Carta de Smith y parámetros S

White Paper: Carta de Smith y parámetros S

1

PARÁMETROS S

&

CARTA DE SMITH

Javier De Castro Rivas

Luis Manuel González Morales

Luis Medina Bootello

Juan Jesús Pedrera Gómez

Eva Rodríguez Sánchez

Raquel Sánchez Quirós

Eliecer Varadé López

Alfredo Vales Gómez


2

ÍNDICE:

PARAMETROS S

1.‐Introducción

1.1.‐Líneas de transmisión

1.2.‐Red de microondas

2.‐Parámetros de dispersión

2.1.‐Definición

2.2.‐Significado físico

2.3.‐propiedades

3.‐Red de 2 puertos

3.1.‐Cálculo de los parámetros de dispersión

3.2.‐Ejemplos

CARTA DE SMITH 4.‐Definición

4.1.‐Representación de impedancias

5.‐Obtención del coeficiente de reflexión y ROE

6.‐Transformación de impedancias

7.‐Convirtiendo Impedancias en admitancias y viceversa


3

PARÁMETROS S 1. INTRODUCCIÓN.- 1.1 LINEAS DE TRANSMISION.- Una línea de transmisión constituye básicamente un sistema destinado a guiar o dirigir energía electromagnética. Las líneas de transmisión constituyen un elemento clave de cualquier sistema de telecomunicación en los que se ocupan de conducir la energía electromagnética entre otros bloquees del sistema. Los sistemas de telecomunicación utilizan diferentes tipos de líneas de transmisión según la banda en la que operen. 1.2 RED DE MICROONDAS.- Todo circuito integrado por elementos pasivos concentrados (resistencias, bobinas y condensadores), dispositivos activos (diodos y transistores) y líneas de transmisión. Las líneas de transmisión que conectan a un circuito de microondas al exterior se suelen llamar accesos o puertos, y para la caracterización del circuito se elige un plano de referencia en cada una de dichas líneas donde se definen unas magnitudes de tensión y corriente. Una posible caracterización de los circuitos de microondas es a través de las llamadas matrices de impedancias (Z) o admitancias (Y) cuyos elementos relacionan las magnitudes de tensión y corriente. No obstante a frecuencias de microondas, estas matrices presentan diversos que se evitan empleando otras matrices, matrices de dispersión(S), cuyos parámetros relacionan ondas de tensión incidentes y reflejadas. Estas ondas se definirán de Nuevo en los planos de referencia escogidos en los accesos del circuito bajo análisis. La matriz de dispersión (matriz scattering, matriz parámetros S) no relaciona la las citadas ondas de tensión incidente (Vi

+) y reflejada (Vi-), sino unas nuevas ondas de

tensión incidente (ai) y reflejada (bi) normalizadas, que se expresan en función de las anteriores como sigue:


4

Las ondas incidentes (ai) se dirigen en dirección entrante al circuito, mientras que las ondas reflejadas (bi) se propagan en dirección saliente del circuito. Por otra parte, el factor de reflexión en el acceso i-enésimo del circuito se relaciona con las nuevas ondas de tensión normalizadas a través de la siguiente expresión: 2. PARÁMETROS DE DISPERSIÓN.- 2.1 DEFINICIÓN.- Se considera una red de microondas conectada al exterior mediante N accesos o líneas de transmisión. Debe definirse un plano de referencia en el que se consideran las ondas de tensión normalizadas en ai (dirección entrante al circuito) y bi (en dirección saliente al circuito) así, la matriz de dispersión del circuito de microondas permitirá relacionar las citadas ondas de tensión normalizadas incidentes y reflejadas. En términos matemáticos: Donde se observa que b y a representan los vectores columna de dimensiones Nx1 cuyas componentes son, respectivamente, ondas salientes bi y entrantes ai del circuito bajo estudio, mientras que S designa a la matriz de parámetros de dispersión de dicho circuito, que será de tamaño NxN. Si nos fijamos en la fila j-ésima: De donde:

i

i

cii

cii

i

ii a

bZaZb

UU

=== +

−

ρ

NjNijijjj aSaSaSaSb +++++= ...........2211

)(0: ikaparai

jji

kab

S≠∀=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=


5

Se concluye que para obtener el parámetro de dispersión Sij es necesario que todos los accesos de la red se carguen con sus respectivas impedancias características a excepción del i-ésimo en el que se conectará un generador capaz de producir la onda incidente ai. Cuando un acceso de una red está cargado se dice que está terminado. Aunque los parámetros de dispersión se calculan bajo determinadas condiciones de carga una vez obtenidos permiten representar el comportamiento del circuito de microondas independientemente de las cargas que se conecten en los extremos de sus accesos. 2.2 SIGNIFICADO FISICO.- Bajo las condiciones de carga de la red anteriores el parámetro de dispersión se puede expresar del siguiente modo: De donde se concluye que es igual que el factor de reflexión. Si tomamos los módulos al cuadrado y se hace uso de las definiciones de potencia que transportan las ondas en los accesos de red se deduce que: La figura representa la ganancia en potencia del circuito. 2.3 PROPIEDADES.- Todo circuito de microondas descrito en términos de la matriz S cumple las siguientes propiedades: - Si el circuito es pasivo, no introduce ganancia, el módulo de todos los elementos de la matriz S es menor o igual que la unidad 1,

|Sij| |Sii| ≤ 1. - Si la red que describe la matriz es recíproca, es decir, no contiene elementos que funcionan de modo diferente en función del sentido de propagación tales

i

ci

i

ci

i

ikaparai

iii

ZU

ZU

abS

k

ρ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= +

−

≠∀= )(0:

+

−

==i

j

i

jji P

P

a

bS 2

22


6

como amplificadores, ferritas, trts polarizados, la matriz de parámetros S es simétrica o lo que es lo mismo, la matriz S es igual a su traspuesta.

Sji = Sij No debe confundirse la reciprocidad con la simetría física del circuito. Si la red posee simetría física respecto a un plano del circuito, se cumple que:

Sji = Sii -Si la red es pasiva y sin pérdidas, su matriz S en unitaria, la matriz inversa de S es igual a la matriz traspuesta conjugada que de forma abreviada. Al ser el circuito, pasivo y sin pérdidas, la potencia entrante es igual a la potencia saliente del circuito. 3. RED DE DOS PUERTOS.-

Una red de dos accesos es un circuito de microondas que se conecta al exterior mediante dos líneas de transmisión. A estas redes se las suele llamar cuadripolos.

3.1 CÁLCULO DE LOS PARÁMETROS DE DISPERSIÓN.-

Para calcular los elementos de la primera columna de la matriz de parámetros S de una red de dos accesos, S11 y S21, será necesario cargar el segundo de los accesos con su impedancia característica.

El significado de cada parámetro S es:

S11 es el coeficiente de reflexión a la entrada. Cantidad de onda que vuelve a la fuente. S12 es la ganancia directa.


7

11

111

01

111

2c

c

a ZZZZ

abS

+−

====

ρ

S21 es la ganancia inversa.

S22 es el coeficiente de reflexión a la salida. Cantidad de onda que vuelve a la carga.

Y vienen calculados de la siguiente manera:

Una vez calculados los parámetros S podemos utilizarlos para obtener otras características del circuito como pueden ser:

Ganancia (dB)

Aislamiento o ganancia inversa (dB)

Pérdidas de inserción (dB)

Coeficiente de reflexión a la

entrada

Pérdidas de retorno en la entrada (dB)

Coeficiente de reflexión a la

salida

Pérdidas de retorno en la salida (dB)

)1( 111

2

2

121 S

UU

ZZS

c

c +=

22

222

02

222

1c

c

a ZZZZ

abS

+−

====

ρ

)1( 222

1

1

212 S

UU

ZZS

c

c +=


8

3.2 EJERCICIOS DE EJEMPLO:

Ejercicio 1

Se pide encontrar la matriz de dispersión de un tramo de línea con impedancia característica Z, exponente lineal de propagación γ y longitud l cuyos dos accesos presentan una impedancia característica igual a la propia línea de transmisión:

La matriz de dispersión consta de 4 elementos aunque en este caso no hace falta calcularlos todos debido a las propiedades de la red.

La línea de transmisión es una red pasiva, lineal y con dieléctrico isótropo red recíproca por lo que 2112 SS = quedando la matriz de dispersión:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

11

21

21

1112 S

SSS

S

Para calcular los parámetros debemos cargar el segundo acceso de la red con

su impedancia característica cZ obteniendo la siguiente configuración:


9

La línea de transmisión real está terminada en una carga adaptada (impedancia de carga = impedancia característica), sabemos que la impedancia en cualquier plano de la línea es igual a su impedancia característica, por lo que en el plano de referencia R1 se ve una impedancia 1Z de valor:

cZZ =1

Sustituyendo el valor de 1Z en la definición del parámetro 11S obtenemos:

01

1111 =

+−

=+−

==cc

cc

c

c

ZZZZ

ZZZZS ρ

Para calcular )1( 111

2

2

121 S

UU

ZZS

c

c += , necesitamos la relación entre las tensiones en

los planos de referencia R1 y R2.

Dicha relación la obtenemos de expresar la evolución de la magnitud (U ) a lo largo de

la línea de transmisión real con impedancia característica cZ .

Sabemos que zz eUeUU γγ −−+ += donde las ondas de tensión incidente +U y reflejada −U están relacionadas entre sí por el factor de reflexión definido en el plano de carga de la línea (z=0):

0=+−

===

−

+

cl ZZcL

cLL ZZ

ZZUUρ Factor de reflexión =0

De acuerdo con esto obtenemos que zeUU γ−+= como corresponde a una línea de

transmisión terminada en una carga adaptada.

La tensión en el plano de referencia R2 ( 2U ) será por lo tanto:

+=== UzUU )0(2

La tensión en el plano de referencia R1 ( 1U ) será:

leUlzUU γ+=−== )(1

Conseguimos así la relación entre las dos tensiones:

ll e

eUU

UU γ

γ−

+

+

==1

2


10

Así obtenemos el parámetro 21S

ll

c

c eeSUU

ZZS γγ −− =+=+= )01()1( 11

1

2

2

121

Por lo tanto obtenemos finalmente la matriz de dispersión:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

− 00

11

21

21

1112

l

l

eeS

SSS

Sγ

γ

Ejercicio 2

Se piden los parámetros de dispersión de una impedancia de valor Z conectada en serie a dos accesos de impedancia característica cZ . La geometría de esta estructura es

la siguiente:

Como la red a caracterizar es de nuevo recíproca (pasiva, lineal y con dieléctrico isótropo), y además presenta simetría física respecto a sus dos accesos (de igual impedancia característica) sólo tenemos que calcular dos de los 4 parámetros:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

11

21

21

1112 S

SSS

S

Para el cálculo de los parámetros cargamos el segundo acceso de la red con su

impedancia característica cZ , obteniendo la siguiente configuración:


11

Dado que el segundo acceso está terminado (impedancia de carga=impedancia característica),

en el plano de referencia R2 tenemos impedancia de valor cZ .

Así la impedancia que se ve en dirección entrante al circuito en el plano R1 ( 1Z ), será la

conexión en serie de Z y cZ quedando:

cZZZ +=1

Sustituyendo este valor calculamos 11S :

ccc

cc

c

c

ZZZ

ZZZZZZ

ZZZZS

21

1111 +

=++−+

=+−

== ρ

Ahora buscamos calcular 21S

Para encontrar la relación 1

2

UU

nos fijamos en el divisor de tensión de nuestra configuración,

obtenemos:

c

c

c

c

ZZZ

UU

ZZZUU

+=⇒

+=

1

212

Sustituyendo los valores obtenidos de 11S y 1

2

UU

obtenemos 21S :

Teniendo en cuenta que las impedancias características en ambos accesos son

iguales( 1cZ = 2cZ )


12

c

c

cc

c

c

c

ZZZ

ZZZ

ZZZS

UU

ZZS

22)

21()1( 11

1

2

2

121 +

=+

++

=+=

Así la matriz de dispersión de la red se expresa como:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ZZ

ZZ

ZZSS

SS

S c

cc

222

1

11

21

21

1112

Ejercicio Propuesto:

Se piden los parámetros de dispersión de una admitancia de valor Y conectada en paralelo a dos accesos de impedancia característica cZ como puede observarse en la

siguiente estructura:


13

CARTA DE SMITH

4. DEFINICIÓN.‐

La carta de Smith es una herramienta gráfica que permite la obtención de diversos parámetros de las líneas de transmisión y la resolución de problemas de adaptación de impedancias, evitando las operaciones con números complejos que suelen implicar estos cálculos.

Desarrollada en 1939 por Phillip Hagar Smith en los Bell Telephone Laboratories, debido a los problemas que tenía para calcular la adaptación de las antenas debido a su gran tamaño, se trata de un diagrama polar especial que contiene círculos de resistencia constante, círculos de reactancia constante, círculos de relación de onda estacionaria constante y curvas radiales que representan los lugares geométricos de desfase en una línea de valor constante.

La carta de Smith se puede utilizar para una variedad de propósitos incluyendo la determinación de la impedancia, adaptación de la impedancia, optimización del ruido, la estabilidad, etc.

Por tratarse de una relación gráfica entre la impedancia de entrada normalizada y el coeficiente de reflexión del voltaje en el mismo punto de la línea, se pueden evitar los laboriosos cálculos con números complejos para conocer la impedancia de entrada a la línea o el coeficiente de reflexión, como veremos a continuación.


14

4.1 REPRESENTACIÓN DE IMPEDANCIAS.-

Si tenemos la siguiente línea de transmisión:

Donde:

ZL es la impedancia de la carga.

Zo es la impedancia de la línea

Recordemos la expresión del coeficiente de reflexión en la carga, Γ, en función de ésta, ZL, y de la impedancia característica de la línea, Z0:

que se puede expresar en forma de módulo y fase , o como parte real e

imaginaria

La impedancia de carga ZL, normalizada con respecto a la impedancia característica de la línea Z0, también puede escribirse en sus partes real e imaginaria como:

donde:

r es la resistencia normalizada

x es la reactancia normalizada


15

Por un lado, sobre el eje horizontal de la carta de Smith se encuentran las resistencias, en medio está el valor 1, hacia la izquierda este valor va disminuyendo hasta que en el extremo izquierdo vale 0 y hacia la derecha va creciendo hasta que en el extremo derecho vale infinito. Sobre cada uno de esos valores de resistencia se puede trazar un círculo que llega hasta el eje derecho, todo el círculo tiene el mismo valor de resistencia.

Por otro lado, la parte reactiva de la impedancia se busca sobre unos semicírculos que van desde el extremo derecho del círculo hasta algún punto del círculo, si es positivo hacia la parte superior del círculo y si es negativo hacia la parte inferior del círculo, como podemos ver en la figura:

La intersección de un círculo r y un círculo x define un punto que representa una impedancia normalizada: r+jx.


16

Por ejemplo:

El punto P de la figura 1 representa la impedancia normalizada 0.5+j

Un cortocircuito, cc, se representa en el punto (-1, 0)

Un circuito abierto, ca, en el punto (1, 0).

5.- OBTENCIÓN DEL COEFICIENTE DE REFLEXIÓN Y ROE.-

La distancia de este punto al origen de coordenadas se corresponde con el

módulo del coeficiente de reflexión y el ángulo con respecto al eje real positivo se corresponde con su fase, de manera que todas las impedancias que presenten el mismo módulo del coeficiente de reflexión se situarán sobre un círculo centrado en el origen.

A la hora de tomar estas medidas nos encontraremos con que en la parte exterior de la carta hay varias escalas. La más exterior es la escala "ángulo del coeficiente de reflexión en grados", de manera que a partir de ésta se puede obtener directamente el valor del argumento del coeficiente de reflexión.

Por ejemplo, el punto P(0.5, 1) se corresponde con un coeficiente de reflexión 0.62∠83º y en la figura se observa el círculo que representa 62.0=Γ.


17

Podremos obtener la razón de onda estacionaria (ROE) si recordamos la expresión que la relaciona con el coeficiente de reflexión:

Observando que la ROE coincide con el valor de la impedancia normalizada cuando la fase del coeficiente de reflexión es cero, es decir, la intersección del círculo con el eje real positivo.

6. TRANSFORMACIÓN DE IMPEDANCIAS.-

La transformación de impedancias producida a lo largo de la línea puede deducirse observando los valores de r y x que se leen al desplazarse sobre círculos centrados en la carta (espirales si hay pérdidas), ya que como sabemos, a medida que nos desplazamos por una línea el valor de impedancia en cada punto considerado será diferente (siempre y cuando la impedancia de carga no coincida con el valor de Zo).

La carta de Smith proporciona dos escalas adicionales sobre su perímetro en ∆z/λ (calibradas en longitudes de onda), una de ellas corre en el sentido de las manecillas del reloj, denominada de longitudes de onda hacia el generador, de manera que si se utiliza esta escala se estará avanzando hacia el generador, hacia la entrada de la línea.

La otra escala corre en sentido contrario de las manecillas del reloj y se denomina de longitudes de onda hacia la carga, indicando que si se utiliza esta escala se estará avanzando hacia la carga, hacia el final de la línea (círculo amarillo de la figura).

La escala angular en el borde tiene divisiones de 1/500 de una longitud de onda (0,72 grados) y la escala del coeficiente de reflexión se puede leer a una precisión de 0,02. Además, la carta es periódica con la longitud de onda, de periodicidad circular λ/ 2.

Nótese que si se realiza una rotación de 0,5 λ que corresponde a 360° en el gráfico se llega exactamente al mismo punto del gráfico lo que significa que cada 1/2 se repite la impedancia. Este fenómeno es muy útil pues si se corta la línea de alimentación de una antena en múltiplos de media onda, podemos efectuar mediciones directas en el lado del generador sin tener que transformarlas para averiguar el verdadero valor.


18

En una línea sin pérdidas, que se corresponde con la ecuación:

Un desplazamiento z’ se traduce en un cambio de fase del coeficiente de reflexión, pero el módulo se mantiene constante. Por ejemplo, un desplazamiento de z’=λ/8 supone un incremento de fase de +π/2 sobre el círculo de módulo constante.

En este sentido muy útil resultará el caso de un desplazamiento de un cuarto de longitud de onda equivale a un cambio de fase de π radianes en el coeficiente de reflexión, ya que el punto de la admitancia está diametralmente opuesto al de la impedancia correspondiente.

7. CONVIRTIENDO IMPEDANCIAS EN ADMITANCIAS Y VICEVERSA.‐

Una vez graficado el punto correspondiente a la Impedancia, basta trazar una línea que, partiendo desde él y pasando por el centro, intersecte al círculo de Gamma constante sobre el lado opuesto. En dicha intersección podremos leer directamente el valor de Conductancia y Susceptancia.


19

Otras aplicaciones de la carta de Smith son en el cálculo del inverso de un número complejo o el acoplamiento de las líneas de transmisión. Son tantas y tan variadas las posibilidades que brinda, que solo tratar de mencionarlas haría extender este documento mucho más allá de lo establecido.

Originalmente, la carta de Smith era una herramienta de diseño en papel. Más recientemente, las actividades de RF se han convertido casi únicamente en una cuestión de computadores. Sofisticadas herramientas de diseño asistido por ordenador (CAD) han permitido incrementar significativamente la complejidad de los problemas que pueden ser afrontados y el tiempo de diseño reducido. Sin embargo, el extendido uso de las herramientas de CAD no ha reducido para nada el uso de cartas de Smith. Los paquetes de software de diseño permiten que los resultados se muestren en gráficos con este formato. De la misma manera, los analizadores de redes más modernos también permiten visualizar resultados gráficamente en una carta de Smith.

Carta de Smith y parámetros S

Documents

Transcript of Carta de Smith y parámetros S