Jos Seoane

Lgica y Argumento

La publicacin de este libro fue realizada con el apoyo de la Comisin Sectorial de Enseanza (CSE) de la Universidad de la Repblica.

Jos Seoane Departamento de Publicaciones, Unidad de Comunicacin de la Universidad de la Repblica (UCUR)Jos Enrique Rod 1827 Montevideo CP: 11200Tels.: (+598) 2408 5714 (+598) 2408 2906Telefax: (+598) 2409 77 20www.universidadur.edu.uy/bibliotecas/dpto_publicaciones.htminfoed@edic.edu.uy

ISBN:

A la memoria de mis padresA Marianella

and what is the use of a book thought Alicewithout pictures or conversations

Lewis Carroll

Alices Adventures in Wonderland

Contenido

Prlogo .............................................................................................................................................................................................9

Captulo 1. El objeto de la lgica ........................................................................................................................11Enunciados y argumentos ...................................................................................................................................11La reflexin meta-argumental ..........................................................................................................................14La nocin intuitiva de consecuencia lgica ............................................................................................19El valor del recurso a la forma .........................................................................................................................21El objeto de la lgica ..............................................................................................................................................23

Captulo 2. Conceptos elementales de teora intuitiva de conjuntos ...............................27Introduccin .................................................................................................................................................................27Conjuntos .......................................................................................................................................................................27Subconjunto, conjunto vaco y conjunto potencia ............................................................................29Operaciones conjuntsticas ................................................................................................................................30Producto cartesiano. Relaciones ...................................................................................................................34Relaciones de equivalencia. Particiones ....................................................................................................37Relaciones de orden ................................................................................................................................................40Funciones .......................................................................................................................................................................42Cardinalidad .................................................................................................................................................................45Teora intuitiva y teora formal .......................................................................................................................51

Captulo 3. Lenguaje lgico proposicional: sintaxis ...........................................................................53Introduccin .................................................................................................................................................................53Lenguaje formal: motivacin e ideas intuitivas ..................................................................................55El lenguaje formal proposicional ...................................................................................................................58Decidibilidad del conjunto de las frmulas ............................................................................................64Induccin y propiedades de frmulas .......................................................................................................65Sntesis .............................................................................................................................................................................69

Captulo 4. Lenguaje lgico proposicional: semntica ......................................................................73Introduccin .................................................................................................................................................................73Interpretar el lenguaje formal (desde el punto de vista intuitivo) ...........................................73Interpretacin de L (desde un punto de vista formal) ....................................................................78El problema de la correccin argumental ................................................................................................82La evaluacin de las frmulas: mtodo tabular ...................................................................................84Un mtodo ms elegante para evaluar frmulas: tablas analticas ...........................................88Conjuntos adecuados de conectivos ............................................................................................................93Tautologas famosas .................................................................................................................................................95Sntesis .............................................................................................................................................................................97

Captulo 5. Lenguaje lgico proposicional: sistemas deductivos .............................................101Introduccin .................................................................................................................................................................101La nocin de argumento idealmente justificado .................................................................................102Sistemas deductivos: nociones generales ..................................................................................................103Un sistema axiomtico formal para el lenguaje proposicional ...................................................106Teora axiomtica formal: el sistema M .....................................................................................................108Sistema de deduccin natural: reglas de inferencia ..........................................................................110Sistema de deduccin natural: ejemplos de pruebas .......................................................................113Estrategias demostrativas y reglas derivadas: ideas generales ...................................................114Estrategias demostrativas, conectores, reglas derivadas y teoremas ....................................116Sntesis ............................................................................................................................................................................124

Captulo 6. Lenguajes de orden uno: sintaxis ..........................................................................................127Introduccin .................................................................................................................................................................127La ampliacin del lenguaje ...........................................................................................................................128Lenguajes de orden uno (desde el punto de vista informal) ......................................................131Lenguajes de orden uno (desde el punto de vista formal) ...........................................................132Traducciones y expresividad de L .................................................................................................................140Sntesis .............................................................................................................................................................................142

Captulo 7. Lenguajes de orden uno: semntica .......................................................................................145Introduccin .................................................................................................................................................................145Interpretacin de los lenguajes de orden uno (desde un punto de vista intuitivo) ...............................................................................................................145Interpretacin de los lenguajes de orden uno (desde el punto de vista formal) ......................................................................................................................152Expresividad terico-modlica ...................................................................................................................156Consecuencia semntica y validez .................................................................................................................157Sntesis .............................................................................................................................................................................161

Captulo 8. Lenguajes de orden uno: sistemas deductivos ..............................................................163Introduccin .................................................................................................................................................................163Tablas analticas cuantificacionales ...............................................................................................................164Sistemas deductivos para lenguajes de orden uno ..............................................................................167Axiomas y reglas para la igualdad .................................................................................................................174Ejemplos de teoras axiomticas en orden uno ....................................................................................176Sntesis .............................................................................................................................................................................179

Captulo 9. Teora lgica y modelos argumentales ...........................................................................181Introduccin .................................................................................................................................................................181La estrategia traduccinclculo ...................................................................................................................181La riqueza de las relaciones entre lgica y argumentacin: usando los modelos tradicionales ...................................................................................................................183La riqueza de las relaciones lgica y argumentacin: ensayando otros modelos ...........187La riqueza de las relaciones entre lgica y argumentacin: la crtica argumental........189Sntesis .............................................................................................................................................................................192

Bibliografa ....................................................................................................................................................................................195ndice analtico ...........................................................................................................................................................................197

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PrlogoEste libro es obra esencialmente colectiva. Su origen reside en los cursos de

lgica de la Facultad de Humanidades y Ciencias de la Educacin. Estos se orien-tan a estudiantes de las licenciaturas de Filosofa y Lingstica; para ayudarlos, comenc redactando unas notas introductorias a los distintos tpicos del curso y, con el paso del tiempo, ampli y profundic las mismas. En tal trabajo me bene-fici de los conocimientos y el compaerismo de diversos equipos; integraron los mismos, en diferentes momentos, Soledad Cao, Ignacio Cervieri, Anbal Corti, Matas Gariazzo, Gonzalo Hernndez, Claudia Mrquez, Mara Fernanda Pallares, Facundo Ponce de Len, Luciano Silva, Ignacio Vilar y un conjunto amplsimo de muchachas y muchachos, la totalidad de cuyos nombres me es imposible recordar as como su entusiasmo, inteligencia y calidez me es imposible olvidar. Pero, muy especialmente, estas pginas mantienen una deuda enorme con todos los estudian-tes que participaron de mil formas cooperativas en aquellos cursos.

Asimismo, este libro abreva en un conjunto rico de manuales de lgica. Seguramente las obras de las que ms me he servido son la formidable introduccin a la lgica escrita por Cori y Lascar (muy principalmente, su primer tomo) y el excelente libro de Manzano sobre la teora de modelos. He pretendido en prolijas notas al pie dar cuenta de las diversas deudas intelectuales pero, seguramente, no he logrado hacer justicia a una gama tan variada de autores y textos. En particular, aunque no me he apoyado en este libro especficamente en ningn texto suyo, qui-siera dejar constancia de mi gratitud intelectual y personal a mi antiguo profesor de lgica Enrique Caorsi. Asimismo expresar mi reconocimiento al grupo de lgicos y filsofos de los Coloquios Cono Sur de Filosofa de las Ciencias Formales, en especial, a mi amigo Abel Lassalle Casanave, creador y organizador entusiasta de estos eventos.

Finalmente, debo agradecer el trabajo inteligente, cuidadoso y sacrificado de Mara Fernanda Pallares as como de Alejandro Chmiel y Matas Osta, en la edi-cin y correccin de los originales; sin sus esfuerzos, no existira este libro. Dicho trabajo fue apoyado por la Comisin Sectorial de Enseanza de la Universidad de la Repblica en el marco de su llamado a la elaboracin de manuales didcticos para la enseanza de grado (2010).

Recuerdo cunto me conmovi, en la lejana dcada del 80, el descubrimiento de la belleza y la profundidad de la lgica matemtica; espero poder transmitir en las pginas que siguen algo de aquella fascinacin.

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Captulo 1

El objeto de la lgica

Enunciados y argumentos

Usamos el lenguaje en formas muy variadas; expresamos emociones, formulamos interrogaciones o aseveramos opiniones. Dependiendo de las motivaciones que nos animan, escogemos una u otra de esas variadas formas. Cuando nuestro inters funda-mental es la transmisin de informacin, solemos construir oraciones de un cierto tipo caracterstico, a saber, oraciones susceptibles de ser evaluadas en trminos de verdad o falsedad. Es decir, oraciones de las cuales puede decirse sensatamente que son verdaderas o que son falsas. Llamaremos enunciados a las oraciones de esta clase.1

Es obvio que no todas las oraciones son enunciados; respecto de la oracin Qu hora es? carece de sentido decir tanto que es verdadera como que es falsa, en consecuencia, ella es un ejemplo de oracin que no es enunciado. Un ejemplo de enunciado es el siguiente: Hoy llueve en la ciudad de Tacuaremb. Otro ejemplo es, naturalmente, Hoy no llueve en la ciudad de Tacuaremb.

Si se piensa la coleccin de todas las (posibles) oraciones en un idioma determi-nado por ejemplo, el espaol puede dividrsela en dos subcolecciones: la de los enunciados y la de los no-enunciados:

Oraciones

no-enunciados

enunciados

A veces estamos interesados en afirmar enunciados aislados pero, frecuentemen-te, deseamos establecer ciertas relaciones entre enunciados. Por ejemplo, aspiramos a convencer a determinado interlocutor de que, si admite la necesidad de aumentar

1 Dada la naturaleza introductoria de este libro, no se enfrentan algunas cuestiones filosficas acerca de la lgica, en beneficio de la claridad en la exposicin de los rudimentos de la disciplina; se intentar, no obstante, advertir al lector. En este caso, el problema en cuestin es el de los portadores de verdad. Se asume aqu pues que pueden tomarse como tales lo que hemos deno-minado enunciados pero existe una amplia discusin. El lector interesado puede consultar, por ejemplo, Haack (1991), o un tratamiento ms minucioso del punto en Orayen (1989).

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la productividad, entonces debe admitir los beneficios de ciertas formas de renova-cin tecnolgica. Ese esfuerzo por mostrar que la admisin de ciertos enunciados que suelen denominarse premisas obliga o, por lo menos, induce a admitir otro que suele denominarse conclusin es lo que podramos entender como primera aproximacin por argumentar. Es decir, ofrecer razones que evidencien que determinada conclusin se sigue (con mayor o menor necesidad o fuerza) de ciertas premisas. O, algo ms abstractamente, el argumento revela que la informa-cin codificada en las premisas permite, en algn sentido que habr que especificar despus, obtener la informacin expresada en la conclusin.2

Debe reconocerse que la palabra argumento es ampliamente usada. Se exige a un legislador que argumente, por ejemplo, las bondades de un proyecto de ley o se pide a un crtico del mismo que argumente sus inconvenientes. Esta exigencia no es un reclamo que se considere intrascendente o banal: muchas veces tal peticin se hace para poder tomar posicin respecto del proyecto de ley en cuestin. Cuando, por ejemplo, en un debate televisivo entre dos personas el conductor otorga el mis-mo tiempo a cada una para que exponga sus razones, lo que intenta es ser ecunime en la distribucin del tiempo a los efectos de dar la misma oportunidad de argu-mentar a ambas partes (para que tengan la misma oportunidad de convencer al es-pectador) y, a su vez, a los efectos de ofrecer la posibilidad al espectador de, a partir de esas argumentaciones, encontrarse en una situacin adecuada para extraer sus conclusiones, es decir, habiendo podido apreciar igualmente ambos puntos de vista.

Los participantes del debate ciertamente pueden adoptar actitudes muy varia-das, pero dicha variacin no es ilimitada: si, por ejemplo, uno de ellos comenzara a apedrear al otro contendiente ciertamente el debate se suspendera y se conside-rara tal comportamiento como inadmisible (para el debate). Es decir, difcilmente alguien sostendra que tal actitud forma parte del debate.

El ejemplo es grosero y seguramente convendran precisiones y matices; sin em-bargo, bsicamente, puede hacerse acuerdo en que un debate consiste funda-mentalmente en cierta interaccin lingstica entre los participantes. Esto limita la interaccin pero todava no permite excluir casos en los cuales, en principio, no parecera sensato sostener que se asiste a una confrontacin polmica (por ejem-plo, si uno o ambos, la nica actividad que realizan es insultar). Se espera que estas modestas observaciones contribuyan a convencer al lector acerca de que, a pesar de parecer muy intuitivo lo que se quiere decir con argumentar, es una tarea sofisti-cada precisar el alcance del vocablo argumento.3

2 Esta concepcin basada en la nocin de informacin encuentra una poderosa justificacin filos-fica en Barwise y Etchemendy (1999). Una consecuencia importante de este nfasis informacio-nal es que podra ampliarse, por as decir, la nocin de argumento arriba ofrecida, permitiendo formas o modalidades no lingsticas de codificar la informacin.

3 La discusin en torno a la nocin de argumento ha cobrado un nfasis especial en los ltimos tiempos. El lector interesado en internarse en la selva de literatura relativamente reciente sobre tal nocin puede consultar, por ejemplo, Van Eemeren, Grootendorst y Kruiger (1987). Un ejemplo de tratamiento filosfico de la cuestin puede apreciarse, por ejemplo, en Parsons (1996).

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Como en otras ciencias, un buen punto de partida es empezar con una nocin esquemtica, pero valiosa a la luz de ciertos fines o de ciertos supuestos asumidos. La forma de entender argumento en este contexto exhibe esas cualidades.4 En las lneas que siguen se caracteriza este concepto de un modo habitual en la literatura lgica.

En primer trmino, un argumento es una cierta estructura lingstica conforma-da por enunciados. La peculiaridad de la misma reside en que se afirma una relacin entre determinados enunciados denominados premisas y un enunciado denominado conclusin que puede parafrasearse as: la conclusin se sigue o se desprende o se extrae de las premisas. Un ejemplo nos ayudar a comprender mejor tal relacin:

Ejemplo 1

Si Juana es sirena, entonces es cantautora. Juana es sirena.

Juana es cantautora.

Premisas

Conclusin

Resulta relativamente obvio (a la luz de los comentarios anteriores sobre las funciones de, respectivamente, premisas y conclusin en un argumento) que los dos enunciados sobre la barra son las premisas en este argumento y el enunciado debajo de la barra oficia de conclusin. Las premisas aparecen as expresando cierta infor-macin inicial que permite obtener la informacin expresada en la conclusin. La propiedad de ser premisa o ser conclusin es, naturalmente, relativa al argumento. Esto es, un mismo enunciado puede ser premisa en un argumento y ser conclusin en otro. El papel de la barra es expresar la relacin entre premisas y conclusin; po-dramos leer la barra como luego o por lo tanto. Esta relacin, si pensamos en general, podra denominarse relacin de justificacin la idea es clara: se trata de la relacin que vincula a los enunciados justificadores (las premisas) con el enunciado justificado (la conclusin). As pues, entendido en estos trminos de generalidad, un argumento parecera que queda bien caracterizado por estos tres componentes: premisas, conclusin, relacin de justificacin. Un diagrama puede tornar visible esta afirmacin:

Modelo 1: Pre1, Pre2, , Pren / Con

donde las Prei (1in, siendo i un entero positivo) representan premisas, Con representa la conclusin y / la relacin de justificacin. Es interesante advertir que identificar un argumento, desde esta perspectiva, querr decir precisamen-te ser capaz de reconocer estos tres componentes. Pero advirtase que tal tarea

4 Una discusin acerca de ciertos fines o supuestos que guan la construccin de este concepto de argumento correcto desde el punto de vista de la lgica (y que resultan relevantes para el propio modelo de argumento expuesto) puede leerse en Seoane (2004).

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identificatoria en muchos casos dista de ser trivial; en general, en contextos como los de una asamblea gremial, la Cmara de Senadores o un congreso cientfico (por citar algunos ejemplos), las personas exponen sus argumentos de una forma com-pleja y expresivamente rica, alejada de la pacfica transparencia del esquema pre-misas/conclusin arriba expuesto. Esto obliga al que se propone ponderar tales argumentos a un cuidadoso esfuerzo analtico previo, a saber, identificarlos.

Como una aproximacin inicial, podramos decir que la lgica se interesa por la argumentacin. Pero esto, como es obvio, no basta para caracterizar la lgica; en las prximas secciones iremos, paulatinamente, acercndonos a una primera carac-terizacin de la disciplina.

Problemas y tareas1. Construya un argumento, guindose por el ejemplo I. Use la conclusin de

su argumento, para construir un segundo argumento en que la misma oficie de premisa.

2. Los siguientes textos periodsticos poseen evidentes pretensiones argumen-tales. Identifique premisas y conclusin en cada caso:si la mutua competencia [entre marcas de cigarrillos] fuera la nica causa de los gastos multimillonarios en el rubro publicitario, la lgica dira que las grandes compaas deberan unirse para apoyar a los gobiernos que promue-ven la supresin de la publicidad de cigarrillos, favoreciendo as un statu quo que protegera a las poderosas marcas lderes de las amenazas de los pequeos competidores. Por cierto que en todo el mundo, y tambin en Uruguay, suce-de exactamente lo contrario. (Daniel Kliman, Cortinas de humo, Relaciones, marzo 1998).

Si el atentado al que el dictador [Pinochet] sobrevivi en septiembre de 1986 hubiese tenido xito la transicin chilena hubiese sido completamente distinta. Para algunos simplemente no hubiese existido transicin sino un bao de san-gre. Para otros, el propio rgimen militar, presionado por la oposicin interna y por las fuerzas democrticas externas, dentro y fuera de Amrica Latina, sin el factor de unidad que ha sido el dictador, habra ido cediendo espacios y la Concertacin habra asumido en condiciones ms favorables, menos atadas (J. Cayuela, Chile: apuntes para el fin del siglo, Brecha, ao 13, n. 640).

La reflexin meta-argumentalAntes del surgimiento de la lgica como disciplina que se sita en Grecia,

aproximadamente en el siglo IV antes de Cristo obviamente se formularon y dis-cutieron argumentos. Y, naturalmente, los argumentos eran evaluados. Es decir, se aceptaban algunos como correctos, se rechazaban otros por incorrectos, se calibra-ban respecto de su fuerza probatoria, se comparaban en relacin con su capacidad persuasiva, etc. Una rica prctica argumental pues precedi a la emergencia de una reflexin metaargumental lgica. Quiz convenga detenerse brevemente a analizar las dos caractersticas que hemos adjudicado a esta reflexin original. Por una parte,

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se trata de una reflexin metaargumental, es decir, se sita en un plano conceptual que tiene por objeto el plano argumental. Por otra parte, hemos dicho que estamos frente a una reflexin lgica, por ahora todo lo que queremos expresar con tal cali-ficativo es que la misma se encuentra orientada al esclarecimiento del problema de la correccin argumental.5

En especial, contribuyeron a transformar la cuestin de la evaluacin argumental en un problema digno de anlisis, el desarrollo de disciplinas y actividades socialmen-te valiosas en las cuales la argumentacin ocupaba un papel relevante. La matemti-ca, la filosofa y la prctica polticojurdica suelen ser los ejemplos ms conspicuos de tales actividades.6 Para introducir el especial punto de vista desde el cual el lgico analiza los argumentos puede resultar esclarecedor partir, precisamente, de argu-mentaciones particulares pertenecientes a algunos de los campos referidos.

Tomemos un caso especialmente interesante de las matemticas griegas. Como se sabe, la escuela pitagrica iniciada por Pitgoras en el siglo VI a.C. obtuvo importantes resultados en esta disciplina. Seguramente el lector recuerda el clebre Teorema de Pitgoras; ste afirma que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. La ilustracin permite formularlo de un modo intuitivo y sinttico:

a

b

h

Teorema de Pitgoras: h2 =a2 + b2

El problema que nos interesa surge a partir de la consideracin de la diagonal de un cuadrado cuyo lado tiene por longitud la unidad. Nuevamente, recurramos a la ilustracin:

1

Obsrvese que esta diagonal es la hipotenusa de los respectivos tringulos rec-tngulos cuyos ngulos rectos estn indicados en el diagrama. Dado que el valor de los lados es 1, podemos inferir, aplicando el Teorema de Pitgoras, que h2 =12+12 =2 o sea h=

5 La emergencia de estas preocupaciones intelectuales en la filosofa prearistotlica es un intere-sante problema histrico que hasta donde s no se ha explorado suficientemente.

6 Vase al respecto Kneale y Kneale (1984).

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Para los pitagricos los nmeros se reducan a los racionales, esto es, los enteros y las razones de enteros. Adems tal restriccin era esencial a su cosmovisin, lo que haca de esta conviccin un postulado indiscutible. El punto es: es racional?

La respuesta negativa debida, segn la tradicin, a Hipaso de Metaponto, signi-fic un autntico escndalo para la secta pitagrica. He aqu una argumentacin a favor (una prueba o demostracin) de que no es racional:

Supongamos que es racional. Entonces es susceptible de escribirse como a/b, donde a y b son enteros (b0). Dado que siempre podemos simplificar una fraccin hasta que numerador y denominador no tengan factores comu-nes (excepto el 1), asumamos que a y b satisfacen esta condicin lo que suele expresarse diciendo que a y b son primos entre s. Se tiene entonces =a/b. Luego a= .b y as a2 =2b2. As tenemos que a2 es par. Como sabemos que un entero z es par si y solo si z2 es par, a es par. Pero entonces a puede escribirse como 2c para algn entero c. As pues, ya que sabemos que a2 =2b2, 4c2=2b2. Entonces b2=2c2 y as b2 es par y, por idntica razn que arriba respecto de a, b es par. Pero entonces 2 es un factor comn de a y b, lo cual contradice la suposicin de que son primos entre s. Esto es absurdo, por lo tanto no es racional.

Hemos visto pues una argumentacin matemtica que, aunque no desarrollada de forma absolutamente fidedigna desde el punto de vista histrico, comparte la es-tructura con la prueba geomtrica que se supone fue la original.7 Discutamos ahora una argumentacin filosfica.

Zenn de Elea fue un filsofo que vivi en el siglo V antes de Cristo y que, sim-plificando extremadamente la historia, se dedic, fundamentalmente, a mostrar que, si se admite que el ser es mltiple, esto implica consecuencias inaceptables. Esta estrategia era la usada por l para mostrar la necesidad de aceptar la unicidad del ser.8 El siguiente es un pasaje de Zenn9 representativo de su modo de argumentar:

Si las cosas son mltiples es necesario que sean todas las que son, y no ms ni menos que stas. Pero si son todas las que son, son en nmero limitado.

Si las cosas son mltiples, son tambin infinitas: ya que siempre hay otras in-termedias entre los entes, y nuevamente otras en el intervalo entre stas, y as los entes son de nmero infinito.

La conclusin que en la intencin de Zenn debe extraerse es: las co-sas no son mltiples. Reconstruyamos el argumento para poder discutirlo mejor: Supongamos que las cosas son mltiples. Entonces ellas son una cantidad, por as decir, definida y, consecuentemente, su nmero es finito. Pero, por otro lado,

7 Vase al respecto, por ejemplo, Eves (1964).8 Es obvio que debera aclararse qu es lo que debe entenderse por ser. Como tal concepto, a

los fines presentes, no juega ningn papel esencial, aquellos que no se encuentren interesados en esta temtica pueden apreciar el argumento que sigue como limitado a intentar demostrar ciertas consecuencias indeseables de asumir que las cosas son mltiples. Esa es la estrategia, por otra parte, que sigue el texto.

9 Est tomado de Mondolfo (1974) p. 84.

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dado que entre dos entes cualesquiera debe haber algo intermedio, y, respecto de estas dos, puede repetirse el argumento y as sucesivamente, entonces su nmero no es finito tal argumento parece apoyarse esencialmente en la suposicin pitagrica de que el espacio vaco es tambin un ente. Pero esto es absurdo pues su nmero debiera ser finito y no finito. En conclusin, las cosas no son mltiples.

No es difcil advertir cierta semejanza entre el argumento matemtico y el argu-mento filosfico. En ambos casos se parte de una suposicin ( es racional, el ser es mltiple), a partir de la cual se pretende extraer una consecuencia contradictoria o absurda (a y b son primos entre s y no son primos entre s, el nmero de las cosas es finito y no es finito) y, finalmente, se concluye afirmando la negacin de la supo-sicin ( no es racional, las cosas no son mltiples). El siguiente esquema puede reflejar lo anterior:

Argumento por absurdo (descripcin general)Se supone A, a partir de esta suposicin se muestra B y no es cierto B, luego no es cierto A.

O quiz as resulte ms ntido:

Argumento por absurdo (esquema) A supuesto

pasos intermedios

B y no B contradiccinNo es cierto A conclusin

Este esquema puede representar, en general, los llamados argumentos por el absurdo. Debe distinguirse pues entre argumento por absurdo y demostracin por absurdo: la primera nocin, como se desprende de la discusin de arriba, se pretende ms general que la segunda.

Conviene efectuar algunas aclaraciones. En primer trmino, en el esquema de arriba podran existir como premisas (adems del supuesto) otra serie de enun-ciados por ejemplo, algunas verdades matemticas en el caso del argumento acerca de . En segundo lugar, los puntos (en el segundo esquema) representan los pasos que permiten llegar desde el supuesto a la contradiccin, es decir, la serie de razones que se exponen para mostrar cmo se deduce de las premisas la contradiccin. En tercer lugar, ntese que la conclusin es, precisamente, la negacin del supuesto.

Una pregunta general que surge es la siguiente: es este ltimo esquema una forma de representar argumentos idntica a la sintetizada en el modelo 1? Pareciera que la respuesta debiera ser negativa. La diferencia fundamental radicara si se observa el problema desde ese punto de vista en la emergencia de los pasos que muestran

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como se sigue a partir de ciertos enunciados otros enunciados. O, puesto de otro modo, a diferencia del modelo 1, se representa de esta forma cmo ciertos enuncia-dos justifican a su vez otros enunciados y stos a su vez otros y as, a travs de una especie de cadena justificadora, se llega al ltimo eslabn que es, precisamente, la conclusin. Podra objetarse, no obstante, que quiz fuera conveniente representar (fiel al modelo 1) a todo lo que se ubica por encima o antes de la conclusin en nuestro esquema como premisas. Sin embargo, si adoptamos tal poltica puede replicarse estamos perdiendo algo fundamental: no se encuentra en la misma rela-cin la segunda premisa con la primera premisa del ejemplo I que la contradiccin con el supuesto de nuestro ltimo diagrama. En el primer caso podramos decir que son independientes; en el ltimo caso queremos evidenciar que es, precisamente, la asuncin del supuesto lo que lleva a la contradiccin. Construyamos pues una segunda forma de representar o entender argumentos:

Modelo 2: Pre1, Pre2, , Pren Pas1, Pas2, ,Pask / Con

donde Pasi (1ik, siendo i un entero positivo) son los pasos aludidos.Se tienen entonces dos modos o formas de representar o entender argumentos.10

Se encuentran estos modos relacionados? La respuesta es: s. Advirtase que, en un sentido muy preciso, las premisas justifican los pasos.11 Luego, para que la cadena justificacional funcione, tenemos que tener trabajando la relacin de justificacin entre premisas y pasos. Es en este sentido que podramos sostener que el modelo 1 es ms bsico que el modelo 2. Asumamos pues el modelo 1 como punto de partida; ms adelante tendremos oportunidad de encontrar una motivacin especfica para el uso del modelo 2.

Es conveniente advertir que hemos introducido estos nuevos ejemplos de textos argumentales a los efectos de motivar fundamentalmente la introduccin del mo-delo 2 de representar argumentos; todo lo que hemos hecho hasta ahora es explorar formas o modalidades de representar argumentaciones.

Problemas y tareas1. Revise la demostracin por el absurdo expuesta antes. Identifique un enun-

ciado que juegue en la misma el papel de premisa y un enunciado que juegue el papel de paso en dicha prueba.

2. Procure en algn texto de matemtica una demostracin por el absurdo. Identifique, en ese caso, un enunciado que cumpla el papel de premisa, un enunciado que oficie de paso en la prueba y, finalmente, la conclusin del argumento.

10 La distincin fue introducida exactamente en estos trminos en Seoane (1999). Como a veces ocurre, posteriormente uno descubre que algunas de las ideas que sostuvo como propias ya ha-ban sido defendidas por autores distantes en el espacio y/o en el tiempo. Esto me sucedi con Parsons (1996) y, de una forma sorprendente, con Corcoran (1972). Hay matices pero ciertas ideas bsicas son compartidas.

11 Esta afirmacin podr ser mejor entendida ms adelante.

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En sntesis, hemos visto que la lgica es una reflexin metaargumental. Los ar-gumentos pueden representarse o entenderse, en este contexto, ya apelando al mo-delo 1, ya apelando al modelo 2. Dado el carcter bsico del primero, asumiremos el mismo como punto de partida. Pero la reflexin lgica no queda caracterizada, como hemos dicho, por su status metaargumental; le interesa la evaluacin de los argumentos en trminos de su correccin. Este es el aspecto que abordaremos en la prxima seccin.

La nocin intuitiva de consecuencia lgicaSeguramente el lector ha advertido una diferencia importante, a pesar de las

similitudes sealadas, entre los dos ejemplos argumentales expuestos. El primero es una prueba o demostracin matemtica y su conclusin expresa una propiedad de un cierto nmero. Advirtase que aceptamos las premisas, los pasos y la conclusin de dicho argumento. En cambio, en el segundo caso la formulacin misma de las premisas y de la conclusin resulta ambigua y los pasos se presentan como proble-mticos. Es evidente que no hay all prueba o demostracin. Podramos quiz decir que un argumento parece correcto y el otro es, por lo menos, dudoso o difcil de evaluar en trminos de correccin. Pensemos un poco ms la situacin.

Un contraste notable entre los dos argumentos consiste en que mientras acep-tamos las premisas del primero como de hecho verdaderas no ocurre lo mismo respecto de las del segundo. Una segunda conspicua diferencia es que mientras nos resulta claro cmo se justifican los pasos del primero lo mismo no ocurre con el segundo. Y, finalmente, mientras aceptamos como verdadera la conclusin del primero difcilmente diramos lo mismo del segundo.

Como puede apreciarse pues el problema de la correccin es extremadamen-te complejo. Conviene entonces comenzar simplificando razonablemente nuestra cuestin. En primer lugar, haremos abstraccin del problema de la justificacin de los pasos. Esto resulta muy natural si se tiene en cuenta que representaremos un argumento explotando el modelo 1. Un argumento, entonces, es una estructura lin-gstica conformada por premisas y conclusin. La idea ms general de correccin argumental exige que las premisas justifiquen la conclusin. Luego, el lgico podra tentativamente decir que un argumento es correcto cuando las premisas, por decir-lo metafricamente, cumplen adecuadamente su papel, esto es, logran justificar la conclusin. Y as un argumento es incorrecto cuando las premisas no logran justificar la conclusin. Ahora parece que lo que le deberamos preguntar es qu se quiere decir con la metfora de que las premisas cumplan adecuadamente su papel.

La respuesta del lgico podramos decir que se concentra (utilizando el modelo inicial) en caracterizar una cierta relacin de justificacin. Esta puede entenderse como el criterio o el patrn que aplicar el lgico a la hora de evaluar la correccin argumental. Dicho sintticamente, desde el punto de vista lgico, un argumento ser correcto si y solo si la conclusin es consecuencia lgica de las premisas.

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En este captulo daremos la nocin intuitiva de tal relacin; el resto del libro puede entenderse como un esfuerzo por elucidar, es decir, esclarecer, rigorizar esta nocin bsica. El concepto intuitivo de consecuencia lgica puede caracterizarse como sigue:

Nocin intuitiva de consecuencia lgica

Sea una coleccin de enunciados y sea un enunciado. Diremos que es consecuencia lgica de si y solamente si necesariamente si todos los enunciados pertenecientes a son verdaderos, es verdadero. O, dicho de otra forma, si no es posible que todos los enunciados pertenecientes a sean verdaderos y sea falso.

Dada la importancia de este concepto es conveniente reflexionar algo ms sobre el mismo. Debe advertirse que hemos caracterizado una relacin; los elementos rela-cionados son, obviamente, premisas y conclusin. Aunque hacemos abstraccin del hecho de que las primeras y la ltima sean de hecho verdaderas o falsas, a la hora de caracterizar la relacin hemos usado esencialmente la posibilidad de ser verdaderos o falsos de los enunciados en juego. Pues exigimos que, por as decirlo, la verdad de las premisas sea heredada por la conclusin; a veces se ha hablado aqu de transmisin de la verdad.12 Pero ntese que, en realidad, la nocin intuitiva de consecuencia lgi-ca pide algo ms fuerte que la mera transmisin de la verdad de premisas a conclusin: exige el carcter necesario de tal transmisin. Dediquemos a este aspecto un momento de anlisis. Considrese estos argumentos:

a. Si una ciudad est al norte del Ro Negro, se ubica al norte de Montevideo.La ciudad de Florida est al norte de MontevideoLa ciudad de Florida est al norte del Ro Negro.

b. Los tacuaremboenses son uruguayos.Los montevideanos no son tacuaremboenses.Los montevideanos son uruguayos

c. Los tacuaremboenses son uruguayos.Los uruguayos son sudamericanos.Los tacuaremboenses son sudamericanos

En el caso de (a) obviamente no se produce transmisin de la verdad: las premisas son verdaderas y la conclusin es falsa. Este ejemplo tiene el inters de evidenciar la falla en la transmisin de la verdad. Es evidente luego que en (a) no hay relacin de consecuencia lgica entre las premisas y la conclusin i.e. el argumento es inco-rrecto, desde el punto de vista lgico. El caso (b) es ms interesante: puede decirse all que no hay transmisin de la verdad? Tanto las premisas como la conclusin son verdaderas es decir, no se est en el caso (a). Lo que falla es el requisito de necesariedad. Lo exigido desde el punto de vista lgico no es meramente que

12 Vase, por ejemplo, Popper (1991) pp. 248-263.

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de hecho la conclusin sea verdadera o que al menos una de las premisas sea falsa; se exige que si las premisas son verdaderas necesariamente la conclusin lo sea. O, dicho de otro modo, que sea imposible la verdad de todas las premisas y la falsedad de la conclusin. Luego tampoco en este caso estamos frente a un argumento lgi-camente correcto ya que la conclusin no es consecuencia lgica de sus premisas. Ejemplos de tal transmisin necesaria de la verdad (es decir, de correccin lgica) son el argumento (c) y el argumento del Ejemplo I.

En sntesis, un argumento es correcto desde el punto de vista lgico si, siempre que las premisas son verdaderas, su conclusin lo es. O, dicho de otro modo, si es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusin sea falsa. En este caso se dice que la conclusin es consecuencia lgica de las premisas o que stas implican la conclusin. La argumentacin que exhibe tal relacin entre premisas y conclusin se denomina deductivamente correcta.13

El valor del recurso a la formaUn problema importante es cmo identificar la presencia de la relacin de con-

secuencia lgica entre premisas y conclusin. Es decir, cmo, dado un argumen-to especfico, determinar si su conclusin es consecuencia lgica de sus premisas. Precisamente para resolver este problema es que recurrimos al anlisis formal o estructural de los argumentos.

Volvamos brevemente a nuestras dos argumentaciones de la seccin La re-flexin meta-argumental. Basta un poco de reflexin sobre ellas para advertir que en un caso el tema o el contenido del argumento se ubica en la teora de nmeros y en el otro pertenece a la metafsica una rama tradicional de la filosofa. Pero, independientemente de la diversa naturaleza temtica, ambos argumentos poseen una cierta semejanza: pueden entenderse como instancias de los esquemas de argu-mentacin por el absurdo arriba establecidos. Esta similitud podramos denominar-la estructural o formal.

Pero, cmo podra ayudarnos tal consideracin formal o estructural a la hora de evaluar la relacin de consecuencia lgica? O por qu analizar los argumentos en trminos de su forma? Esta es una pregunta clave. La respuesta podra formularse as: porque se advierte la existencia de ciertas estructuras argumentales que garan-tizan la informacin contenida en la conclusin, dada la informacin codificada en las premisas independientemente del tipo o naturaleza de la informacin en cues-tin. Para expresarlo con una terminologa ms habitual: se nota que tal estructura o forma asegura la verdad de la conclusin, asumida la verdad de las premisas.

Para retornar a nuestros ejemplos, se aprecia que si un supuesto (a partir de premisas verdaderas y por mecanismos argumentales legtimos) conduce a una

13 El adjetivo deductivo puede usarse como sinnimo de lgicamente correcto (en tal caso, carece de sentido la expresin argumento deductivo incorrecto) o puede usarse como sinnimo de argumento que se pretende lgicamente correcto. Este ltimo uso ser el que frecuentemen-te adoptaremos en el presente libro.

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contradiccin, ese supuesto no puede ser verdad, es decir, su negacin es verdad. La garanta que proveen ciertas estructuras es que, dada la verdad de las premisas, se tiene necesariamente la verdad de la conclusin tal es el caso de la argumentacin por el absurdo, aunque an es muy pronto para comprobarlo.

Brevemente expresado, el recurso a la forma o estructura lgica aparece entonces como una va notable para resolver el problema de la identificacin o del reconocimiento de la relacin de consecuencia lgica entre premisas y conclusin.14

Como se ha subrayado, no basta a los efectos de la correccin lgica el carcter preservador de la verdad, debe adicionarse el carcter necesario de tal preservacin. Esta dimensin o cualificacin modal es (como hemos visto) esencial a la caracte-rizacin de nuestro concepto intuitivo. Es decir, hay relacin de implicacin entre premisas y conclusin si siempre (este vocablo expresa la necesidad) que las premi-sas son verdaderas, la conclusin tambin lo es. No necesariamente debe resultar evidente cmo tal transmisin necesaria de la verdad puede quedar garantizada por propiedades formales o estructurales de la argumentacin. A los efectos de aclarar esta idea, introduzcamos un nuevo argumento:

Ejemplo II: Si Jos es lgico, Jos es aburrido.Jos es lgico.Jos es aburrido.

Advirtase que tanto la conclusin del ejemplo I (p. 11) como la del ejemplo II parecen desprenderse con igual necesidad de las respectivas premisas, no importan-do que, en el primer caso, se hable de sirenas y, en el segundo, se hable de lgicos. Luego ese desprenderse con necesidad de la conclusin a partir de las premisas no puede deberse a los respectivos contenidos de los argumentos sino a la forma o estructura compartida por ambos. Pues bien, cul es dicha estructura?

La pregunta no es fcil pero una estrategia intuitiva destinada a responderla podra consistir en determinar cules son las porciones lingsticas que tanto el ejemplo I como el II poseen en comn. stas sern precisamente las responsables de la correccin lgica. Al igual que en el caso del esquema de argumentacin por el absurdo podemos colocar letras para representar aquellas expresiones lingsti-cas en que se producen las variaciones que atendiendo a estos casos no son relevantes para los actuales propsitos. El resultado de tal operacin podra quiz esquematizarse as:

Esquema (Modus Ponens) Si A entonces B A B

14 Existen aqu diversas cuestiones conceptuales sutiles y profundas. Pero, en beneficio de la clari-dad expositiva, prescindiremos en este momento de la exposicin de discutirlas; ms adelante nos referiremos a algunas de ellas. El enfoque presentado sigue las ideas expuestas en Etchemendy (1983).

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Se podra intentar demostrar y lo haremos ms tarde que, efectivamente, esta estructura garantiza la verdad de la conclusin, dada la verdad de las premisas. Ahora, a los efectos de ayudar a la intuicin, puede ser til notar cmo al efec-tuar sustituciones arbitrarias respetando solo ciertas restricciones relativamente obvias obtenemos argumentos en los cuales la verdad de la conclusin parece seguirse con necesidad de la verdad de las premisas. Ms adelante nos detendre-mos con ms detalle en las antedichas restricciones que gobiernan la sustitucin, por el momento baste advertir que solo deberan sustituirse las letras maysculas por enunciados y, una vez que sustituimos una cierta letra por un enunciado, de-bemos hacerlo en todas las oportunidades que aparece la letra, es decir, siempre que aparece la letra en nuestro esquema aparecer el mismo enunciado en nuestro argumento que resulta de la sustitucin en el esquema. Los ejemplos I y II de arriba pueden entenderse as como resultados de sustituciones especficas en el esquema de arriba tradicionalmente denominado Modus Ponens. Estas observaciones son una primera aproximacin al papel del recurso al anlisis estructural o formal de los argumentos que desarrolla el lgico.

El objeto de la lgicaSi se atiende a los desarrollos anteriores pueden ofrecerse una primera caracteri-

zacin del objeto de la lgica. La misma podra expresarse as: la lgica se ocupa del estudio de la argumentacin deductiva.

Se puede encontrar en la literatura como hemos sealado dos usos de la pa-labra deductivo. En algunos casos, se habla de argumento deductivo solo cuando la conclusin es consecuencia lgica de las premisas y luego las nociones de argu-mento deductivo, argumento lgicamente correcto y argumento vlido coin-ciden. En otros casos se entiende por argumento deductivo aquellos argumentos en que se pretende o se aspira a que las premisas impliquen la conclusin. Luego, si la relacin de implicacin se da, se dice que son correctos (vlidos) y si la relacin de implicacin no se da, se dice que son incorrectos (invlidos). En este libro, como dijimos, este ltimo uso ser el predilecto. La caracterizacin preliminar del objeto de la lgica dada arriba adquiere un significado quiz algo diferente dependiendo del uso escogido. Si entiendo bien, es ms hospitalaria si coincide con nuestra elec-cin terminolgica pero an as la misma parece excesivamente restrictiva. Veamos brevemente este aspecto.

Existe cierto tipo de argumentos que exhiben estas dos inquietantes cualida-des: no son correctos pero lo parecen. Se les han denominado, tradicionalmente, falacias. La lgica tradicional les prest atencin e intent ofrecer una teora de los mismos, identificando diversos tipos de argumentos falaces. Los lgicos aban-donaron el inters por las falacias por razones que no viene al caso analizar y desarrollaron una teora matemtica poderosa y refinada de la argumentacin vlida o lgicamente correcta descuidando tal tipo de estudios. Recientemente el inters

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por los mismos parece haberse reavivado.15 An tomado el vocablo deductivo en el sentido en que lo hemos tomado aqu parece incapaz de cubrir la totalidad de estrategias argumentales pertenecientes a dicha categora. Es esta una primera razn por la que resultara conveniente matizar nuestra caracterizacin general.

Pero existe an una segunda y quiz ms poderosa razn para hacerlo. La mate-matizacin de la lgica la torna, en el sentido habitual de la palabra, una disciplina matemtica. Y este hecho (conjuntamente con otros factores) supuso la aparicin de ricas motivaciones intelectuales provenientes de las matemticas que cautivaron la atencin de los lgicos. Existen conexiones profundas e imposibles de exponer aqu entre los diversos campos de estudio que surgen en el seno de la lgica pero parecera forzado sostener que todos ellos se encuentran conectados de igual forma con el problema de la evaluacin argumental. Uno de esos campos es la teora de conjuntos cuyos rudimentos estudiaremos pronto pero no es el nico. Adems se suelen distinguir (tradicionalmente) teora de modelos, teora de la prueba y teora de la computabilidad. Esta proliferacin de intereses lgicos ha llevado a algunos autores a caracterizar la lgica como el estudio de los lenguajes formales. Estas ob-servaciones nos aconsejan tambin temperar algo nuestra caracterizacin inicial del objeto de la lgica.

Aunque hemos visto razones para matizar nuestra caracterizacin inicial del ob-jeto de la lgica, debe reconocerse que la misma captura un aspecto esencial del trabajo de la disciplina. Luego, en este libro, nos ocuparemos de la lgica como teora de la correccin deductiva argumental, esto es, hemos escogido, a los efectos de exponer las nociones bsicas de la teora lgica, como motivacin fundamental el estudio de la correccin argumental. Dado que para desarrollar tal teora el lgico apelar a la consideracin estructural o formal de la argumentacin, veremos que el lenguaje natural no le resultar satisfactorio. Luego se embarcar en la tarea de construir lenguajes artificiales, lenguajes hechos a la medida de los propsitos del anlisis formal i.e. lenguajes formales. De este modo el estudio que desarrollaremos aqu cae cmodamente tambin en la caracterizacin de la lgica como teora de los lenguajes formales.

Una observacin final destinada a evitar equvocos. Debiera ser evidente que no todo argumento es un argumento deductivo. Los argumentos deductivos son solo parte de la coleccin ms amplia de los argumentos; existen argumentos que preten-den que las premisas justifiquen la conclusin pero no que lo hagan va la relacin de consecuencia lgica. Existen pues otras formas de evaluar la correccin de un argumento que no son los patrones de la correccin deductiva. En un sentido am-plio, ese tipo de argumentos pueden denominarse inductivos. La idea ms general asociada a esta coleccin de argumentos es que, si bien en ellos las premisas no im-plican la conclusin, le otorgan a la misma mayor probabilidad o verosimilitud.16

15 Un tratamiento especialmente influyente de las mismas es el propuesto por Hamblin (1970).16 En algunos manuales tradicionales de lgica, por ejemplo Copi (1994), puede encontrarse una

caracterizacin detallada de las argumentaciones inductivas as como una clasificacin de las mis-mas. Una caracterizacin rpida pero conceptualmente certera puede leerse en Pereda (1995).

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Como el lector quiz ya ha concluido, en realidad puede evaluarse un argumento usando criterios diferentes; ms que situar la diferencia entre colecciones de argu-mentos entonces la misma podra situarse en modos o patrones de evaluacin.17 Es obvio que debemos evaluar argumentos, digamos as, en forma pertinente. Un argumento deductivo, en el sentido que hemos dado aqu a este trmino, deber ser evaluado en trminos de si su conclusin es consecuencia lgica de sus premisas pero un argumento inductivo debiera ser evaluado en trminos de si su conclusin es, por as decirlo, consecuencia inductiva de sus premisas.

Problemas y tareas1. Si tuviera que evaluar la comprensin de este captulo, cules seran las pre-

guntas que propondra? Formule seis interrogantes.2. Responda las siguientes cuestiones:

a. Qu se entiende aqu por enunciado?b. Qu se entiende por argumento?c. Cules son los dos modelos argumentales estudiados?d. Cmo se caracteriza la relacin de consecuencia lgica?e. Cul es el objeto de la lgica?

3. Compare el cuestionario elaborado por usted en el ejercicio 1 con respecto al presentado en el ejercicio 2. A la luz de esta comparacin, proponga un cuestionario que le parezca ptimo.

17 Como respecto de otros tpicos bsicos discutidos en este captulo, puede resultar muy til la lectura del captulo 2 del libro de Haack (1991).

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Captulo 2

Conceptos elementales de teora intuitiva de conjuntos

IntroduccinEn el captulo anterior describimos (en forma amplia) el objeto de la teora l-

gica. Esta se ocupa de una forma de correccin argumental caracterizada por la exigencia de la relacin de consecuencia lgica entre conclusin y premisas.18 El lgico apela al anlisis formal o estructural de los argumentos como recurso meto-dolgico para llevar adelante su estudio de tal relacin. Esta estrategia da origen a la emergencia de lenguajes artificiales como hemos dicho antes construidos a la medida de su propsito. Tales lenguajes se denominan lenguajes formales es-tudiaremos los mismos a partir del prximo captulo. Pero para definir y explorar estos lenguajes la teora lgica apela al poder expresivo y analtico de la teora de conjuntos. Esta es la razn por la cual ofreceremos ahora una presentacin rudimen-taria de esta ltima en su parte ms bsica. Nuestra preocupacin fundamental se reducir a especificar su lenguaje y definir sus conceptos elementales en trminos intuitivos o informales. Una comprensin ms profunda de la teora de conjuntos y, en particular, de sus presentaciones formales19 presupone el conocimiento que aspira a ofrecer este libro.20

ConjuntosSe entender por conjunto una coleccin de objetos. Los objetos que pertenecen

al conjunto se denominan elementos del conjunto. Aunque las aproximaciones de arriba exhiban un grado considerable de ambigedad, se ha optado por mantenerlas pues son tiles desde el punto de vista intuitivo; debiera consignarse, no obstante, que los conceptos de conjunto y elemento, en esta teora, son conceptos primitivos, es decir, conceptos que carecen de definicin explcita en la teora.

Los objetos deben ser absolutamente identificables y, dado un objeto y un con-junto, este pertenece o no al conjunto pero no ambos casos. Se notar que un objeto

18 En general, cuando hablemos de consecuencia entenderemos que nos estamos refiriendo a consecuencia lgica.

19 Las nociones de formal e informal poseen, en este contexto, un sentido preciso; el lector podr entender cabalmente los mismos en los prximos captulos.

20 Orayen ha credo ver una paradoja en esta suerte de circularidad. El lector interesado puede informarse sobre este tpico en Moretti y Hurtado (2003).

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a pertenece a un conjunto A del modo siguiente: aA. Se notar que el objeto a no pertenece al conjunto A como: aA.

Se suelen identificar dos modalidades de definir conjuntos: por extensin y por comprensin. Se define un conjunto por extensin nombrando a todos los elementos que lo integran y encerrando sus nombres entre llaves. Por ejemplo: A={11,12,13,14}. Se define un conjunto por comprensin escribiendo la propie-dad que poseen todos y solo los objetos que pertenecen a ese conjunto. El esquema de definiciones de este tipo es el siguiente: A={x: P(x)}, donde P est en lugar de la descripcin de la propiedad en cuestin. El esquema anterior puede leerse as: el conjunto de los x tales que x posee la propiedad P. Un ejemplo de esto podra ser:

B={x: x es un nmero natural y 10

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Subconjunto, conjunto vaco y conjunto potenciaSe afirm arriba que se ha definido de dos maneras diferentes el mismo con-

junto, es decir, que A y B como han sido definidos arriba son iguales, i.e. A=B. Pero qu significa que A y B son iguales? La respuesta es simple: que poseen los mismos elementos. Es decir, que si algo es elemento de A, entonces lo es de B y la recproca. La relacin enunciada entre A y B que hemos usado para caracterizar cuando dos conjuntos son iguales, se denomina inclusin. En forma general puede definirse as: un conjunto X se encuentra incluido en un conjunto Y si y solamente si todo elemento de X es tambin elemento de Y. Se notar tal relacin entre X e Y de la forma siguiente: XY se lee X est incluido en Y. Cuando XY tambin se dice que X es subconjunto de Y.

A veces se distingue entre inclusin e inclusin estricta. Esta ltima exige que los conjuntos sean distintos, algo que, como es obvio, no exige la primera trivial-mente, para todo conjunto X, XX. La inclusin estricta se nota elocuentemen-te de esta forma: XY. En este caso, suele decirse que X es un subconjunto propio de Y. Por ejemplo, los nmeros naturales pares se encuentran incluidos estricta-mente en el conjunto de los nmeros naturales. La inclusin estricta de X en Y, es decir, XY puede representarse grficamente as:

Y

X

Ejemplos: Usemos para denotar que la relacin de inclusin no se da.

{a,b} {b,c,a}{0,1,2} {0,1,a} {a,b} {a,b}

Resulta evidente que X=Y si y solamente si XY e YX. De modo que si deseamos probar que dos conjuntos X e Y cualesquiera son iguales la estrategia inducida por la definicin es demostrar que XY y que YX.

Se admitir como conjunto una coleccin muy especial: aquella que no posee ningn elemento. Se le denominar conjunto vaco y se le nota as: . Puede mos-trarse que solamente hay un conjunto vaco y podemos caracterizarlo as: {x: xx}, esto es el conjunto de los x que son distintos de s mismos. Es obvio que, para cual-quier conjunto X, se tiene que X. Un conjunto que posee un nico elemento se le denominar singleton o conjunto unitario. Un conjunto que contiene dos elemen-tos se le denominar par.

Se han presentado diversos ejemplos de conjuntos. Podra quiz surgir la si-guiente pregunta: existen conjuntos cuyos elementos sean a su vez conjuntos? La

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respuesta es: s. Un muy conocido ejemplo de esto es el denominado conjunto poten-cia (de un cierto conjunto dado). El conjunto potencia de un conjunto A es, preci-samente, la coleccin de todos los subconjuntos de A. Es decir, sea A un conjunto, el conjunto potencia de A es el conjunto cuyos elementos son los X (y solo ellos) tales que XA. Se le nota (A) y puede leerse potencia de A o partes de A.

Ejemplos:

A={1,2}, (A)={,{1,2},{1},{2}}B={1}, (B)={,{1}}Ntese que ()={}

Operaciones conjuntsticasSi se piensa en trminos grficos parece fcil construir conjuntos a partir de

conjuntos previamente dados. Por ejemplo, dados A y B, podramos pensar en construir un conjunto que contenga tanto a los elementos de A como a los de B o uno que solo contenga a los elementos comunes a ambos. A continuacin se vern algunas operaciones entre conjuntos que recogen (entre otras) estos modos intuiti-vamente descriptos de construir conjuntos.

En primer lugar, dados dos conjuntos A y B, la operacin denominada intersec-cin se nota AB consiste, intuitivamente hablando, en agrupar los elemen-tos comunes a A y B. Es decir:

AB={x: xA y xB}.

Por ejemplo: sean A={1,2} y B={1,3,4}, tenemos que AB={1}. Esta operacin puede representarse as: (el sombreado indica donde se encuen-

tran los elementos del conjunto referido)

A B

AB

La operacin interseccin, tal como la hemos estudiado hasta aqu, genera un conjunto a partir de dos conjuntos dados. Puede generalizarse esta operacin de modo que permita generar un conjunto a partir de un conjunto (finito o infinito) de conjuntos cualesquiera. Es decir, dado un conjunto C de conjuntos podemos hacer la interseccin de todos los elementos de C, es decir,

X= {z: para todo XC, zX}. XC

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Como es evidente, este conjunto est integrado exclusivamente por aquellos elementos que pertenecen a todos los conjuntos que pertenecen a C.

Ejemplos:

A={1,2,3} B={6,5,2} AB={2}

A={} A=

C={{1,2},{3,1},{2,3,1,4},{5,4,1}} X={1} XC

Sean A y B conjuntos, la operacin denominada unin se nota AB con-siste, intuitivamente hablando, en agrupar todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos en cuestin. Es decir, AB={x:xA o xB}.

Ejemplo: Sean A={1,2} y B={1,3,4}, AB={1,2,3,4}. Representada grficamente la ope-

racin unin lucira as:

A B

AB

Esta operacin, tal como la hemos estudiado hasta aqu, genera un conjunto a partir de dos conjuntos. Puede generalizarse la misma de modo que permita generar un conjunto a partir de un conjunto (finito o infinito) de conjuntos cualesquiera. Es decir, dado un conjunto C de conjuntos podemos hacer la unin de todos los ele-mentos de C, esto es,

X= {z: para algn XC, zX}. Como es obvio, los XC

elementos que integran este conjunto son exclusivamente aquellos que pertenecen a algn conjunto perteneciente a C.

Ejemplos:

A={1,2,3} B={6,5,2} AB={1,2,3,5,6}A={} A={}C={{1,2},{3,1},{2,3,1,4},{5,4,1}}

X= {1,2,3,4,5} XC

Sean A y B conjuntos, la operacin denominada diferencia se denota A-B consiste, intuitivamente hablando, en agrupar los elementos que pertenecen al conjunto A pero no pertenecen al conjunto B. Es decir,

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A-B={x:xA y xB}.

Ejemplo: Sean A={1, 2, 3} y B= {1,3} , A - B={2}. Grficamente representada la operacin diferencia lucira as:

A B

A B

Sean A, B conjuntos tales que AB. Se denomina complemento de A respecto a B al conjunto B - A. Cuando se asume que todos los conjuntos de que se est hablan-do son subconjuntos de un cierto conjunto universo (se le suele notar U) se habla del complemento de un conjunto A se denota A o tambin A para referirse a la diferencia entre ese conjunto universo U y A. Es decir, para referirse al conjunto conformado por todos los elementos de U que no estn en A. Este complemento relativo a U puede representarse grficamente as donde el sector sombreado re-presenta los elementos que estn fuera de A y pertenecen a U:

A

A

Aunque el inters como se dijo no es estudiar la teora de conjuntos por s misma sino ms bien como lenguaje, eventualmente ser necesario apelar a algunos resultados muy bsicos de ella. Por esta razn (y para familiarizar al lector con los conceptos hasta aqu introducidos) puede resultar til probar algunas proposicio-nes sobre estas operaciones estudiadas.

Proposiciones Sean A, B, C conjuntos. Entonces,a. AA;b. A;c. AB=BA, AB=BA;d. A(BC)=(AB)(AC), A(BC)=(AB)(AC).

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Prueba. Las partes (a) y (b) se dejan al lector.

c. Si xAB, entonces, por definicin de interseccin, xA y xB, es decir, xB y xA i.e. xBA. Luego ABBA. Un argumento anlogo permite probar BAAB. Luego, AB=BA.

Si xAB, entonces, por definicin de unin, xA o xB, es decir, xB o xA i.e. xBA. Por lo tanto, ABBA. Un argumento anlogo permite probar que BAAB. Luego AB=BA.

d. Si xA(BC), entonces, por definicin, xA o xBC. Supongamos que xA, entonces xA o xB i.e. xAB. Por argumento anlogo xAC. Luego x(AB)(AC). Supongamos que xBC, entonces, por defini-cin, xB y xC. Luego, como xB, xAB y como xC, xAC. De aqu se deduce que x(AB)(AC). Por lo tanto, si xA(BC) entonces x(AB)(AC) i.e. A(BC)(AB)(AC).

Si x(AB)(AC), entonces xAB y xAC. Si xA, entonces ob-viamente xA(BC). Si xA, como xAB y xAC, entonces xB y xC i.e. xBC y luego xA(BC). Por lo tanto, si x(AB)(AC), entonces xA(BC), es decir, (AB)(AC)A(BC). Luego A(BC)=(AB)(AC). La otra igualdad es dejada al lector.

Problemas y tareas1. Caracterice por extensin el conjunto (A) cuando

a. A={2}b. A={2,3}c. A={,{2}}

2. Sea A={1,2}, B={3,1} y C es un conjunto cualquiera. Indique si los enuncia-dos que se listan a continuacin son V (verdaderos), F (falsos) o I (indetermi-nados, en el sentido que, en base a la informacin de la que disponemos, no podemos afirmar si son verdaderos o falsos):

Enunciados V/F/I

AB={1,2,3}

AB{5,6,1,7,9}

{1,2,3}AB

ABC

Si AC y BC entonces ABC

A=A

CA o AC

A=A

AC BC

3. Elabore un ejercicio similar al 2.

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4. Demuestre (al modo de las pruebas dadas en las proposiciones p. 30) los enunciados siguientes:a. X=Xb. XX=c. Si XY entonces XY=Yd. Si XY=Y entonces XY

5. Si observa los enunciados demostrados en 4, se advierte que si sustituimos unin (interseccin) por interseccin (unin) los enunciados resultantes son falsos. Proponga modificaciones a estos ltimos a fin de obtener enunciados verdaderos. Demustrelos.

6. Demuestre:a. X=b. XX=Uc. Si XY entonces XY=Xd. Si XY=X entonces XY

Producto cartesiano. Relaciones Como se estudi antes, A=B significa que AB y BA, es decir, para que dos

conjuntos sean iguales es condicin necesaria y suficiente que posean los mismos elementos. Luego si A={1,2,3,4} y B={2,1,4,3}, se tiene que A=B. Pero es fcil advertir que, en el caso de A, la enumeracin de sus elementos respeta el orden ha-bitual mientras esto no ocurre en B. Dada la importancia matemtica que le corres-ponde a la nocin de orden, parece razonable aspirar a que la teora de conjuntos nos permita discriminar diferencias en el orden de los elementos. Es decir, cmo hacer para, asumiendo la caracterizacin de igualdad de arriba, capturar el orden de los elementos? Se enfrentar el problema en el caso ms simple: el par. La respuesta es luego fcilmente generalizable.

La solucin como cabra esperar es construir un conjunto especial que nos permita reconstruir el orden. En el caso del par tal conjunto se denomina (en forma no demasiado original): par ordenado. Si tomamos la nocin de par ya definida es obvio que el orden no es recogido i.e. {a,b}={b,a}. Se definir par ordenado a, b se nota y se leer el par ordenado a,b del modo siguiente:

={{a},{a,b}}.

Al elemento a se le denomina primera proyeccin del par y el elemento b se le denomina segunda proyeccin del par. La idea intuitiva es que la interseccin de los dos componentes arroja la primera proyeccin, la segunda es el elemento restante. Esta no prueba, naturalmente, la correccin de la definicin. Qu exigi-ramos para afirmar que tal definicin captura lo que pretendamos capturar con la misma? Bsicamente la siguiente:

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Proposicin = si y solamente si a=a y b=b.Prueba: () Supongamos que =, probaremos que a=a y b=b. Por

la suposicin se tiene que {{a},{a,b}}={{a},{a,b}}. Supongamos que a=b. Entonces {{a},{a,b}}={{a},{a}}={{a}}. Por suposicin inicial, {{a}}={{a},{a,b}}, es decir, a=b y luego la igualdad puede escribirse as {{a}}={{a}}. Y as {a}={a} i.e. a=a y, como b=a, b=b. Supongamos ahora que ab. De aqu se deduce que ab pues si no fuera el caso resultara que dos conjuntos iguales poseen nmero distinto de ele-mentos lo cual es absurdo. Luego, dado que {a} {a,b} por argumento anlogo al anterior se tiene que {a}={a} i.e. a=a. Y, por argumento anlogo al de arriba, {a,b}{a} se tiene que {a,b}={a,b}. Como a=a y ba, b=b. La parte () es dejada al lector.

A partir de la nocin de par ordenado puede obtenerse fcilmente como se dijo la de trada ordenada, cudrupla ordenada,, ntupla ordenada donde n es un entero positivo. Por ejemplo, la nocin de trada ordenada puede ser definida as:

=.

Estas nociones permiten definir as un concepto que jugar un papel esencial en nuestro estudio: el concepto de relacin (binaria, ternaria, , naria).

Concentrmonos en un caso bsico: la relacin binaria; la generalizacin es directa. A los efectos de caracterizar el concepto de relacin binaria, se definir previamente el concepto de producto cartesiano. La idea intuitiva del producto car-tesiano de A por B se nota AxB es simple: tomar el conjunto de todos los pa-res ordenados tales que la primera proyeccin pertenece al conjunto A y la segunda proyeccin pertenece al conjunto B. Ms formalmente:

AxB={:xA e yB}.

Ejemplo: Sea A={1,2} y B={3,4}, AxB={,,,}. Un diagrama sagital de este ltimo ejemplo puede ayudar a intuir la peculiaridad

de esta estructura donde las flechas salen de las primeras proyecciones y lle-gan a las segundas respectivas:

1

2

3

4

Ahora estamos en condiciones de definir relaciones binarias. Simplemente se de-fine una relacin de A en B como un subconjunto de AxB. Es decir, R es relacin

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de A en B si y solo si RAxB. El dominio de R se nota DomR es el conjunto de las primeras proyecciones de los pares que pertenecen a R y el rango de R se nota RanR es el conjunto de las segundas proyecciones de los pares que pertene-cen a R. Ms formalmente, DomR={x: existe al menos un yB tal que R} y RanR={y: existe al menos un xA tal que R}. Se denomina campo de R se nota CamR al conjunto de los elementos que pertenecen al dominio o al rango de R, es decir, CamR=DomRRanR.

Ejemplo: A, B son los conjuntos del ejemplo anterior y R={,},

DomR={1,2}, RanR={4}, CamR={1,2,4}.

As como se puede generalizar la nocin de par ordenado, puede hacerse lo pro-pio con las nociones de producto cartesiano (para dos conjuntos) y relacin binaria. En particular, dado un conjunto A, podemos hacer el producto de n veces A, es decir, AxAxxA n veces o, en una notacin ms cmoda e igualmente intuitiva, An. As, en general, hablaremos de una relacin R sobre A de aridad n cuando RAn. Es decir, una relacin de aridad n est conformada por ntuplas ordenadas de ele-mentos de A. Luego, por ejemplo, una relacin ternaria (i.e. de aridad 3) en A se puede definir simplemente como un subconjunto de A3.

El lector seguramente advierte cmo es posible definir relaciones especficas de aridad ternaria, cuaternaria,, n-aria. Es importante notar que, de acuerdo a la caracterizacin de arriba, y AxB son relaciones.

Es usual definir la relacin inversa a una relacin R dada se nota R1 del modo siguiente: R1 si R.

Ejemplos de relaciones: Sea A={a,b,c}, relaciones binarias en A son:1. {,,,}2. {, , , }

Relaciones binarias en son:3. {: x,y y x

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Relaciones de equivalencia. ParticionesLas relaciones pueden exhibir diversas propiedades de inters. Por ejemplo, de-

finamos una relacin de en donde denota los nmeros naturales del modo siguiente:

Igu={:m,n y m=n}.

Como es obvio solo pertenecen a Igu los pares de naturales tales que la primera y segunda proyeccin son iguales. Obsrvese que para todo x , Igu. Por esto podemos decir que Igu es una relacin reflexiva.

Expresado en forma general, una relacin R en A se dice que es reflexiva si y solamente si para todo xA, R. La idea bsica de esta propiedad podra representarse as:

ab

c

Advirtase asimismo que Igu posee otra interesante propiedad: si Igu entonces (trivialmente) Igu. Por ello podemos decir que Igu es simtrica.

Expresado en trminos generales, una relacin R en A se dice que es simtrica si y solamente si, para elementos x e y de A, si R entonces R. El dia-grama de una relacin simtrica lucir ms o menos as:

1 3

2 4

Finalmente obsrvese que Igu goza de la siguiente propiedad: si Igu y Igu, entonces Igu. Por ello diremos que Igu es transitiva.

Expresado de modo general, una relacin R en A se dice que es transitiva si y solamente si, para elementos x,y,z de A, si R y R, entonces R. El rasgo fundamental de una relacin transitiva puede representarse as:

a

b

c

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Las relaciones que como Igu gozan de las tres propiedades antedichas, es decir, son reflexivas, simtricas y transitivas se dice que son relaciones de equi-valencia. Cada elemento x del DomR cuando R es de equivalencia permite definir el conjunto denominado clase de equivalencia de x mdulo R: el conjunto de todos los objetos que se encuentran relacionados con x por R. Este conjunto puede notarse as: [x]R. Escrito en trminos de esta notacin, la caracterizacin de arriba puede lucir as: [x]R={y: R}.

Pueden ofrecerse obviamente otros casos de relacin de equivalencia. Por ejem-plo, sea T un conjunto de personas, sea ETxT la relacin definida as:

{: x,yT y x tiene la misma edad que y}.

Es claro que E es una relacin reflexiva, simtrica y transitiva i.e. E es de equivalencia.

Sea Es el conjunto formado por todas las palabras del idioma espaol admitidas por la Real Academia. Sea PIEsxEs la relacin definida as:

{: x,yEs y x tiene el mismo nmero de letras que y}.

Es fcil ver que PI es una relacin de equivalencia. Un concepto que es til introducir ahora, por su estrecha conexin con estas

ideas, es el de particin. Se dice que el conjunto P es una particin del conjunto A si P es un conjunto de subconjuntos de A tal que: a) cada conjunto es no vaco, b) para dos elementos cualesquiera de A su interseccin es vaca y c) la unin de todos los elementos de P es A. Ms formalmente expresado, P es una particin de A si P(A) y cumple las condiciones siguientes:

a. Para todo XP, X;b. Dados dos elementos cualesquiera (distintos) X,YP , XY=;c.

X=A.

XP

Cul es la relacin entre este concepto nuevo y el estudio de las relaciones de equivalencia? Se puede enunciar la misma as: toda relacin de equivalencia R en A permite definir una particin de A y toda particin de A determina una relacin de equivalencia en A. Estudiemos en detalle la situacin.

En primer trmino qu significa la afirmacin toda R de equivalencia en A per-mite definir una particin de A? La idea es que puede definirse as: P={[x]R: xA}, es decir, el conjunto de todas las clases de equivalencia mdulo R. Pero es P una particin de A? Obviamente P(A). Debe probarse que P satisface las condiciones a, b y c de la definicin de particin anteriormente expuesta. En cada clase mdulo R hay por lo menos un elemento, el representante de la clase, por lo tanto el punto a es trivial.

Dados elementos cualesquiera (distintos) de P, tomemos [x]R e [y]R, supongamos que comparten al menos un elemento z. Luego, supongamos, ya que son distintos,

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que existe z[x]R pero z [y]R. Por suposicin existe z que pertenece a ambos. Por lo tanto R e R, pero como R es simtrica, , y, luego, como R es transitiva, R . Como R y R es transitiva R i.e. z[y]R, lo cual es absurdo. El mismo argumento puede hacerse suponiendo que el elemento que permite distinguir los conjuntos pertenece a [y]R. Luego [x]R[y]R=. Esto prueba el punto b.

Es claro que

XP

XA y, dado que para todo aA, a[a]R y esta ltima pertenece

a P, luego a

XP

X i.e. A

XP

X. Esto prueba el punto c.

Por lo tanto P as definido es una particin de A.

La pregunta que deberamos responder ahora es qu significa la afirmacin toda particin de A determina una relacin de equivalencia en A. La idea consis-te en tomar como clases de equivalencia a los miembros de P, es decir, R si y solamente si x,yX, para algn XP. Es obvio que R es reflexiva y simtrica. Si R y R, esto quiere decir que x y z estn en el mismo elemento de P i.e. R dado que los elementos de P no pueden compartir elementos pues son dos a dos disjuntos, es decir, dados dos cualesquiera su interseccin es vaca. Esto responde la interrogante.

Quiz este vnculo general entre relacin de equivalencia y particin pueda ser mejor comprendido si se piensa en ejemplos particulares. Tmese entonces el caso de la relacin E y advirtase que la particin generada sera, precisamente, el con-junto de los conjuntos de personas pertenecientes a T que comparten la misma edad. Es evidente que tal conjunto es una particin ya que dos elementos cuales-quiera del mismo deben ser disjuntos y la unin de ellos da E. Tomemos ahora el conjunto de todos los conjuntos unitarios en E (es decir, formados por una sola persona). Es evidente que es una particin. Igu, definida en ese conjunto, podra ser la relacin de equivalencia inducida.

El conocimiento de las propiedades de relaciones antes discutidas y el concep-to de relacin de equivalencia sera importante para nuestros estudios lgicos. De igual modo, resultar importante identificar otra clase de relaciones: las relaciones de orden. Esta nocin es el objeto de la prxima seccin.

Problemas y tareas1. Sea A={1,2,3,4,5}.

a. Caracterice extensionalmente una relacin en A que sea reflexiva;b. Caracterice extensionalmente una relacin en A que sea simtrica;c. Caracterice extensionalmente una relacin en A que sea transitiva;d. Caracterice extensionalmente una relacin en A que sea de equivalencia;e. Represente mediante diagramas sagitales las relaciones propuestas en

(ad). Represente tambin la particin inducida por la relacin de equi-valencia.

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f. Caracterice una relacin en A y su inversa. Represente ambas mediante diagramas sagitales.

2. Proponga dos ejemplos de relacin de equivalencia.3. Elabore un ejercicio consistente en describir relaciones para evaluar la com-

prensin de propiedades de las mismas i.e. preguntar si la relacin descrip-ta posee una propiedad dada.

4. Elabore algn ejercicio que permita evaluar la comprensin del concepto clase de equivalencia a partir de la relacin pedida en 1, parte d).

Relaciones de ordenEn la seccin anterior hemos visto ciertas propiedades de las relaciones: reflexi-

vidad, simetra y transitividad. La posesin por parte de una relacin de estas tres propiedades la caracteriza como una relacin de equivalencia. Un procedimiento anlogo seguiremos aqu. Identificaremos primero algunas propiedades de relacio-nes y luego caracterizaremos las relaciones de orden.

Sea R una relacin en A. Denominaremos a una relacin R como irreflexiva si para todo xA, R.Denominaremos a una relacin R como asimtrica si para todo x,yA, si

R entonces R.Denominaremos a una relacin R como antisimtrica si para todo x,yA, si

R e R, entonces x=y.Es fcil encontrar ejemplos de relaciones que ilustren estas propiedades. Sea T

un conjunto de personas, sea D={: x,yT y x es progenitor masculino de y}. La relacin D es obviamente irreflexiva y asimtrica. Sea A un conjunto. La relacin definida en (A) es claramente antisimtrica.

Diremos que una relacin R en A es una relacin de orden dbil en A si R es transitiva, reflexiva y antisimtrica.

Diremos que una relacin R en A es una relacin de orden estricto o fuerte en A si y solamente si R es transitiva e irreflexiva. Tambin es posible exigir aqu transi-tividad y asimetra.

Por qu es posible definir de las dos formas arriba descriptas la relacin de or-den estricto? La respuesta es fcil: si tenemos una relacin R transitiva e irreflexiva, sta es asimtrica. Supongamos que R es transitiva e irreflexiva y sea R, supongamos (para demostrar por absurdo) que R, entonces, como R es transitiva, R, pero esto es absurdo, pues R es irreflexiva. Luego R i.e. R es asimtrica. Supongamos ahora que R es transitiva y asimtrica. La anti-simetra excluye la posibilidad de que, para algn x, R i.e. R es irreflexiva.

Veamos algunos ejemplos de relaciones de orden. Las relaciones (menor o igual) definidas en los reales, racionales, naturales son ejemplos de orden dbil y las respectivas relaciones < (menor) son ejemplos de orden fuerte. Sea A un conjunto, la relacin de inclusin en (A) es un orden dbil y la relacin de inclusin es-tricta en (A) es un orden estricto o fuerte. Frecuentemente hablamos de rdenes para referirnos a los primeros (relaciones de orden dbil) y de rdenes estrictos para

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referirnos a los segundos (relaciones de orden estricto o fuerte). A veces resulta til hablar de conjuntos ordenados y los definimos mediante el par , donde R es el orden y A el conjunto en el que la relacin R esta definida.

Un modo de pensar la relacin entre rdenes y rdenes estrictos lo condensa el siguiente teorema21

Teorema a. Sea R un orden en A. Sea S la relacin definida en A del modo siguiente:

para todo x,yA S si y solamente si R y xy. Luego, S es un orden estricto en A.

b. Sea S un orden estricto en A. Sea R la relacin definida en A del modo si-guiente: para todo x,yA R si y solamente si S o x=y. Luego, R es un orden en A.

Sea R una relacin de orden en A. Sean a, bA. Decimos que a y b son compa-rables si R o R; en otro caso, decimos que a y b son incomparables. El mismo concepto se aplica al caso de rdenes estrictos. Esta nocin de comparabili-dad nos permite definir el concepto de orden total.

Un orden R en A es denominado total o lineal si para todo a, bA, a y b son comparables.

A los efectos de que la exposicin de algunas importantes nociones relacionadas con rdenes se torne ms intuitiva establezcamos algunas convenciones notaciona-les. Si R es una relacin de orden y R, entonces asumiremos que a es menor que b y, por ello, escribiremos a b (si R es un orden estricto, escribiremos: a

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Existe una rica variedad de conceptos que permiten comprender ms finamente las relaciones de orden pero a los modestos fines de este curso de lgica se conside-ran suficientes las arriba estudiadas.

FuncionesLas estructuras denominadas funciones cuya importancia difcilmente puede

sobrestimarse son, precisamente, un tipo particular de relaciones. Su particulari-dad consiste en que para cada elemento del dominio de la relacin existe un y sola-mente un elemento en su rango. Es decir, si f es una funcin de A en B se nota f: AB se tiene que si f y f, entonces y=z.

Ejemplo: Sea Suc: , definida as Suc(x)=x+1. La misma puede representarse as:

01

n

12

n+1

Este diagrama permite apreciar la originalidad de las funciones respecto de las otras relaciones. Dicho de una forma intuitiva, en una relacin funcional de cada elemento del dominio no puede salir ms de una flecha. Es evidente la riqueza de ejemplos de relaciones funcionales. Solamente agregaremos uno ms ahora a los efectos de subrayar un tipo o clase de funciones que sern de especial utilidad en nuestro curso, a saber, las operaciones aritmticas. Tomemos pues la suma en los naturales como un ejemplo de relacin funcional. Se tratara de una funcin que asocia a pares ordenados de nmeros naturales un nmero natural, es decir, f+: x . Una representacin grfica parcial de la misma es la siguiente:

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x

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Se suele distinguir diversos tipos de funciones. Una funcin f: AB se denomina total si Domf=A, se dice sobreyectiva si Ranf=B, se dice que es inyectiva si f y f, entonces x=x. Una funcin se dice biyectiva si es sobreyectiva e inyectiva.

He aqu algunos diagramas que pueden contribuir a clarificar los anteriores con-ceptos. Siempre que se hable simplemente de funcin se sobreentiende aqu que se trata de una funcin total.

Funcin sobreyectiva pero no inyectiva:

a

bc

d e

A B

Funcin inyectiva pero no sobreyectiva

a

b

c

d

e

A B

Funcin biyectiva

A B

a

b

c

a

b

c

En general, hablaremos de la imagen de una funcin para el elemento a de su do-minio, como el valor que la funcin toma para ese elemento. Generalizando la idea, si f: AB, la imagen de A1A por la funcin f lo notamos f [A1] al conjunto de todos las imgenes de los elementos de A1 i.e. f [A]={y: existe xA tal que f(x)=y}.

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Ejemplos de funciones:f1 : , f1(x)=2.x ;

f2: {0,1}, f2(x)= 1, si x no es par

0, si x es par

f3: Es{a,b,c,,z}, donde el conjunto nombrado Es es aquel cuyos elementos son las palabras del idioma espaol, y el rango es el conjunto formado por las letras d