Semana 12

1

Centro Preuniversitario de la UNS S-12 Ingreso Directo

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS Ciclo 2013-II

TRIGONOMETRÍA “ECUACIONES E INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS”

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Son igualdades condicionales donde la variable (x) o

arcos de la forma (ax + b) se encuentran afectados

de algún operador trigonométrico como el seno,

coseno, etc.

Es de la forma : F.T. (ax + b) = N ............... (*)

Donde el valor principal (Vp) es el valor del ángulo o

arco (ax + b) definido en el "rango" de la función

trigonométrica inversa.

De (*) : Vp = Arc F.T. (N)

Además N debe pertenecer al dominio de la

función trigonométrica; a y b son constantes reales

con 0a .

Ejemplo : De las ecuaciones trigonométricas

elementales, con sus respectivos valores

principales :

* 32

3ArcSenVp

2

3x3Sen

* 3

2

2

1ArcCosVp

2

1

4x2Cos

* 4)1(ArcTanVp1

85

x3Tan

EXPRESIONES GENERALES DE TODOS LOS

ARCOS QUE TIENEN LA MISMA FUNCIÓN

TRIGONOMÉTRICA

ECUACIÓN SOLUCIÓN

Zk ; Vp1)(K x NSenx : SiK

Obs : Vp = ArcSen(N)

ECUACIÓN SOLUCIÓN

ZK ; Vp2K x NCosx : Si

Obs : Vp = ArcCos(N)

ECUACIÓN SOLUCIÓN

ZK ; VpK x NTanx : Si

Obs : Vp = ArcTan(N)

INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Inecuación Trigonométrica: Es una desigualdad

condicional que involucra funciones trigonométricas

por lo menos una.

Ejemplos:

* Sen2x > Cosx

* Tan2x + Cot2x > Cscx

* 4

1xSenxCosxCosxSen

33

* 3

1x2Sen

Inecuación Trigonométrica Elemental : Una

inecuación trigonométrica se llamará elemental,

cuando es de la forma :

incógnita : xa ,)Kx.(T.F

Ejemplos:

* 2

3x2Cos

* 1x3Tan

Resolución de una Inecuación Trigonométrica

Elemental:

Se estila seguir dos métodos:

Resolver: 2

1Senx

Método I:

En la circunferencia trigonométrica, ubicamos

todos los arcos "x" cuyos senos sean mayores

que 2

1

, así:

Semana Nº 12

21

y

56

6

1

1

2

x

2

1)x(g

f(x)= Senx

Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.

2


Zn ; n26

5 ; n2

6 x

Zn ; n26

5xn2

6

6

5x

62

1Senx

El conjunto solución general será : 21

y

56

6

x + y = 12 2

Zn ; n26

5 ; n2

6 x

Zn ; n26

5xn2

6

6

5x

62

1Senx

El conjunto solución general será : 21

y

56

6

x + y = 12 2

Método II :

Graficamos en un mismo sistema coordenado las

funciones:

2

1g(x) Senx)x(f

Los puntos de intersección en un periodo del Senx :

osea en 2; 0 , se obtienen con :

2

1Senx)x(g)x(f

6

5x

6x

21

y

56

6

1

1

2

x

2

1)x(g

f(x)= Senx

PROBLEMA S RESUELTOS

1) Determinar todas las soluciones de la ecuación:

1 tgx 3 ctgx

1 tgx 3 ctgx

k

A) k

4

B) K6

C) K

12

D) K18

E) K

4

RESOLUCIÓN

2 6

2tgx 2ctgx

ctgx 3tgx 2ctg x 3

x k6

RPTA.: B

2) Dado el sistema:

x y2

cosx 3 2 cosy

Indique una solución general de y k

A) k

24

B) k12

C) k

10

D) k

6

E) k

3

RESOLUCIÓN

Como: x y cosx cos y seny2 2

Luego en: cosx 3 2 cosy , se tiene:

tgy 2 3 y k ,k12

RPTA.: B

3) Dado el sistema:

6senx seny

2

2cosx cosy

2

Halle: “x” y “y”, si 0 x ; 0 y

A) 7x ;y12 12

B) 7

x ;y10 10

C) 3x ;y

4 2

D) 2

x ;y3 4

E) 3x ;y8 8

RESOLUCIÓN

Como:

a) 6 x y x ysenx seny 2sen cos

2 2 2

6

2…(1)


3


Como:

b) 2 x y x ycosx cosy 2cos cos

2 2 2

2

2….(2)

(1) (2)

x y 2tg 3 x y

2 3

………

También:

2a : 2 2 3

sen x sen y 2senx seny2

……(3)

2 2 2 1b : cos x cos y 2cosx cosy

2 .….(4)

(3) + (4):

2 2cos x y 2 cos x y 0 x y2

…

: 7 72x x

6 12

: 2y y6 12

RPTA.: A

4) Determine la suma de soluciones de la ecuación:

senx 3 cosx 1 ;x 0;2

A) 2

3

B) 3

5

C) 5

3

D) 3

2

E) 6

RESOLUCIÓN

senx 3cosx 1

1 3cosx senx

1 3 1cosx senx

2 2 2

1cos30º cosx sen30º senx

2

1cos x 30º

2

i) x 30º 60º x 30º6

ii) 3x 30º 300º x 270º

2

3 5

6 2 3

RPTA.: C

5) Halle la suma de las soluciones de la ecuación:

ctg x – csc 2x = 1

Para ángulos positivos menores de 360º

A) 360º B) 630º C) 450º D) 660º E) 810º

RESOLUCIÓN

cosx 11

senx 2senxcosx

22cos x 1 2senxcosx

tg 2x =1

de donde: kx

2 8

Se pide: Soluc 630º RPTA.: B

6) Halle la suma de las 3 primeras soluciones

positivas de la ecuación: 2

sen 5x 10º2

A) 111º B) 133º C) 122º D) 132º E) 123º

RESOLUCIÓN

P

2 2sen 5x 10º V arcsen 45º

2 2

n

5x 10º 180º n 1 45º

n

x 36º n 1 9º 2º;n

Si: n = -1 x = - 43º

n = 0 x = 11º

n = 1 x = 29º

n = 2 x = 83º

11º 29º 83º 123º RPTA.: E

7) Indique el número de soluciones positivas y

menores a una vuelta de la

ecuación: secx cosx senx

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN

* 0º < x < 360º

* 1secx cosx senx cosx senx

cosx

2 21 cos x senxcosx sen x senx cosx

2sen x senx cosx 0 senx senx cosx 0

i) senx 0 x 0º,180º,360º,...

ii) senxsenx cosx 0 senx cosx 1

cosx

tg x= 1 x = 45º, 225º, …

Son “3” soluciones: 180;45º;225º

RPTA.: C

1

2

1

2

60º

300º

C.T.


4


8) Resolver y dar la suma de soluciones de la

ecuación: cos2x senx 0; x 0º;360º

A) 450º B) 630º C) 540º D) 360º E) 300º

RESOLUCIÓN cos2x senx 0;x 0º;360º

21 2sen x senx 0

20 2sen x senx 1

2 sen x 1

sen x -1

0 2senx 1 senx 1

i) IIIC: x = 210º

IVC: x = 330º

ii) sen x = 1 x = 90º

90º 210º 330º 630º RPTA.: B

PROBLEMA DE CLASE

1) Resolver: 9Cosx2Sen

; Zn

a)

18

5)1(n

b)

36

7)1(

2

n n

c)

18

7)1(nn

d)

9

)1(n2n

e)

18

5)1(

2

n n

2) Resolver la ecuación: Tg 2 + Ctg = 8.Cos2

a)

24

5

24

y b)

224

y c)

y12

d)

212

y e)

12

5

12

y

(3º EXAMEN SUMATIVO –CEPUNS 2010 )

3) Un valor de que satisface a la ecuación:

7

5.

7

4

7

3

7

2

tgCostgtgtg

a) 0 b) c) 2

d) 2

3 e) 3

(3º EXAMEN SUMATIVO –CEPUNS )

4) Resolver para x:

)4(2123 Senxsenx

a) Zkk k ,4

)1(

b) Zkk k ,

3)1(

c) Zkk k ,6

)1(

d) Zkk k ,

4)1(2

e) No tiene solucion en R (3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 I)

5) Los valores de x, comprendidos entre 0 y 2

3 ,

que resuelve la ecuación trigonométrica:

2Sen2x – sen x – 1 = 0 , son:

a)

3

2

2

y b)

6

7

2

y c)

6

5

3

2 y

d)

4

3

3

y e)

2

3 y

(3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2011 – II)

6) Si: 0cos14 xsenx , entonces la suma

de las soluciones, x , tal que 2;0x , es:

a) 2

b) 2

3 c) 2 d) e) 0

(3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2011 – II)

7) Resolver:

5

4SenxCosy

........... (1)

5

1SenyCosx

........... (2)

Para : 90º ; 0 y, x

a) x = 63º30' ; y = 26º30' b) x = 53º ; y = 37º c) x = 71º30' ; y = 18º30' d) x = 67º30º ; y = 22º30'

e) x = 60º ; y = 30º

8) Si : 1x

y 2x

son los dos primeros valores

positivos de "x" que verifican :

1CosxxSen22

,

Calcule : )xx(Sen

12

, si : 21xx

a) 2

3

b) 2

1

c) 1 d) 2

1

e) 2

3

1senx

2


5


9) Resolver: (Sen4x+Cos4x)(Senx+Cosx)=1+Sen5x Indique la suma de los tres primeros valores

positivos de "x"

a) 2 b) 3 c) d) 3

7

e) 4

10) Resolver : Secx = 6Senx ; Zn

a)

6

1ArcSen

2

)1(n

n

b)

6

1ArcSen

2

)1(

2

nn

c)

3

1ArcSen

2

)1(n

n

d)

3

1ArcSen

2

)1(

2

nn

e)

3

2ArcSen

2

)1(

2

nn

11) Señale la suma de las dos menores soluciones

positivas de la ecuación:

1xCosxSenxSen442

a) 90º b) 180º c) 270º d) 225º e) 135º

12) Resolver:

1xCot

1

xTan

2

xSen

1

xCos

12222

Luego, señale la suma de las dos primeras

soluciones positivas.

a) 90º b) 135º c) 180º d) 225º e) 270º

13) Resuelva :

6 |x2Cotx2Tan|)x2Cotx2Tan(

2

, Zk

a)

84

k

b)

82

k

c)

4

k

d)

16

k

e)

88

k

14) Determinar todos los valores de “x” que

satisfacen a inecuación

Zkxxxsenxsen ;2

1cos.3cos.3 33

a)

4

k

b)

2

k

c)

42

k

d)

82

k e)

62

k

15) Obtener todos los valores de “x” que

satisfacen a inecuación:

xx cos.3213cos8 3

a)

932,

932

nn

b)

125

3,

123

nn

c)

32,

632

nn

d)

182,

1832

nn

e)

6,

6

nn

PROBLEMAS DE REPASO

1) Si: ,0x resuelve la inecuación:

0112 ctgxtgxsenxsenx

a)

;

6

5

6;0

b) 6

5;

6

c)

6

5;

6

d)

26

5;

6

e)

26

5;

6

2) Resuelva la ecuación:

2;0;02cos32cos xxx

a) 6

7;;

6

5

b) 4

5;;

4

3

c) 3

4;;

3

2

d)

2;

2;0

e)

2;

4

3

4;0

3) Resuelva inecuación:

;2,cos44 xxxsen

a) 3

4;

3

5

b) 6

7;

6

11

c) 12

13;

6

7

d) 12

13;

2

3

e) 4

5;

4

7

4) Resuelva la inecuación e indique el número de

soluciones: 4;0,4cos42 xxxsen

a) 1 b)2 c)3 d) 4 e) 5

5) Determinar un conjunto solución de la

ecuación: Znxsenxsen ,34412 2

a)

124

n b)

63

n c)

2

n

d)

248

n e)

244

n


6


6) Resolver en el intervalo de ; 0

la

inecuación: 0TanxxTan2

a) 2 ;

4

b) 4 ; 0

c)

2 ;

4

d)

;

2

;

2 e)

24

3 ;

4

7) Resolver:

2Cos5x . Cosx - Cos6x = 1 ; Zn

a) n2 b) n4 c) n d)

2

n

e)

4

n

8) Sume las tres primeras soluciones positivas de la ecuación:

)x3Cosx5Cos(3x3Senx5Sen

a) 135º b) 180º c) 165º d) 160º e) 210º

9) Resolver: 4

1

2

xCos

2

xSen

2

xCos

2

xSen

33

en el intervalo de 2; 0

a) 6

5 ;

6

b) 3

2 ;

3

c)

6

5 ;

6

d)

3

2 ;

3 e)

;

6

5

6 ; 0

10) Resolver en 2; 0

Sen2x > Cosx

a) 2 ;

6

b) 2

3 ;

6

5

c)

2 ;

6

7

d) ba e) ca

11) Dada la ecuación:

Cosx + Cos2x + Cos3x = 0,

Hallar la suma de todas las soluciones de dicha ecuación, si estas soluciones están

comprendidas entre 0 y 2 (radianes).

a) b) 2 c) 4 d) 3 e) 6

12) Si: 21x x

son las dos menores soluciones

positivas de la ecuación :

)xTan35(x5TanxTan53222

Tal que : 21xx

,

Halle: x2/x1 a) 3 b) 6 c) 4 d) 8 e) 5

13) Sume las dos primeras soluciones positivas de:

2

1x2Sen

a) 180º b) 360º c) 90º d) 270º e) 135º

14) Sume las dos primeras soluciones positivas de :

2

1x3Cos

a) 120º b) 240º c) 300º d) 260º e) 270º

15) Sume las dos primeras soluciones positivas de :

3)º30x2(Tan a) 170º b) 180º c) 200º d) 210º e) 150º

16) Resolver en el intervalo de 2; 0 la

inecuación : 2

1Senx

a)

6

5 ;

6 b)

6

5 ;

6

c)

6

5 ;

6 d)

3

2 ;

3 e)

3

2 ;

3

17) Resolver en el intervalo de 2; 0

la

inecuación : 2

1Cosx

2

1

a) 3

5 ;

3

4

3

2 ;

3

b)

6

11 ;

6

7

6

5 ;

6

c)

3

5 ;

3

4

3

2 ;

3

d) 6

11 ;

6

7

6

5 ;

6

e)

3

5 ;

6

7

3

2 ;

6

18) Al resolver la ecuación:

Cos2x2Sen

x4Sen

x2Cos

x4Cos

Luego, señale la menor solución positiva.

a) 4

b) 6

c) 3

d) 8

e) 12

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