Semana 6

1

Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo

).(T.RCo220

90R

).(T.R360

180R

)(RT

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS Ciclo 2015-I

TRIGONOMETRÍA “Reducción al Primer Cuadrante” Lic. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C.

Definición:

Es el procedimiento mediante el cual se determinan las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo, en función de otro que sí lo sea.

R.T.( ) R.T.( )

: no es agudo : sí es agudo Reducir al primer cuadrante un ángulo significa encontrar los valores de las RT de cualquier ángulo en forma directa mediante reglas prácticas.

Casos:

I. Ángulos cuyas medidas están en

<90º ; 360º>:

).(T.RCo220

90R

).(T.R360

180R

)(RT

Por ejemplo; calculemos:

* 2

3º30Cos)30º90(Senº120Sen

)(

II. Ángulo cuya medida es mayor que 360º:

En este caso, se procede de la siguiente manera:

R.T. ( ) = R.T. ( ) ; donde 360º

q

Residuo

III. Ángulos de medida negativa: Se

procede de la siguiente manera:

Sen(-x) = -Senx Csc(-x) = -Cscx

Cos(-x) = Cosx Sec(-x) = Secx

Tan(-x) = - Tanx Cot(-x) = - Cotx

Por ejemplo, calculemos:

* 2

2º45Sen)º45(Sen

IV. Ángulos relacionados:

1.

TanyTanx

CosyCosx

SenySenx

180ºyx : Si

2.

TanyTanx

CosyCosx

SenySenx

360ºyx : Si

Por ejemplo, calculemos:

7

6Cos

7

5Cos

7

4Cos

7

3Cos

7

2Cos

7CosC

7

6Cos

7

5Cos

7

4Cos

7

4Cos

7

5Cos

7

6Cos C

Reduciendo, quedaría C = 0

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Si

3

Calcule: sen cosP

sec csc

15 92

927 1683

2 2

A) 3

16

B) 1

16

C) 1

16

D)3/16 E) 5

16

RESOLUCIÓN

sen 15 sen 15 sen sen

cos cos 92

csc sec

1683

2

927sec csc

2

Reemplazando:

Semana Nº 6

Lic. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C. Trigonometría.

2


sen cos sen cosP

1csc sen

sen cos

sen cos 2 2

reemplazando:

3

P sen cos

2 2

3 3

2 2

3 1 3

2 2 16

RPTA.: A

2. Reducir:

3 4 67 7 7 7

H cos cos cos cos

A) 0 B) 1 C) 2 D) ½ E) 3

RESOLUCIÓN 3 4 6

7 7 7 7H cos cos cos cos

3 3H cos cos cos cos

7 7 7 7

H cos7

3cos

7

3cos

7

cos

7

H = 0 RPTA.: A

PROBLEMA DE CLASE

1. Calcular:

osTér

CosCosCosCosR

min29

30

29...

30

3

30

2

30

a) 0 b) 1 c) - 1 d) 2 e) – 2

2. Simplificar:

)9(Ctg)7(Csc)5(Cos

2

9Sec

2

7Sen

2

5Tan

K

a) 0 b) - 1 c) 1 d) - 2 e) 2

3. Cuál es la relación que existe entre x e y.

2

89

10

2415

10

40 Cos

yxCtg

xTg

a) 2y = 3x b) y = 3x c) 2y – 3x = k

d) y = 3x + k e) 2y – 3x = 2k

4. Sabiendo que:

)sencos(2

77ctg

2

37Ksen

Entonces el valor de: M = |sen + csc| en

términos de K es: (k > 0)

A)2K B) 1/K C) 2/K D) 2

)1k( 2

E) k

)1k( 2

5. En un cuadrilátero convexo ABCD se cumple:

2

C

2

B

2

Asen

2

C

2

B

2

Acos)CBA(sen 22

Entonces el valor del ángulo D es:

A) 45º B) 60º C) 90º D) 135º E) 150º

6. Dado el siguiente intervalo:

2

3

2

Además:

5sencos

; 5ctgtg

. Calcular:

A) 2/5 B)/5 C)3/5 D)4/5 E)

7. Cuál de las siguientes proposiciones son

verdaderas:

I. 2

61217sec

II. Zn,)1()ncos()n(sen n

III. Si: octg)csc(csc

Entonces pertenece al IIIC:

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo III D) II y III E) Todas

8. Si es un arco del primer cuadrante positivo

y menor que una vuelta, hallar el intervalo de )(sen . Si: 21 .

A) cos 2 sen( ) 1

B) -1 sen() sen1

C) -1 sen() cos1

D) cos1< sen() 1

E) sen2 < sen() 1

9. Reduzca:


3


E csc 2005 tg 2003

2

x

17 23csc cot

2 2

a) 2 b)1 c) -1 d)-2 e)0

10. Al reducir: (Examen de admisión 2011 – II)

xsenxctg

xxxtgR

40.2

91

90sec.2

37cos.99

a) 1 b) senx c) cosx d) - secx e) cscx

11. Si: cos 10º = a. ¿a que es igual

E = sen100º.cos190º?

a) a b) 2a c) a/2 d) a2 e) -a2

(Segundo examen sumativo 2011 – II)

12. ¿Qué relación existe entre a y b? sabiendo

que:

04

b2a36Ctg

8

b3a2Tg

a) ½ b) 1/3 c) ¼ d) 1/5 e) 1/6

13. El valor de la siguiente expresión:

Es igual a:

12

7Cos

12Sen

12Cos

12

7Sen

a) 0 b) 1 c) – 1 d) 2 e) - 2

14. Analice la veracidad de las proposiciones

siendo , Zn

i. SennSen )(

ii.

6

5

6

5

2

3

3

2 CtgTgTg

iii. )()781( CosSecCosSec

iv.

xCtg

xnCtg

113

a) FFFF b) FFVF c) FVVV

d) FVVF e) VFVF

15. Si A y B son ángulos complementarios, al

simplificar:

)B3A4(Tan)BA2(Cos

)B3A2(Tan)B2A(SenE

Se obtiene:

a) 3 b) 2 c) 2 d) 1 e) 1

16. Del gráfico, calcule: Tg

A

C

BM

45º

a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) ¾

PROBLEMA DE REPASO

1. Simplifique:

sec(x 360 ).cos(x 270 )tg(180 x)E

cos(270 x).sen(x 306 )csc(90 x)

a)-1 b)-sec x c)cotx d)-cotx e)-tgx

2. Determinar el valor de: Cos1200º

a) 1 b) 0 c) ½ d) -½ e) 2

3

3. Simplificar:

2

3.

2

3

.2

.2

TgTg

CtgCtg

CtgCtg

TgTgE

a) -2 b) 0 c) 1 d) -1 e) 2

4. Si a y b son ángulos complementarios,

simplificar la expresión:

b11a10Tg.a5b4Cos

a14b13Tg.b7a6SenM

a) -2 b) -1 c) 2 d) 0 e) 1

5. Si x y

2

entonces al simplificar:

3secx.sec y cos(8x 9y)F

tgx tgy sen(9x 8y)

Se obtiene:


4


a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5

6. Del gráfico.

xa

b

y

Determinar:

CosbCosa6

baCos6

SenbSena3

baSen3

K

a) 2

1

b) 3

1

c) 4

1

d) 2

1

e) 3

1

7. Si se cumple:

3 3tg

2 2

Calcular: M 13 sen(2 ) cos( )

IIC

a) 5 b) -3 c) -2 d) -5 e)

1

13

8. Calcule el valor de:

5 1011M tg 5csc 2sec6 34

a) 6 b)5 c)4 d) 2 e) 3

9. Si

3sec x 22

Calcule:

17cos x

2P11

3sec x2

a)-3/10 b)-1/10 c) ½ d)-1/12 e)-1/14

10. Si se cumple que:

cos300° = n.tg225°

2 8sec m.sec

5 5

Calcule: m + n

a) 2 b)0 c)3/2 d)4 e)-1/2

11. Del gráfico, hallar: Tg

A

C

B37º

D

a) ¾ b) -3/4 c) 3/7 d) -3/7 e) -4/7

12. De la figura, calcule tg cot , si cot 1,4.

y

x

(a-4;a)

a) -74/35 b) -15/24 c) -7/24

d) -12/35 e) -24/35

13. Si tg 3sen 4cos 4cot 3 3

Además IC y IIC Halle el valor de:

E 10sec(180º ) 5sen( 270º) a) 6 b) -4 c) -10 d) 14 e) 13

14. Si a y c son suplementarios, además a y b son

complementarios. Reducir:

)(

)(

)(

)34()32cos(4

cbaSen

cbaSen

cbatg

cbCsccaM

a) -3 b)2 c) -1 d)-2 e) 0

15. Calcular el valor de

ZkkCos

SecSen

Tg

E

;2

)12(

6

253

3

109

6

143

a) 7

2 b) 7

2

c) 21

32 d) 21

32

e)15

32

Semana 6

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