72

CAPITULO 4

AYUDAS GRAFICAS CARTA DE SMITH Y APLICACIONES

Existen varios métodos de ayudas gráficas para el diseño, acople y solución de

problemas en líneas de transmisión, que han ido evolucionando con el tiempo.

Kernell en 1914, publicó una carta que contenía los valores de funciones

hiperbólicas y trigonométricas en el rango de la variable compleja o del Neper-

Radian, la cual es aún usada para bajas frecuencias. Sin embargo, para pequeñas

longitudes de onda y bajas pérdidas son complicadas de usar, por lo cual se recurrió

a otras ayudas gráficas como la carta de Smith diseñada en 1940 por Philips Smith.

La carta de Smith se dibuja sobre el plano de coordenadas polares lineales del

coeficiente de reflexión tensión ρ = |ρ| e jθ o sobre las coordenadas rectangulares de

la parte real e imaginaria de ρ.

En las cartas comerciales se pueden encontrar diferentes escalas para

determinar los parámetros involucrados en el análisis de líneas de transmisión, ver

figura 4.1. En la misma se puede encontrar:

- Una escala circular en grados que indica la fase del coeficiente de reflexión θ.

- Una escala circular en longitudes de onda (λ), indicando los valores de la misma,

en sentido hacia el generador o hacia la carga.

- Dos escalas lineales, situadas en la parte inferior derecha, que indican la

magnitud del coeficiente de reflexión de voltaje o de potencia (|ρv| ο |ρp|).y

pérdidas en dB por retorno y reflexión.

73

- Dos escalas situadas en el la parte inferior derecha, que indican pérdidas por

atenuación de la línea (α) lineal y en dB, en sentido hacia la carga o hacia en

generador y ROE lineal y en dB.

Figura 4.1. Carta de Smith.

74

4.1. Ecuaciones para construir la carta de Smith.

La carta está construida sobre el circulo del coeficiente de reflexión ρ =1, para el

análisis se considerará un impedancia cualquiera, representada como

Z = R + j X

En la carta de Smith la impedancia está normalizada a la impedancia

característica Zo.

Pero además se tiene

Sustituyendo por la expresión del coeficiente de reflexión dada en el capítulo 3

por 3.59, se tiene

Y de 4.2, se tiene además

Pero debido a que el coeficiente de reflexión es un número complejo, dado por

La expresión 4.5 se puede escribir como

nn jxrZo

Z +=

)1(

1

)(1

z

z

z

z

zz

zz

eV

eVeV

eV

ZoeVeV

Zo

eVeV

I

VZ

γ

γ

γ

γ

γγ

γγ

−+

−

−+

−

−−+

−−+

−

+=

−

+==

ρρ

−+=

1

1ZoZ

ρρ

−+=+

1

1nn jxr

21 ρρρ j+=

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

75

Manipulando la expresión del lado derecho de la igualdad, se pueden separar

sus partes real e imaginaria y compararlas con rn y xn, y así formar la familia de

circunferencias que componen la carta de Smith.

Multiplicando por la conjugada

Operando, se tiene

Desarrollando la ecuación 4.8, la cual corresponde a la familia de círculos de rn

Agrupando términos de 4.10

Completando cuadrados y operando:

21

21

1

1

ρρρρ

j

jjxr nn −−

++=+

22

211

22

22

1

21

21

21

21

21

21

1

1*

1

1

ρρρρρρ

ρρρρ

ρρρρ

++−+−−=

+−+−

−−++ j

j

j

j

j

22

211

22

21

21

1

ρρρρρ++−

−−=nr 22

211

2

21

2

ρρρρ

++−= j

xny

22

21

22

211 12 ρρρρρ −−=++− nnnn rrrr

( ) ( ) 01121 22

211 =++++−− nnnn rrrr ρρρ

n

n

n

n

r

r

r

r

+−=

+−+

1

1

12 1

22

21 ρρρ

2

22

2

1 1

1

1

+=+

+−

nn

n

rr

r ρρ

(4.7)

(4.8) (4.9)

(4.10)

(4.11)

(4.12)

(4.13)

76

La ecuación 4.13 corresponde a la familia de circunferencias que forman los

círculos reales rn de la carta de Smith.

La tabla 4.1 muestra los valores de cada parámetro de la ecuación 4.13 para

construir la familia de circunferencias de rn. En al figura 4.2 aparecen las

circunferencias de rn .

ρ1 ρ2 rn Radio Centro

0 0 0 1 (0,0)

1/3 0 ½ 2/3 (1/3,0)

½ 0 1 ½ (1/2,0)

2/3 0 2 1/3 (2/3,0)

1 0 ∞ 0 (1,0)

Análogamente se procede para xn, obteniéndose la siguiente ecuación

La ecuación 4.14 corresponde a la familia de circunferencias que forman los

círculos imaginarios xn de la carta de Smith.

( )22

22

21

111

=

−+−

nn xxρρ

+0,

1:

n

n

r

rC

+=

nrR

1

1y radio con centro

1 1/2 -1 ρ1

j ρ2

con centro

nxC

1,1:

=

nxR

1y radio

(4.14)

Tabla 4.1 Valores para construir los círculos rn Figura 4.2 Círculos rn

77

La tabla 4.2 muestra los valores de cada parámetro de la ecuación 4.14 para

construir la familia de circunferencias de xn. En al figura 4.3 aparecen las

circunferencias de xn .

ρ1 ρ2 xn Radio Centro

1 0 ∞ 0 (1,0)

1 ±1/2 ±2 ±1/2 (1,1/2)

1 ±1 ±1 ±1 (1,1)

1 ±2 ±1/2 ±2 (1,2)

1 ∞ 0 ∞ (1, ∞)

La carta de Smith se forma con la intersección de todas estas familias de

circunferencias encerradas en el círculo de ρ= 1. La carta completa fue mostrada

en la figura 4.1.

Otro parámetro que puede ser determinado a través de la carta de Smith, es la

relación de onda estacionaria ROE, la cual está definida como

Debido a esta relación podemos trazar en al carta círculos concéntricos con

centro (1,0), los cuales serán tangentes a los círculos de rn, y justamente estos

1 1/2 -1 ρ1

j ρ2

Xn=2

Xn=1

Xn=-1

Xn=-2

ρρ

−+

==1

1

Vmin

VmaxROE

Tabla 4.2 Valores para construir los círculos xn Figura 4.3 Círculos xn

78

puntos de tangencia corresponderán a valores de ROE. Gráficamente en la figura

4.4, se observa esta relación.

Ejemplo 4.1. Una línea de transmisión de 50 Ω está terminada en una impedancia de carga

de 30 + j 40Ω. Calcular el coeficiente de reflexión ρ en la carga, ROE y la impedancia de

entrada a 0.5λ de la carga, empleando la carta de Smith.

SOLUUCION:

El primer paso a realizar es la ubicación de la impedancia de carga en la carta. Comose

sabe los valores sobre la carta de Smith están normalizados con respecto a la impedancia

de la línea, por lo tanto; cualquier valor de impedancia que se desee ubicar en ella debe ser

dividido por Zo- De esta manera

En la figura 4.1.1 se muestra la ubicación de la carga, denotada por el punto A.

Circulo de ROE

ρ

ρ = 1

0

Circulo de ROE

ρ = 1

Vmin=1 - |ρ|

Vmax=1 + |ρ|

rn = ROE

Figura 4.4 Relación entre los círculos de ROE y los círculos de ρρρρ.

8.06.050

40

50

30jj

Zo

Z +=+=

79

Figura 4.1.1 Ubicación del punto A para el problema 4.1.

Para determinar el coeficiente de reflexión, se traza un radio vector desde el centro de la carta hasta

cortar con la circunferencia más interna, cuya escala está en grados, pasando por el punto A; aquí se

denota el punto B, el cual corresponde a la fase del coeficiente de reflexión.

A

80

Posteriormente para hallar la magnitud del mismo, se toma la distancia desde el centro de la carta hasta

el punto A, ubicando la misma en la escala inferior derecha, la cual corresponde a la magnitud del

coeficiente de reflexión, de izquierda a derecha (punto C). La figura 4.1.2, ilustra la magnitud y fase

del coeficiente de reflexión con los puntos B y C.

A

B

C

Figura 4.1.2 Ubicación de los puntos B y C para el problema 4.1.

81

El valor del coeficiente de reflexión es;

Para determinar el ROE, se toma la distancia desde el centro de la circunferencia hasta el punto A y se

traza una circunferencia, con centro en el centro de la carta, luego el punto de tangencia entre esta

circunferencia y los círculos de rn, corresponderá al valor de ROE (punto D)

Figura 4.1.3 Ubicación del punto D para el problema 4.1.

A

B

C

C

D

°∠= 905.0ρ

82

El valor del ROE es; 3≈ROE

Para determinar la impedancia de entrada a 0.5λ de la carga, se avanza desde el punto B hacia el

generador, en la escala de las longitudes de onda (escala circular más externa) la cantidad de 0.15λ , y

sobre el círculo de ROE constante estará ubicada la impedancia de entrada (punto en la figura 4.1.4) .

Esta impedancia corresponde a; Ω−= 9.06.2 jZent , el cual denormalizando es;

Ω−= 45130 jZent

A

B

C

C

D

Figura 4.1.4 Ubicación del punto D para el problema 4.1.

83

4.2. Acopladores de Impedancia.

Para resolver el problema de reflexión y eliminar la onda estacionaria en las

líneas de transmisión, se emplean elementos conectados en puntos adecuados de

la línea llamados acopladores. Aquí se describirán los acopladores en serie y en

paralelo.

4.1.1.- Acopladores en serie:

Los acopladores en serie corresponden a una sección de línea de transmisión

colocada entre la línea y la carga, con una impedancia característica Zo, a una

distancia tal, que elimine la onda reflejada, como se muestra en la figura 45.

Figura 4.5. Acoplador en serie con λλλλ/4.

Para conocer el valor de la impedancia, se sustituye la longitud de la sección en

la ecuación general de impedancia Z(z), asumiendo que la línea no tiene pérdidas.

Zl

Zo´

Z(z) Vg

de 3.89;

con lo cual

,)(djZlTanZo

djZoTanZlZozZ

ββ

++=

4

λ=⇒ d24

.4

2 πλπλβ ==d

2

2)( π

π

jZlTanZo

jZoTanZlZozZ

+

+=⇒

84

Pero Zo=Zo’, y corresponde a la impedancia característica del tramo acoplador

λ/4. Luego:

Donde:

ZL: es la impedancia de carga

ZO´: es la impedancia característica del tramo λ/4.

Z(z): impedancia de entrada al acoplador

OBS: la ecuación anterior es válida para cualquier terminación, pero se aplica

generalmente para ZL reales por la dificultad de construir líneas de transmisión con

impedancias características complejas.

Ejemplo 4.2. Se tiene una línea de transmisión con una impedancia característica de 50Ω

terminada en una carga resistiva pura de 100Ω. Diseñe un acoplador de λ/4 para eliminar la

onda estacionaria.

SOLUCIÓN:

Luego:

100Ω

Zo´

50Ω V

(4.16)

Zl

ZoZozZ

Zl

ZoZozZTan

2

)()(2

=⇒=⇒∞→⇒π

lZzZZo ).(´=⇒

Ω===⇒ 1,70100.50).(´ ZlzZZo

85

Ejemplo 4.3. Se tiene una antena cuya impedancia es Z= 150 - j75 Ω. Alimentada por una

línea de transmisión de 50 Ω. Si el valor de ROE supera los límites prácticos conocidos por

usted, determinar las características de un acoplador en serie para eliminar el problema de

reflexión. Indique también la distancia, desde la carga, más apropiada para colocarlo. Para

el cálculo analítico emplear los resultados obtenidos en el problema propuesto 3.5 del

capítulo 3, en los cuales se obtiene que

SOLUCION:

Este problema puede ser resuelto analíticamente o por medio de la carta de Smith. Para

efectos didácticos se hará de las dos maneras.

Analíticamente:

Primero se calculará el ROE, para saber si supera el valor mínimo conocido en la práctica, el

cual corresponde a 1.2.

De 3.64, se puede obtener una expresión del coeficiente de reflexión, para posteriormente

con su magnitud, calcular el valor de ROE, a través de 3.75, así;

Luego;

Debido a que ROE supera a 1.2, se debe calcular el tramo acoplador que eliminará la

reflexión.

y mínR

ZROE O=

OZ

RROE

máx=

75200

75100

5075150

5075150

j

j

j

j

ZZ

ZZ

OL

OLL −

−=+−−−=

+−=ρ

°−∠= 12.1858.0Lρ⇒

76.358.01

58.01

)1(

)1(=

−+=

−+

=ρρ

ROE

86

Una de las características del tramo acoplador λ/4, es que invierte totalmente el valor de la

energía de la entrada o la salida, es decir; si en la entrada hay un máximo, en la saluda

existirá un mínimo y viceversa. Aprovechando esta característica se conectará el tramo

entre un máximo y un mínimo de tensión, haciendo que la salida coincida con el mínimo de

tensión más próximo a la carga, como se puede ver en la figura 4.3.1.

Figura 4..3.1. Ejemplo 4.3.1 para acoplador λλλλ/4.

Luego, se debe calcular la distancia (d) a la cual se colocará el acoplador, y la impedancia

caracteística del tramo λ/4. De acuerdo a 4.16, la impedancia del tramo acoplador será

La impedancia de entrada corresponde a Zo=50 Ω y la impedancia de carga ZL’’, se debe

calcular asumiendo que en la salida del tramo existe un mínimo de tensión. Luego;

Por lo tanto;

Para conocer la posición del tramo, se debe ubicar el mínimo de tensión, esto es; buscar el

punto el vector de la tensión incidente y el vector reflejado formen 180°. Luego

180°-18.2°=161.8°,

100Ω Ζο=50Ω V

Vmáx

Vmín

ZL

d

').(´ lZzZentZo=

mínR

ZROE O= Ω=== 29.13

76.3

50mín

ROE

ZR O⇒

Ω=×= 78.2529.1350´Zo

Ω= 26'Zo

87

lo cual corresponde a la longitud que deben recorrer los dos vectores, de esta manera cada

vector recorrerá

80.9°

lo que es equivalente en longitudes de onda a

Solución empleando la carta de Smith:

Primero se normaliza la impedancia de carga.

Ubicando esta impedancia en la carta de Smith,(punto A), en la figura 4.3.2 y trazando la

circunferencia con centro (0,1) y con radio OA, se lee ROE en el punto B.

Luego avanzando desde el punto A hacia los Vmín, en dirección hacia el generador y sobre

la escala de las longitudes de onda, se puede obtener la distancia, en longitudes de onda,

donde será colocado el acoplador. Esta distancia, ubicada en la figura 4.3.3, es

Para obtener el valor de la impedancia ZL’, se lee, sobre el círculo de ROE constante el valor

correspondiente de Rmín, el cual corresponde al punto de tangencia entre este círculo y los

círculos de rn (punto C). Este valor es:

Desnormalizando este valor;

Lo cual da un valor de Zo’;

λλπβ

d 224.02

9.809.80=

°=

°= λ d 224.0=⇒

Ω−=−== 5.1350

75

50

150jj

Zo

ZZn

8.3=ROE

λ d 227.0=

Ω= 26.0mínR

Ω= 13mínR

Ω≈Ω= 26 49.25'Zo

88

Figura 4.3.2 Ubicación del punto A y B para el problema 4.2.

C

B

89

4.1.2.- Acopladores en paralelo (stub):

Los acopladores en paralelo corresponden a una sección de línea de transmisión

colocada en un punto de la línea de transmisión principal en paralelo, con una

impedancia característica Zo, una longitud y una distancia tal, que elimine la onda

reflejada. Estos tramos se colocan con terminaciones en corto circuito o circuito

abierto. La figura 4.6 ilustra lo anterior:

Figura 4..6. Acoplador en paralelo simple o Stub simple.

Como se va a conectar en paralelo es mejor trabajar con admitancias.

De acuerdo a la ecuación de impedancia en cualquier punto de la línea y para

α=0, se tiene:

Si ZL corresponde a un cortocircuito ZL=0,

Para d<λ/2

YP=Yo+jB (sin stub)

YP=Y+Ys=Yo (con stub)

p

Zl

TERMINACION EN CORTOCIRCUITO O EN CIRCUITO

ABIERTO

++=

djZlTanZo

djZoTanZlZozZ

ββ

)(

djZotanzZcc β=)(

90

Luego:

Pero si Zl corresponde a un circuito abierto Zl = ∞,

Este valor es puramente imaginario, lo que indica que la admitancia de entrada de

las líneas de acople en paralelo o Stubs son suceptancias puras para longitudes

menores a λ/4. Para longitudes entre λ/4 y λ/2 estas suceptancias se convierten en

el recíproco, es decir;

De esta manera, si se localiza el punto Y= Go ± jB, al cual se le conecta la

admitancia Ys= -jB o la Ys= jB, según sea el caso, la admitancia total será:

YT=Ys+Y=Yo

Lo que indica que la línea esta acoplada en ese punto.

Para λ/2 <d<λ/4

Para d<λ/2

(4.17)

(4.18)

(4.19)

(4.20)

(4.21)

djYozYcc βcot)( −=

dZo

jzZca βcot1

)( −=

djYotanzYca β=)(

djYotanzYcc β=)(

djYozYca βcot)( −=

91

Ejemplo 4.3. Para el problema 4.2, diseñar un acoplador en paralelo (stub) simple, que

elimine el problema de reflexión en el sistema.

SOLUCION:

Empleando la carta de Smith, lo que desea es calcular el punto donde será colocado el

tramo acoplador y la longitud del mismo (ver figura 4.3.1).

Figura 4.3.1. Acoplador en paralelo (Stub) simple del ejemplo 4.3 .

Primero se normaliza la impedancia de carga.

Ubicando esta impedancia en la carta de Smith (punto A), en la figura 4.3.2 y trazando la

circunferencia con centro (0,1) y con radio OA, se lee ROE en el punto B.

Como el acoplador es paralelo, es más práctico trabajar con admitancias. De esta manera,

diametralmente opuesto al punto A (girando 180°) so bre el círculo de ROE constante, se

encuentra Yn, el cual se ubica en el punto C.

Luego se procede a ubicar el punto Yp, el cual debe cumplir con la característica

Ω−=−== 5.1350

75

50

150jj

Zo

ZZn

8.3=ROE

p

Zl

TERMINACION EN CORTOCIRCUITO O EN CIRCUITO

ABIERTO

mhos 13.026.0 jnY +=

92

Yn= 1 ± jbp

Para encontrar este punto, se avanza desde el punto C sobre el círculo de ROE constante, en dirección hacia el generador, hasta el círculo g=1, luego la distancia avanzada corresponderá a d, es decir; al punto donde será colocado el tramo acoplador. Observe que existen dos puntos de corte, lo cual indica la presencia de dos soluciones posibles de colocación del tramo. En la figura 4.3.3, se observa este punto denominado D1 y D2.

Figura 4.3.2. Ubicación de los puntos A, B y C, para el problema 4.3.

Figura 4.3.2. Ubicación de los puntos A, B y C, para el problema 4.3.

A

B Vm Vm

C

93

Estas distancias corresponden a: Luego las coordenadas del punto Yp , corresponden a : Lo anterior indica que los valores de Ys , que eliminarán las suceptancias, corresponden a:

λ d1 154.0= λ d2 302.0=

5.11 j+=p1Y 5.11 j−=p2Y

A

B Vm Vm

C

D1

D2

Figura 4.3.3. Ubicación de los puntos D1 y D2, para el problema 4.3.

d2

d1

94

5.1Ys1 j−= 5.1Ys2 j+=

Una vez encontradas las distancias posibles de colocación del tramo y los valores de Ys, se procede a calcular la longitud del stub. Para ello es necesario saber si la terminación será en cortocircuito o en circuito abierto. Para efectos didácticos, en este ejemplo, se realizará para los dos casos: - Tramo terminado en cortocircuito: en este caso se avanza desde el punto de las Ycc

(lado derecho de la carta), y en sentido hacia el generador, tantas longitudes de onda sean necesarias hasta llegar al punto E1 ó E2. Las distancias l1 y l2, se muestran en la figura 4.3.4.

Figura 4.3.3. Ubicación de los puntos D1 y D2, para el problema 4.3.

A B

V Vm

C

D1

D2

d1

d2

95

Estos valores corresponden a: - Tramo terminado en circuito abierto: en este caso se avanza desde el punto de las Yca (lado izquierdo de la carta), y en sentido hacia el generador, tantas longitudes de onda sean necesarias hasta llegar al punto D1 ó D2. Las distancias l1 y l2, se muestran en la figura 4.3.4. Estos valores corresponden a:

λ l1 157.0'= λ l2 343.0'=

Figura 4.3.4. Ubicación de los puntos D1 y D2 y las distancias l1 y l2, para el problema 4.3.

A

B Vm Vm

C

D1

D2

d1

d2

Ycc Yca

E1

E1

Desde Ycc l1

Desde Ycc l2

λ l1 407.0= λ l2 093.0=

96

- Tramo terminado en circuito abierto: en este caso se avanza desde el punto de las Yca

(lado izquierdo de la carta), y en sentido hacia el generador, tantas longitudes de onda

sean necesarias hasta llegar al punto E1 ó E2. Estos valores corresponden a:

λ 343.0'l2 = λ 157.0'l1 =

97

PROBLEMAS PROPUESTOS

4.1.- La razón de onda estacionaria de una línea de transmisión sin pérdidas de 300

Ω, terminada en una impedancia de carga desconocida es 2, y el mínimo de voltaje

más cercano está a una distancia de 0.3λ de la carga. Determine:

a.- El coeficiente de reflexión de la carga.

b.- La impedancia de carga desconocida.

c.- La impedancia de entrada a 0.45λ de la carga.

4.2.- Utilizar la carta de Smith para convertir las siguientes impedancias en

admitancias:

a.- Zl= 120 + j 150 Ω

b.- Zl = 100 - j75 Ω

c.- Zl = 30 – j 10 Ω

4.3.- La impedancia característica de una línea de transmisión sin pérdidas es 75 Ω.

Hallar la impedancia de entrada de esta línea a 200 MHz, si tiene:

a.- 1 m de longitud y está terminada en circuito abierto.

b.- 0.8 m de longitud y está terminada en cortocircuito.

c.- Determine las admintancias de entrada de a y b.

4.4.- Para una sistema de transmisión cuya impedancia característica es 50 Ω e

impedancia de carga igual a 80 – j 120 Ω, Determinar:

a.- Coeficiente de reflexión en la carga y el ROE.

b.- El primer máximo y el primer mínimo de voltaje.

c.- La impedancia de entrada a 0.15λ de la carga.

d.- Si la carga se sustituye por un valor desconocido, determinar el mismo si se

conoce el valor de un voltaje mínimo a 0.35λ de la carga.

4.5.- Se tiene una carga resistiva pura de 75 Ω, que debe alimentarse por medio de

una línea de transmisión de 50 Ω. Para eliminar la onda estacionaria producida por

el desacople de impedancias, diseñe un acoplador en serie de longitud λ/4..

98

4.6.- Se desea acoplar una línea cuya Zo=50Ω, con una Zl=50+j150 Ω por medio de

una tamo de un cuarto de longitud de onda. Indicar las características del tramo a

colocar para eliminar la reflexión producida, si la frecuencia de operación es

100KHz.

4.7.- Una línea de transmisión sin pérdidas tiene una impedancia de carga

desconocida y una impedancia Zo=75Ω. Sin embargo se sabe que la misma

produce un coeficiente de reflexión ρ= 0.5 + j0.1. Determine los parámetros de la

sección acopladora en serie, de un cuarto de longitud de onda, que se debe colocar

para eliminar la reflexión.

4.8.- Se tiene una línea de transmisión con una impedancia característica Zo=50Ω,

la cual debe alimentar a un arreglo de dos antenas, cuyas impedancias se muestran

en la figura:

Figura 4..7. Figura problema 8.

Indicar las especificaciones de un acoplador λ/4 que elimine la reflexión.

4.9.- En las mediciones efectuadas en una línea de transmisión sin pérdidas de

50Ω, indican que los mínimos consecutivos de voltaje están separados 6 cm.. Se

desea adaptar la impedancia de carga ZL = 75 + j100 Ω de la línea con un brazo en

cortocircuito. Determinar:

Zl1=30+j40 Ω

Zl2=50+j100 Ω

Zo’=75Ω

Zo’=75Ω

Zo

99

a.- La posición del brazo más próxima a la carga.

b.- La menor longitud requerida del brazo

c.- La razón de onda estacionaria en la línea, entre el brazo y la carga.

d.- La razón de onda estacionaria en la línea, entre el brazo y la fuente.

4.10.- También se puede adaptar una impedancia de carga a una línea de

transmisión usando un brazo colocado en serie con la carga en la posición

adecuada, cuya longitud no sea necesariamente un cuarto de longitud de onda.

Suponga que ZL= 25 + j25 Ω, Zo= 50 Ω, Zo’= 35 Ω. Calcule d y l, para la adaptación,

según a figura adjunta.

Figura 4..8. Figura problema 10.

ZL Zo

Zo’ l d