Semana 7 - Carta de Smith

Mg. Flix R. Pucuhuayla Revatta

TEMA

Carta de Smith

Unidad de Aprendizaje 4

Antenas enlace satelital

SISTEMAS DE MICROONDAS Y

VIA SATELITE

SEMANA 7

Mg. Flix Pucuhuayla Revatta

La Carta de Smith

Se aplica a lneas de transmisin c/s prdidas.

Considere el coeficiente de reflexin en la carga L, para

una lnea cualquiera:

irj

L

L

LL je

ZZ

ZZL

0

0

Como L 1

La C.S. consiste en la grfica de la impedancia o admitancia normalizada en el plano definido por .

Todos los valores de L estn circunscritos al crculo unitario (

radio=1). Mg. Flix Pucuhuayla Revatta

La Carta de Smith

Para un punto cualquiera de la lnea de transmisin, ubicado a una distancia d de la carga:

djdL

dLd

Leee 222

Definiendo la impedancia normalizada en este punto se tiene:

dL

dL

d

d

e

e

Z

Zz

2

2

0 1

1

1

1

Para el caso d=0 ( Z = ZL)

jxrZ

jXR

Z

Zz LL

L

LL

00 1

1


La Carta de Smith

O bien:

ir

L

LL j

Z

Z

1

1

Combinando estas dos ltimas ecuaciones se obtiene:

2222

1

1

ir

irr

222

1

2

ir

ix


Arreglando estas dos ltimas ecuaciones, se tiene:

22

2

1

1

1

rr

rir

(*)

22

2 111

xxir

(**)

Ecuacin que representa una familia de crculos que decriben el lugar geomtrico de resistencia constante.

La Carta de Smith

Radio Centro


i

r

Obs: A lo largo del eje real de , r varia desde 0 .

La Carta de Smith

(*)

r1

1

r

r

1


Grafica

de crculos

de resistencia

constante

en el plano

complejo

para

distintos

radios

La Carta de Smith

i

r

r =1 r =0.5

r =2 r =0

(*)

Crculo unitario


Considerando ahora la segunda ecuacin (**):

22

2

1

1

1

rr

rir

22

2 111

xxir

(*)

(**)

Ecuacin que representa una familia de crculos que decriben el lugar geomtrico de reactancia constante.

Radio

La Carta de Smith

Centro

x

1,1


r

i

La Carta de Smith

(**)

x

1

x

1,1

Obs: Con - < x <


La Carta de Smith

La superposicin de estas dos familias de

crculos da origen a

La Carta de Smith


La Carta de Smith

i

r

r =1 r =0.5

r =2 r =0

x

1,1


Resistencias (conductancias)

constantes

Hacia el Generador

Hacia la Carga

Circuito abierto (Z=)

Corto Circuito (Z=0 )

Crculo unitario

(r=1/g=1)

Reactancias (suceptancias)

constantes

Crculo r=0


La Carta de Smith

Adaptacin de impedancias.

Cuando una lnea de Transmisin es terminada en una impedancia distinta de su impedancia caracterstica:

Se originan reflexiones que se traducen en ondas estacionarias indeseadas.

En el caso general de posible desadaptacin, se considera:

ZG Z0 y ZL Z0.

Es necesario ubicar elementos adaptadores de impedancia en ambos extremos de la lnea.


La Carta de Smith

Malla

de

Adapt.

Malla

de

Adapt.

ZG

ZL VG

Z0 ,

ZG Z0

ZL Z0

donde:

ZG Z0 Z0 ZL Z*G Z0 Z0 Z

*L


La Carta de Smith

Elementos de Adaptacin de impedancias.

Diversos son los dispositivos que pueden conformar las mallas de adaptacin de impedancia, por ejemplo:

- Transformador /4

- Stubs

- Mallas , T y L

Secciones de lneas

Elementos concentrados

Obs: Cada uno de estos elementos se utiliza

segn la aplicacin y el tipo de desadaptacin.


La Carta de Smith

Transformador /4.

Se utiliza principalmente si ZL es resistiva pura.

Consiste en un trozo de cable coaxial (lnea de Tx.) de longitud /4, localizada a una distancia d de la carga.

Z0 ZL

d

ZT

/4

zt


La Carta de Smith

Si ZL es carga resistiva pura:

Se utiliza un Transformador de /4 entre Z0 y ZL:

i) d = 0 LT ZZZ 0ii)

Si ZL es carga compleja:

Se utiliza un Transformador de /4 a una distancia

d (dada por la C.S.) y

tT ZZZ 0;

tt zZZ 0

Obs: Normalmente, para cargas complejas

se emplean los elementos restantes.


La Carta de Smith

Stub Simple.

Consiste en ubicar un elemento de lnea de Tx. en algn punto P de la lnea, a cierta distancia d de la carga,

como muestra la siguiente figura:

ZL Z0

d

P


La Carta de Smith

Este elemento (seccin) debe proveer una reactancia (suceptancia) tal que anule la reactancia (suceptancia)

vista en dicho punto P.

Estas secciones pueden ser terminadas en c.c. o c.a.

La conexin es como sigue:

Z0 ZL

P

P

d

yL yd

l

ys

y1

1


La Carta de Smith

Dado que la conexin del stub es paralelo, se trabaja con admitancias.

El stub debe ubicarse a una distancia d de la carga, donde:

jbyd 1

esto es:

De esta forma el valor de la suceptancia que marca el stub, para producir la adaptacin en P- P debe ser

jbys

dyj

djy

Y

Yy

L

Ldd

tg1

tg

0

(*)


La Carta de Smith

As, entonces en P- P

O bien

El valor de , lo determina la longitud l del stub segn:

jbys

111 y

011 YY 011 ZZ

ljySCs

cot ljyOCs

tg (**)


La Carta de Smith

Procedimiento de adaptacin usando C.S.

Dado que resolver las ecuaciones anteriores (*) y (**) resulta complicado, se utiliza un mtodo expedito y rpido

empleando la Carta de Smith.

1 La impedancia de carga se lleva a admitancia y se

ubica en la C.S.

Procedimiento

0Z

Zz LL

L

Lz

y1


yL

Admitancia normalizada


La Carta de Smith

2 Se traza el crculo de la ROEV constante para yL.

Procedimiento


centro


yL

ROEV cte


La Carta de Smith

3 Se va desde yL en el crculo de ROEV, en direccin al

generador hasta interceptar con g=1.

Procedimiento



ROEV cte


Crculo unitario

(r=1/g=1)

A

B yL


La Carta de Smith

Procedimiento


4 Se obtiene la distancia d, desde yL hasta el punto A.

3 Se va desde yL el crculo de ROEV, en direccin al




Crculo unitario

(r=1/g=1)

A

B yL

d


La Carta de Smith

3 Se va desde yL el crculo de ROEV, en direccin al


Procedimiento


5 Del punto A se lee yd = gd+jbd ; gd=1

El stub entonces deber sustraer la suceptancia jbd,

al conectarse en paralelo en dicho punto.

Debe proveer una suceptancia de

valor -jbd

4 Se obtiene la distancia d, desde yL hasta el punto A.



A

B

yd= gd+jbd

yL

A

jbd


La Carta de Smith

Procedimiento

6 Se grafica ys = -jbd



A

yd= gd+jbd

yL B B

ys = -jbd

A

jbd


La Carta de Smith

Procedimiento


7 La interseccin de ys con el crculo r =0 da el puntoD .



A

B

yd= gd+jbd

yL

Crculo r=0

B

ys = -jbd D


La Carta de Smith

Procedimiento


7 La interseccin de ys con el crculo r =0 d el punto P.

8 La determinacin del largo del stub ls, depender si este

es

un stub en c-c o c-a. Suponiendo que es del primer tipo,

entonces

su largo, en trminos de , ser el arco desde ZL=0, hasta el

punto

P. (en este caso se ha supuesto as). Por ejemplo: Si el stub termina en un corto circuito se debe venir desde ZS = 0.



A

B

yd= gd+jbd

yL

Crculo r=0

B

ys = -jbd D

ZS =0

lS


La Carta de Smith

El diseo del stub se enfrenta como una lnea de transmisin cualquiera terminada en un c.c. o c.a.

De esta forma, la admitancia resultante, despues de ubicar el stub, en el punto P- P es:

Lnea adaptada

Por tanto,

111 y


La Carta de Smith

Stub Doble.

A veces la adaptacin con un nico stub es complicada, debido a que no siempre es posible tener acceso al punto en

que este debe ser colocado.

La solucin a este problema es utilizar dos stub en paralelos, separados a una distancia x fija,como muestra

la figura:

ZL Z0 Stub 1 Stub 2

x

Obs: x

generalmente

es /8, 3(/8)

o 5(/8).


La Carta de Smith

ZL Z0

Stub 1 Stub 2

n(/8)

El stub ms cercano a la carga, ubicado a una distancia d1 prefijada, es utilizado para ajustar la

susceptancia de manera de caer en el crculo unitario g=1, desplazado algn mltiplo de /8

(hacia la carga).

d1


La Carta de Smith

De esta forma, cuando se coloque el segundo stub, a una distancia n/8 del primero, la admitancia normalizada en este

punto tendr una conductancia unitaria. Este segundo stub

sustraer la susceptancia que hay en dicho punto.

Stub 1: permite estar en cualquier punto de crculo unitario.

Stub 2: permite llegar a colocarnos en

el centro de la C.S.

Se tendr resuelto el problema.


La Carta de Smith


ZL Z0

S1 S2

n(/8)

d1

Esquema general de conexin:

yL yd1 l1

yS1

y1

1

yd2 l2

yS2

y2

2


La Carta de Smith

Procedimiento

1 Se debe identificar yL y trazar el crculo de ROEV

constante.

Determinacin de Stub 1


ROEV cte


yL


La Carta de Smith

Procedimiento


constante.

2 Dibujar el crculo g=1, desplazado n/8 en

direccin de la carga.

Obs: En el ejemplo 3/8.

Determinacin de Stub 1


ROEV cte


yL

2/8

Crculo unitario desplazado en

3/8

Crculo unitario

(r=1/g=1) /8

3/8


La Carta de Smith

Procedimiento


constante.

2 Dibujar el cculo g=1, desplazado n/8 en direccin

de la carga.


3 Ir desde yL a travs de ROEV constante, en sentido

del generador, una distancia d1 conocida.

Stub 1


ROEV cte


yL


3/8

d1

A


La Carta de Smith

Procedimiento


constante.

2 Dibujar el cculo g=1, desplazado n/8 en direccin

de la carga.


3 Ir desde yL a travs de ROEV constante, en sentido

del generador, una distancia d1 conocida.

4 Se obtiene yd1= gd1+ jbd1

Y se dibuja gd1 en la C.S.

Stub 1


ROEV cte

yL


3/8

d1

yd1= gd1+jbd1

gd1

A


La Carta de Smith

Procedimiento

5 A partir de yd1 , moverse hacia el generador a travs

de gd1 hasta interceptar el crculo unitario desplazado.


ROEV cte

yL


3/8

d1

yd1= gd1 + jbd1

gd1


La Carta de Smith

Procedimiento



y y11= gd1- jb11

6 De esta forma se obtiene

y11= gd1 -jb11


ROEV cte

yL

d1

yd1= gd1+ jbd1

gd1

y11= gd1+jb11 y11= gd1 - jb11

y11= gd1 - jb11


La Carta de Smith

Procedimiento



y

6 De esta forma se obtiene

y11= gd1 - jb11

7 Luego, se obtiene yS1 despejando:

y11= gd1- jb11

y11 = yd1+yS1 yS1 = y11 - yd1

yS1 = gd1-jb11 - gd1-jbd1

yS1 = -j (b11+bd1)

yS1 = - jbS1 bS1


La Carta de Smith

Procedimiento

8 Se grafica yS1 en la C. S.


ROEV cte

yL

d1

gd1

B

yS1 = - jbS1

yd1= gd1+ jbd1

y11= gd1 - jb11

y11= gd1 -jb11


La Carta de Smith

Procedimiento


9 Se traza una recta desde el centro hasta el punto en

que yS1 intercepta el crculo r = 0, obtenindose as el

punto D.


ROEV cte

yL

d1

gd1

B

yS1 = jbS1

y11= gd1 jb11

yd1= gd1 jbd1

y11= gd1 jb11 D


La Carta de Smith

Procedimiento




punto D.

10 Desde punto D, movindose hacia la carga hasta la

terminacin del stub, se obtiene el largo del stub 1 (l1),.

Por ejemplo: Si el stub1 termina en un corto circuito se debe ir hasta ZS1 = 0.


ROEV cte

yL

d1

gd1

B

yS1 = jbS1 D

y11= gd1 jb11

yd1= gd1 jbd1

y11= gd1 jb11

l1


La Carta de Smith

Procedimiento

1 Se regresa el crculo unitario a su origen y se

identifica y11 .

Stub 2


yL y11

yS1 = jbS1


La Carta de Smith

Procedimiento


identifica y11.

Stub 2

2 Dibujar la ROEV constante para y11.


yL y11

ROEV cte para y11

y11 y11


La Carta de Smith

Procedimiento


identifica y11.

Stub 2


3 Moverse desde y11 hacia el generador por la ROEV

constante, hasta interceptar el crculo unitario,

obtenindose yd2= 1+ jbd2


ROEV cte para y11

yL y11

yd2= 1+ jbd2


La Carta de Smith

Procedimiento


identifica y11.

Stub 2


3 Moverse desde y11 hacia el generador por la ROEV

constante, hasta interceptar el crculo unitario,

obtenindose yd2= 1+ jbd2

4 Luego, se obtiene yS2 despejando:

y22 = yd2+yS2 =1


La Carta de Smith

Procedimiento

yS2 = y22 - yd2

yS2 = 1 - 1-jbd2

yS2 = - j bd2

yS2 = - jbd2

5 Se grafica yS2 en la C.S.


yL y11

yd2= 1+ jbd2

jbd2

yS2= -jbd2


La Carta de Smith

Procedimiento

yS2 = y22 - yd2

yS2 = 1 - 1-jbd2

yS2 = - j bd2

yS2 = -jbd2

5 Se grafica yS2 en la C.S.



punto H.


yL y11

yd2= 1+ jbd2

jbd2

yS2= -jbd2 H


La Carta de Smith

Procedimiento

7 Desde H, movindose hacia la carga hasta la

terminacin del stub, se obtiene el largo del stub 2 (l2).

Por ejemplo: Si el stub2 termina en un circuito abierto se debe ir hasta ZS2 = .


yL y11

yd2= 1+jbd2

jbd2

yS2= -jbd2 H

ZS2 =

l2 Mg. Flix Pucuhuayla Revatta

La Carta de Smith

Malla L.

Pasabajos:

Pasa altos:

Obs: El Q de estas mallas es determinado

por la relacin Z0 y RL.


La Carta de Smith


Es el caso ms simple y se trabaja superponiendo la carta de impedancia y de admitancia simultneamente.

Su procedimiento de adaptacin depende de la forma (serial/paralelo) en que el elemento se conecta a

la carga.

Conexin serie.

-jx2

jx1

ZL LLLL xjrz

Z

Z

0


La Carta de Smith

Al agregar un elemento en serie a ZL, implica

Trabajar con la carta de impedancia

Desplazarse por el crculo de resistencia cte rL.

Como el elemento siguiente se conecta en paralelo, y sabiendo que su efecto slo ser sobre la susceptancia

Es necesario situarse antes sobre el crculo de conductancia g =1.

Se debe dibujar simultneamente g =1 y r =1.


La Carta de Smith

Conexin paralela.

-jx1

jx2

ZL

Se procede en forma anloga al caso anterior, excepto que :

Ahora se agrega primero un elemento en paralelo.

El primer desplazamiento es sobre el crculo de g = cte., hasta interceptar el crculo g = 1


La Carta de Smith

Malla T.

Esta malla impone como primer elemento uno en serie lo que implica desplazarse por un crculo r = cte.

Como existen dos elementos ms a agregar, se dan infinitas posibilidades de adaptacin.

Un parmetro que restringe el n de soluciones es el Q de la malla.


La Carta de Smith

Malla .

Obs: Las mallas T y permiten controlar el Q.


GRACIAS


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