Señales en Espacios Vectoriales

El concepto de espacio vectorial de señales es una herramienta muy útil en las comunicaciones digitales:Un modulador digital sólo genera señales pertenecientes a un conjunto finito (el alfabeto de señales). Las señales se pueden sumar y multiplicar por escalares.

Un demodulador tiene que distinguir, entre las señales que le llega, cual es la señal que con más probabilidad se mandó (“la más cercana”) → idea de proximidad o distancia entre señales.A un demodulador sólo le interesan las señales parecidas a las que envió el modulador: concepto de producto escalar entre señales, proyecciones y subespacios de señal

Las señales sm(t) que genera el modulador se representan como puntos o vectores en un espacio vectorial: diagrama conocido como constelación de la modulación. - La constelación de una modulación es una representación muy útil para analizar las propiedades de una técnica de modulación digital. Ahora se va a introducir el concepto general de espacio vectorial de señales, que luego se relacionará con las señales utilizadas por un modulador digital.El conjunto de señales reales o complejas es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales o el de los complejos, respectivamente.

- Existe la suma de señales, que cumple las propiedades conmutativa, asociativa, la existencia de señal neutra ( la señal 0(t) ) y la señal opuesta (-s(t)).

- Existe la multiplicación de señales por escalares, con las propiedades asociativa, distributivas y elemento unitario.- Por tanto, una señal s(t) se puede denotar como un vector para enfatizar su pertenencia a un espacio vectorial:

Una señal es de energía finita si la siguiente integral existe y es finita:

- Las señales del alfabeto de señales del modulador digital (ya sean en banda base o paso banda) tienen duración T, y por tanto son de energía finita (suponiendo que su amplitud está acotada).

Definiciones:

- Sobre las señales de energía finita se puede definir un producto escalar, con lo que un espacio vectorial de señales de energía finita se convierte en un espacio euclídeo.

- Con la norma inducida por el producto escalar se tiene el concepto de tamaño de la señal.

- Con la métrica inducida por la norma, el espacio adquiere la estructura de espacio métrico → concepto de distancia entre señales

- Nota: si las señales valen cero fuera del intervalo [0,T], como en el caso de los moduladores digitales, las integrales entre -∞ y +∞ se reducen al intervalo [0,T].

D) Ortogonalización de Gram-Schmidt: transformación de un conjunto de señales linealmente independientes en un conjunto ortonormal

- Todo conjunto de L señales ortogonales es un conjunto de señales linealmente independientes, Pero un conjunto de L señales linealmente independiente puede que no sea un conjunto ortonormal.En este caso, se puede conseguir otro conjunto que así lo sea mediante el algoritmo de Ortogonalización de Gram-Schmidt

Constelación de Señales