¿Cómo enseñar la varianza?

8 cms.

Aquí tenemos 9 rectángulos cuya altura es de 8 centímetros (y todos tienen la misma base).

¿Existe alguna variación respecto de su altura entre estos rectángulos?

¿Cuál es el promedio de la altura de estos rectángulos?

8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8

9=

72

9= 8

¿Cómo enseñar la varianza?

El quinto rectángulo y el octavo rectángulo en un acto de rebeldía cambiaron su altura. El quinto rectángulo, ahora de color rojo, mide 10 centímetros, y el octavo rectángulo, de color azul, mide 6 centímetros?

¿Cuál es el nuevo promedio de estos 9 rectángulos?

8 + 8 + 8 + 8 + 10 + 8 + 8 + 6 + 8

9=

72

9= 8

... ¡el mismo promedio! Pero... ¿ha habido variación?

8 cms.

10 cms

6 cms

¿Cómo enseñar la varianza?

El rectángulo rojo tiene +2 centímetros sobre el promedio, y el rectángulo azul tiene –2 centímetros bajo el promedio. Los otros rectángulos tienen cero diferencia respecto del promedio.

8 cms.

10 cms

6 cms

Si sumamos estas diferencias de la altura respecto del promedio, tenemos

0 + 0 + 0 + 0 + 2 + 0 + 0 – 2 + 0 = 0

Este valor nos parece indicar que ¡no ha habido variabilidad! Y sin embargo, ante nuestros ojos, sabemos que hay variación.

¿Cómo enseñar la varianza?

8 cms.

10 cms

6 cms

Una forma de eliminar los signos menos de aquellas diferencias que sean negativas, esto es de aquellos mediciones que estén bajo el promedio, es elevar al cuadrado todas las diferencias, y luego sumar...

02 + 02 + 02 + 02 + 22 + 02 + 02 + (– 2)2 + 02 = 8

Y este resultado repartirlo entre todos los rectángulos, es decir lo dividimos por el número de rectángulos que es 9

02 + 02 + 02 + 02 + 22 + 02 + 02 + (– 2)2 + 02 =9 9

8= 0,89

¿Cómo enseñar la varianza?

8 cms.

10 cms

6 cms

Se dice entonces que la varianza fue de 0,89

Observemos que las unidades involucradas en el cálculo de la varianza están al cuadrado. En rigor la varianza es de 0,89 centímetros cuadrados. De manera que se define

0,89 0,943=

La raíz cuadrada de la varianza se llama desviación estándar

¿Cómo enseñar la varianza?

8 cms.

10 cms

6 cms

Que la desviación estándar haya sido de 0,943 significa que en promedio la altura de los rectángulos variaron (ya sea aumentando, ya sea disminuyendo) en 0,943 centímetros.

Es claro que esta situación es “en promedio”, puesto que sabemos que los causantes de la variación fueron los rectángulos quinto y octavo. Esta variación hace repartir la “culpa” a todos los demás rectángulos que se “portaron bien”.

La desviación estándar mide la dispersión de los datos respecto del promedio

¿Cómo enseñar la varianza?

8 cms.10 cms

6 cms4 cms

8 cms.8 cms. 8 cms.7 cms.

8 cms.

¿Cuál es la varianza y la desviación estándar de las alturas de los rectángulos?

En primer lugar debemos calcular el promedio

8 + 4 + 8 + 8 + 10 + 8 + 7 + 6 + 8

9= 7,44

Luego debemos calcular la varianza

¿Cómo enseñar la varianza?

8 cms.10 cms

6 cms4 cms

8 cms. 8 cms. 8 cms.7 cms.

8 cms.

Promedio

7,44

0,56-3,44

0,56 0,56 2,56 0,56 -0,44 -1,44

0,56

0,562 + (-3,44)2 + 0,562 + 0,562 + 2,562 + 0,562 + (-0,44)2 + (-1,44)2 + 0,562

9

22,22249

=

= 2,469Este es el valor de la varianza

¿Cómo enseñar la varianza?10 cms

8 cms.6 cms

4 cms

8 cms. 8 cms. 8 cms.7 cms.

8 cms.

Promedio

7,44

Si la varianza fue de 2,469, entonces la desviación estándar es de...

2,469 1,57=Lo que significa que, en promedio, los rectángulos se desviaron más o menos (más arriba o más abajo) en 1,57 centímetros.

Para que el alumno aprenda la varianza necesariamente debe saber:

•Sumar

•Restar

•Multiplicar

•Dividir

•Potencia de orden 2

•Raíz cuadrada

Y es claro que esto no es suficiente (salvo que queramos que aprenda de memoria los cálculos). Necesitamos estimular su imaginación para que “vea” la variabilidad existente en la naturaleza.

Entregue una lista de fenómenos en que un mismo atributo tenga variabilidad si se mide este atributo a un número de individuos u objetos.

He aquí unos sencillos ejemplos:

•La altura de los estudiantes del curso.

•La nota obtenida en Lenguaje de los estudiantes del curso.

•El valor del dólar diario en pesos en el transcurso de una semana.

•El consumo mensual de agua potable durante 5 meses en la casa.

•El número de accidentes de tránsito diarios durante un mes en la ciudad.

•Las faltas de ortografía en el dictado de un pequeño texto que comete cada estudiante del curso.

Pida al estudiante que de ejemplos, de tal forma que pueda calcular el promedio, la varianza y la desviación estándar.