Seoane J Logica Argumento

8/15/2019 Seoane J Logica Argumento

1/200


2/200


3/200

Lógica y Argumento


4/200


5/200

José Seoane

Lógica y Argumento


6/200

La publicación de este libro ue realizada con el apoyo de la Comisión Sectorial de Enseñanza (CSE) dela Universidad de la República.

© José Seoane© Departamento de Publicaciones, Unidad de Comunicación de la Universidad de la República(UCUR)José Enrique Rodó 1827 − Montevideo CP: 11200Tels.: (+598) 2408 5714 − (+598) 2408 2906Teleax: (+598) 2409 77 20www.universidadur.edu.uy/bibliotecas/[email protected]

ISBN:


7/200

A la memoria de mis padres A Marianella

«and what is the use of a book» thought Alice «without pictures or conversations»

Lewis Carroll

Alice’s Adventures in Wonderland


8/200


9/200

Contenido

Prólogo .............................................................................................................................................................................................11

C 1. E ........................................................................................................................13Enunciados y argumentos ...................................................................................................................................13La reflexión meta-argumental ..........................................................................................................................16La noción intuitiva de consecuencia lógica ............................................................................................21El valor del recurso a la orma .........................................................................................................................23El objeto de la lógica ..............................................................................................................................................25

C 2. C ...............................29Introducción.................................................................................................................................................................29Conjuntos .......................................................................................................................................................................29Subconjunto, conjunto vacío y conjunto potencia............................................................................31Operaciones conjuntísticas ................................................................................................................................32Producto cartesiano. Relaciones ...................................................................................................................36Relaciones de equivalencia. Particiones ....................................................................................................39Relaciones de orden ................................................................................................................................................42Funciones .......................................................................................................................................................................44

Cardinalidad .................................................................................................................................................................47Teoría intuitiva y teoría ormal .......................................................................................................................53

C 3. L : ...........................................................................55Introducción.................................................................................................................................................................55Lenguaje ormal: motivación e ideas intuitivas ..................................................................................57El lenguaje ormal proposicional ...................................................................................................................60Decidibilidad del conjunto de las órmulas ............................................................................................66Inducción y propiedades de órmulas .......................................................................................................67Síntesis .............................................................................................................................................................................71

C 4. L : ......................................................................75Introducción .................................................................................................................................................................75Interpretar el lenguaje ormal (desde el punto de vista intuitivo) ...........................................75Interpretación de L (desde un punto de vista ormal) ....................................................................80El problema de la corrección argumental ................................................................................................84La evaluación de las órmulas: método tabular ...................................................................................86Un método más elegante para evaluar órmulas: tablas analíticas ...........................................90Conjuntos adecuados de conectivos ............................................................................................................95Tautologías amosas .................................................................................................................................................97Síntesis .............................................................................................................................................................................99


10/200

C 5. L : .............................................103Introducción .................................................................................................................................................................103La noción de argumento idealmente justificado .................................................................................104Sistemas deductivos: nociones generales ..................................................................................................105Un sistema axiomático ormal para el lenguaje proposicional ...................................................108Teoría axiomática ormal: el sistema M .....................................................................................................110Sistema de deducción natural: reglas de inerencia ..........................................................................112Sistema de deducción natural: ejemplos de pruebas .......................................................................115Estrategias demostrativas y reglas derivadas: ideas generales ...................................................116Estrategias demostrativas, conectores, reglas derivadas y teoremas ....................................118Síntesis ............................................................................................................................................................................126

C 6. L : ..........................................................................................129Introducción .................................................................................................................................................................129La «ampliación» del lenguaje ...........................................................................................................................130

Lenguajes de orden uno (desde el punto de vista inormal) ......................................................133Lenguajes de orden uno (desde el punto de vista ormal) ...........................................................134Traducciones y expresividad de L.................................................................................................................142Síntesis .............................................................................................................................................................................144

C 7. L : .......................................................................................147Introducción .................................................................................................................................................................147Interpretación de los lenguajes de orden uno(desde un punto de vista intuitivo) ...............................................................................................................147Interpretación de los lenguajes de orden uno

(desde el punto de vista ormal) ......................................................................................................................154Expresividad «teórico-modélica» ...................................................................................................................158Consecuencia semántica y validez.................................................................................................................159Síntesis .............................................................................................................................................................................163

C 8. L : ..............................................................165Introducción.................................................................................................................................................................165Tablas analíticas cuantificacionales ...............................................................................................................166Sistemas deductivos para lenguajes de orden uno ..............................................................................169Axiomas y reglas para la igualdad .................................................................................................................176Ejemplos de teorías axiomáticas en orden uno ....................................................................................178Síntesis .............................................................................................................................................................................181

C 9. T ...........................................................................183Introducción.................................................................................................................................................................183La estrategia traducción–cálculo ...................................................................................................................183La riqueza de las relaciones entre lógica y argumentación:usando los modelos tradicionales ...................................................................................................................185La riqueza de las relaciones lógica y argumentación:ensayando otros modelos ....................................................................................................................................189La riqueza de las relaciones entre lógica y argumentación:

la crítica argumental ...............................................................................................................................................191Síntesis .............................................................................................................................................................................194

Bibliograía ....................................................................................................................................................................................197


11/200

C o m i s i ó n S

e c t o r i a l d e E n s e ñ a n z a

11

Prólogo

Este libro es obra esencialmente colectiva. Su origen reside en los cursos delógica de la Facultad de Humanidades y Ciencias de la Educación. Estos se orien-tan a estudiantes de las licenciaturas de Filosoía y Lingüística; para ayudarlos,comencé redactando unas notas introductorias a los distintos tópicos del curso y,con el paso del tiempo, amplié y proundicé las mismas. En tal trabajo me bene-ficié de los conocimientos y el compañerismo de diversos equipos; integraron losmismos, en dierentes momentos, Soledad Caño, Ignacio Cervieri, Aníbal Corti,Matías Gariazzo, Gonzalo Hernández, Claudia Márquez, María Fernanda Pallares,Facundo Ponce de León, Luciano Silva, Ignacio Vilaró y un conjunto amplísimo demuchachas y muchachos, la totalidad de cuyos nombres me es imposible recordarasí como su entusiasmo, inteligencia y calidez me es imposible olvidar. Pero, muy

especialmente, estas páginas mantienen una deuda enorme con todos los estudian-tes que participaron de mil ormas cooperativas en aquellos cursos.Asimismo, este libro abreva en un conjunto rico de manuales de lógica.

Seguramente las obras de las que más me he servido son la ormidable introduccióna la lógica escrita por Cori y Lascar (muy principalmente, su primer tomo) y elexcelente libro de Manzano sobre la teoría de modelos. He pretendido en prolijasnotas al pie dar cuenta de las diversas deudas intelectuales pero, seguramente, nohe logrado hacer justicia a una gama tan variada de autores y textos. En particular,aunque no me he apoyado en este libro específicamente en ningún texto suyo, qui-

siera dejar constancia de mi gratitud intelectual y personal a mi antiguo proesor delógica Enrique Caorsi. Asimismo expresar mi reconocimiento al grupo de lógicosy filósoos de los Coloquios Cono Sur de Filosoía de las Ciencias Formales, enespecial, a mi amigo Abel Lassalle Casanave, creador y organizador entusiasta deestos eventos.

Finalmente, debo agradecer el trabajo inteligente, cuidadoso y sacrificado deMaría Fernanda Pallares así como de Alejandro Chmiel y Matías Osta, en la edi-ción y corrección de los originales; sin sus esuerzos, no existiría este libro. Dicho

trabajo ue apoyado por la Comisión Sectorial de Enseñanza de la Universidad de laRepública en el marco de su llamado a la elaboración de manuales didácticos parala enseñanza de grado (2010).

Recuerdo cuánto me conmovió, en la lejana década del 80, el descubrimiento dela belleza y la proundidad de la lógica matemática; espero poder transmitir en laspáginas que siguen algo de aquella ascinación.

José Seoane


12/200


13/200

C o m i s i ó n S


13

C APÍTULO 1

El objeto de la lógica

Enunciados y argumentos

Usamos el lenguaje en ormas muy variadas; expresamos emociones, ormulamosinterrogaciones o aseveramos opiniones. Dependiendo de las motivaciones que nosaniman, escogemos una u otra de esas variadas ormas. Cuando nuestro interés unda-mental es la transmisión de inormación, solemos construir oraciones de un cierto tipo

característico, a saber, oraciones susceptibles de ser evaluadas en términos de verdado alsedad. Es decir, oraciones de las cuales puede decirse —sensatamente— que sonverdaderas o que son falsas. Llamaremos enunciados a las oraciones de esta clase. 1

Es obvio que no todas las oraciones son enunciados; respecto de la oración«¿Qué hora es?» carece de sentido decir tanto que es verdadera como que es alsa,en consecuencia, ella es un ejemplo de oración que no es enunciado. Un ejemplo deenunciado es el siguiente: «Hoy llueve en la ciudad de Tacuarembó». Otro ejemploes, naturalmente, «Hoy no llueve en la ciudad de Tacuarembó».

Si se piensa la colección de todas las (posibles) oraciones en un idioma determi-nado —por ejemplo, el español— puede dividírsela en dos subcolecciones: la de losenunciados y la de los no-enunciados:

Oraciones

no-enunciados

enunciados

A veces estamos interesados en afirmar enunciados aislados pero, recuentemen-te, deseamos establecer ciertas relaciones entre enunciados. Por ejemplo, aspiramosa convencer a determinado interlocutor de que, si admite la necesidad de aumentar

1 Dada la naturaleza introductoria de este libro, no se enrentan algunas cuestiones filosóficasacerca de la lógica, en beneficio de la claridad en la exposición de los rudimentos de la disciplina;

se intentará, no obstante, advertir al lector. En este caso, el problema en cuestión es el de los«portadores de verdad». Se asume aquí pues que pueden tomarse como tales lo que hemos deno-minado ‘enunciados’ pero existe una amplia discusión. El lector interesado puede consultar, porejemplo, Haack (1991), o un tratamiento más minucioso del punto en Orayen (1989).


14/200

U n i v e r s i d a d d e l a R e p ú b l i c a

14

la productividad, entonces debe admitir los beneficios de ciertas ormas de renova-ción tecnológica. Ese esuerzo por mostrar que la admisión de ciertos enunciados—que suelen denominarse premisas— obliga o, por lo menos, induce a admitirotro —que suele denominarse conclusión— es lo que podríamos entender —comoprimera aproximación— por argumentar . Es decir, orecer razones que evidencien

que determinada conclusión se sigue (con mayor o menor «necesidad» o «uerza») deciertas premisas. O, algo más abstractamente, el argumento revela que la informa-ción codificada en las premisas permite, en algún sentido que habrá que especificardespués, obtener la inormación expresada en la conclusión.2

Debe reconocerse que la palabra «argumento» es ampliamente usada. Se exige aun legislador que argumente, por ejemplo, las bondades de un proyecto de ley o sepide a un crítico del mismo que argumente sus inconvenientes. Esta exigencia noes un reclamo que se considere intrascendente o banal: muchas veces tal petición sehace para poder tomar posición respecto del proyecto de ley en cuestión. Cuando,

por ejemplo, en un debate televisivo entre dos personas el conductor otorga el mis-mo tiempo a cada una para que exponga sus razones, lo que intenta es ser ecuánimeen la distribución del tiempo a los eectos de dar la misma oportunidad de argu-mentar a ambas partes (para que tengan la misma oportunidad de convencer al es-pectador) y, a su vez, a los eectos de orecer la posibilidad al espectador de, a partirde esas argumentaciones, encontrarse en una situación adecuada para extraer susconclusiones, es decir, habiendo podido apreciar igualmente ambos puntos de vista.

Los participantes del debate ciertamente pueden adoptar actitudes muy varia-

das, pero dicha variación no es ilimitada: si, por ejemplo, uno de ellos comenzaraa apedrear al otro contendiente ciertamente el debate se suspendería y se conside-raría tal comportamiento como inadmisible (para el debate). Es decir, diícilmentealguien sostendría que tal actitud «orma parte» del debate.

El ejemplo es grosero y seguramente convendrían precisiones y matices; sin em-bargo, básicamente, puede hacerse acuerdo en que un debate consiste —unda-mentalmente— en cierta interacción lingüística entre los participantes. Esto limitala interacción pero todavía no permite excluir casos en los cuales, en principio, noparecería sensato sostener que se asiste a una conrontación polémica (por ejem-

plo, si uno o ambos, la única actividad que realizan es insultar). Se espera que estasmodestas observaciones contribuyan a convencer al lector acerca de que, a pesar deparecer muy intuitivo lo que se quiere decir con «argumentar», es una tarea sofisti-cada precisar el alcance del vocablo «argumento».3

2 Esta concepción basada en la noción de inormación encuentra una poderosa justificación filosó-fica en Barwise y Etchemendy (1999). Una consecuencia importante de este énasis inormacio-nal es que podría ampliarse, por así decir, la noción de argumento arriba orecida, permitiendoormas o modalidades no lingüísticas de codificar la inormación.

3 La discusión en torno a la noción de argumento ha cobrado un énasis especial en los últimostiempos. El lector interesado en internarse en la selva de literatura relativamente reciente sobre talnoción puede consultar, por ejemplo, Van Eemeren, Grootendorst y Kruiger (1987). Un ejemplode tratamiento filosófico de la cuestión puede apreciarse, por ejemplo, en Parsons (1996).


15/200

C o m i s i ó n S


15

Como en otras ciencias, un buen punto de partida es empezar con una nociónesquemática, pero valiosa a la luz de ciertos fines o de ciertos supuestos asumidos. Laorma de entender «argumento» en este contexto exhibe esas cualidades.4 En las líneasque siguen se caracteriza este concepto de un modo habitual en la literatura lógica.

En primer término, un argumento es una cierta estructura lingüística conorma-

da por enunciados. La peculiaridad de la misma reside en que se afirma una relaciónentre determinados enunciados —denominados «premisas»— y un enunciado —denominado «conclusión»— que puede pararasearse así: la conclusión se sigue o se

desprende o se extrae de las premisas. Un ejemplo nos ayudará a comprender mejortal relación:

Ejemplo I

Si Juana es sirena, entonces es cantautora.

Juana es sirena.

Juana es cantautora.

Premisas

Conclusión

Resulta relativamente obvio (a la luz de los comentarios anteriores sobre lasunciones de, respectivamente, premisas y conclusión en un argumento) que los dosenunciados sobre la barra son las premisas en este argumento y el enunciado debajode la barra oficia de conclusión. Las premisas aparecen así expresando cierta inor-mación inicial que permite obtener la inormación expresada en la conclusión. La

propiedad de ser premisa o ser conclusión es, naturalmente, relativa al argumento.Esto es, un mismo enunciado puede ser premisa en un argumento y ser conclusiónen otro. El papel de la barra es expresar la relación entre premisas y conclusión; po-dríamos «leer» la barra como «luego» o «por lo tanto». Esta relación, si pensamos engeneral, podría denominarse relación de justificación —la idea es clara: se trata de larelación que vincula a los enunciados justificadores (las premisas) con el enunciado justificado (la conclusión). Así pues, entendido en estos términos de generalidad,un argumento parecería que queda bien caracterizado por estos tres componentes:

premisas, conclusión, relación de justificación. Un diagrama puede tornar visibleesta afirmación:

Modelo 1: Pre1, Pre2, … , Pren / Con

donde las «Prei» (1≤i≤n, siendo i un entero positivo) representan premisas, «Con»representa la conclusión y «/» la relación de justificación. Es interesante advertirque identificar un argumento, desde esta perspectiva, querrá decir precisamen-te ser capaz de reconocer estos tres componentes. Pero adviértase que tal tarea

4 Una discusión acerca de ciertos fines o supuestos que guían la construcción de este concepto deargumento correcto desde el punto de vista de la lógica (y que resultan relevantes para el propiomodelo de argumento expuesto) puede leerse en Seoane (2004).


16/200


16

identificatoria en muchos casos dista de ser trivial; en general, en contextos comolos de una asamblea gremial, la Cámara de Senadores o un congreso científico (porcitar algunos ejemplos), las personas exponen sus argumentos de una orma com-pleja y expresivamente rica, alejada de la pacífica transparencia del esquema pre-misas/conclusión arriba expuesto. Esto obliga al que se propone ponderar tales

argumentos a un cuidadoso esuerzo analítico previo, a saber, identificarlos.Como una aproximación inicial, podríamos decir que la lógica se interesa por la argumentación. Pero esto, como es obvio, no basta para caracterizar la lógica; enlas próximas secciones iremos, paulatinamente, acercándonos a una primera carac-terización de la disciplina.

Problemas y tareas

1. Construya un argumento, guiándose por el ejemplo I. Use la conclusión desu argumento, para construir un segundo argumento en que la misma oficie

de premisa.2. Los siguientes textos periodísticos poseen evidentes pretensiones argumen-

tales. Identifique premisas y conclusión en cada caso:si la mutua competencia [entre marcas de cigarrillos] uera la única causa delos gastos multimillonarios en el rubro publicitario, la lógica diría que lasgrandes compañías deberían unirse para apoyar a los gobiernos que promue-ven la supresión de la publicidad de cigarrillos, avoreciendo así un «statu quo»que protegería a las poderosas marcas líderes de las amenazas de los pequeñoscompetidores. Por cierto que en todo el mundo, y también en Uruguay, suce-

de exactamente lo contrario. (Daniel Kliman, Cortinas de humo, Relaciones,marzo 1998).

Si el atentado al que el dictador [Pinochet] sobrevivió en septiembre de 1986hubiese tenido éxito la transición chilena hubiese sido completamente distinta.Para algunos simplemente no hubiese existido transición sino un baño de san-gre. Para otros, el propio régimen militar, presionado por la oposición internay por las uerzas democráticas externas, dentro y uera de América Latina, sinel actor de unidad que ha sido el dictador, habría ido cediendo espacios y laConcertación habría asumido en condiciones más avorables, menos «atadas»

(J. Cayuela, Chile: apuntes para el fin del siglo, Brecha, año 13, n.° 640).

La reflexión meta-argumentalAntes del surgimiento de la lógica como disciplina —que se sitúa en Grecia,

aproximadamente en el siglo IV antes de Cristo— obviamente se ormularon y dis-cutieron argumentos. Y, naturalmente, los argumentos eran evaluados. Es decir, seaceptaban algunos como correctos, se rechazaban otros por incorrectos, se calibra-ban respecto de su uerza probatoria, se comparaban en relación con su capacidad

persuasiva, etc. Una rica práctica argumental pues precedió a la emergencia de unareflexión meta−argumental lógica. Quizá convenga detenerse brevemente a analizarlas dos características que hemos adjudicado a esta reflexión original. Por una parte,


17/200

C o m i s i ó n S


17

se trata de una reflexión meta−argumental , es decir, se sitúa en un plano conceptualque tiene por objeto el plano argumental. Por otra parte, hemos dicho que estamosrente a una reflexión lógica, por ahora todo lo que queremos expresar con tal cali-ficativo es que la misma se encuentra orientada al esclarecimiento del problema dela corrección argumental.5

En especial, contribuyeron a transormar la cuestión de la evaluación argumentalen un problema digno de análisis, el desarrollo de disciplinas y actividades socialmen-te valiosas en las cuales la argumentación ocupaba un papel relevante. La matemáti-ca, la filosoía y la práctica político−jurídica suelen ser los ejemplos más conspicuosde tales actividades.6 Para introducir el especial punto de vista desde el cual el lógicoanaliza los argumentos puede resultar esclarecedor partir, precisamente, de argu-mentaciones particulares pertenecientes a algunos de los campos reeridos.

Tomemos un caso especialmente interesante de las matemáticas griegas. Comose sabe, la escuela pitagórica —iniciada por Pitágoras en el siglo VI a.C.— obtuvo

importantes resultados en esta disciplina. Seguramente el lector recuerda el célebreTeorema de Pitágoras; éste afirma que el cuadrado de la hipotenusa es igual a lasuma de los cuadrados de los catetos. La ilustración permite ormularlo de un modointuitivo y sintético:

a

b

h

Teorema de Pitágoras: h2 =a 2 + b 2

El problema que nos interesa surge a partir de la consideración de la diagonalde un cuadrado cuyo lado tiene por longitud la unidad. Nuevamente, recurramos ala ilustración:

1

Obsérvese que esta diagonal es la hipotenusa de los respectivos triángulos rec-tángulos cuyos ángulos rectos están indicados en el diagrama. Dado que el valor delos lados es 1, podemos inerir, aplicando el Teorema de Pitágoras, que h2 =1 2+12 =2 o sea h=

5 La emergencia de estas preocupaciones intelectuales en la filosoía pre−aristotélica es un intere-sante problema histórico que hasta donde sé no se ha explorado suficientemente.

6 Véase al respecto Kneale y Kneale (1984).


18/200


18

Para los pitagóricos los números se reducían a los racionales, esto es, los enterosy las razones de enteros. Además tal restricción era esencial a su cosmovisión, loque hacía de esta convicción un postulado indiscutible. El punto es: ¿ es racional?

La respuesta negativa debida, según la tradición, a Hipaso de Metaponto, signi-ficó un auténtico escándalo para la secta pitagórica. He aquí una argumentación a

avor (una prueba o demostración) de que no es racional:Supongamos que es racional. Entonces es susceptible de escribirse comoa/b, donde a y b son enteros (b≠0). Dado que siempre podemos simplificaruna racción hasta que numerador y denominador no tengan actores comu-nes (excepto el 1), asumamos que a y b satisacen esta condición —lo quesuele expresarse diciendo que a y b son primos entre sí. Se tiene entonces=a/b. Luego a= .b y así a2 =2b2. Así tenemos que a2 es par. Como sabemosque un entero z es par si y solo si z2 es par, a es par. Pero entonces a puedeescribirse como 2c para algún entero c. Así pues, ya que sabemos que a2 =2b2,

4c2

=2b2

. Entonces b2

=2c2

y así b2

es par y, por idéntica razón que arribarespecto de a, b es par. Pero entonces 2 es un actor común de a y b, lo cualcontradice la suposición de que son primos entre sí. Esto es absurdo, por lotanto no es racional.

Hemos visto pues una argumentación matemática que, aunque no desarrolladade orma absolutamente fidedigna desde el punto de vista histórico, comparte la es-tructura con la prueba geométrica que se supone ue la original.7 Discutamos ahorauna argumentación filosófica.

Zenón de Elea ue un filósoo que vivió en el siglo V antes de Cristo y que, sim-

plificando extremadamente la historia, se dedicó, undamentalmente, a mostrar que,si se admite que el ser es múltiple, esto implica consecuencias inaceptables. Estaestrategia era la usada por él para mostrar la necesidad de aceptar la unicidad delser.8 El siguiente es un pasaje de Zenón 9 representativo de su modo de argumentar:

Si las cosas son múltiples es necesario que sean todas las que son, y no más nimenos que éstas. Pero si son todas las que son, son en número limitado.

Si las cosas son múltiples, son también infinitas: ya que siempre hay otras in-termedias entre los entes, y nuevamente otras en el intervalo entre éstas, y así

los entes son de número infinito.La conclusión que —en la intención de Zenón— debe extraerse es: las co-

sas no son múltiples. Reconstruyamos el argumento para poder discutirlo mejor:Supongamos que las cosas son múltiples. Entonces ellas son una cantidad, por asídecir, «definida» y, consecuentemente, su número es finito. Pero, por otro lado,

7 Véase al respecto, por ejemplo, Eves (1964).8 Es obvio que debería aclararse qué es lo que debe entenderse por «ser». Como tal concepto, a

los fines presentes, no juega ningún papel esencial, aquellos que no se encuentren interesados en

esta temática pueden apreciar el argumento que sigue como limitado a intentar demostrar ciertasconsecuencias indeseables de asumir que «las cosas son múltiples». Esa es la estrategia, por otraparte, que sigue el texto.

9 Está tomado de Mondolo (1974) p. 84.


19/200

C o m i s i ó n S


19

dado que entre dos entes cualesquiera debe haber algo intermedio, y, respecto deestas dos, puede repetirse el argumento y así sucesivamente, entonces su número noes finito –tal argumento parece apoyarse esencialmente en la suposición pitagóricade que el espacio vacío es también un ente. Pero esto es absurdo pues su númerodebiera ser finito y no finito. En conclusión, las cosas no son múltiples.

No es diícil advertir cierta semejanza entre el argumento matemático y el argu-mento filosófico. En ambos casos se parte de una suposición ( es racional, el ser esmúltiple), a partir de la cual se pretende extraer una consecuencia contradictoria oabsurda (a y b son primos entre sí y no son primos entre sí, el número de las cosases finito y no es finito) y, finalmente, se concluye afirmando la negación de la supo-sición ( no es racional, las cosas no son múltiples). El siguiente esquema puedereflejar lo anterior:

Argumento por absurdo (descripción general)

Se supone A, a partir de esta suposición se muestra By no es cierto B, luego no es cierto A.

O quizá así resulte más nítido:

Argumento por absurdo (esquema)A supuesto

pasos intermedios

B y no B contradicciónNo es cierto A conclusión

Este esquema puede representar, en general, los llamados «argumentos por elabsurdo». Debe distinguirse pues entre «argumento por absurdo» y «demostraciónpor absurdo»: la primera noción, como se desprende de la discusión de arriba, sepretende más general que la segunda.

Conviene eectuar algunas aclaraciones. En primer término, en el esquema de

arriba podrían existir como premisas (además del supuesto) otra serie de enun-ciados —por ejemplo, algunas «verdades matemáticas» en el caso del argumentoacerca de . En segundo lugar, los puntos (en el segundo esquema) representanlos pasos que permiten llegar desde el supuesto a la contradicción, es decir, la«serie» de razones que se exponen para mostrar cómo se deduce de las premisasla contradicción. En tercer lugar, nótese que la conclusión es, precisamente, lanegación del supuesto.

Una pregunta general que surge es la siguiente: ¿es este último esquema una ormade representar argumentos idéntica a la sintetizada en el modelo 1? Pareciera que larespuesta debiera ser negativa. La dierencia undamental radicaría —si se observael problema desde ese punto de vista— en la emergencia de los pasos que muestran


20/200


20

como «se sigue» a partir de ciertos enunciados otros enunciados. O, puesto de otromodo, a dierencia del modelo 1, se representa de esta orma cómo ciertos enuncia-dos justifican a su vez otros enunciados y éstos a su vez otros y así, a través de unaespecie de cadena justificadora, se llega al «último eslabón» que es, precisamente, laconclusión. Podría objetarse, no obstante, que quizá uera conveniente representar

(fiel al modelo 1) a todo lo que se ubica «por encima» o «antes» de la conclusión ennuestro esquema como «premisas». Sin embargo, si adoptamos tal política —puedereplicarse— estamos perdiendo algo undamental: no se encuentra en la misma rela-ción la segunda premisa con la primera premisa del ejemplo I que la contradiccióncon el supuesto de nuestro último diagrama. En el primer caso podríamos decir queson «independientes»; en el último caso queremos evidenciar que es, precisamente, laasunción del supuesto lo que lleva a la contradicción. Construyamos pues una segundaorma de representar o entender argumentos:

Modelo 2: Pre1, Pre2, … , Pren Pas 1, Pas2, … ,Pask / Con

—donde Pasi (1 ≤i≤k, siendo i un entero positivo) son los pasos aludidos.Se tienen entonces dos modos o formas de representar o entender argumentos.10

¿Se encuentran estos modos relacionados? La respuesta es: sí. Adviértase que, en unsentido muy preciso, las premisas justifican los pasos.11 Luego, para que la cadena justificacional uncione, tenemos que tener trabajando la relación de justificaciónentre premisas y pasos. Es en este sentido que podríamos sostener que el modelo 1es más básico que el modelo 2. Asumamos pues el modelo 1 como punto de partida;

más adelante tendremos oportunidad de encontrar una motivación específica parael uso del modelo 2.

Es conveniente advertir que hemos introducido estos nuevos ejemplos de textosargumentales a los eectos de motivar undamentalmente la introducción del mo-delo 2 de representar argumentos; todo lo que hemos hecho hasta ahora es explorarormas o modalidades de representar argumentaciones.

Problemas y tareas

1. Revise la demostración por el absurdo expuesta antes. Identifique un enun-ciado que juegue en la misma el papel de premisa y un enunciado que juegueel papel de paso en dicha prueba.

2. Procure en algún texto de matemática una demostración por el absurdo .Identifique, en ese caso, un enunciado que cumpla el papel de premisa, unenunciado que oficie de paso en la prueba y, finalmente, la conclusión delargumento.

10 La distinción ue introducida exactamente en estos términos en Seoane (1999). Como a vecesocurre, posteriormente uno descubre que algunas de las ideas que sostuvo como propias ya ha-

bían sido deendidas por autores distantes en el espacio y/o en el tiempo. Esto me sucedió conParsons (1996) y, de una orma sorprendente, con Corcoran (1972). Hay matices pero ciertasideas básicas son compartidas.

11 Esta afirmación podrá ser mejor entendida más adelante.


21/200

C o m i s i ó n S


21

En síntesis, hemos visto que la lógica es una reflexión meta−argumental . Los ar-gumentos pueden representarse o entenderse, en este contexto, ya apelando al mo-delo 1, ya apelando al modelo 2. Dado el carácter básico del primero, asumiremosel mismo como punto de partida. Pero la reflexión lógica no queda caracterizada,como hemos dicho, por su status meta−argumental; le interesa la evaluación de los

argumentos en términos de su corrección. Este es el aspecto que abordaremos en lapróxima sección.

La noción intuitiva de consecuencia lógica

Seguramente el lector ha advertido una dierencia importante, a pesar de lassimilitudes señaladas, entre los dos ejemplos argumentales expuestos. El primero esuna prueba o demostración matemática y su conclusión expresa una propiedad deun cierto número. Adviértase que aceptamos las premisas, los pasos y la conclusión

de dicho argumento. En cambio, en el segundo caso la ormulación misma de laspremisas y de la conclusión resulta ambigua y los pasos se presentan como proble-máticos. Es evidente que no hay allí prueba o demostración. Podríamos quizá decirque un argumento parece correcto y el otro es, por lo menos, dudoso o diícil deevaluar en términos de corrección. Pensemos un poco más la situación.

Un contraste notable entre los dos argumentos consiste en que mientras acep-tamos las premisas del primero como de hecho verdaderas no ocurre lo mismorespecto de las del segundo. Una segunda conspicua dierencia es que mientrasnos resulta claro cómo se justifican los pasos del primero lo mismo no ocurre con

el segundo. Y, finalmente, mientras aceptamos como verdadera la conclusión delprimero diícilmente diríamos lo mismo del segundo.

Como puede apreciarse pues el problema de la corrección es extremadamen-te complejo. Conviene entonces comenzar simplificando razonablemente nuestracuestión. En primer lugar, haremos abstracción del problema de la justificación delos pasos. Esto resulta muy natural si se tiene en cuenta que representaremos unargumento explotando el modelo 1. Un argumento, entonces, es una estructura lin-güística conormada por premisas y conclusión. La idea más general de corrección

argumental exige que las premisas justifiquen la conclusión. Luego, el lógico podríatentativamente decir que un argumento es correcto cuando las premisas, por decir-lo metaóricamente, cumplen adecuadamente su papel, esto es, logran justificar laconclusión. Y así un argumento es incorrecto cuando las premisas no logran justificarla conclusión. Ahora parece que lo que le deberíamos preguntar es qué se quieredecir con la metáora de que las premisas «cumplan adecuadamente su papel».

La respuesta del lógico podríamos decir que se concentra (utilizando el modeloinicial) en caracterizar una cierta relación de justificación. Esta puede entendersecomo el criterio o el patrón que aplicará el lógico a la hora de evaluar la corrección

argumental. Dicho sintéticamente, desde el punto de vista lógico, un argumentoserá correcto si y solo si la conclusión es consecuencia lógica de las premisas.


22/200


22

En este capítulo daremos la noción intuitiva de tal relación; el resto del libro puedeentenderse como un esuerzo por elucidar, es decir, esclarecer, rigorizar esta nociónbásica. El concepto intuitivo de consecuencia lógica puede caracterizarse como sigue:

Noción intuitiva de consecuencia lógica

Sea Г una colección de enunciados y sea φ un enunciado. Diremos que φ esconsecuencia lógica de Г si y solamente si necesariamente si todos los enunciadospertenecientes a Г son verdaderos, φ es verdadero.O, dicho de otra orma, si no es posible que todos los enunciados pertenecientes aГ sean verdaderos y φ sea also.

Dada la importancia de este concepto es conveniente reflexionar algo más sobreel mismo. Debe advertirse que hemos caracterizado una relación; los elementos rela-cionados son, obviamente, premisas y conclusión. Aunque hacemos abstracción del

hecho de que las primeras y la última sean de hecho verdaderas o alsas, a la hora decaracterizar la relación hemos usado esencialmente la posibilidad de ser verdaderos oalsos de los enunciados en juego. Pues exigimos que, por así decirlo, la verdad de laspremisas sea «heredada» por la conclusión; a veces se ha hablado aquí de «transmisiónde la verdad».12 Pero nótese que, en realidad, la noción intuitiva de consecuencia lógi-ca pide algo más uerte que la mera transmisión de la verdad de premisas a conclusión:exige el carácter necesario de tal transmisión. Dediquemos a este aspecto un momentode análisis. Considérese estos argumentos:

a. Si una ciudad está al norte del Río Negro, se ubica al norte de Montevideo.La ciudad de Florida está al norte de MontevideoLa ciudad de Florida está al norte del Río Negro.

b. Los tacuaremboenses son uruguayos.Los montevideanos no son tacuaremboenses.Los montevideanos son uruguayos

c. Los tacuaremboenses son uruguayos.

Los uruguayos son sudamericanos.Los tacuaremboenses son sudamericanos

En el caso de (a) obviamente no se produce transmisión de la verdad: las premisasson verdaderas y la conclusión es alsa. Este ejemplo tiene el interés de evidenciar laalla en la transmisión de la verdad. Es evidente luego que en (a) no hay relación deconsecuencia lógica entre las premisas y la conclusión —i.e. el argumento es inco-rrecto, desde el punto de vista lógico. El caso (b) es más interesante: ¿puede decirseallí que no hay transmisión de la verdad? Tanto las premisas como la conclusión

son verdaderas —es decir, no se está en el caso (a). Lo que alla es el requisito denecesariedad . Lo exigido —desde el punto de vista lógico— no es meramente que

12 Véase, por ejemplo, Popper (1991) pp. 248-263.


23/200

C o m i s i ó n S


23

de hecho la conclusión sea verdadera o que al menos una de las premisas sea alsa;se exige que si las premisas son verdaderas necesariamente la conclusión lo sea. O,dicho de otro modo, que sea imposible la verdad de todas las premisas y la alsedadde la conclusión. Luego tampoco en este caso estamos rente a un argumento lógi-camente correcto ya que la conclusión no es consecuencia lógica de sus premisas.

Ejemplos de tal transmisión necesaria de la verdad (es decir, de corrección lógica)son el argumento (c) y el argumento del Ejemplo I.En síntesis, un argumento es correcto —desde el punto de vista lógico— si,

siempre que las premisas son verdaderas, su conclusión lo es. O, dicho de otromodo, si es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión sea alsa. Eneste caso se dice que la conclusión es consecuencia lógica de las premisas o que éstasimplican la conclusión. La argumentación que exhibe tal relación entre premisas yconclusión se denomina deductivamente correcta.13

El valor del recurso a la formaUn problema importante es cómo identificar la presencia de la relación de con-

secuencia lógica entre premisas y conclusión. Es decir, cómo, dado un argumen-to específico, determinar si su conclusión es consecuencia lógica de sus premisas.Precisamente para resolver este problema es que recurrimos al análisis formal oestructural de los argumentos.

Volvamos brevemente a nuestras dos argumentaciones de la sección «La re-flexión meta-argumental». Basta un poco de reflexión sobre ellas para advertir que

en un caso el tema o el contenido del argumento se ubica en la teoría de númerosy en el otro pertenece a la metaísica —una rama tradicional de la filosoía. Pero,independientemente de la diversa naturaleza temática, ambos argumentos poseenuna cierta semejanza: pueden entenderse como instancias de los esquemas de argu-mentación por el absurdo arriba establecidos. Esta similitud podríamos denominar-la estructural o formal .

Pero, ¿cómo podría ayudarnos tal consideración ormal o estructural a la hora deevaluar la relación de consecuencia lógica? O ¿por qué analizar los argumentos en

términos de su orma? Esta es una pregunta clave. La respuesta podría ormularseasí: porque se advierte la existencia de ciertas estructuras argumentales que garan-tizan la inormación contenida en la conclusión, dada la inormación codificada enlas premisas —independientemente del tipo o naturaleza de la inormación en cues-tión. Para expresarlo con una terminología más habitual: se nota que tal estructura oorma asegura la verdad de la conclusión, asumida la verdad de las premisas.

Para retornar a nuestros ejemplos, se aprecia que si un supuesto (a partir depremisas verdaderas y por mecanismos argumentales legítimos) conduce a una

13 El adjetivo «deductivo» puede usarse como sinónimo de «lógicamente correcto» (en tal caso,carece de sentido la expresión «argumento deductivo incorrecto») o puede usarse como sinónimode «argumento que se pretende lógicamente correcto». Este último uso será el que recuentemen-te adoptaremos en el presente libro.


24/200


24

contradicción, ese supuesto no puede ser verdad, es decir, su negación es verdad. Lagarantía que proveen ciertas estructuras es que, dada la verdad de las premisas, setiene necesariamente la verdad de la conclusión —tal es el caso de la argumentaciónpor el absurdo, aunque aún es muy pronto para comprobarlo.

Brevemente expresado, el recurso a la orma o estructura lógica aparece

entonces como una vía notable para resolver el problema de la identiicación o delreconocimiento de la relación de consecuencia lógica entre premisas y conclusión.14

Como se ha subrayado, no basta a los eectos de la corrección lógica el carácterpreservador de la verdad, debe adicionarse el carácter necesario de tal preservación.Esta dimensión o cualificación modal es (como hemos visto) esencial a la caracte-rización de nuestro concepto intuitivo. Es decir, hay relación de implicación entrepremisas y conclusión si siempre (este vocablo expresa la necesidad) que las premi-sas son verdaderas, la conclusión también lo es. No necesariamente debe resultarevidente cómo tal transmisión necesaria de la verdad puede quedar garantizada por

propiedades ormales o estructurales de la argumentación. A los eectos de aclararesta idea, introduzcamos un nuevo argumento:

Ejemplo II:Si José es lógico, José es aburrido.José es lógico.José es aburrido.

Adviértase que tanto la conclusión del ejemplo I (p. 15) como la del ejemplo II parecen desprenderse con igual necesidad de las respectivas premisas, no importan-do que, en el primer caso, se hable de sirenas y, en el segundo, se hable de lógicos.Luego ese «desprenderse con necesidad» de la conclusión a partir de las premisasno puede deberse a los respectivos contenidos de los argumentos sino a la orma oestructura compartida por ambos. Pues bien, ¿cuál es dicha estructura?

La pregunta no es ácil pero una estrategia intuitiva destinada a responderlapodría consistir en determinar cuáles son las porciones lingüísticas que tanto elejemplo I como el II poseen en común. Éstas serán precisamente las responsablesde la corrección lógica. Al igual que en el caso del esquema de argumentación porel absurdo podemos colocar letras para representar aquellas expresiones lingüísti-cas en que se producen las variaciones que —atendiendo a estos casos— no sonrelevantes para los actuales propósitos. El resultado de tal operación podría quizáesquematizarse así:

Esquema (Modus Ponens) Si A entonces B AB

14 Existen aquí diversas cuestiones conceptuales sutiles y proundas. Pero, en beneficio de la clari-dad expositiva, prescindiremos en este momento de la exposición de discutirlas; más adelante nosreeriremos a algunas de ellas. El enoque presentado sigue las ideas expuestas en Etchemendy(1983).


25/200

C o m i s i ó n S


25

Se podría intentar demostrar —y lo haremos más tarde— que, eectivamente,esta estructura garantiza la verdad de la conclusión, dada la verdad de las premisas.Ahora, a los eectos de ayudar a la intuición, puede ser útil notar cómo al eec-tuar sustituciones arbitrarias —respetando solo ciertas restricciones relativamenteobvias— obtenemos argumentos en los cuales la verdad de la conclusión parece

seguirse con necesidad de la verdad de las premisas. Más adelante nos detendre-mos con más detalle en las antedichas restricciones que gobiernan la sustitución,por el momento baste advertir que solo deberían sustituirse las letras mayúsculaspor enunciados y, una vez que sustituimos una cierta letra por un enunciado, de-bemos hacerlo en todas las oportunidades que aparece la letra, es decir, siempreque aparece la letra en nuestro esquema aparecerá el mismo enunciado en nuestroargumento que resulta de la sustitución en el esquema. Los ejemplos I y II de arribapueden entenderse así como resultados de sustituciones específicas en el esquemade arriba —tradicionalmente denominado «Modus Ponens». Estas observaciones

son una primera aproximación al papel del recurso al análisis estructural o formal delos argumentos que desarrolla el lógico.

El objeto de la lógica

Si se atiende a los desarrollos anteriores pueden orecerse una primera caracteri-zación del objeto de la lógica. La misma podría expresarse así: la lógica se ocupa delestudio de la argumentación deductiva.

Se puede encontrar en la literatura —como hemos señalado— dos usos de la pa-

labra «deductivo». En algunos casos, se habla de «argumento deductivo» solo cuandola conclusión es consecuencia lógica de las premisas y luego las nociones de «argu-mento deductivo», «argumento lógicamente correcto» y «argumento válido» coin-ciden. En otros casos se entiende por «argumento deductivo» aquellos argumentosen que se pretende o se aspira a que las premisas impliquen la conclusión. Luego, sila relación de implicación se da, se dice que son correctos (válidos) y si la relaciónde implicación no se da, se dice que son incorrectos (inválidos). En este libro, comodijimos, este último uso será el predilecto. La caracterización preliminar del objeto

de la lógica dada arriba adquiere un significado quizá algo dierente dependiendodel uso escogido. Si entiendo bien, es más hospitalaria si coincide con nuestra elec-ción terminológica pero aún así la misma parece excesivamente restrictiva. Veamosbrevemente este aspecto.

Existe cierto tipo de argumentos que exhiben estas dos inquietantes cualida-des: no son correctos pero lo parecen. Se les han denominado, tradicionalmente,

falacias. La lógica tradicional les prestó atención e intentó orecer una teoría delos mismos, identificando diversos tipos de argumentos alaces. Los lógicos aban-donaron el interés por las alacias —por razones que no viene al caso analizar— y

desarrollaron una teoría matemática poderosa y refinada de la argumentación válidao lógicamente correcta descuidando tal tipo de estudios. Recientemente el interés


26/200


26

por los mismos parece haberse reavivado.15 Aún tomado el vocablo «deductivo» enel sentido en que lo hemos tomado aquí parece incapaz de cubrir la totalidad deestrategias argumentales pertenecientes a dicha categoría. Es esta una primera razónpor la que resultaría conveniente matizar nuestra caracterización general.

Pero existe aún una segunda y quizá más poderosa razón para hacerlo. La mate-

matización de la lógica la torna, en el sentido habitual de la palabra, una disciplinamatemática. Y este hecho (conjuntamente con otros actores) supuso la apariciónde ricas motivaciones intelectuales provenientes de las matemáticas que cautivaronla atención de los lógicos. Existen conexiones proundas e imposibles de exponeraquí entre los diversos campos de estudio que surgen en el seno de la lógica peroparecería orzado sostener que todos ellos se encuentran conectados de igual ormacon el problema de la evaluación argumental. Uno de esos campos es la teoría deconjuntos —cuyos rudimentos estudiaremos pronto— pero no es el único. Ademásse suelen distinguir (tradicionalmente) teoría de modelos, teoría de la prueba y teoría

de la computabilidad . Esta prolieración de intereses lógicos ha llevado a algunosautores a caracterizar la lógica como el estudio de los lenguajes formales. Estas ob-servaciones nos aconsejan también temperar algo nuestra caracterización inicial delobjeto de la lógica.

Aunque hemos visto razones para matizar nuestra caracterización inicial del objeto de la lógica, debe reconocerse que la misma captura un aspecto esencial deltrabajo de la disciplina. Luego, en este libro, nos ocuparemos de la lógica comoteoría de la corrección deductiva argumental , esto es, hemos escogido, a los eectos

de exponer las nociones básicas de la teoría lógica, como motivación undamentalel estudio de la corrección argumental. Dado que para desarrollar tal teoría el lógicoapelará a la consideración estructural o ormal de la argumentación, veremos queel lenguaje natural no le resultará satisactorio. Luego se embarcará en la tarea deconstruir lenguajes artificiales, lenguajes hechos a la medida de los propósitos delanálisis ormal i.e. lenguajes ormales. De este modo el estudio que desarrollaremosaquí cae cómodamente también en la caracterización de la lógica como teoría de los

lenguajes formales.Una observación final destinada a evitar equívocos. Debiera ser evidente que no

todo argumento es un argumento deductivo. Los argumentos deductivos son soloparte de la colección más amplia de los argumentos; existen argumentos que preten-den que las premisas justifiquen la conclusión pero no que lo hagan vía la relaciónde consecuencia lógica. Existen pues otras ormas de evaluar la corrección de unargumento que no son los patrones de la corrección deductiva. En un sentido am-plio, ese tipo de argumentos pueden denominarse «inductivos». La idea más generalasociada a esta colección de argumentos es que, si bien en ellos las premisas no im-plican la conclusión, le otorgan a la misma «mayor probabilidad» o «verosimilitud».16

15 Un tratamiento especialmente influyente de las mismas es el propuesto por Hamblin (1970).16 En algunos manuales tradicionales de lógica, por ejemplo Copi (1994), puede encontrarse una

caracterización detallada de las argumentaciones inductivas así como una clasificación de las mis-mas. Una caracterización rápida pero conceptualmente certera puede leerse en Pereda (1995).


27/200

C o m i s i ó n S


27

Como el lector quizá ya ha concluido, en realidad puede evaluarse un argumentousando criterios dierentes; más que situar la dierencia entre colecciones de argu-mentos entonces la misma podría situarse en modos o patrones de evaluación.17 Es obvio que debemos evaluar argumentos, digamos así, en orma pertinente. Unargumento deductivo, en el sentido que hemos dado aquí a este término, deberá ser

evaluado en términos de si su conclusión es consecuencia lógica de sus premisaspero un argumento inductivo debiera ser evaluado en términos de si su conclusiónes, por así decirlo, consecuencia «inductiva» de sus premisas.

Problemas y tareas

1. Si tuviera que evaluar la comprensión de este capítulo, ¿cuáles serían las pre-guntas que propondría? Formule seis interrogantes.

2. Responda las siguientes cuestiones:a. ¿Qué se entiende aquí por «enunciado»?

b. ¿Qué se entiende por «argumento»?c. ¿Cuáles son los dos modelos argumentales estudiados?d. ¿Cómo se caracteriza la relación de «consecuencia lógica»?e. ¿Cuál es el objeto de la lógica?

3. Compare el cuestionario elaborado por usted en el ejercicio 1 con respectoal presentado en el ejercicio 2. A la luz de esta comparación, proponga uncuestionario que le parezca óptimo.

17 Como respecto de otros tópicos básicos discutidos en este capítulo, puede resultar muy útil lalectura del capítulo 2 del libro de Haack (1991).


28/200


29/200

C o m i s i ó n S


29

C APÍTULO 2

Conceptos elementales

de teoría intuitiva de conjuntos

Introducción

En el capítulo anterior describimos (en orma amplia) el objeto de la teoría ló-gica. Esta se ocupa de una orma de corrección argumental caracterizada por laexigencia de la relación de consecuencia lógica entre conclusión y premisas.18 El

lógico apela al análisis ormal o estructural de los argumentos como recurso meto-dológico para llevar adelante su estudio de tal relación. Esta estrategia da origen ala emergencia de lenguajes artificiales —como hemos dicho antes— construidos ala medida de su propósito. Tales lenguajes se denominan lenguajes formales —es-tudiaremos los mismos a partir del próximo capítulo. Pero para definir y explorarestos lenguajes la teoría lógica apela al poder expresivo y analítico de la teoría deconjuntos. Esta es la razón por la cual oreceremos ahora una presentación rudimen-taria de esta última en su parte más básica. Nuestra preocupación undamental se

reducirá a especificar su lenguaje y definir sus conceptos elementales en términosintuitivos o informales. Una comprensión más prounda de la teoría de conjuntosy, en particular, de sus presentaciones ormales19 presupone el conocimiento queaspira a orecer este libro.20

Conjuntos

Se entenderá por conjunto una colección de objetos. Los objetos que pertenecenal conjunto se denominan elementos del conjunto. Aunque las aproximaciones de

arriba exhiban un grado considerable de ambigüedad, se ha optado por mantenerlaspues son útiles desde el punto de vista intuitivo; debiera consignarse, no obstante,que los conceptos de conjunto y elemento , en esta teoría, son conceptos primitivos, esdecir, conceptos que carecen de definición explícita en la teoría.

Los objetos deben ser absolutamente identificables y, dado un objeto y un conjunto, este pertenece o no al conjunto pero no ambos casos. Se notará que un objeto

18 En general, cuando hablemos de «consecuencia» entenderemos que nos estamos refiriendo a«consecuencia lógica».

19 Las nociones de ormal e inormal poseen, en este contexto, un sentido preciso; el lector podráentender cabalmente los mismos en los próximos capítulos.20 Orayen ha creído ver una paradoja en esta suerte de circularidad. El lector interesado puede

inormarse sobre este tópico en Moretti y Hurtado (2003).


30/200


30

a pertenece a un conjunto A del modo siguiente: a∈ A . Se notará que el objeto a nopertenece al conjunto A como: a∉ A .

Se suelen identificar dos modalidades de definir conjuntos: por extensión y por comprensión. Se define un conjunto por extensión nombrando a todos loselementos que lo integran y encerrando sus nombres entre llaves. Por ejemplo:

A={11,12,13,14}. Se define un conjunto por comprensión escribiendo la propie-dad que poseen todos y solo los objetos que pertenecen a ese conjunto. El esquemade definiciones de este tipo es el siguiente: A={x: P(x)}, donde «P» está en lugar dela descripción de la propiedad en cuestión. El esquema anterior puede leerse así: elconjunto de los x tales que x posee la propiedad P . Un ejemplo de esto podría ser:

B={x: x es un número natural y 10


31/200

C o m i s i ó n S


31

Subconjunto, conjunto vacío y conjunto potencia

Se afirmó arriba que se ha definido de dos maneras dierentes «el mismo» conjunto, es decir, que A y B —como han sido definidos arriba— son iguales, i.e. A=B.Pero ¿qué significa que A y B son iguales? La respuesta es simple: que poseen losmismos elementos. Es decir, que si algo es elemento de A, entonces lo es de B —yla recíproca. La relación enunciada entre A y B que hemos usado para caracterizarcuando dos conjuntos son iguales, se denomina inclusión. En orma general puededefinirse así: un conjunto X se encuentra incluido en un conjunto Y si y solamente sitodo elemento de X es también elemento de Y . Se notará tal relación entre X e Y dela orma siguiente: X⊆Y —se lee «X está incluido en Y». Cuando X⊆Y también sedice que X es subconjunto de Y.

A veces se distingue entre inclusión e inclusión estricta. Esta última exige quelos conjuntos sean distintos, algo que, como es obvio, no exige la primera —trivial-

mente, para todo conjunto X, X⊆X. La inclusión estricta se nota —elocuentemen-te— de esta orma: X⊂Y. En este caso, suele decirse que X es un subconjunto propio de Y. Por ejemplo, los números naturales pares se encuentran incluidos estricta-mente en el conjunto de los números naturales. La inclusión estricta de X en Y, esdecir, X⊂Y puede representarse gráficamente así:

Y

X

Ejemplos: Usemos «⊄» para denotar que la relación de inclusión no se da.

{a,b} ⊆ {b,c,a}{0,1,2} ⊄ {0,1,a}{a,b} ⊆ {a,b}

Resulta evidente que X=Y si y solamente si X⊆Y e Y⊆X. De modo que si

deseamos probar que dos conjuntos X e Y cualesquiera son iguales la estrategiainducida por la definición es demostrar que X⊆Y y que Y⊆X.

Se admitirá como conjunto una colección muy especial: aquella que no poseeningún elemento. Se le denominará conjunto vacío y se le nota así: ∅. Puede mos-trarse que solamente hay «un» conjunto vacío y podemos caracterizarlo así: {x: x≠x},esto es el conjunto de los x que son distintos de sí mismos. Es obvio que, para cual-quier conjunto X, se tiene que ∅⊆X. Un conjunto que posee un único elemento sele denominará singleton o conjunto unitario . Un conjunto que contiene dos elemen-tos se le denominará par .

Se han presentado diversos ejemplos de conjuntos. Podría quizá surgir la si-guiente pregunta: ¿existen conjuntos cuyos elementos sean a su vez conjuntos? La


32/200


32

respuesta es: sí. Un muy conocido ejemplo de esto es el denominado conjunto poten-cia (de un cierto conjunto dado). El conjunto potencia de un conjunto A es, preci-samente, la colección de todos los subconjuntos de A. Es decir, sea A un conjunto,el conjunto potencia de A es el conjunto cuyos elementos son los X (y solo ellos)tales que X⊆A. Se le nota ℘(A) y puede leerse «potencia de A» o «partes de A».

Ejemplos:A={1,2}, ℘(A)={∅,{1,2},{1},{2}}B={1}, ℘(B)={∅,{1}}

Nótese que ℘(∅)={∅}

Operaciones conjuntísticas

Si se piensa en términos gráficos parece ácil construir conjuntos a partir de

conjuntos previamente dados. Por ejemplo, dados A y B, podríamos pensar enconstruir un conjunto que contenga tanto a los elementos de A como a los de B ouno que solo contenga a los elementos comunes a ambos. A continuación se veránalgunas operaciones entre conjuntos que recogen (entre otras) estos modos intuiti-vamente descriptos de construir conjuntos.

En primer lugar, dados dos conjuntos A y B, la operación denominada intersec-ción —se nota A ∩B— consiste, intuitivamente hablando, en «agrupar» los elemen-tos comunes a A y B. Es decir:

A∩B={x: x∈A y x∈B}.Por ejemplo: sean A={1,2} y B={1,3,4}, tenemos que A∩B={1}.Esta operación puede representarse así: (el sombreado indica donde se encuen-

tran los elementos del conjunto reerido)

A B

A∩B

La operación intersección, tal como la hemos estudiado hasta aquí, «genera» unconjunto a partir de dos conjuntos dados. Puede generalizarse esta operación demodo que permita generar un conjunto a partir de un conjunto (finito o infinito) deconjuntos cualesquiera. Es decir, dado un conjunto C de conjuntos podemos hacerla intersección de todos los elementos de C, es decir,

⊃X= {z: para todo X∈C, z∈X}. X ∈C


33/200

C o m i s i ó n S


33

Como es evidente, este conjunto está integrado exclusivamente por aquelloselementos que pertenecen a todos los conjuntos que pertenecen a C.

Ejemplos:

A={1,2,3} B={6,5,2} A∩B={2}

A={∅} A∩∅=∅C={{1,2},{3,1},{2,3,1,4},{5,4,1}} ⊃X={1} X ∈C

Sean A y B conjuntos, la operación denominada unión —se nota A∪B— con-siste, intuitivamente hablando, en «agrupar» todos los elementos que pertenecen almenos a uno de los dos conjuntos en cuestión. Es decir, A∪B={x:x∈A o x∈B}.

Ejemplo:

Sean A={1,2} y B={1,3,4}, A∪B={1,2,3,4}. Representada gráficamente la ope-ración unión luciría así:

A B

A∪B

Esta operación, tal como la hemos estudiado hasta aquí, genera un conjunto apartir de dos conjuntos. Puede generalizarse la misma de modo que permita generarun conjunto a partir de un conjunto (finito o infinito) de conjuntos cualesquiera. Esdecir, dado un conjunto C de conjuntos podemos hacer la unión de todos los ele-mentos de C, esto es,

⊃X= {z: para algún X∈C, z∈X}. Como es obvio, los

X ∈C

elementos que integran este conjunto son exclusivamente aquellos que pertenecen

a algún conjunto perteneciente a C.Ejemplos:

A={1,2,3} B={6,5,2} A∪B={1,2,3,5,6}

A={∅} A∪∅={∅}

C={{1,2},{3,1},{2,3,1,4},{5,4,1}}⊃

X= {1,2,3,4,5} X ∈C

Sean A y B conjuntos, la operación denominada diferencia —se denota A-B—

consiste, intuitivamente hablando, en «agrupar» los elementos que pertenecen alconjunto A pero no pertenecen al conjunto B. Es decir,


34/200


34

A-B={x:x∈A y x∉B}.

Ejemplo:

Sean A={1, 2, 3} y B= {1,3} , A - B={2}.Gráficamente representada la operación dierencia luciría así:

A B

A − B

Sean A, B conjuntos tales que A⊆B. Se denomina complemento de A respecto a B al conjunto B - A. Cuando se asume que todos los conjuntos de que se está hablan-do son subconjuntos de un cierto conjunto «universo» (se le suele notar U) se habladel complemento de un conjunto A —se denota A o también A’— para reerirse ala dierencia entre ese conjunto universo U y A. Es decir, para reerirse al conjuntoconormado por todos los elementos de U que no están en A. Este complementorelativo a U puede representarse gráficamente así –donde el sector sombreado re-presenta los elementos que están «uera» de A y pertenecen a U:

A

A

Aunque el interés —como se dijo— no es estudiar la teoría de conjuntos por símisma sino más bien como lenguaje, eventualmente será necesario apelar a algunos

resultados muy básicos de ella. Por esta razón (y para amiliarizar al lector con losconceptos hasta aquí introducidos) puede resultar útil probar algunas proposicio-nes sobre estas operaciones estudiadas.

Proposiciones

Sean A, B, C conjuntos. Entonces,a. A⊆A;

b. ∅⊆A;c. A∩B=B∩A, A∪B=B∪A;

d. A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C), A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C).


35/200

C o m i s i ó n S


35

Prueba. Las partes (a) y (b) se dejan al lector.

c. Si x∈A∩B, entonces, por definición de intersección, x∈A y x∈B, es decir,x∈B y x∈A i.e. x∈B∩A. Luego A∩B⊆B∩A. Un argumento análogo permiteprobar B∩A⊆A∩B. Luego, A∩B=B∩A.Si x∈A∪B, entonces, por definición de unión, x∈A o x∈B, es decir, x∈B o

x∈A i.e. x∈B∪A. Por lo tanto, A∪B⊆B∪A. Un argumento análogo permiteprobar que B∪A⊆A∪B. Luego A∪B=B∪A.

d. Si x∈A∪(B∩C), entonces, por definición, x∈A o x∈B∩C. Supongamos quex∈A, entonces x∈A o x∈B i.e. x∈A∪B. Por argumento análogo x∈A∪C.Luego x∈(A∪B)∩(A∪C). Supongamos que x∈B∩C, entonces, por defini-ción, x∈B y x∈C. Luego, como x∈B, x∈A∪B y como x∈C, x∈A∪C. Deaquí se deduce que x∈(A∪B)∩(A∪C). Por lo tanto, si x∈A∪(B∩C) entoncesx∈(A∪B)∩(A∪C) i.e. A∪(B∩C)⊆(A∪B)∩(A∪C).

Si x∈(A∪B)∩(A∪C), entonces x∈A∪B y x∈A∪C. Si x∈A, entonces ob-viamente x∈A∪(B∩C). Si x∉A, como x∈A∪B y x∈A∪C, entonces x∈B yx∈C i.e. x∈B∩C y luego x∈A∪(B∩C). Por lo tanto, si x∈(A∪B)∩(A∪C),entonces x∈A∪(B∩C), es decir, (A∪B)∩(A∪C)⊆A∪(B∩C). LuegoA∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C). La otra igualdad es dejada al lector.

Problemas y tareas

1. Caracterice por extensión el conjunto ℘(A) cuandoa. A={2}

b. A={2,3}c. A={∅,{2}}

2. Sea A={1,2}, B={3,1} y C es un conjunto cualquiera. Indique si los enuncia-dos que se listan a continuación son V (verdaderos), F (alsos) o I (indetermi-nados, en el sentido que, en base a la inormación de la que disponemos, nopodemos afirmar si son verdaderos o alsos):

Enunciados V/F/I

A∩B={1,2,3}A∩B⊆{5,6,1,7,9}

{1,2,3}⊂A∪B

A∪B⊂C

Si A⊂C y B⊂C entonces A∩B⊂C

A∪∅=A

C⊆A o A⊆C

A∩∅=A

A∩C⊆ B ∩C

3. Elabore un ejercicio similar al 2.


36/200


36

4. Demuestre (al modo de las pruebas dadas en las proposiciones de la p. 35) losenunciados siguientes:a. X∪∅=Xb. X∩X=∅

c. Si X⊆Y entonces X∪Y=Y

d. Si X∪Y=Y entonces X⊆Y5. Si observa los enunciados demostrados en 4, se advierte que si sustituimos

unión (intersección) por intersección (unión) los enunciados resultantes sonalsos. Proponga modificaciones a estos últimos a fin de obtener enunciadosverdaderos. Demuéstrelos.

6. Demuestre:a. X∩∅=∅

b. X∪X=U

c. Si X⊆Y entonces X∩Y=Xd. Si X∩Y=X entonces X⊆Y

Producto cartesiano. Relaciones

Como se estudió antes, A=B significa que A⊆B y B⊆A, es decir, para que dosconjuntos sean iguales es condición necesaria y suficiente que posean los mismoselementos. Luego si A={1,2,3,4} y B={2,1,4,3}, se tiene que A=B. Pero es ácil

advertir que, en el caso de A, la enumeración de sus elementos respeta el orden ha-bitual mientras esto no ocurre en B. Dada la importancia matemática que le corres-ponde a la noción de orden, parece razonable aspirar a que la teoría de conjuntosnos permita discriminar dierencias en el orden de los elementos. Es decir, ¿cómohacer para, asumiendo la caracterización de igualdad de arriba, capturar el orden delos elementos? Se enrentará el problema en el caso más simple: el par. La respuestaes luego ácilmente generalizable.

La solución —como cabría esperar— es construir un «conjunto especial» quenos permita reconstruir el orden. En el caso del par tal conjunto se denomina (en

orma no demasiado original): par ordenado . Si tomamos la noción de par ya definidaes obvio que el orden no es recogido i.e. {a,b}={b,a}. Se definirá par ordenado a, b—se nota y se leerá «el par ordenado a,b»— del modo siguiente:

={{a},{a,b}}.

Al elemento «a» se le denomina «primera proyección del par» y el elemento «b»se le denomina «segunda proyección del par». La idea intuitiva es que la intersecciónde los dos componentes arroja la primera proyección, la segunda es el elemento

restante. Esta no prueba, naturalmente, la corrección de la definición. ¿Qué exigi-ríamos para afirmar que tal definición captura lo que pretendíamos capturar con lamisma? Básicamente la siguiente:


37/200

C o m i s i ó n S


37

Proposición

= si y solamente si a=a’ y b=b’. Prueba: (⇒) Supongamos que =, probaremos que a=a’ y b=b’. Por

la suposición se tiene que {{a},{a,b}}={{a’},{a’,b’}}. Supongamos que a=b. Entonces{{a},{a,b}}={{a},{a}}={{a}}. Por suposición inicial, {{a}}={{a’},{a’,b’}}, es decir, a’=b’

y luego la igualdad puede escribirse así {{a}}={{a’}}. Y así {a}={a’} i.e. a=a’ y, comob=a’, b=b’. Supongamos ahora que a≠b. De aquí se deduce que a’≠b’ pues si nouera el caso resultaría que dos conjuntos iguales poseen número distinto de ele-mentos lo cual es absurdo. Luego, dado que {a} ≠ {a’,b’} —por argumento análogoal anterior— se tiene que {a}={a’} i.e. a=a’. Y, por argumento análogo al de arriba,{a,b}≠{a’} se tiene que {a,b}={a’,b’}. Como a=a’ y b’≠a’, b=b’. La parte (⇐) es dejadaal lector.

A partir de la noción de par ordenado puede obtenerse ácilmente —como sedijo— la de tríada ordenada, cuádrupla ordenada,…, n–tupla ordenada —donde n esun entero positivo. Por ejemplo, la noción de tríada ordenada puede ser definida así:

=.

Estas nociones permiten definir así un concepto que jugará un papel esencial ennuestro estudio: el concepto de relación (binaria, ternaria, …, n–aria).

Concentrémonos en un caso básico: la relación binaria; la generalización esdirecta. A los eectos de caracterizar el concepto de relación binaria, se definirápreviamente el concepto de producto cartesiano . La idea intuitiva del producto car-

tesiano de A por B —se nota AxB— es simple: tomar el conjunto de todos los pa-res ordenados tales que la primera proyección pertenece al conjunto A y la segundaproyección pertenece al conjunto B. Más ormalmente:

AxB={:x∈A e y∈B}.

Ejemplo:

Sea A={1,2} y B={3,4}, AxB={,,,}.Un diagrama sagital de este último ejemplo puede ayudar a intuir la peculiaridad

de esta estructura —donde las flechas «salen» de las primeras proyecciones y «lle-gan» a las segundas respectivas—:

1

2

3

4

Ahora estamos en condiciones de definir relaciones binarias. Simplemente se de-fine una relación de A en B como un subconjunto de AxB. Es decir, R es relación


38/200


38

de A en B si y solo si R⊆AxB. El dominio de R —se nota Dom R— es el conjuntode las primeras proyecciones de los pares que pertenecen a R y el rango de R —senota Ran R— es el conjunto de las segundas proyecciones de los pares que pertene-cen a R. Más ormalmente, Dom R={x: existe al menos un y∈B tal que ∈ R} yRan R={y: existe al menos un x∈A tal que ∈ R}. Se denomina campo de R —se

nota Cam R— al conjunto de los elementos que pertenecen al dominio o al rangode R, es decir, Cam R=Dom R∪Ran R.Ejemplo: A, B son los conjuntos del ejemplo anterior y R={,},

Dom R={1,2}, Ran R={4}, Cam R={1,2,4}.

Así como se puede generalizar la noción de par ordenado, puede hacerse lo pro-pio con las nociones de producto cartesiano (para dos conjuntos) y relación binaria.En particular, dado un conjunto A, podemos hacer el «producto» de n veces A, esdecir, AxAx…xA n veces o, en una notación más cómoda e igualmente intuitiva, An.Así, en general, hablaremos de una relación R sobre A de aridad n cuando R⊆An.Es decir, una relación de aridad n está conormada por n–tuplas ordenadas de ele-mentos de A. Luego, por ejemplo, una relación ternaria (i.e. de aridad 3) en A sepuede definir simplemente como un subconjunto de A3.

El lector seguramente advierte cómo es posible definir relaciones específicasde aridad ternaria, cuaternaria,…, n-aria. Es importante notar que, de acuerdo a lacaracterización de arriba, ∅ y AxB son relaciones.

Es usual definir la relación inversa a una relación R dada —se nota R–1 — del

modo siguiente: ∈ R–1

si ∈ R.Ejemplos de relaciones:

Sea A={a,b,c}, relaciones binarias en A son:1. {,,,}2. {, , , }

Relaciones binarias en son:

3. {: x,y∈ y x


39/200

C o m i s i ó n S


39

Relaciones de equivalencia. Particiones

Las relaciones pueden exhibir diversas propiedades de interés. Por ejemplo, de-finamos una relación de en —donde denota los números naturales— delmodo siguiente:

Igu={:m,n∈ y m=n}.Como es obvio solo pertenecen a Igu los pares de naturales tales que la primera

y segunda proyección son iguales. Obsérvese que para todo x∈ , ∈ Igu. Poresto podemos decir que Igu es una relación reflexiva.

Expresado en orma general, una relación R en A se dice que es reflexiva si ysolamente si para todo x∈A, ∈ R. La idea básica de esta propiedad podríarepresentarse así:

a

b

c

Adviértase asimismo que Igu posee otra interesante propiedad: si ∈ Igu entonces (trivialmente) ∈ Igu. Por ello podemos decir que Igu es simétrica.

Expresado en términos generales, una relación R en A se dice que es simétrica

si y solamente si, para elementos x e y de A, si ∈ R entonces ∈ R. El dia-grama de una relación simétrica lucirá más o menos así:

1 3

2 4

Finalmente obsérvese que Igu goza de la siguiente propiedad: si ∈ Igu y∈ Igu, entonces ∈ Igu. Por ello diremos que Igu es transitiva.

Expresado de modo general, una relación R en A se dice que es transitiva si ysolamente si, para elementos x,y,z de A, si ∈R y ∈ R, entonces ∈ R.El rasgo undamental de una relación transitiva puede representarse así:

a

b

c


40/200


40

Las relaciones que —como Igu— gozan de las tres propiedades antedichas,es decir, son reflexivas, simétricas y transitivas se dice que son relaciones de equi-valencia. Cada elemento x del Dom R —cuando R es de equivalencia— permitedefinir el conjunto denominado clase de equivalencia de x módulo R: el conjunto detodos los objetos que se encuentran relacionados con x por R. Este conjunto puede

notarse así: [x]R. Escrito en términos de esta notación, la caracterización de arribapuede lucir así: [x]R={y: ∈ R}.Pueden orecerse obviamente otros casos de relación de equivalencia. Por ejem-

plo, sea T un conjunto de personas, sea E ⊆TxT la relación definida así:

{: x,y∈T y x tiene la misma edad que y}.

Es claro que E es una relación reflexiva, simétrica y transitiva i.e. E es deequivalencia.

Sea Es el conjunto ormado por todas las palabras del idioma español admitidaspor la Real Academia. Sea PI⊆ Esx Es la relación definida así:

{: x,y∈ Es y x tiene el mismo número de letras que y}.

Es ácil ver que PI es una relación de equivalencia.Un concepto que es útil introducir ahora, por su estrecha conexión con estas

ideas, es el de partición. Se dice que el conjunto P es una partición del conjunto Asi P es un conjunto de subconjuntos de A tal que: a) cada conjunto es no vacío, b)para dos elementos cualesquiera de A su intersección es vacía y c) la unión de todos

los elementos de P es A. Más ormalmente expresado, P es una partición de A siP⊆℘(A) y cumple las condiciones siguientes:

a. Para todo X∈P, X≠∅;b. Dados dos elementos cualesquiera (distintos) X,Y∈P , X∩Y=∅;c.⊃

X=A. X ∈P

¿Cuál es la relación entre este concepto nuevo y el estudio de las relaciones deequivalencia? Se puede enunciar la misma así: toda relación de equivalencia R en A

permite definir una partición de A y toda partición de A determina una relación deequivalencia en A. Estudiemos en detalle la situación.

En primer término ¿qué significa la afirmación «toda R de equivalencia en A per-mite definir una partición de A»? La idea es que puede definirse así: P={[x]R: x∈A},es decir, el conjunto de todas las clases de equivalencia módulo R. Pero ¿es P unapartición de A? Obviamente P⊆℘(A). Debe probarse que P satisace las condicionesa, b y c de la definición de partición anteriormente expuesta. En cada clase móduloR hay por lo menos un elemento, el representante de la clase, por lo tanto el punto a

es trivial.Dados elementos cualesquiera (distinto

Seoane J Logica Argumento

Documents

Transcript of Seoane J Logica Argumento