SESIN 6: FUNCIONES

12 LGICO MATEMTICO 2015 -0

Conceptos Previos:

PAR ORDENADO:

Se define as:

(3 ; 5) = { {3} ; {3 ; 5} }(5 ; 3) = { {5} ; {5 ; 3} } (3 ; 5) (5 ; 3)

Adems:

Ej.: (3 ; a) = (b ; 4) b = 3 a = 4

Observacin: (a ; a) = { {a} }

PRODUCTO CARTESIANO

Ejemplo: A = {1 ; 2}B = {a ; b ; c}A x B = { (1 ; a) ; (1 ; b) ; (1 ; c) ; (2 ; a) ; (2 ; b) ; (2 ; c) }

B x A = { (a ; 1) ; (a ; 2) ; (b ; 1) ; (b ; 2) ; (c ; 1) ; (c ; 2) }

A x B B x A

DIAGRAMA DE VENN:

PROPIEDADES:

1) A x B = B x A A = B2) A x B = A B 3) n(A x B) = n(A) x n(B)

Donde: n(A) = cardinal de A (# de elementos)Ejm: n(A) = 2n(B) = 3 n (A x B) = 6

RELACIONES

Una relacin de A en B es cualquier subconjunto de A x B.

Si A x B = { (1 ; 2) , (1 ; 3) , (2 ; 2) , (2 ; 3) }Entonces:

R1 = { (1 ; 2) }R2 = { (x ; y) / x y ; x A , y B } = { (2 ; 2) }R3 = FUNCIN

Sean A y B dos conjuntos no vacos. Una funcin F de A en B (f = A B) es un conjunto depares ordenados tal que todos los elementos de A debe tener un nico elemento en B.

Ejemplo:

Definicin Formal

Sea f : A B una funcin, entonces se cumple:

Condicin de existencia

Ejemplo:

Sea f = { (2 ; x y) ; (3 ; x + y) ; (2 ; 3) ; (3 ; 4) } una funcin. Halle: 2x y

Solucin: x y = 3 x + y = 4

2x = 7

Entonces se cumple:

NOTA:. Toda funcin es una relacin . No toda relacin es una funcin

NOTACIN:

Observacin: Algunos matemticos consideran:

FUNCIN REAL DE VARIABLE REAL

Son aquellas funciones cuyo dominio y rango es un subconjunto de R.Ejemplo: f = 0 ; 1 Rf : R RDOMINIO:Dom(f) = { x / (x ; y) f }

RANGO:Ran(f) = { y / (x ; y) f }

REGLA DE CORRESPONDENCIAEs aquella ecuacin que nos permite relacionar los elementos del dominio con los elementos del rango.Ejemplo:

y = x3 + 1

f = { (x ; y) / x A y B }

Ejemplo:Sea: f = { (1 ; 2) , (3 ; 5) , (7 ; 6) , (4 ; 9) }Dom f = {1 ; 3 ; 7 ; 4}Ran f = {2 ; 5 ; 6 ; 9}

Ejemplo:

f(5) = 52f(4) = 42f(2) = 22

Entonces f(x) = x2 ; x {2 ; 4 ; 5}

Grafica de una funcin real en variable real

La grafica de una funcin f es la representacin geomtrica de los pares ordenaos que pertenecen a la funcin.

Gra(f) = { (x ; y) R2 / y = f(x) ; x Domf }

Ejemplo:

F(x) = x3Dom f = R

TEOREMA:

Sea f : R RSi toda recta paralela al eje y corta a la grfica a lo ms en un punto, dicha grafica ser la representacin de una funcin.

Ejemplo:

NOTA:Generalmente una funcin estar bien definida cuando se especifique su dominio y regla de correspondencia.

FUNCIONES ESPECIALES

FUNCIN CONSTANTE

Regla de Correspondencia:

Dom f = RRan f = {c}

Ejemplo:

1. Graficar: f(x) = 3 , x R y = 3

Tabulando:

2. Graficar: f(x) = -2 ; x -5 ; 2

FUNCIN IDENTIDAD

Regla de Correspondencia:

Dom f = RRan f = R

Ejemplo:1. Graficar f(x) = x ; x 2 ; 5

FUNCIN VALOR ABSOLUTO

Regla de Correspondencia:Dom f = R ; Ran f = 0 ; +

Sea y = |x|, tabulando:

FUNCIN LINEAL

Regla de Correspondencia:Pendiente de la rectaDom f = R ; Ran f = R

Ejemplos:y = 2x 6 y = -3x + 1

Si: x = 0 ; y = -6 ; (0 ; -6) punto de corte con el eje y.Si: y = 0 ; x = 3 ; (3 ; 0) punto de corte con el eje x.

Observacin: Si la pendiente (m) es negativa, la recta se inclina hacia la izquierda. Si la pendiente (m) es positiva, la recta se inclina hacia la derecha.

FUNCIN CUADRTICA:

; a 0

Completando cuadrados podemos darle la siguiente forma:

; a 0

Donde: V = (h ; k) es el vrtice de la parbola.Si: a > 0 la parbola se abre hacia arriba.Si: a < 0 la parbola se abre hacia abajo.

A continuacin analicemos la grfica de esta funcin, teniendo como referencia a su discriminante.

A) Primer CasoSi A > 0, la grafica de la parbola podra tener cualquiera de las siguientes formas:

1)

x1 , x2 son las races reales y diferentes de f(x).Ran f = k ; +; observar que el mnimo valor de la funcin es kDom f = R

2)

x1 , x2 son las races reales y diferentes.Ran f = - ; k, observar que el mximo valor de la funcin es k.

B) Segundo Caso

Si + = 0, la grafica podra tener cualquiera de las siguientes formas:

1) Ran f = 0 ; +Dom f = R

2) Donde x1 ; x2 son las races reales e iguales.Ran f = - ; 0Dom f = R

C) Tercer Caso

Si + < 0, la grafica de la parbola podra tener cualquiera de las siguientes formas:

1) Observar que la parbola no interfecta al eje real x por lo tanto no existen races realesRan f = k ; +

2) Ran f = - ; k

NOTA:

Para completar cuadrados alpolinomio: x2 + ax, se hace:

Ejemplos:

Ejemplo:f(x) = x2 6x + 8 f(x) = (x 3)2 (3)2 + 8 = (x 3)2 1 v = (3 ; -1)

Si: x = 0, y = 8 (0 , 8) es el punto de corte en el eje y.Si: y = 0, x = 2 v x = 4. Entonces (2 ; 0), (4 ; 0) son los puntos de corte con el eje x y como l coeficiente principal es positivo, la parbola se abre hacia arriba.Ran f = -1 ; +(El mnimo valor de la funcin es -1)

Observe que para hallar el mnimo valor de la funcin cuando el coeficiente principal sea positivo, basta calcular el vrtice, ya que la segunda componente indicara el mnimo valor de la funcin.

FUNCIN INVERSO MULTIPLICATIVO

Dom f = R {0} Ran f = R {0}

FUNCIN POTENCIAL

Regla de Correspondencia: ; n Z+ ; n > 1 ; x R

1er CASO: n es PAR

Ran f = 0 ; +Dom f = R

2do CASO: n es IMPAR

Ran f = RDom f = R

Observacin:Sea y = ax2n ; n N

FUNCIN RAZ CUADRADA

Regla de correspondencia: ; x 0

Su grafica es la siguiente y se obtiene tabulando:

Ran f = 0 ; +Dom f = 0 ; +

Ejemplo:

1. Obtener la grfica de Solucin: La grafica de esta funcin la obtendremos por desplazamiento horizontal, a partir

de la grfica original .

2. Graficar:

x y5xyxyx y6yx 62 26xy

Ran f = 2 ; +Dom f = 6 ; +

PROBLEMAS PARA LA CLASE

01.Si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una funcin, sealar su dominio.f = {(2;4a-b), (3;b),(2;3),(5;6),(3;1)}

02.Del problema anterior, sealar su rango.

03.Hallar el dominio de la funcin:

04.Indique el mnimo valor de la funcin g(x) = x2 - 8x + 1505.Calcule ab, si el conjunto de pares ordenados representa una funcin:f = {(2;5),(-1;3),(2;2a-b),(-1;b-a),(a+b2;a)}

06.Si:A = {1;2;3;4;5;6}; B = {1;2;3;4} y F: A B es una funcin, definida por:F = {(x;1),(2;4),(4;4),(y;4),(z;3)}

Entonces: (x + y + z) es:

07.Calcular el nmero de elementos de A:A = {X Z / 10 < x + 2 < 20}

08.Calcular el nmero de elementos de B:B = {X Z / |x-5| < 3}

09.Si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una funcin:

f = {(2;a-5),(9;4),(3;1),(2;6),(9;b-1)}

Calcular (a + b)

10.Graficar f(x) = 3; x R

11.Graficar g(x) = 3; x

12.Graficar: g(x) = x

13.Graficar: f(x) = x; x 6]

14.Se define la funcin G como sigue:

Si: 1 < x < 2, hallar G (3x + 2)

15.Si F es una funcin cuyo rango es un conjunto unitario, determinar el dominio de F.

F = {(a+b;b),(ab;a-b),(a:1),(3b;a-1)}

16.Encontrar el rango de la funcin:

x 17.Indique el mximo valor de la funcin: H(x) = -x2 6x + 12

18.De los grficos:

Calcule:

19.Sea la funcin:

Calcule f(f(3

20.Calcule dominio, rango y grfica de la siguiente funcin:

PROBLEMAS PARA LA CASA

01.Si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una funcin, dar su dominio

f = (3;5),(2a;6),(b-2;5),(4;7),(8;6)}

a) {3, 6, 4}b) {3; 8; 4}c) {4; 3; 6}d) {3; 2}e) {4; 8; 6}

02.Para el problema anterior, dar su rango

a) {3; 6; 4} b) {4;2;6}c) {5;6;7}d) {4;6;7}e) {5;8;9}

03.Dada la funcin:

f(x) = .

Deteminar Dom(f)

a)

b)

c)

d)

04.Hallar el rango de la funcin:

g = {(x2 ; x2-1) / x }

a) b)

c) d) e) [-1; 24]

05.Sean f y g dos funciones, tales que: f(x) = ax + 1, g(x) = 3x + b; adems:f(1) = g(-1)f(-1) = g(1)

Calcule: f(2) + g(3)

a) 2b) 3c) 5d) 7e) 9

06.Del grfico calcule (a+b), si f representa una funcin valor absoluto.

a) 12b) 13c) 14d) 15e) 16

07.Calcule el rango de la funcin:f(x) = x2 - 5x + 1

a) [-21/4; b)

c) d)

e)

08.Si f: x 3x 1

Calcule la suma de valores enteros del rango de la funcin.

a) 10b) 17c) 20d) 15e) 36

09.De la siguiente grfica de la funcin f:

Calcule (a + b)

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

10.De la figura

Calcule (Dom f) g (Ran f)

a) [1;3]b) [1;4]c) [1;7]d) [1;10]e) [5;9]

11.Hallar el rango de la funcin:

a) [-1;3]b) [1;7]c) [-1;4]d) [-2;2]

12.Calcular el dominio de la funcin:

f(x) =

a) [0;9]b) [5;10]

c) d)

e)

13.Si f y g representan funciones:

Calcule:

f(1).f(2).f(3) + g(6) + g(4) + g(5)

a) 3b) 4c) 5d) 6e) 7

14.Grafique la funcin:

h(x) = |x-2|; x

15.Si x , calcule el rango de la funcin:

f(x) = x2 + 4x + 7

a) b)

c) d) e) N.A.

MISCELANEA1) Analiza cules de las siguientes correspondencias son funciones y cules no. Fundamenta tus respuestas.a) A cada nmero real se le asocia su doble.b) El costo del servicio de luz del distrito de Miraflores y los vecinos.c) El peso de un estudiante y el nmero de estudiantes de un saln.d) Las personas y la huella digital de su dedo ndice de la mano derecha.e) El nmero de latidos del corazn de una persona y las personas a las que se les tomo las medidas.

2) Si f es una funcin determinar a,b e indicar su dominio y rangoa) e)

b) f)

c) g)

d) h)3) Cules de los siguientes diagramas representan una funcin?

4) Determina si la correspondencia dada por el conjunto de pares orednados es una funcina)b) c)

5) Identifica cul de las sigueintes grficas son funciones

6) En cada uno de los ejercicios siguientes hallar la ecuacin de la recta con las condiciones dadas:a) Pasa por el punto (-2,1) con pendiente m=4

b) Pasa por el punto con pendiente c) Pasa por el origen y de pendiente -1d) Corta al eje x en 3, de pendiente 2e) Corta al eje x en 6 y al eje y en 3f) Pasa por el punto (-2,5) y perpendicular a la recta que pasa por los puntos (0,2)y (-1,5)g) Que pasa por (0,4) y es paralela a la recta 3x+y=-1h) Pasa por el punto (5,6) y es perpendicular a la recta que corta a los ejes x e y en 3 y 4 respectivamentei) Es perpendicular la recta y=-2x+2 y pasa por el punto (2,6)j) Pasa por (5,4) y es paralela al eje yk) Pasa por (2,4) y es paralela al eje x.7) Determinar, dominio, rango, intersecciones con los ejes coordenados y graficar las siguientes funciones cuadrticasa) b)c) d) e) f)g) h)i) j) 8) Asocia a cada grfica su ecuacin:

I)II)

III)IV)

9) Dadas las relaciones, determinar cuales son funciones:

10) Calcular a.b.c si es una funcin. Adems hallar su dominio y rango.

11)

Si , ,

Hallar:

12)

Consideremos las funciones: y

Si y , calcular

13)

Si es una funcin lineal tal que ,

Calcular:

14)

Dada la funcin , donde a y b son constantes reales.

Si , , y si , hallar a y b.

15) Bosquejar la grfica de las siguientes funciones, adems hallar su dominio y rango:

a) b)

c) d)

16) Un televisor nuevo se deprecia $120 por ao, y tiene un valor de $340 despus de 4 aos.a) Determine una funcin que describa el valor de este televisor, si x es la edad de aos, del televisor.b) Determine el valor del televisor despus de 6 aos.

17) Suponga que el valor de una pieza de maquinaria disminuye cada ao en 10% de su valor original. Si el valor original es de $8000:

a) Determine una funcin que exprese el valor de la pieza t aos despus de su compra en donde b) Determine el valor de la pieza de la maquinaria en 6 aos.

18) Un nuevo edificio de apartamentos se vendi por $960,000 cinco aos despus de que se compr. Los propietarios originales calcularon que el edificio se apreciaba en $45,000 por ao, mientras ellos fuesen los propietarios. Determine una funcin lineal que describa la apreciacin del edificio, si x es el nmero de aos desde la compra original.

19) Una refrigeradora nueva se deprecia en $50 por ao, y tiene un valor de $350 despus de 30 aos. Determine una funcin que describa el valor de la refrigeradora.20) Un collar antiguo se espera que tenga un valor de $360 despus de 3 aos y de $460 al cabo de 7 aos. Determine una funcin que describa el valor del collar despus de t aos.