Carta de Smith-1
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Universidad “Fermín Toro” Escuela de ingeniería de telecomunicaciones Cátedra Microondas Núcleo Araure Carta de Smith
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Cátedra Microondas
Núcleo Araure
Carta de Smith
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Introducción
La carta de Smith fue desarrollada en 1939 por Phillip Hagar Smith enlos laboratorios del teléfono de Bell. Debido a que Smith tenía elproblema de emparejar la línea de la transmisión a la antena; una
componente, que él consideraba, emparejó la línea al espacio. Envista de la frecuencia y de lo pesado que era debido al tamaño yresultante de la antena, las medidas no eran simples. Por lo quedecidio crear un aparato capaz de realizar todo esto, de manera deahorrar tiempo y darle simplicidad a los calculos.
En su trabajo, Phill realizo el diagrama desarrollando una serie depasos. Primero fue la creación de la carta rectangular pero esta fuelimitada por la gama de datos que podría acomodar. En 1936 fuecuando él desarrolló un nuevo diagrama que eliminó la mayoría de las
dificultades. La nueva carta era una forma coordinada polar especialen la cual todos los valores de los componentes de la impedanciapodrían ser acomodados.
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Carta de Smith
La carta de Smith es un tipo de nomograma, usado en ingeniería eléctrica,
que muestra cómo varía la impedancia compleja de una línea de
transmisión a lo largo de su longitud. Se usa frecuentemente para
simplificar la adaptación de la impedancia de una línea de transmisión consu carga.
La carta de Smith es un diagrama polar especial que contiene círculos de
resistencia constante, círculos de reactancia constante, círculos de relación
de onda estacionaria constante y curvas radiales que representan los
lugares geométricos de desfase en una línea de valor constante; se utiliza
en la resolución de problemas de guías de ondas y líneas de transmisión.
Fue inventada por Phillip Smith en 1939 mientras trabajaba para RCA. El
motivo que tenía Smith para hacer este diagrama era representar
gráficamente las relaciones matemáticas que se podían obtener con una
regla de cálculo.
La carta de Smith fue desarrollada en los Laboratorios Bell. Debido a losproblemas que tenía para calcular la adaptación de las antenas a causa desu gran tamaño, Smith decidió crear una carta para simplificar el trabajo.
Phillip persistió en su trabajo y el diagrama fue desarrollado gradualmentecon una serie de pasos. La primera carta rectangular fue limitada por lagama de datos que podría acomodar. En 1936 desarrolló un nuevodiagrama que eliminó la mayoría de las dificultades. La nueva carta era unaforma coordinada polar especial en la cual todos los valores de loscomponentes de la impedancia podrían ser acomodados.
Las curvas del cociente constante de la onda de la situación, de laatenuación constante y del coeficiente de reflexión constante eran todos loscírculos coaxiales con el centro del diagrama. Las escalas para estos valores
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no eran lineales, pero eran satisfactorias. Con el tiempo la gente que trabajaen este ámbito propuso las cartas para solucionar problemas de las líneasde transmisión.
Manejo de la carta de Smith
La carta de Smith es una herramienta gráfica usada para relacionar uncoeficiente de reflexión complejo con una impedancia compleja. Se puedeutilizar para una variedad de propósitos, incluyendo la determinación de laimpedancia, la adaptación de la impedancia, la optimización del ruido, laestabilidad y otros. La carta de Smith es una ingeniosa técnica gráfica quevirtualmente evita todas las operaciones con números complejos. Porejemplo, se puede determinar la impedancia de entrada a una línea detransmisión dando su longitud eléctrica y su impedancia de carga.
El resultado importante es el hecho de que el coeficiente de reflexión de
tensión y la impedancia de entrada a la línea normalizada en el mismopunto de la línea, están relacionados por la carta de Smith. En la parteexterior de la carta hay varias escalas. En la parte exterior de la carta estáuna escala llamada "ángulo del coeficiente de reflexión en grados", a partirde ésta se puede obtener directamente el valor del argumento delcoeficiente de reflexión.
Un par de escalas de suma importancia son las que relacionan la longitud dela línea de transmisión desde el inicio con el coeficiente de reflexión. Una deestas dos escalas está en el lado izquierdo de la carta de Smith y la otracorre en el sentido de las manecillas del reloj, ésta se denominawavelengths toward generator (longitudes de onda hacia el generador), lo
cual indica que si se utiliza esta escala se estará avanzando hacia elgenerador, hacia la entrada de la línea. La otra escala corre en sentidocontrario de las manecillas del reloj y se denomina wavelenghts toward load(longitudes de onda hacia la carga); esto indica que, si se utiliza esta escala,se estará avanzando hacia la carga o final de la línea.
En el fondo de la carta hay un conjunto de varias escalas, una de las cualesse denomina Reflection coeff. Vol (Coeficiente de reflexión del voltaje). Si semide la longitud del vector, trazado siempre desde el origen, se puedeutilizar esta escala para conocer la magnitud del coeficiente de reflexión delvoltaje.
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Teoría básica para la construcción de la carta de Smith
Recordemos la expresión del coeficiente de reflexión en la carga, L, enfunción de ésta, ZL, y de la impedancia característica de la línea, Z0:
(1)
Que se puede expresar en forma de módulo y fase |L|, L, o como partereal e imaginaria r,i.La impedancia de carga ZL, normalizada con respecto a la impedanciacaracterística de la línea Z0, también puede escribirse en sus partes real eimaginaria como:
(2)
Donde r y x son la resistencia y la reactancia normalizadas,respectivamente.A partir de (1) y (2) se pueden obtener las partes real e imaginaria de L:
(3)
Tomando las dos ecuaciones contenidas en (3) para las partes real eimaginaria y por eliminación de r o x, pueden obtenerse las siguientesecuaciones:
(4)
(5)Si representamos la ecuación (4) sobre el plano (r,i) para valores de rconstante, las gráficas obtenidas son círculos de radio 1/(1 + r) centrados
en el eje real en los puntos: r=r/(1+r),i=0. Los distintos valores de r danlugar a círculos de radio diferente con centro en distintas posiciones del ejereal. La figura 1 muestra, en línea continua, los casos r=0, 0.5, 1, 2. Todos
los círculos pasan por el punto (1,0). La ecuación (5), para valores de xconstante, también describe círculos de radio 1/|x| , centrados en r=1,
i=1/x. En la figura 1 se muestra, en línea discontinua, los casos x=0, ±0.5,±1, ±2. Nuevamente, todos los círculos pasan por el punto(1,0)
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Representación de impedancias normalizadas
La intersección de un círculo r y un círculo x define un punto que representauna impedancia normalizada: r+jx. Por ejemplo, el punto P de la figura 1 representa la impedancia normalizada 0.5+j, un cortocircuito L=-1 serepresenta en el punto (-1,0) y un circuito abiertoL=1 en el punto (1,0).
Representación de impedancias normalizadas
Si pensamos en la carta de Smith como una representación en polares, ladistancia de un punto al origen de coordenadas se corresponde con elmódulo del coeficiente de reflexión y el ángulo con respecto al eje real
positivo se corresponde con su fase:
(6)
(7)
La carta de Smith proporciona ambas escalas, tanto para la lectura delmódulo (en la parte inferior) como para la lectura de la fase (sobre el círculor=1).
Todas las impedancias que presenten el mismo módulo del coeficiente dereflexión se situarán sobre un círculo centrado en el origen. Por ejemplo, elpunto P (0.5,1) se corresponde con un coeficiente de reflexión 0.62 83º y en la figura 1 se observa el círculo que representa | |=0.62.
Obtención de la ROE
Si recordamos la expresión que relaciona la ROE con el coeficiente dereflexión:
(8)
Y la comparamos con la ecuación (2) vemos que la ROE coincide con el valor
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de la impedancia normalizada cuando la fase del coeficiente de reflexión escero, es decir, la intersección del círculo | |=cte con el eje real positivo.
Situación de los puntos Vmax y Vmin
Partiendo de la expresión de la onda de tensión en la línea en función delcoeficiente de reflexión:
(9)
Es fácil comprobar que los máximos se producirán cuando la fase delcoeficiente de reflexión sea cero y los mínimos cuando dicha fase sea .
Transformación de impedancias
Si nos desplazamos desde la carga hacia el generador, el coeficiente dereflexión en cualquier punto z de la línea viene dado, en función delcoeficiente de reflexión en la carga, por la expresión:
(10)
Un caso particular es el de las líneas sin pérdidas, donde la ecuación (10) sereduce a:
(11)
Por lo tanto, en una línea sin pérdidas, un desplazamiento z se traduce enun cambio de fase del coeficiente de reflexión, pero el módulo se mantiene
constante. Por ejemplo, un desplazamiento de z= /8 supone un incremento
de fase de + /2 sobre el círculo de módulo constante. Esto nos lleva a la obtención de un nuevo punto en la carta de Smith, que se corresponde conla impedancia vista desde ese punto.De esta forma, la transformación de impedancias producida a lo largo de lalínea puede deducirse observando los valores de r y x que se leen aldesplazarse sobre círculos centrados en la carta (espirales si hay pérdidas).La carta de Smith proporciona dos escalas adicionales sobre su perímetroen z/ (en longitudes de onda), una para los movimientos hacia el generador y otra para los movimientos hacia la carga.
Obtención de admitancias
Partiendo de la ecuación de la impedancia vista desde un punto z hacia lacarga ZL, en una línea sin pérdidas:
(12)
Si normalizamos y vemos el caso particular de z= /4:
(13)
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Obtenemos la admitancia de carga normalizada. Vemos pues como el
transformador /4 actúa como un inversor de impedancias. Un
desplazamiento de un cuarto de longitud de onda equivale a un cambio defase de radianes en el coeficiente de reflexión, por lo tanto el punto de la
admitancia está diametralmente opuesto al de la impedancia
correspondiente. También es posible emplear la carta de Smith como
diagrama de admitancias, muy útil para resolver problemas de conexiones
de líneas en paralelo (donde las admitancias se suman). Si se trabaja con
admitancias normalizadas las posiciones de cortocircuitos y circuitos
abiertos están invertidos respecto de la carta de impedancias y también se
invierte la posición de los lados capacitivo e inductivo.
Problemas sobre la carta de Smith (limitaciones)
Existen muchas características atractivas asociadas al uso de la carta deSmith. Entre ellas está su simplicidad, su facilidad de uso debido a queconvierte problemas matemáticos en un problema gráfico y la posibilidad deque todas las impedancias con parte real positiva se puedan representar enun solo trozo de papel. Sin embargo, existe una limitación importante de lacarta de Smith convencional, relacionada con la forma en la que se maneja
la mitad real negativa del dominio de impedancias. En el proceso deconversión de coordenadas que posiciona todo el dominio de resistenciaspositivas en un círculo manejable (la carta de Smith), la parte real negativase expande. Esto hace que dibujar impedancias con una parte real negativasea problemático. Adicionalmente, el punto de -50Ω se convierte en uncírculo con radio igual a infinito. Por lo tanto, el uso de impedanciasnegativas en la carta de Smith puede resultar incómodo. Un ejemplo de estoocurre cuando se investigan círculos de estabilidad para el diseño yestabilización de una etapa amplificadora de RF. El centro y el radio deestos círculos de estabilidad pueden llegar a hacer que los círculos seanextremadamente grandes comparados con el tamaño de la carta. Unejemplo de esto se puede ver en la figura.
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Ejemplo de círculo de estabilidad grande.Los programas de diseño asistido por ordenador que automáticamenteescalan el tamaño de la carta reducirían el rango del dominio de parte realpositiva a sólo unos pocos píxeles. Alternativamente, el centro del círculo deestabilidad y su circunferencia se dibujarían fuera de la parte visible de lacarta de Smith. Otras áreas del diseño de RF/microondas requieren elmanejo de resistencias negativas, como es el caso del diseño deosciladores, así como el diseño de filtros activos de microondas. En eldiseño de osciladores, un dispositivo activo es intencionadamenteinestabilizado mediante el uso de algún tipo de realimentación serie oparalelo. La resistencia negativa resultante se conecta a un circuito tanqueo a un circuito resonante. En el diseño de filtros activos, se crea unaresistencia negativa para tratar de compensar las resistencias parásitas delos componentes L y C. En ambos casos, una comprensión gráfica de cómo
las transformaciones de impedancia y la carga afectarían a las impedanciasnegativas vistas podría resultar muy útil. He descubierto que visualizar lacarta de Smith como una esfera 3-D en lugar de un círculo en dosdimensiones me ha permitido una mejor percepción de los problemas deadaptación siempre que intervienen impedancias negativas. En la siguientesección se presenta un método para, convenientemente, incorporar la mitadcorrespondiente a la parte real negativa del dominio de impedancias en unformato de carta de Smith extendida.Debe notarse que, a lo largo de este artículo, se considera una carta deSmith de impedancia 50Ω. Aunque no va a mostrarse, es también posibleproducir una carta de Smith esférica de admitancias o una carta híbridaimpedancia/admitancia para cualquier valor de impedancia característica.
Ejemplo de la Carta de Smith
Ejemplo: Se desea acoplar una línea de transmisión con 2 stubs en paralelo,
tal como se muestra en la gráfica. Determinar las longitudes l1 , l2 .
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Para que exista acoplamiento en b-b’ se necesita 1' __
=−bbY . Empezamos
desde la derecha y averiguamos'
__
aaY −
, que para lograr el acoplamiento
debe ser del tipo
1
__ __ __
) _ ('' STUBY stub sinaaY aaY +=−para que luego
11) _ ('' 2
__ __ __
=−+=+= jB jBY stub sinbbY bbY STUB
Ubicamos en la carta de Smith1.16.0
__
jY L −=
(punto A), con el mismo
giramos hacia el generador la distancia 0.096 y encontramos
286.027.0) _ (' __
j stub sinaaY −=−(punto B). Como
1
__
STUBY es imaginario puro,
estamos seguros que2
__
27.0' jBaaY ±=− , es decir, tenemos libertad de
recorrer el circulo 27.0 __
=G con libertad (el punto B puede ser movido en
ese circulo).
Por otra parte, para poder acoplar la línea de transmisión necesitamos que
2
__
1) _ (' jB stub sinbbY +=de tal forma que
2
__ __ __
) _ ('1' STUBY stub sinbbY bbY +==
Para conseguir que2
__
1) _ (' jB stub sinbbY +=, es necesario mover el círculo
1 __
=G una distancia de /8 que es la separación entre ambos Stubs.
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En la carta movemos el círculo 1 __
=G hacia la carga (90o). Una vez hecho
esto, desde el punto B giramos hacia el generador hasta interceptar con el
circulo 1 __
=G trasladado 90o.
Encontramos 2 puntos C’ y C. Cualquiera de ellos satisface nuestras
necesidades. Escogemos el más cercano C, por lo que el punto encontrado
es
318.027.0)1 _ ('' 1
__ __ __
jY stub sinaaY aaY STUB +=+=
Lo que implica que
)1 _ ('' __ __
1
__
stub sinaaY aaY Y STUB −=
= 0.27 + j0.318 - (0.27 - j0.286)
604.01
__
jY STUB =
Marcando esa porción se obtiene l1 = 0.336
Para obtener2
__ __ __
)2 _ ('' STUBY stub sinbbY bbY +=.
2) _ (' __
stub sinbbY se obtiene rotando el punto C con el nuevo aa’ una
distancia de /8 hacia el generador (punto D) (Notamos que aa’ = L ) .
Obviamente al rotar el punto D hacia el generador, nos encontraremos
sobre el círculo 1 __
=G , lo cual era nuestro deseo (punto D).
5.11)2 _ (' __
j stub sinbbY +=(Punto D) lo que obliga a que 5.12
__
jY STUB −= para
acoplamiento.
Con esta porción se obtiene:
l2 = (0.334 – 0.25)
l2 = 0.094
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Software referente a la solución de los problemas de lacarta de Smith
Smith Chart 0.10: Este programa permite encontrar el nivel óptimo entre
la impedancia de la antena y la admitancia, para mostrar su interacción
entre ellas en forma de carta Smith, donde se nos mostrará el nodo
radiante y la pérdida en estacionarias. El programa permite guardar la
carta creada y copiarla en el portapapeles de Windows.
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Diseños de acopladores de impedancia con el uso de la
carta de Smith
Acoplador direccional
Divisores de potencia y acopladores direccionales
Divisores de potencia y acopladores direccionales son dispositivos pasivosusados en el campo de la radio tecnología. Estos dispositivos acoplan partede la potencia transmitida a través de una línea de transmisión hacia otropuerto, a menudo usando dos líneas de transmisión dispuestas losuficientemente cerca para que la energía que circula por una de las líneasse acople a la otra.
Líneas de transmisión del acoplador
Como se muestra en la figura, un acoplador tiene 4 puertos: entrada, salida,acoplado y aislado. El término “línea principal” se refiere a la línea entre lospuertos 1 y 2. En algunos acopladores direccionales, la línea principal estádiseñada para operar en alta potencia (grandes conectores), mientras queel puerto acoplado puede usar un conector pequeño SMA. A menudo elpuerto aislado está conectado a una carga adaptada, interna o externa(normalmente 50 ohms). Debería tenerse en cuenta que el acopladordireccional, al ser un dispositivo linear, la notación de la Figura es arbitraria.Cualquier puerto puede ser la entrada, de este modo la salida sería elpuerto al que está conectada directamente la entrada, el puerto acopladoseria el puerto adyacente al de entrada, y el aislado seria el puerto endiagonal.
El puerto acoplado es usado para obtener la información (por ejemplofrecuencia y nivel de potencia) de la señal sin interrumpir el flujo deprincipal en el sistema (a excepción de la reducción de potencia – ver Figura2). Cuando la potencia del puerto 3 es la mitad de la de entrada (porejemplo 3 dB inferior a la entrada), la potencia en la línea de transmisiónprincipal está también 3 dB por debajo de la de entrada y es igual a lapotencia acoplada. Este tipo de acopladores son los llamados híbridos de 90grados, híbridos o acopladores 3 dB.
Las propiedades comunes deseadas para todos los acopladoresdireccionales son un ancho de banda amplio, alta directividad y una buenaimpedancia de adaptación en todos los puertos cuando los otros puertosestán conectados a cargas adaptadas. Estas características de los
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acopladores direccionales híbridos y no híbridos se explican por sí mismas.Otras características generales serán discutidas a continuación.
Conclusión
Se puede decir que la carta de Smith es una relación gráfica entre laimpedancia de entrada normalizada y el coeficiente de reflexión del voltajeen el mismo punto de la línea, y que utilizando la carta se evitan loslaboriosos cálculos con números complejos para conocer la impedancia deentrada a la línea o el coeficiente de reflexión, por lo que son de mucha
utilidad en el acoplamiento de las líneas de transmisión y en el cálculo delinverso de un número complejo.
Hoy en día, cuando los métodos numéricos de cálculo son de uso común, lacarta de Smith ha pasado de ser un método de cálculo a representar gráficae intuitivamente la curva de impedancia de los dispositivos en función de lafrecuencia. De un vistazo se puede apreciar la cercanía al origen de dichacurva. Tanto los programas de simulación como los instrumentos de medidapueden presentar los resultados en la carta de Smith.
Para finalizar podemos concluir que esta carta es una representación
gráfica directa, en el plano complejo, del coeficiente de reflexióncomplejo. Es una superficie de Riemann, en que el coeficiente dereflexión es cíclico, repitiéndose cada media longitud de onda a lolargo de la línea. El número de medias longitudes de onda se puederepresentar por un valor de reactancia. Puede ser utilizado comocalculadora de la impedancia o de la admitancia, simplemente dándola vuelta 180 grados (simetría con el origen).
El interior del círculo unidad representa el caso de reflexión de uncircuito pasivo (en el origen no hay reflexión y en el borde, ρ=1, lareflexión es completa), por lo que es la región de interés más
habitual. El movimiento a lo largo de la línea de transmisión sinpérdidas da lugar a un cambio del ángulo, y no del módulo o del radiode gamma. Así, los diagramas se pueden hacer fácil y rápidamente.
Muchas de las características más avanzadas de los circuitos demicroondas se pueden representar sobre la carta de Smith comocírculos, por ejemplo, las regiones de la figura de ruido y deestabilidad de los amplificadores. El "punto en el infinito" representael límite del aumento muy grande de la reflexión y, por lo tanto,nunca necesita ser considerado para los circuitos prácticos. Unaproyección simple del lugar geométrico de la impedancia (oadmitancia) en el diagrama sobre el eje real da una lectura directa
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del coeficiente de onda estacionaria (ROE o VSWR) a través de laescala inferior correspondiente.
