DINAMICA

JAVIER DE LUCAS

Dinámica de Dinámica de RotaciónRotación Sólido rígido es el cuerpo cuyas Sólido rígido es el cuerpo cuyas

partículas conservan invariantes en el partículas conservan invariantes en el tiempo las distancias relativas que las tiempo las distancias relativas que las separanseparan

En el movimiento de rotación las En el movimiento de rotación las partículas del sólido rígido describen partículas del sólido rígido describen trayectorias circulares con centro en el trayectorias circulares con centro en el eje de rotación y situadas en planos eje de rotación y situadas en planos perpendiculares a dicho ejeperpendiculares a dicho eje

Centro de MasasCentro de Masas DefiniciónDefinición

El centro de masas de un cuerpo es un punto que El centro de masas de un cuerpo es un punto que describe la misma trayectoria que una partícula describe la misma trayectoria que una partícula sometida a las mismas fuerzas que el cuerposometida a las mismas fuerzas que el cuerpo

i

iicm m

rmr

PropiedadesPropiedadesLa resultante de las fuerzas exteriores aplicadas La resultante de las fuerzas exteriores aplicadas sobre un sistema puede considerarse aplicada sobre un sistema puede considerarse aplicada sobre el centro de masassobre el centro de masasLa cantidad de movimiento de un sistema es igual La cantidad de movimiento de un sistema es igual a la de su centro de masasa la de su centro de masasFFextext = m = m aacmcm

Centro de MasasCentro de Masas

CuerposCuerpos

DiscretosDiscretos

Cuerpos Cuerpos ContinuosContinuos

i

iicm m

ama

dm

dmrrcm

dm

dmaacm

i

iicm m

rmr

i

iicm m

vmv

dm

dmvvcm

Comparación dinámica de Comparación dinámica de traslación y de rotacióntraslación y de rotación

FUERZA CAUSA MOMENTO

ACELERACIÓN EFECTO ACELERACIÓNANGULAR

MASA INERCIA MOMENTODE INERCIA

LEYamF

IM Ejercicio: deducir la ley

fundamental de la dinámica de rotación a partir de la 2ª

ley de Newton

Momento de InerciaMomento de Inercia El El momento de Inercia de una partículamomento de Inercia de una partícula

respecto a un eje es el producto de la masa respecto a un eje es el producto de la masa por el cuadrado de la distancia al eje de por el cuadrado de la distancia al eje de giro rgiro r

Ejercicio: comparar con la masa

Es una medida de la inercia del cuerpo al Es una medida de la inercia del cuerpo al giro sobre ese ejegiro sobre ese ejeNo es propio del cuerpo, depende del ejeNo es propio del cuerpo, depende del ejeEs una magnitud Es una magnitud tensorialtensorialSu unidad es kg·mSu unidad es kg·m22

I = m r2m

r

Momento de Inercia (II)Momento de Inercia (II)

Sólido Sólido rígido rígido

discretodiscreto

Sólido Sólido rígido rígido

continuocontinuo

ALGUNOS EJEMPLOSALGUNOS EJEMPLOSAro delgadoAro delgado I = MRI = MR22

Barra delgadaBarra delgada I= 1/12 MLI= 1/12 ML22

Disco macizoDisco macizo I= ½ MRI= ½ MR22

Cilindro huecoCilindro hueco I=MR2I=MR2Cilindro sólidoCilindro sólido I= ½ MRI= ½ MR22

Cilindro hueco Cilindro hueco gruesogrueso

I= ½ M(RI= ½ M(R1122+R+R22

22))

Esfera huecaEsfera hueca I= 2/3 MRI= 2/3 MR22

Esfera macizaEsfera maciza I= 2/5 MRI= 2/5 MR22

Paralelepípedo Paralelepípedo sólidosólido

I= 1/12 M(aI= 1/12 M(a22+b+b22))

2iirmI dmrI 2

Teorema de SteinerTeorema de Steiner

El momento de inercia de un sólido El momento de inercia de un sólido respecto a un eje es igual a la suma del respecto a un eje es igual a la suma del momento de inercia del sólido respecto a momento de inercia del sólido respecto a un eje paralelo al primero y que pase por un eje paralelo al primero y que pase por su centro de masas Isu centro de masas Icmcm, más el producto , más el producto

de la masa total del sólido M, por el de la masa total del sólido M, por el cuadrado de la distancia entre los ejescuadrado de la distancia entre los ejes

2MdII CM

prL

Momento cinético o Momento cinético o angularangular El momento cinético o angular El momento cinético o angular LL, de una partícula respecto , de una partícula respecto

a un punto O es el producto vectorial de su posición a un punto O es el producto vectorial de su posición rr, , respecto a dicho punto por su cantidad de movimiento respecto a dicho punto por su cantidad de movimiento pp..

• Es el momento de la cantidad de movimientoEs el momento de la cantidad de movimiento• También puede expresarse como:También puede expresarse como:

IL

• De esta forma la ley fundamental de la dinámica puede De esta forma la ley fundamental de la dinámica puede expresarse:expresarse:

dt

LdM

Teorema de conservación Teorema de conservación del Momento Angulardel Momento Angular Si la suma de los momentos de las Si la suma de los momentos de las

fuerzas exteriores que actúan sobre un fuerzas exteriores que actúan sobre un sistema es nulo, el momento angular del sistema es nulo, el momento angular del sistema permanece constantesistema permanece constante

APLICACIONESAPLICACIONES Movimiento de planetasMovimiento de planetas Giro de patinadorGiro de patinador Rueda de bicicletaRueda de bicicleta

SI SI MM=0 => =0 => LL=cte=cte

Ejercicio: ver casos en los que se cumpla el teorema

DINAMICA

FIN