasladar los siguientes puntos:

A (6,5) A(; ..) = A(.;.)

B (7,2) B(; ..) = B(.;.)

E (3,-7) E(; ..) = E(.;.)

L (7, 3) L(; ..) = L(.;.)

TAREA DOMICILIARIA

I.- Une los vrtices del polgono mediante segmentos y

realiza la traslacin, por efecto del vector T(9; -4)

M (4; 5) A (2; 9) J (4; 11) U (6; 11)

N (7; 9) I (6; 5)

II.- Une los vrtices del polgono mediante segmentos y

realiza la traslacin, por efecto del vector T(-8; -6)

U (11; 10) N (12; 12) C (18; 10) P (18; 12)

T(5; 9)

T(5; -4)

T(2; 4)

T(-2; -3)

18

SEMANA N 4

ROTACIN DE FIGURAS GEOMETRICAS La rotacin de una figura (punto, recta, polgono, etc.) es una transformacin donde el punto o puntos que constituyen la figura, giran alrededor de un centro de rotacin un determinado ngulo en sentido horario o antihorario, obtenindose otra figura congruente a la inicial. IMPORTANTE: *Un cuarto de giro : 90 *Medio giro : 180 *Giro o vuelta completa: 360

La rotacin es positiva si

gira en sentido contrario a

las agujas del reloj

(ANTIHORARIO)

La rotacin es negativa si

gira en sentido horario a

las agujas del reloj

(HORARIO)

19

1.- Rotacin de puntos:

2.- Rotacin de rectas:

l A B

O

A

B

80

80

Centro de rotacin

30

A

A

O

Centro de rotacin

Notacin:

A=Rot. A(O; )

Se lee: A es la rotacin de

A con centro O y ngulo de

giro de medida , con

sentido horario o antihorario.

l

Notacin: l =Rot.

l (O; )

Se lee:l es la rotacin de

l con

centro O y ngulo de giro de medida ,

con sentido horario o antihorario.

20

3.- Rotacin de polgonos:

PRACTICANDO EN CLASE I.- Grfica los puntos D, I , O , S y rota en sentido

antihorario con ngulos de rotacin de 60, 70, 80 y

90 respectivamente.

O

A

B C

D

A

D

Centro de rotacin

C

B

Notacin:

=Rot. (O; )

Se lee: es la rotacin de con

centro O y ngulo de giro de medida

, con sentido horario o antihorario.

21

II.- Grfica el segmento MN de 5cm de longitudy rota en

sentido antihorario con un ngulo de 70.

III.- Grfica eltringulo DIA y rota en sentido horario con un

ngulo de 90.

IV.- Grfica un cuadrado ABEL cuya medida de sus lados es

4cm y rota en sentido horario con un ngulo de 180.

TAREA DOMICILIARIA

I.- Grfica los puntos A, B , E , L y rota en sentido horario

con ngulos de rotacin de50, 60, 90 y 120

respectivamente.

II.- Grfica el segmento PQ de 4,5cm de longitudy rota en

sentido antihorario con un ngulo de 80.

III.- Grfica eltringulo MIA y rota en sentido antihorario con

un ngulo de 90.

RETA A TU MENTE: Cambia de lugar 1 de los 7 palillos y haz que quede formada una igualdad verdadera porque 7 no es igual a 1.

22

SEMANA N 5

SIMETRA Observa la siguiente figura, y di que observas:

La lnea del doblez de la figura es un eje de simetra porque

la mitad del dibujo es exactamente igual a la otra mitad. La

recta que divide las figuras en dos partes iguales se llama

eje de simetra. Las figuras simtricas pueden tener uno o

ms ejes de simetra.

1.- Simetra Axial.

La simetra axial de una figura del plano con respecto a una

recta es una transformacin que a cada punto A de dicha

l

m

es un eje de simetra m

no es un eje de simetra

23

A

A

M

figura le hace corresponder uno y slo un punto A de su

plano, tal que:

AA y AM = AM

En la figura:

A y A son puntos simtricos

respecto a (

es el eje de

simetra)

Ejemplo:

a) Dibujar el simtrico de AB con respecto a 1

b) Dibujar el simtrico del ABC con respecto a 2

B

A

1

24

c) Dibujar el simtrico dela figura mostrada con respecto a 3

B

A

2

C

25

PRACTICANDO EN CLASE

1.- Completa cada figura sabiendo que es simtrica respecto

al eje de simetra.

26

2.- Trazar todas las lneas de simetra en cada figura que se

muestran a continuacin.

a. b. c.

27

3.- Escribe (si), la lnea dada es una lnea de simetra y (no)

si no lo es:

TAREA DOMICILIARIA

a) Dibujar el simtrico de JC con respecto a 1

d. e. f.

a. _____________ b. _____________ c. _____________

C

J

1

28

b) Dibujar el simtrico del TIA con respecto a 2

c) Dibujar el simtrico de la figura mostrada con respecto a 3

T

A

2

I

29

UNA COSQUILLA PARA TU CEREBRO

d) Para averiguar cuntos bloques hay en este castillo, usa la multiplicacin para hallar el nmero en cada seccin. Despus, suma para averiguar cuntos hay en total.

Total de la seccin principal = _________

Torres = ______ + _______ + ________ + ______ = ______

Total de cocina = _________

Total del Establo = _________

Nmero total de bloques = _________

RETA A TU MENTE: Cambia de lugar 1 de los 7 palillos y haz que quede formada una igualdad verdadera porque 10 1 no es 1.

Torre

Torre Torre

Torre

Seccinde cocina

Seccin principalEstablo

30

SEMANA N 6

SIMETRA EN EL PLANO CARTESIANO Mejor es adquirir sabidura que oro preciado; y adquirir

inteligencia vale ms que la plata

Proverbios 16; 16

La posicin de la figura simtrica de una figura dada con

respecto al eje de las abscisas (X) o con respecto al eje de

las ordenadas (Y), est determinada por la distancia que hay

desde cada uno de los puntos originales al eje respectivo.

Designaremos por:

Sx (x) la simetra respecto al eje X

Sy (y) la simetra respecto al eje Y

Ejemplo:

Consideraremos un PIA de vrtices P(-7; 1), I(-9; 6) y

A(-1; 4) y determinamos su simtrico respecto de los ejes X e

Y respectivamente.

P (-7,1) P2(; ..)

I (-9,6) I2(; ...)

A (-1,4) A2(; ..)

SX(A)

SX(P)

SX(I)

31

P (-7,1) P1(; ..)

I (-9,6) I1(; ...)

A (-1,4) A1(; ..)

Sy(I)

Sy(A)

Sy(P)

32

Generalizando:

Punto Original

Simtrico con respecto al eje X

Simtrico con respecto al eje X

A(x, y)

A1(.....; ..)

A2(..;)

PRACTICANDO EN CLASE

I.- Grafica un plano cartesiano con sus cuatro cuadrantes en

una cara completa de tu cuaderno (uno por cada

ejercicio) para graficar las respectivas simetras con

respecto al eje X e Y de las siguientes figuras:

a) El tringulo MIO, cuyas coordenadas son: M(2,4); I(6,1) y

O(8,8)

b) El cuadriltero UNCP, cuyas coordenadas son: U(-9,4),

N(-6, 2), C(-7,7) y P(-3,6)

33

SEMANA N 7

HOMOTECIA La ampliacin de una pelcula en una pantalla es un buen modelo fsico del concepto de homotecia, aunque dicha situacin est representada en el espacio y no en el plano. La palabra homotecia (del latn HOMO=igual y THESIS=posicin), se usa para caracterizar a toda transformacin geomtrica que aplicada sobre una figura, mantiene inalterable su forma, pero necesariamente su tamao y orientacin.

La homotecia de una figura del plano o del espacio, con respecto a un punto O, centro de homotecia, es una transformacin que conserva la medida de los ngulo y establece una razn constante, llamada razn de homotecia (k), entre las distancias medida desde O hasta cada punto imagen de la figura y a las respectivas preimgenes de dichos puntos, es decir:

34

kDistancia de O a cada punto imagen de la figa a a a a a a a a

a a a

ura

Distancia de O a cada punto preimaga ena a

Concntrate un momento: - Si 0 < k 1, entonces la figura homottica es de mayor tamao que la figura original y est ubicada del mismo lado del centro de homotecia que de la figura, pero ms all de ella.

Ejemplo:

a) Consideramos un ABC, entonces hallar:

Hom. ABC(O;1

3)

Notacin:

=Hom. (O; k)

Se lee: es el homottico de con

centro O y de razn k.

35

b) Consideramos un TIA, entonces hallar:

Hom. TIA(O;3

2)

c) Consideramos un MUA, entonces hallar:

Hom. MUA(O;1)

d) Consideramos un AUH, entonces hallar:

Hom. AUH(O; 2 )

e) Consideramos un MANI , entonces hallar:

Hom.MANI (O;1

2)

3

36

TAREA DOMICILIARIA

I.- Emplea regla y escuadras para realizar las siguientes

homotecias:

a) Consideramos un CUA, entonces hallar:

Hom. CUA(O;1

3)

b) Consideramos un MNP, entonces hallar:

Hom. MNP(O;5

3)

c) Consideramos un UNCP , entonces hallar: Hom. UNCP (O;3 )

37

Esta hoja presenta un juego matemtico que consiste en lo

siguiente:

Se trata de reducir a cero un nmero que est entre cero y

mil. Puedes hacer esto mediante sumas, restas,

multiplicaciones o divisiones. Puedes repetir una operacin

las veces que quieras.

Las operaciones deben hacerse con el nmero que se da y

otro nmero entero que t elijas. El nmero que elijas debe

ser uno de los siguientes: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 9. Puedes

usar el nmero que elijas las veces que quieras. Cada

operacin que hagas se cuenta como un paso. El resultado

de cada operacin que hagas debe ser un nmero entero.

Ganas el juego si, a lo ms en cinco pasos, puedes reducir a

cero cada uno de los siguientes nmeros.

AL CERO EN CINCO PASOS!

38

997 PASOS

Resultados

PASO 1:

PASO 2:

PASO 3:

PASO 4:

PASO 5:

952

PASOS Resultados

PASO 1:

PASO 2:

PASO 3:

PASO 4:

PASO 5:

629

PASOS Resultados

PASO 1:

PASO 2:

PASO 3:

PASO 4:

PASO 5:

789 PASOS Resultados

PASO 1:

PASO 2:

PASO 3:

PASO 4:

PASO 5:

39

REPASO COMUNICACIN MATEMTICA

I.- Coloca una (V) si el enunciado es verdadero o una (F)

si es falso.

a) Al rotar una figura geomtrica es necesario conocer el

ngulo de giro...( )

b) Cuando rotamos una figura geomtrica en sentido horario,

la rotacin es negativa( )

c) Una figura geomtrica en el plano cartesiano, tiene dos

ejes de simetra (El eje X y el eje Y).( )

II.- Subraye la respuesta correcta.

2.1.- La recta que divide las figuras en dos partes iguales se

llama:

a) Eje mitad b) Eje de simetra c) Eje de particin d) Eje vertical e) Eje horizontal

2.2.- De los siguientes grficos, identifica aquella recta que es

un eje de simetra:

40

a)

b) m

c) y m

d) Ninguno

III.- Colorea aquellas figuras que tienen ejes de simetra:

41

IV. Emplea una regla, escuadras y comps para poder

desarrollar cada uno de los ejercicios.

4.1. Dibujar el simtrico del ABC con respecto a 2 (3 pts.)

4.2. Consideraremos un PIA de vrtices P(-7; 1), I(-9; 6) y

A(-1; 4) y determinamos su simtrico respecto de los ejes X e

Y respectivamente y luego grafcalo en el plano cartesiano

P (-7,1) P2(; ..)

I (-9,6) I2 (; ...)

A (-1,4) A2(; ..)

C

A

B

2

SX(I)

SX(A)

42

P (-7,1) P1(; ..)

I (-9,6) I1(; ...)

A (-1,4) A1(; ..)

Sy(I)

Sy(A)

43

4.3. De la siguiente rotacin, responde a las siguientes

preguntas:

A) El sentido de la rotacin es:

a) Horario

b) Antihorario

c) Negativo

d) Inverso

e) Sexagesimal

B) El ngulo de giro es:

a) 15

b) 30

c) 60

d) 90

e) -60

60

A

A

O

Centro de rotacin

44

4.4. De la siguiente rotacin, responde a las siguientes

preguntas:

A) El sentido de la rotacin es:

a) Horario

b) Antihorario

c) Negativo

d) Inverso

e) Sexagesimal

B) El ngulo de giro es:

a) -15

b) 30

c) 60

d) -20

e) -30

30

A

A

O

Centro de rotacin