Tema 4: Aplicaciones de la derivada e integral

Matemática Aplicada a la Electrónica

Oswaldo Moreno A.

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• Identificar el uso de la derivada en ciencia y tecnología.

• Identificar el uso de la integral en ciencia y tecnología.

OBJETIVOS

sesión

Introducción

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Las derivadas y las integrales como herramientas

fundamentales del cálculo, nos permite modelar

todos los aspectos de la naturaleza en las ciencias

físicas.

Intensidad de corriente

• Llamada corriente, se representa con la letra i, es la cantidad de carga que pasa por un punto, dado en un instante de tiempo.

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Tensión

• También llamada diferencia de potencial, se representa por la letra v y refleja la variación de energía que experimentaría una unidad de carga al moverse entre dos puntos de un circuito.

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Potencia

• Se representa con la letra p y se define como la variación de la energía por unidad de tiempo.

• Es, por lo tanto, una medida cuantitativa de lo rápido que se gana o pierde (cede) energía.

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Condensador

• Dispositivo formado por dos placas conductoras separadas por un material aislante (dieléctrico):

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Condensador…

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Bobina

• Es un dispositivo formado por un arrollamiento de hilo conductor en torno a un núcleo de material magnético. Su símbolo eléctrico es:

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Aplicación: Análisis de un circuito RLC

Hallar las tensiones y corrientes en todos los dispositivos del

circuito mostrado:

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Solución

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Derivando y reordenando

Reemplazando voltaje en resistencia, capacitor y bobina

Cuando el interruptor se cierra, la corriente I

aumenta bruscamente como un cortocircuito y

tiene el valor de I = E / R

Carga de un condensador

Gráfica de corriente y voltaje en carga

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T = R x C

Constante de

tiempo hasta

alcanzar el 63.2%

de la fuente.

5T

Constante de

tiempo hasta

alcanzar el 99.3%

de la fuente.

Descarga de un condensador

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La corriente tendrá un valor inicial de -Vo/R y disminuirá

hasta llegar a 0.

Gráfica de corriente y voltaje en descarga

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Demostración matemática

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3.1 Carga de un condensador

Balance energético

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3.2 Descarga de un condensador

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Balance energético

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Ejercicio 1

• Sea un condensador de capacidad C= 1,5uF en serie con una resistencia de R=58 KΩ y una batería de 30 V. Empecemos a contar el tiempo cuando se cierra el interruptor. En el instante t= 60 ms.

• Hallar a) Carga en el condensador, b) Intensidad de corriente, c) Energía suministrada por la batería, d) Energía disipada en la resistencia y e) Energía acumulada en el condensador

• Realizar el mismo análisis para un tiempo infinito.

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Ejercicio 2

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Se conecta un condensador de 20 µF a un generador de 200 V a través

de una resistencia de 0,5 MΩ.

a) Hallar la carga del condensador al cabo de 0 s, 5 s, 10 s, 20 s, 40 s y

100 s después de haberlo conectado.

b) Hallar la intensidad de la corriente de carga en esos mismos

instantes.

c) ¿Qué tiempo sería necesario para que el condensador adquiriese su

carga final si la intensidad de la corriente de carga fuese en todo

momento igual a la inicial? Comparar este tiempo con la corriente de

tiempo del circuito.

d) ¿Qué tiempo será necesario para que la carga del condensador

aumente de 2 a 4 mC?

e) Trazar las gráficas de la carga y de la intensidad de corriente en

función del tiempo utilizando los datos correspondientes a los

apartados a) y b).

Ejercicio 3

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Una resistencia de 10MΩ se conecta en serie con un capacitor de

1.0µF y una batería de 12V. Antes que se cierre el interruptor en

el instante t=0, el capacitor esta descargado.

a) Cual es la constante de tiempo

b) Cual es el valor de la carga en el tiempo de 46s

c) Cual es el valor de la corriente en el tiempo de 46s

d) La energía dispada en la resistencia.

e) La energía almacenada por el condensador

Ejercicio 4

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Una resistencia de 10MΩ se conecta en serie con un capacitor de

1.0µF y una batería de 12V. Al capacitor se le proporciona

originalmente una carga de 5µC. En seguida se descarga

cerrando un interruptor en t=0

a) Al cabo de cuanto tiempo la carga sera igual a 0.50µC.

b) Cual será la corriente en ese momento.

Próxima Sesión

• Ecuaciones diferenciales de primer orden

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Referencias

- Circuitos eléctricos, Joseph A. Edminister, Teoría y problemas resueltos.

- Fundamentos de Circuitos Eléctricos. Charles k. Alexander – Matthew N.O. Sadiku.

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