Semana 4 cs

SEMANA 4DIVISIBILIDAD

COCIENTES NOTABLES FACTORIZACIÓN I

1. ¿Cuál será aquel polinomio cuadrático de coeficiente principal 4, capaz de ser divisible por ( )12 +x y que al ser evaluado en (2) toma el valor de 5?

A) 24x 4x 3+ − B) 24x 4x 3− +

C) 24x 4x 3− − D) 24x 4x 2− −

E) 24x 4x 2− +

RESOLUCIÓNSea este Polinomio

( )2

xP 4x ax b= + + :

Por condición: ( ) ( )

2x4x ax b 2x 1 .q'+ + ≡ + →

21 1

4 a b 02 2− − + + = ÷ ÷

-a+2b=-2.............................(1)

Además:

( )2

x4x ax b (x 2)q'' 5+ + ≡ − +

Entonces: 4(2)² + 2a+b = 5→ 2a+b = − 11 .........................(2)

De: 2(1)+(2) : 5b=-15→b=-3

En (2):2a=-8→a=-4

Conclusión: ( )2

xP 4x 4x 3= − −

RPTA.: C

2. ¿Para qué valor de “m” el polinomio:

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2x y z x y z mx yz− + + + − +

es divisible por (x+y+z)?

A) 4 B) 2 C) 1 D) -8 E) -4

RESOLUCIÓNEn la base a la identidad:

( ) ( ) ≡+−++− yzmxzyxzyx 2222222

( ) ( )z,y,x'qzyx ++Con: x=1 ; y=1; z=-2 evaluando:(1-1+4)(1+1-4)+m….(-2)=0-8=2m→m=-4

RPTA.: E

3. Busque la relación que debe existir entre “p” y“q” a fin de que el polinomio:

( )3

xP x 3px 2q= − +

Resulte ser divisible por ( )2ax +

A) 23 qP = B) 32 qP = C) qP =

D) 1=q.P E) 2qP −=

RESOLUCIÓNAplicando dos veces ruffini bajo el principio de divisibilidad.

Si: 033 2 =− Pa

Pa =2 → ( ) 332 Pa =Reemplazando en: ⇒= 01R

3 3 33a 2q a 0 a q+ − = → = −

( ) ( )223 qa −=Conclusión: .qP 23 =

RPTA.: A

4. Determine “abc” sabiendo que el polinomio :

( ) ( ) 432 26 xxxbax)cb(caxP −−+++++= es

divisible por ( )( )13 2 −− xx

A) -2 B) -34 C)

40 D) -1360 E) 2720

RESOLUCIÓNPor Teorema de divisibilidad

( ) ( ) ( ) 01 1 =→−≡ R'qxP xx

( ) ( ) ( ) 01 2 =→+≡ R''qxP xx

( ) ( ) ( ) 03 3 =→−≡ R'''qxP xx

Empleando Ruffini ( tres veces)

Si: a+b+c-4=0→a+b+c=4b+c-6=0→ b+c=6a+b-38=0→a+b=38

en (1) c=-34en (2) b=40Luego: abc=2720.

RPTA.: E

5. Si el Polinomio:

( ) ;xxxP x 6116 23 −+−= es divisible

por: (x-a), (x-b) y (x-c) indistintamente.

¿Cuál será el residuo de:

( )111111 −−−−−− −−− accbbax

P x?

A) 0 B)1C) ab + bc + ca D) −1D) ab + cb + ca

RESOLUCIÓNAl ser divisible indistintamente lo será también por el producto es decir:

( ) )x(x q)cx)(bx)(ax(P −−−≡

6116 23 −+− xxx 3er grado Uno(monico)

≡−+− 6116 23 xxx( ) ( ) abcxcabcabxcbax −+++++− 23

De donde: a + b + c = 6ab +bc + cd= 11

abc= 6

Se pide: ( ) ( ) ( )x x xP P P

x 11 1 1 c a bx x

ab bc ca abc

= =−+ + − + + − ÷ ÷

Evaluando en x=1: ( ) 01 == PR

RPTA.: A

6. ¿Cuál será aquella división notable que genere al cociente

( )15253035 −+−+− a...aaa .

A) 1

136

+−

aa

B) 1

15

40

+−

aa

C) 1

15

40

+−

aa

RESOLUCIÓNPor principio teórico de signo y variación de exponente de 5 en 5, es la B.

RPTA.: B

7. Encuentre el valor de:

( ) ( )910 1 999− ÷

A) 1000001 B) 1010101C) 1001001 D) 0E) 1

RESOLUCIÓNAcondicionando el divisor:

( ) ( ) ( ) 11010110

110

110

110 13233

33

3

9

++=−

−=−−

1001001=RPTA.: C

8. Sabiendo que el cociente de la

división 2

30

yxyx

n

m

+−

; consta de 10

términos.

Determine el valor de: nm

A) 60 B) 8000 C) 203 D) 600 E) 8

RESOLUCIÓNPor condición: 30 m

10n 2

= = n=3

m=20

Luego: 20³ = 8000RPTA.: B

9. Se desea conocer de cuántos términos está constituido el

cociente de : 1

1

−−α

xx

sabiendo que

( )( )( ) 2361005010 xTTT =

A) 396 B) 133 C) 132 D) 236 E) 131

RESOLUCIÓN

1 2 3 kx 1x x x ...x ... 1

x 1

αα− α− α− α−− = + + + + +

−

2T 3T kT

1010T xα−= 10 50 100 236x .x .x xα− α− α− =

5050T xα−=

100100T xα−= 3 160 236x xα− =

De donde: 2361603 =−α3963 =α132=α

Luego: # términos=132+1=133RPTA.: B

10. Si la división indicada: P

P

yxyx

−−

3

432

genera un cociente notable. Averigüe al término antepenúltimo

A) 92yx B) 6 324x y

C) 36 360x y D) 0

E) x6 y314

RESOLUCIÓNSi la división indicada es notable, debe cumplir que: P 4323 P

=

2P 3.432=2 3 4P 3.3 .2= → 2 2P 3 .2 36= =

Luego:

( ) ( )( ) ( )

12 123 3636 432

3 36 1 13 36

x yx yx y x y

−− = =− −

1 2 10 11 12T T ... T T T+ + + + +

antepenúltimo

( ) ( )12 10 10 13 36 6 324antep 10T T x y x y

− −= = =

RPTA.: B

11. Después de dividir el cociente de

1

116

−−+

xx n

; Nn ∈ . Entre ( );x 1+ se

obtiene un nuevo cociente que al

ser dividido por ( )12 ++ xx

obtendremos como residuo.

A) 0 B) -x C) x+1 D) x-1 E) 1

RESOLUCIÓNEfectuando la división notable

6n6n 1 6n 2 6n 3 2x 1

x x x x x 1x 1

− − −− = + + + + +−

Luego en: 6n 1 6n 2 6n 3 2x x x ... x x 1

x 1

− − −+ + + + + ++

Aplicando Ruffini

Existen “6n” términos

Existen “6n-1” términos

( )6n 2 6n 4 6n 6 4 2

xq x x x ... x x 1− − −= + + + + + +

Finalmente en:

( ) ( )2xq x x 1÷ + +

Según el teorema del residuoSi: 2x x 1 x+ + < >→ = ωQue al evaluarlo en este valor

( )2R q 1 0ω= = ω + ω + =

CeroRPTA.: A

12. Factor Primo de: ( ) =b,aQ 1+b+c+a(1+b+c+bc)+bc

será:

A) 1+c B) 1+b C) 1+ab D) 1+bc E) 1+abc

RESOLUCIÓNAsociando:

( ) ( ) ( )bccbabccbQ b,a +++++++= 11 Extrayendo factor común

( ) ( )[ ]abccbQ b,a ++++= 11

( ) ( ) ( ){ } ( )abcbQ b,a ++++= 111

( ) ( ) ( ) ( )a,bQ 1 c 1 b 1 a= + + +g

Constante RPTA.: B

13. ¿Cuántos factores primos binómicos admite el polinomio;

( ) .Nn;xxxxXP nnx ∈−−++−= + 1232

A) 1 B) 2 C) 3 D) n E) ninguno

RESOLUCIÓNAsociando de 2 en 2:

( ) 1232 −−++−= xxxxx.xP nnx

( )n 2 2 2

xP x (x 1) x(x 1) (x 1)= − + − + −

( ) [ ]112 ++−= xx)x(P nx

( ) ( )nxP (x 1)(x 1) x x 1= + − + +

RPTA.: B

14. Uno de los divisores de: ( )bcaddcba −−+−− 22222 Será:

A) a-b+c-d B) a+b-c+dC) a-b-c + d D) a+b+c-dE) a-b-c-d

RESOLUCIÓNAsociando convenientemente

2 2 2 2a b c d 2ad 2bc− − + − + a =

( ) ( )2 2 2 2a 2ad d b 2bc c− + − − + =

( ) ( )2 2a d b c− − − =

( )a d b c a d b c− + − − − + RPTA.: A

15. ¿Cuál será el divisor trinomio del polinomio en variables: m,n,p.

( ) ( ) ( )3 3 3m n P n P m P m n− + − + − ?

… …...... ….....

A) m-n-P B) m+n-PC) m-n+P D) m+n+PE) mn+nP+Pn

RESOLUCIÓNMediante la distribución en el segundo y tercer término:

( ) =−+−+− nPmPmnPnPnm 33333

Asociando:( ) ( ) =−−−+− )pn(mpnnPPnm 33223

( )( )PnPn −+ ( )( )22 PnpnPn ++−

(n-P) 3 2 2 2m n P nP mn² mnP mP + + − − − =

(n-P) ( ) ( ) ( )[ ] =−−−−− nmPnmnPnmm 222

(m+n)(m-n)( ) ( )[ ] =−−+−− 22 PnPmnmnm)Pn(

( ) ( ) ( )[ ] =−+−+−− Pm(n)PmPmnm)Pn(( )( )[ ]PnmPmnm)Pn( ++−−−

RPTA.: D16. El Polinomio:

( ) ( ) ( ) 1133 −−−++= yxxyyxy,xM S

erá divisible por:

A) 122 +++++ yxyxyx

B) 122 +−+++ yxyxyx

C) 122 +++++ yxyxyx

RESOLUCIÓNAsociando convenientemente

( ) ( ) ( )1313 −+−−+= yxxyyxy,xM

Diferencia de cubos

( ) ( ) ( ) ( )2M x,y x y 1 x y x y 1 = + − + + + + -3xy(x+y-1)

Extrayendo el factor común( ) ( ) 2 2M x,y x y 1 x xy y x y 1 = + − − + + + +

RPTA.: C

17. Un factor primo racional de:

( ) 27933 −++= abbaR a ; será:

A) a+b+3B) a-b+3C) ab-3(a+b)

D) ( ) 9322 +++−+ baabba

E) ( ) 9322 ++−++ baabba

RESOLUCIÓN( ) ( ) ( )333 333 −−−++= abbaR a

Corresponde a la identidad Gaussiana, que proviene de:

( )[ ] ( ) ( ) ( ){ }baabbaba 3333 222 −−−−−−++−++=( ) ( )[ ]baabbacba ++−++++= 3922

RPTA.: D

18. Cuántos divisores admitirá el Polinomio:

( ) ( ) 82423342 yabyxabbxaP y;x −−−=

A) 8 B) 7 C) 15 D) 4 E) 3

RESOLUCIÓNEmpleando el aspa simple:

( ) ( ) 82423342 yaby.xabbxaP y,x −−−=22xa 42yb−

2bx 4ay

( ) ( )[ ]424222 aybxybxaP y,x +−=

( ) ( )( )[ ]4222 aybxbyaxbyaxP y,x +−+=Nº divisores: (1+1)(1+1)(1+1)

RPTA.: A

19. Halle la suma de los elementos de aquellos Polinomios irreductibles que se desprenden de:

( ) ( ) ( )2222224 2 yxzyxzQ z,y,x −+−=

……

…......

…...... …......

A) 4x B) 4y C) 4z D) 2(x-y) E) 2(x+y)

RESOLUCIÓNMediante un aspa simple

( ) ( )2222224 2 yxzyxzQ −++−=

2z ( )2yx +−

2z ( )2yx +−

( )[ ] ( ){ }2222 yxzyxzQ −−+−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxzyxzyxzyxzQ z,y,x +−−+−−++=

Sumando estos elementos =4z

RPTA.: C

20. Un divisor del Polinomio:

( ) ( )x,yP 2x 2x 7y 3y(5y 12) 48x= + − + +

será:

A) 3x-4y B) 4x-3y C)2x-3y D) 2x-3x E) 2x-5y+12

RESOLUCIÓNBuscando la forma de un aspa doble:

( ) 0364815148 22 +−+−+= yxyxyxP y,x

4x -3y02x 5y 12

( ) ( )[ ]125234 ++−= yxyxP y,x

RPTA.: B

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