matemtica- geometria

UNIDAD: GEOMETRAPERMETROS Y REAS

TEOREMA DE PITGORAS

En todo tringulo rectngulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de lahipotenusa.

a2 + b2 = c2

TRIOS PITAGRICOS TRINGULOS NOTABLES

EJEMPLOS

1. En la figura 1, FA = 4 cm. Cunto mide CB ?

A) 9 cmB) 12 cmC) 13 cmD) 15 cmE) 17cm

2. El ABC de la figura 2, es issceles rectngulo en A. Si la altura AD = 2 cm, entonces AB =

A) 21 2 cm

B) 2 cmC) 2 2 cmD) 2 cmE) 4 cm

a b c1. 3 4 52. 5 12 133. 8 15 17

PP 22P 22

a

a a 230

a 32a

a2

60

C

D

BA

fig. 2

E

B

A

C

D

4

12

3

fig. 112

F

c

b a

45

45

45

45

B

I, II, III y IVTringulos congruentes

III IV

I

23. En el ABC rectngulo en C de la figura 3, D es punto medio de AB . SiBC = 4 cm, entonces ACmide

A) 2 cmB) 4 cmC) 6 cmD) 2 3 cmE) 4 3 cm

4. En la figura 4, ABCD es un rombo de diagonales 10 cm. y 24 cm. Si FC = FD , entonces EF mide

A) 5 cmB) 6 cmC) 6,5 cmD) 8 cmE) 8,5 cm

5. En la figura 5, ABCD es un cuadrado de lado 2 cm y DCE es equiltero. Entonces, la suma de lossegmentos que forman el cuadriltero achurado es

A) (2 + 2 2 + 2 3) cmB) (2 + 2 + 3 + 5) cmC) (2 + 2 2 + 2 3 + 5) cmD) (3 + 2 2 + 3 + 5) cmE) (2 + 2 2 + 3 + 5) cm

6. Cunto suman los lados del cuadriltero que se forma al unir los puntos medios de los lados de unrombo de lado 10 cm y diagonal mayor 16 cm?

A) 14 cmB) 20 cmC) 26 cmD) 28 cmE) 40 cm

7. En el trapecio ABCD de la figura 6, DC = EB , CE AB y CE = 3 cm. Cunto suman sus lados?

A) 3( 2 + 3 + 5) cmB) 3(2 2 + 3 + 5) cmC) 3( 2 + 2 3 + 5) cmD) 3( 2 + 3 + 15) cmE) Ninguna de las anteriores

fig. 3

120A D B

C

A B

D C

E

F

fig. 4

A B

E

D CFfig. 5

30 45A B

D C

E

fig. 6

3Nombre Figura Permetro rea

Cuadrado 4aa22d2

Rectngulo 2a + 2b a b

Rombo

a

4aa h1 2d d2

Romboide 2a + 2b a h1 = b h2

Tringulo a + b + c a b cb ha h c h2 2 2

Trapecio a + b + c + d a c h2

Circunferencia yCrculo

D = 2rD:dimetro r

2

Sector circularArco AB + 2r

Arco AB = 2 r360

2r360

PERMETROS Y REAS

Permetro de un polgono, es la suma de las longitudes de todos sus lados. El permetro sedenotar por p.

rea es la medida que le corresponde a toda la regin poligonal. El rea se denotar por .

a

a

a

a

ab b

ha

d b

c

a

a a

Or

a

b ba

h1 h2

reabase por la

altura

reabase por la

alturadivididopor dos

d

O

AB

h

A B

Cab

cha hc

hb

d1

d2

4EJEMPLOS

1. Si el permetro de un cuadrado es 4 10 cm, cul es el rea de dicho cuadrado?

A) 10 cm2B) 20 cm2C) 40 cm2D) 100 cm2E) 160 cm2

2. Si el rea del rectngulo ABCD de la figura 1, es 25a2 -16b2 y su ancho mide 5a 4b,entonces la expresin que representa el permetro del rectngulo es

A) 20aB) 20a + 12bC) 20a 12bD) 20a + 16bE) 20a 16b

3. En el tringulo issceles de base AB de la figura 2, si 65=AB

CA y AB= 18 cm, entoncesel permetro y rea del ABC son respectivamente

A) 39 cm y 108 cm2B) 48 cm y 72 cm2C) 48 cm y 108 cm2D) 48 cm y 216 cm2E) 58 cm y 108 cm2

4. En el trapecio de la figura 3, CB=12 cm., sus bases AB y CD miden 30 cm. y 8 cm.respectivamente, entonces su rea es

A) 114 3 cm2B) 114 cm2C) 84 3 cm2D) 57 3 cm2E) 57 cm2

A B

D C

fig. 1

A B

CD

30ofig. 3

fig. 2

BA

C

55. Si el ABC de la figura 4 es rectngulo en B, BE es transversal de gravedad y CB = 3cm, entonces cul es el permetro del ABE ?

A) 6 cmB) 9 cmC) 3 + 3 cmD) (3 + 3 3 ) cmE) (6 + 3 3 ) cm

6. Las circunferencias de la figura 5, son concntricas de radios 6 cm y 8 cm. Cul es elpermetro de la regin achurada?

A) (2 + 7) cmB) (4 + 7) cmC) (2 + 14) cmD) (4 + 14) cmE) 7 cm

7. En la figura 6, ABCD es un cuadrado de lado 8 cm y DB es arco de circunferencia concentro en C. Cul es el permetro de la regin achurada?

A) (16 + 8 2 + 4) cmB) (8 + 8 2 + 4) cmC) (16 + 8 2 + 8) cmD) (16 + 4 2 + 8) cmE) (16 + 8 2 ) cm

8. Cul es el rea de la regin achurada del problema anterior (fig. 6)?

A) (64 16) cm2B) (64 8) cm2C) (32 8) cm2D) (16 + 8) cm2E) 32 cm2

A B

C

E

30

fig. 4

fig. 6

A B

CD

fig. 5

6FIGURAS EQUIVALENTES Y FIGURAS CONGRUENTES

Equivalentes son aquellas que tienen igual rea.

En todo tringulo: Cada transversal de gravedad

lo divide en dos tringulosequivalentes.

Las tres transversales lodividen en seis tringulosequivalentes.

Todos los tringulos quetienen igual base y altura sonequivalentes. (L1// L2 )

Tringulos congruentes Al trazar las medianas se

generan cuatro tringuloscongruentes.

En todo paralelogramo siP y Q son puntos medios,se generan 4 tringuloscongruentes.

Paralelogramos y tringulos Todo tringulo con igual base

y altura que un paralelogramotiene la mitad de su rea.

A1A2

A B

C

D D es el punto medio de BCA1 = A2

A D

C

E

B

F GA1 A2

A3A4A5

A6

D, E, F puntos mediosA1 = A2 = A3 = A4 = A5 = A6

II

b b b bL2

L1h

A1 = A2 = A3

A1A1 A2 A3 A2 A3

III

IIIIV

I, II, III, y IVTringulos Congruentes

Ar() = 12 Ar(#)

I

III IV

7EJEMPLOS

1. En el tringulo ABC de la figura 1, MN es mediana. Entonces, qu porcentaje es elrea del MNC del rea del trapecio ABNM ?

A) 20%B) 25%C) 30%D) 16 23%

E) 33 13%

2. En el ABC de la figura 2, D y E son puntos medios , el rea del cuadriltero ADFE es12 cm2. Entonces, el rea del ABC esA) 24 cm2B) 28 cm2C) 32 cm2D) 36 cm2E) 38 cm2

3. El ABC de la figura 3 es issceles de base AB = 8 cm, D es punto medio de BC yFE = 4 cm. Cul es el rea del ADC?


A

C

M N

fig. 1

B

A D B

C

E Ffig. 2

A E B

C

FD

fig. 3

B

84. En la figura 4 L1//L2. Entonces, la razn entre el rea del paralelogramo ABCD y lasuma de las reas de los tringulos ABF y ABG es

A) 1:1B) 2:1C) 3:1D) 3:2E) No se puede determinar

5. En la figura 5, el lado de cada cuadrado es 2 cm. Entonces el rea de la regin achuradaes

A) 2 cm2B) 4 cm2C) 8 cm2D) 2 2 cm2E) no se puede calcular

6. En la figura 6, ABCD es un paralelogramo donde P, Q y R son puntos medios de los ladosrespectivos. Qu fraccin es la regin achurada de la no achurada?

A) 13B) 14C) 15D) 27E) 29

fig. 5

fig. 4

A B L2

D C FG L1

fig. 6

A B

D C

R

Q

P

9EJERCICIOS

1. Si AC = 5 cm y BC = 4 cm, cul es el permetro del ABC de la figura 1?

A) 10 cmB) 12 cmC) 15 cmD) 41 cmE) (9 + 41 ) cm

2. Si en la figura 2, el ngulo ABD mide 60, entonces el permetro del cuadriltero ABCD es

A) 14 +7,5 3B) 19 + 5 3C) 19 + 15 3D) 21 +5 3E) 29 +5 3

3. En la figura 3, el permetro del rectngulo ABCD es 26 cm y el rea del cuadrado AEFD es16 cm2. Cunto mide el rea del rectngulo EBCF?


4. En el ABC de la figura 4, D y E son puntos medios de los lados respectivos. Si lasuperficie del DEC es 8 cm2, entonces el rea del ABC es


A B

D C

E

F

fig. 3

C

fig. 2D

A B

6

5 3

A BD

C

Efig. 4

A B

fig. 1C

10

5. En la figura 5, AB = BC = 5, CD = 4 y DA = 3 . El rea del cuadriltero ABCD es

A) 425 3 + 6

B) 425 3 + 12

C) 225 3 + 6

D) 225 3 + 12

E) Ninguna de las anteriores.

6. P1, P2, P3 y P4 corresponden a los permetros de las figuras sombreadas formadas dentrode los rectngulos congruentes de la figura 6 . Cul (es) de las siguientes afirmacioneses (son) verdadera(s)?

I) P1 < P3II) P3 > P2III) P1= P3IV) P3 = P4

A) Slo IB) Slo IIC) Slo IIID) Slo I y IIE) Slo III y IV

7. La figura 7 es un cuadrado formado por tres rectngulos congruentes de permetro 16 cmcada uno. Cunto mide el rea del cuadrado ABCD?A) 144 cm2B) 81 cm2C) 64 cm2D) 36 cm2E) 16 cm2

8. Si el rea del paralelogramo ABCD de la figura 8 es 20 cm2 y B el punto medio de AE .Cul es el rea del AED?A) 18 cm2B) 20 cm2C) 25 cm2D) 30 cm2E) 40 cm2

D C

A B

fig. 7

A B

D

C

fig. 5

fig. 8

A B

CD

E

fig. 6

P1 P2 P3 P4

11

9. La figura 9 est formada por cuatro rombos congruentes de rea 8 cm2 cada uno.Si en el polgono achurado EHFG, los puntos G y H estn sobre los lados DC y AB ,entonces el rea de dicho polgono es


10. En el paralelogramo ABCD de la figura 10,se han dibujado los tringulos AEI, EFH y FBG;La razn entre el rea del paralelogramo y el rea de la regin sombreada esA) 1 : 2B) 2 : 1C) 3 : 2D) 3 : 1E) 4 : 3

11. La figura 11 muestra cuatro tringulos rectngulos escalenos congruentes entre si. Alunirlos como piezas de un puzzle, cul(es) de las siguientes figuras es (son) siempreposible(s) de formar?

I) Romboide.II) Rombo.III) Trapecio.

A) Slo IB) Slo IIC) Slo I y IID) Slo I y IIIE) I, II y III

12. Un carrete circular de hilo para elevar volantines, contiene 2,7 metros de hilo, el cual dacuatro vueltas y media. Si = 3, cul es el dimetro del carrete?


fig. 11

Gfig. 9

E F

A H B

CD

A B

CD

fig.10

E F

I H G

12

13. Si en un romboide aumentan uno de sus lados de 3a a 6a y la altura h correspondientea dicho lado en 4 unidades, la nueva rea aumentaA) al sxtupleB) doce vecesC) en 12aD) en 3a(h+4)E) en 3a(h+8)

14. En el paralelogramo ABCD de la figura 12, P y Q son puntos medios de los ladosrespectivos . Qu porcentaje es la regin achurada del paralelogramo ABCD?

A) 25%B) 30%C) 33 13%D) 40%E) No se puede determinar

15. Si E es punto medio de CD en el rectngulo ABCD de la figura 13. Qu fraccin es laparte achurada del rectngulo ABCD?

A) 16B) 18C) 19D) 110E) 112

16. En la figura 14, los rectngulos son congruentes, en donde a = b4 . Entonces, el permetrode la figura esA) 30aB) 26aC) 24aD) 18bE) No se puede determinar.

b

afig. 14

A B

D C

Q

R

Pfig. 12

A B

D CE

fig. 13

13

17. En el tringulo ABC de rea 32 cm2 de la figura 15, se han trazado sus medianas, en elEBD se trazan nuevamente las medianas y en el GBF se traza la transversal degravedad FH . Cunto mide el rea achurada?

A) 2 cm2B) 2,5 cm2C) 3 cm2D) 4 cm2E) 5 cm2

18. En el cuadrado de lado a de la figura 16, cul(es) de las siguientes expresionesrepresenta(n) el rea de la regin achurada?

I) a2 b2II) 2b2 + a2 2abIII) a2 2[b(a + b)]

A) Slo IIB) Slo IIIC) Slo I y IID) Slo II y IIIE) I, II y III

19. En la figura 17, cunto suman los permetros de todos los cuadrados ubicados sobre lahipotenusa del tringulo rectngulo de catetos 8 y 15?

A) 68B) 51C) 46D) 34E) No se puede determinar.

20. En la figura 18, ABCD es un rectngulo, AD = 3 cm, AB = 8 cm y E es punto medio deAB . Si FEDG es un cuadrado, cul es el permetro del hexgono BCDGFE?


b

b

fig. 16

8

15

fig. 17

fig. 18

A B

D C

G

F

E

A B

F

C

E

D

HH

G

fig. 15

14

21. En el rectngulo ABCD de la figura 19 , cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdadera(s)?

I) El rea DEF es el triple del rea AEDII) El rea DEF corresponde a 8

3 del rea del rectngulo ABCD

III) El rea DEF corresponde a 43

del rea del trapecio EBCF

A) Slo IB) Slo IIIC) Slo I y IID) Slo II y IIIE) I, II y III

22. En la circunferencia de centro O y radio 6 de la figura 20, OD y OC son arcos desemicircunferencia. Cul es el rea de la regin achurada?A) 3 cm2B) 6 cm2C) 9 cm2D) 3 + 32

cm2

E) 3 + 62 cm

2

23. La figura 21 muestra tres crculos concntricos en O, OA : AB : BC = 1 : 2 : 3,BC = 6 cm, DE y CF dimetros y el ngulo DOC mide 60, entonces el rea de la reginachurada mide


24. Si el rea del paralelogramo ABCD de la figura 22 es 52 cm2, EC = 4 cm y el ngulo ADCmide 135. Cul es su permetro?

A) (13 + 8 2 ) cmB) (26 + 8 2 )cmC) (28 + 8 2 )cmD) 34 cmE) 48 cm

D

C

fig. 20A BO

Ofig. 21

F E

D CB

A

A B

D CC

fig. 22

E

D

fig. 19

A E

C

B

F

p

3p p

15

25. Si los lados de un tringulo son : p, p-q, p+q y p>q, para que este tringulo searectngulo debe ocurrirA) p = 4qB) q = 4pC) 2q2 = p2D) 2pq =q2E) 22 p+q = (p+q)

26. En la figura 23, ABCD es un cuadrado. Se puede determinar el rea del trapecio EBCD, si(1) BE= 10(2) DC= 8A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adicional

27. En la semicircunferencia de dimetro AE de la figura 24, se han dibujado cuatrosemicircunferencias. Se puede determinar el permetro de la regin achurada si :

(1) AE = 20 cm(2) AB : BC : CD : DE = 3 : 5 : 1 : 1

A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adicional

28. Se puede determinar el rea del rombo ABCD de la figura 25, si se sabe que :

(1) EF // AB y el rea del FED mide 12 cm2.(2) AC : BD = 4 : 3 y el permetro del rombo es 40 cm.


A B

D CC

fig. 25FE

A B CD E

fig. 24

D C

A B

fig. 23E

29. Se puede determinar el rea del hexgono de la figura 26, si :

(1) Se conoce la medida de BE .(2) Se conoce la medida de uno de sus lados.


30. P es un punto cualquiera al interior del cuadriltero ABCD en la figura 27. Se puede saberque porcentaje es la superficie achurada del cuadriltero ABCD si:(1) ABCD es un paralelogramo.(2) ABCD es un rombo de rea 60 cm2.A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adicional

1. E 11. E 21. E2. B 12. D 22. A3. C 13. E 23. C4. C 14. A 24. B5. A 15. E 25. A6. C 16. B 26. C7. D 17. C 27. A8. B 18. A 28. D9. A 19. A 29. E10. B 20. E 30. D

EjemplosPgs. 1 2 3 4 5 6 7 8

1 y 2 D D E C E D A4 y 5 A A C B E B A E7 y 8 E D B A B A

A B

E D

F C

fig. 26

A B

D CC

fig. 27P

EJERCICIOS PG.9RESPUESTAS

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